Giải tích hàm Huỳnh Thế Phùng ĐHKH HUẾ

Đây là giáo trình Giải tích hàm được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế.Nội dung cuốn sách:Chương 1: Không gian Định chuẩnChương 2: Các định lý cơ bản của giải tích hàmchương 3: Không gian liên hợp Topo yếuchương 4: Không gian Hilbert

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH HÀM Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế 10/09/2005 Mục lục Mục lục Chương 1 Không gian Định chuẩn 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Chuẩn 1.1.2 Các ví dụ 1.2 Tôpô không gian định chuẩn 1.2.1 Hàm khoảng cách - Sự hội tụ 1.2.2 Các tính chất tơpơ 1.2.3 Chuẩn tương đương 1.3 Không gian Banach 1.3.1 Dãy Cauchy - Không gian Banach 1.3.2 Một số không gian Banach 1.3.3 Sự hội tụ chuỗi 1.4 Không gian - Không gian thương 1.4.1 Không gian - Khơng gian đóng 1.4.2 Không gian thương 1.5 Bài tập Chương Các Định lý Giải tích hàm 2.1 Tốn tử tuyến tính liên tục 2.1.1 Định lý 2.1.2 Các ví dụ 10 2.2 Nguyên lý bị chặn 10 2.2.1 Không gian L(X, Y ) 10 2.2.2 Nguyên lý bị chặn 11 2.3 Định lý Hahn-Banach 11 2.3.1 Phát biểu định lý 11 2.3.2 Các hệ 12 2.4 Nguyên lý ánh xạ mở 12 2.4.1 Không gian đồng phôi - Nguyên lý ánh xạ mở 12 2.4.2 Định lý đồ thị đóng 13 2.4.3 Không gian hữu hạn chiều 14 2.5 Bài tập 14 Chương Không gian liên hợp - Tôpô yếu 16 3.1 Không gian liên hợp 16 3.2 Liên hợp số không gian cụ thể 17 3.3 Không gian X ∗∗ - Không gian phản xạ 18 3.4 Toán tử liên hợp 19 3.5 Tôpô yếu - Tôpô yếu* 20 3.5.1 Tôpô σ(X, Γ) 20 3.5.2 Tôpô yếu X 20 ∗ 3.5.3 Tôpô yếu* không gian X 21 3.6 Bài tập 22 Chương Không gian Hilbert 24 4.1 Không gian Hilbert 24 4.1.1 Dạng song tuyến tính đối xứng dương 24 4.1.2 Không gian Hilbert 25 4.2 Khai triển trực giao 25 4.2.1 Hệ trực giao 25 4.2.2 Phần bù trực giao 26 4.2.3 Cơ sở không gian Hilbert 27 4.3 Không gian liên hợp không gian Hilbert 28 4.3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 28 4.3.2 Sự hội tụ yếu không gian Hilbert 29 4.4 Toán tử liên hợp - Toán tử tự liên hợp 29 4.4.1 Toán tử liên hợp 29 4.4.2 Toán tử tự liên hợp 30 4.5 Bài tập 31 Tài liệu tham khảo 33 Chương Không gian định chuẩn 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Chuẩn Cho không gian vectơ X Một ánh xạ · : X → R gọi chuẩn X nếu, với x, y ∈ X λ ∈ R ta có a) x ≥ 0; b) x = ⇔ x = 0; c) λx = |λ| x ; d) x + y ≤ x + y Lúc đó, (X, · ) gọi khơng gian định chuẩn 1.1.2 Các ví dụ a) Các không gian Rn , Cn b) Các không gian C[a, b], C(K) c) Các không gian l∞ , c0 d) Không gian lp (p ≥ 1) B 1.1 (Bt ng thc Hăolder) Cho (p, q) hai số dương liên hợp Lúc đó, với u, v ≥ 0, ta có up v q + uv ≤ p q Dấu "=" xảy up = v q Bổ đề 1.2 Nếu (αn ) ∈ lp (βn ) ∈ lq , với (p, q) cặp liên hợp, (αn βn ) ∈ l1 ∞ p ∞ |αn βn | ≤ αn 1 q ∞ p βn q Bổ đề 1.3 Với x, y ∈ lp (p ≥ 1) ta có x+y p ≤ x p + y p e) Không gian Lp [a, b], (p ≥ 1) 1.2 Tôpô không gian định chuẩn 1.2.1 Hàm khoảng cách - Sự hội tụ Cho (X, · ) Trên X ta định nghĩa hàm khoảng cách d(x, y) := x − y Lúc đó, X khơng gian metric, nên có khái niệm tơpơ hình cầu, tập đóng, tập mở, hội tụ, ánh xạ liên tục Ngồi ra, metric khơng gian định chuẩn X có số tính chất đặc biệt khác Mệnh đề 1.1 d(x + z, y + z) = d(x, y), với x, y, z ∈ X Mệnh đề 1.2 Với dãy (xn ) ⊂ X: xn → x ⇒ xn → x Mệnh đề 1.3 Cho dãy (xn ), (yn ) ⊂ X, (λn ) ⊂ R cho xn → x0 , yn → y0 , λn → λ0 Lúc đó, a) xn + yn → x0 + y0 , b) λn xn → λ0 x0 1.2.2 Các tính chất tôpô Mệnh đề 1.4 Với x0 ∈ X r > 0, a) B (x0 ; r) = B(x0 ; r) b) B(x0 ; r) = Int B (x0 ; r), c) ∂B(x0 ; r) = ∂B (x0 ; r) = S(x0 ; r) Mệnh đề 1.5 Cho A ⊂ X, x0 ∈ X λ ∈ R \ {0} Lúc a) A đóng (mở) ⇔ A + x0 đóng (mở) b) A đóng (mở) ⇔ λA đóng (mở) Từ mệnh đề này, phép tịnh tiến phép vị tự (với hệ số khác không) phép tự đồng phôi X Hệ 1.1 Cho A, B ⊂ X Nếu A mở A + B mở 1.2.3 Chuẩn tương đương Cho không gian vectơ X, xác định hai chuẩn T2 tôpô xác định chuẩn · · Ký hiệu T1 , Chuẩn · gọi mạnh chuẩn · (hay · yếu · ) T1 ⊃ T2 Ký hiệu · ≤ · hay · ≥ · Nếu T1 = T2 ta nói hai chuẩn tương đương ký hiệu · · Mệnh đề 1.6 Để · ≤ · x Hệ 1.2 · · điều kiện cần đủ là, tồn c > cho ≤ c x 1; ∀x ∈ X khi, tồn C ≥ c > cho c x ≤ x ≤ C x 1; ∀x ∈ X 1.3 Không gian Banach 1.3.1 Dãy Cauchy - Không gian Banach Dãy (xn ) ⊂ X gọi dãy Cauchy xm − xk −→ Tức m,k→∞ ∀ > 0, ∃n0 , ∀m, k ≥ n0 : xm − xk < Các kết chứng minh lý thuyết không gian metric Mệnh đề 1.7 Nếu (xn ) dãy hội tụ, dãy Cauchy Mệnh đề 1.8 Nếu (xn ) dãy Cauchy, bị chặn Tức tồn số dương M cho xn ≤ M ; ∀n Ngồi ra, khơng gian định chuẩn ta có tính chất sau Mệnh đề 1.9 Nếu (xn ), (yn ) dãy Cauchy X (λn ) dãy số Cauchy, (xn + yn ) (λn xn ) dãy Cauchy Một không gian định chuẩn X gọi không gian Banach đầy đủ Tức là, đó, dãy Cauchy hội tụ 1.3.2 Một số không gian Banach Rn , Cn , C(K), c0 , l∞ , lp , Lp [a, b], (p ≥ 1) 1.3.3 Sự hội tụ chuỗi Cho dãy (xn ) ⊂ X Ta xét dãy (sn ) định nghĩa n sn := xk Nếu dãy (sn ) hội tụ đến s ∈ X ta nói chuỗi ∞ s= xn (1.1) hội tụ có tổng s Ngược lại ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ Mệnh đề 1.10 Nếu hai chuỗi (xn + yn ) hội tụ a) (xn + yn ) = b) (λxn ) = λ xn + xn yn hội tụ λ ∈ R chuỗi (λxn ), yn , xn Mệnh đề 1.11 Cho X khơng gian Banach Lúc chuỗi xn hội tụ khi, với > 0, tồn n0 cho, với n ≥ n0 p ≥ ta có n+p xk < n+1 Ta nói chuỗi xn hội tụ tuyệt đối chuỗi xn hội tụ Định lý 1.12 Cho X không gian định chuẩn, hai mệnh đề sau tương đương a) X không gian Banach b) Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối X hội tụ 1.4 Không gian - Không gian thương 1.4.1 Không gian - Khơng gian đóng Cho khơng gian định chuẩn X Y ≤ X Lúc đó, Y không gian định chuẩn gọi không gian X Nếu Y tập đóng X ta nói Y khơng gian đóng Mệnh đề 1.13 Nếu Y ≤ X Y ≤ X khơng gian đóng bé chứa Y Cho M ⊂ X Y = span(M ) Z = Y gọi không gian con, không gian đóng sinh M Mệnh đề 1.14 Nếu M tập đếm span(M ) khả ly Mệnh đề 1.15 Nếu X không gian Banach Y khơng gian đóng X Y không gian Banach Định lý 1.16 Cho Y không gian đóng X, u ∈ X \ Y tồn x0 ∈ span(Y ∪ {u}) thoả mãn x0 = > Lúc đó, x0 − y > − , ∀y ∈ Y Hệ 1.3 Cho Y khơng gian đóng X Y = X Lúc đó, với tồn x0 ∈ X thoả mãn: x0 = 1; 1.4.2 >0 d(x0 , Y ) > − Không gian thương Cho không gian định chuẩn X Y khơng gian đóng X Lúc ta có khơng gian vectơ thương X/Y Ta định nghĩa khơng gian chuẩn mà tương thích với chuẩn X theo nghĩa sinh tôpô mạnh X/Y bảo đảm cho phép chiếu tắc từ X lên X/Y liên tục Thật vậy, với ξ ∈ X/Y , ξ đa tạp affine song song với Y , ξ đa tạp affine đóng Ta đặt ξ := inf x x∈ξ Dễ dàng chứng minh chuẩn X/Y Lúc đó, X/Y gọi không gian định chuẩn thương X theo khơng gian đóng Y Nhắc lại phép chiếu tắc π : X → X/Y ánh xạ xác định π(x) := xˆ với x ∈ X Định lý 1.17 a) Phép chiếu tắc π từ X lên (X/Y, · ) liên tục b) Nếu · chuẩn X/Y cho π : X → (X/Y, · · ≤ · 1) liên tục, Định lý 1.18 Nếu X không gian Banach Y khơng gian đóng X X/Y không gian Banach 1.5 Bài tập 1.1 Cho không gian định chuẩn X Chứng minh rằng, với λ ∈ (0, 1), r1 , r2 > x1 , x2 ∈ X, λB(x1 ; r1 ) + (1 − λ)B(x2 ; r2 ) = B(λx1 + (1 − λ)x2 ; λr1 + (1 − λ)r2 ) 1.2 Chứng minh (x, y) := x2 + 2y , (x, y) ∈ R2 , chuẩn R2 Hình cầu đơn vị khơng gian hình 1.3 Chứng minh X = C[0, 1] không gian định chuẩn với chuẩn x := |x(t)|dt; ∀x ∈ X 1.4 Chứng minh X = C [0, 1] không gian định chuẩn với chuẩn x := |x(0)| + max |x (t)|, Trong (X, · [0,1] 1) x := |x(0)| + |x (t)|dt; ∀x ∈ X không gian Banach (X, · 2) khơng 1.5 Chứng minh khơng gian định chuẩn X ta ln có x ≤ max{ x + y , x − y } Bất đẳng thức x ≥ min{ x + y , x − y } sao? 1.6 Chứng minh (xn ) (yn ) hai dãy Cauchy khơng gian định chuẩn X, dãy số ( xn − yn ) hội tụ R 1.7 Không gian định chuẩn (X, · ) gọi lồi chặt với x, y ∈ X, độc lập tuyến tính, ta có x + y < x + y Chứng minh lp , Lp , < p < +∞, khơng gian lồi chặt, l1 , l∞ , L1 L∞ khơng 1.8 Chứng minh đa tạp affine không gian định chuẩn X có phần khác rỗng trùng với X 1.9 Một tập C ⊂ X gọi lồi với x, y ∈ C λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C a) Chứng minh hình cầu mở, đóng tập lồi b) Chứng minh C tập lồi, C Int C tập lồi c) Tìm tập khơng lồi C ⊂ R2 cho C Int C tập lồi 1.10 Chứng minh kết mở rộng Bổ đề 1.2: 1 Cho p, q, r số dương cho = + Lúc đó, với u = (un ) ∈ lp r p q v = (vn ) ∈ lq ta có (un ) ∈ lr 1.11 Chứng minh không gian l1 , chuẩn · · ∞ không tương đương Chương Các Định lý Cơ Giải tích hàm 2.1 Tốn tử tuyến tính liên tục 2.1.1 Định lý Cho X Y không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) Ta nói đến tính liên tục (tại điểm hay điểm) ánh xạ A Định lý sau cho ta tính chất đặc trưng tốn tử tuyến tính liên tục Định lý 2.1 Với A ∈ L(X, Y ), mệnh đề sau tương đương a) A liên tục X; b) A liên tục điểm x0 ∈ X; c) A liên tục điểm ∈ X; d) Tồn số M ≥ cho Ax ≤ M x ; ∀x ∈ X (2.1) Từ kết này, người ta gọi tốn tử tuyến tính liên tục tốn tử tuyến tính bị chặn Khi đó, Ax x=0 x tập hợp bị chặn trên, chẳng hạn M , R Do đó, tồn giá trị sau A := sup x∈X\{0} Ax x mà gọi chuẩn tốn tử A Thực ra, ta có kết sau (2.2) 19 Định lý 3.7 Nếu X không gian phản xạ Y không gian đóng X Y khơng gian phản xạ Định lý 3.8 Cho X không gian Banach Lúc đó, X khơng gian phản xạ không gian liên hợp X ∗ phản xạ Từ định lý này, ta thấy không gian l1 , l∞ không phản xạ 3.4 Toán tử liên hợp Cho X Y hai không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) Với phiếm hàm g ∈ Y ∗ ta đặt A∗ g = f := g ◦ A Lúc đó, A ∈ L(X, Y ) g ∈ Y ∗ = L(Y, R) nên f ∈ X ∗ , f ≤ A g Dễ thấy A∗ tốn tử tuyến tính từ Y ∗ vào X ∗ Hơn nữa, từ bất đẳng thức A∗ g ≤ A g ; ∀g ∈ Y ∗ ta suy A∗ ∈ L(Y ∗ , X ∗ ) A∗ ≤ A Toán tử A∗ gọi liên hợp toán tử A cho (A∗ g)(x) = g(Ax) ∀x ∈ X Ta lại nói đến tốn tử liên hợp A∗ Tức toán tử A∗∗ ∈ L(X ∗∗ , Y ∗∗ ) xác định A∗∗ h = h ◦ A∗ ; ∀h ∈ X ∗∗ Hơn nữa, A∗∗ ≤ A∗ ≤ A Định lý 3.9 Thu hẹp A∗∗ lên X tốn tử A Tức A∗∗ x = Ax, với x ∈ X Hệ 3.1 A∗∗ = A∗ = A Mệnh đề 3.10 Cho X, Y , Z ba không gian định chuẩn thực A, B ∈ L(X, Y ), C ∈ L(Y, Z), λ ∈ R Lúc a) (λA)∗ = λA∗ , b) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , c) (CB)∗ = B ∗ C ∗ Định lý 3.11 Cho X Y không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) a) Nếu A phép đồng phôi A∗ vậy, b) Ngược lại, A∗ phép đồng phơi X khơng gian Banach A phép đồng phơi lúc Y phải không gian Banach 20 3.5 Tôpô yếu - Tôpô yếu* Cho X không gian định chuẩn Lúc X khơng gian tơpơ mà điểm x0 ∈ X có sở lân cận hình cầu B(x0 ; r) với r > Tôpô gọi tôpô chuẩn ký hiệu τ Bây ta xây dựng X tôpô khác mà ta gọi tôpô yếu 3.5.1 Tôpô σ(X, Γ) Cho Γ không gian không gian đối ngẫu đại số X # Với x ∈ X, số dương {f1 , · · · , fm } họ tuỳ ý phần tử thuộc Γ ta định nghĩa tập V (x; f1 , · · · , fm ; ) := {y ∈ X | |fi (x) − fi (y)| < ; ≤ i ≤ m} Ký hiệu V họ chứa tất tập X có dạng Ta kiểm tra V sở tôpô X Hơn nữa, x0 ∈ X cố định, họ Vx0 gồm tất tập có dạng V (x0 ; f1 , · · · , fm ; ) sở lân cận điểm x0 Tôpô thường gọi tôpô sinh họ Γ ký hiệu σ(X, Γ) Dễ thấy, σ(X, Γ) tôpô yếu X bảo đảm phiếm hàm f ∈ Γ liên tục Dĩ nhiên, Γ1 ≤ Γ2 ≤ X # σ(X, Γ1 ) ⊂ σ(X, Γ2 ) Ta có kết thú vị sau: Mệnh đề 3.12 Cho Γ1 Γ2 hai không gian X # Lúc đó, Γ1 = Γ2 σ(X, Γ1 ) = σ(X, Γ2 ) Mệnh đề 3.13 Tôpô σ(X, Γ) Hausdorff khi, với x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 , tồn f ∈ Γ cho f (x1 ) = f (x2 ) 3.5.2 Tôpô yếu X Bây chọn Γ = X ∗ ta có tơpơ σ(X, X ∗ ) tơpơ yếu bảo đảm tất phiếm hàm f ∈ X ∗ liên tục Rõ ràng, tôpô yếu tơpơ chuẩn Vì vậy, gọi tơpơ yếu X để phân biệt với tôpô chuẩn tôpô mạnh Mệnh đề 3.14 Tôpô σ(X, X ∗ ) Hausdorff Định lý 3.15 σ(X, X ∗ ) = τ dim X < +∞ Liên quan đến tơpơ yếu ta có khái niệm hội tụ yếu, mở yếu, đóng yếu, compact yếu Các kết cho ta tiếp cận tốt khái niệm Một dãy (xn ) X hội tụ yếu đến phần tử x¯ ∈ X ký hiệu w xn −→ x¯ x¯ = w − lim xn n→∞ để phân biệt với ký hiệu hội tụ mạnh xn −→ x¯ x¯ = lim xn n→∞ 21 Mệnh đề 3.16 Cho dãy (xn ) ⊂ X Lúc đó, w xn −→ x¯ ⇐⇒ f (xn ) −→ f (¯ x); ∀f ∈ X ∗ Mệnh đề 3.17 Cho X, Y không gian định chuẩn (xn ) ⊂ X, (An ) ⊂ L(X, Y ) a) Giới hạn yếu, có, (xn ) w b) Nếu xn −→ x¯ (xn ) dãy bị chặn x¯ ≤ lim inf xn n→∞ w w c) Nếu (An ) −→ A ∈ L(X, Y ) xn −→ x¯, An xn −→ A¯ x Từ gợi ý Mệnh đề 3.17, khái niệm dãy hội tụ yếu ta đưa vào khái niệm Cauchy yếu: Dãy (xn ) gọi Cauchy yếu với phiếm hàm f ∈ X ∗ , (f (xn )) dãy số Cauchy Không gian X gọi đầy đủ yếu dãy Cauchy yếu hội tụ yếu Định lý 3.18 Mọi không gian phản xạ đầy đủ yếu Một tập hợp M ⊂ X gọi compact yếu theo dãy với dãy (xn ) ⊂ M tồn dãy (xkn ) hội tụ yếu đến x¯ ∈ M Định lý 3.19 a) Mọi tập hợp compact yếu theo dãy bị chặn đầy đủ yếu theo dãy b) Mọi tập bị chặn, đóng yếu theo dãy không gian phản xạ X compact yếu theo dãy Hệ 3.2 Hình cầu đơn vị đóng không gian phản xạ X compact yếu theo dãy 3.5.3 Tôpô yếu* không gian X ∗ Cũng với lập luận trên, thay xét X ta xét không gian liên hợp X ∗ , ta nhận tơpơ yếu τ (X ∗ , X ∗∗ ) X ∗ Tuy vậy, xem X khơng gian X ∗∗ nên định nghĩa tơpơ τ (X ∗ , X), gọi tôpô yếu* X ∗ Đó tơpơ yếu X ∗ bảo đảm x ∈ X liên tục Rõ ràng, tơpơ yếu tơpơ yếu τ (X ∗ , X ∗∗ ) Từ Mệnh đề 3.12 ta thấy hai tôpô trùng X không gian phản xạ! Tương tự tơpơ yếu, tơpơ yếu* có tính chất sau Mệnh đề 3.20 Tôpô σ(X ∗ , X) Hausdorff 22 Một dãy (fn ) X ∗ hội tụ yếu* đến phiếm hàm g ∈ X ∗ ký hiệu w∗ fn −→ g g = w∗ − lim fn n→∞ Mệnh đề 3.21 Cho dãy (fn ) ⊂ X ∗ Lúc đó, w∗ fn −→ g ⇐⇒ fn (x) −→ g(x); ∀x ∈ X Ngồi ra, ta có kết quan trọng sau Định lý 3.22 (Banach-Alaoglu) Với không gian định chuẩn X, hình cầu đơn vị đóng B ∗ không gian liên hợp X ∗ compact yếu* Định lý 3.23 Cho X không gian Banach Lúc đó, X khơng gian phản xạ hình cầu đơn vị đóng compact yếu 3.6 Bài tập 3.1 Cho X, Y khơng gian định chuẩn Chứng minh (X × Y )∗ = X ∗ × Y ∗ Đặc biệt, (X × R)∗ = X ∗ × R 3.2 Chứng minh tập lồi đóng khơng gian định chuẩn đóng yếu 3.3 Chứng minh X khơng gian phản xạ C tập lồi đóng khác rỗng X, với x0 ∈ X tồn c0 ∈ C cho x0 − c0 = d(x0 ; C) 3.4 Cho M tập trù mật X ∗ (xn ) dãy bị chặn X cho W f (xn ) → f (x) với f ∈ M Chứng minh xn −→ x 3.5 Chứng minh dãy (ξ k ) l1 hội tụ mạnh hội tụ yếu Điều có mâu thuẫn với Định lý 3.15 hay không? 3.6 Cho A tốn tử tuyến tính hai khơng Banach X Y thoả mãn: Với dãy (xn ) ⊂ X, hội tụ với g ∈ Y ∗ ta có g(Axn ) → Chứng minh A liên tục 3.7 Cho dãy (ξ k ) ⊂ c0 , xác định ξ = (1, 0, · · · , 0, · · · ); ξ = (0, 1, 0, · · · , 0, · · · ); ξ = (0, 0, 1, 0, · · · , 0, · · · ) Chứng minh dãy (ξ k ) hội tụ yếu không hội tụ mạnh c0 Xác định giới hạn yếu dãy 3.8 Với k ∈ N∗ ta định nghĩa ánh xạ Ak : c0 → l1 xác định x2 xk Ak (x) = x1 , , · · · , , 0, · · · ; ∀x = (xn ) ∈ c0 k a) Chứng minh Ak ∈ L(c0 , l1 ), tìm Ak tốn tử liên hợp A∗k với k ∈ N∗ b) Tìm giới hạn A dãy (Ak ) L(c0 , l1 ) 23 3.9 Cho X không gian định chuẩn Với V ⊂ X ta đặt V o := {f ∈ X ∗ | f (v) ≤ 1; ∀v ∈ V } Chứng minh a) V o tập lồi đóng X ∗ b) U ⊂ V ⊂ X ⇒ U o ⊃ V o c) V lân cận gốc V o tập lồi, đóng, bị chặn X ∗ 3.10 Cho khơng gian Banach X, Y A tốn tử tuyến tính liên tục từ X lên Y Chứng minh Im A∗ = Ker A⊥ = {f ∈ X ∗ | f (x) = 0; ∀x ∈ Ker A} 3.11 Cho X, Y không gian Banach dãy (An ) ⊂ L(X, Y ) Chứng minh để dãy (An ) hội tụ điểm đến toán tử A ∈ L(X, Y ) điều kiện cần đủ tồn số L > tập M trù mật X cho i) An ≤ L với n, ii) (An x) dãy Cauchy Y , với x ∈ M Chương Không gian Hilbert 4.1 Không gian Hilbert 4.1.1 Dạng song tuyến tính đối xứng dương Cho X không gian vectơ trường R, ánh xạ ϕ : X × X → R gọi dạng song tuyến tính đối xứng dương nếu, với x, y, z ∈ X λ ∈ R, tính chất sau thoả mãn: a) ϕ(x, x) ≥ 0, b) ϕ(x, y) = ϕ(y, x), c) ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z), d) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) Lúc đó, người ta thường ký hiệu vắn tắt x, y := ϕ(x, y) Mệnh đề 4.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Với x, y ∈ X, ta có x, y ≤ x, x y, y Nếu ·, · dạng song tuyến tính đối xứng dương X phiếm hàm p x, x nửa chuẩn X, tức là, với x, y ∈ X X xác định p(x) := λ ∈ R, ta có a) p(x) ≥ 0, b) p(λx) = |λ|p(x), c) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) Lúc đó, ta nói p nửa chuẩn X sinh dạng song tuyến tính ·, · Ví dụ 4.1 Các dạng song tuyến tính đối xứng dương Rn , l2 L2 [0, 1] 25 Mệnh đề 4.2 Để nửa chuẩn p không gian vectơ X sinh dạng song tuyến tính đối xứng dương ·, · , điều kiện cần đủ p2 (x + y) + p2 (x − y) = 2(p2 (x) + p2 (y)), Và lúc x, y = 4.1.2 với x, y ∈ X p (x + y) − p2 (x − y) Khơng gian Hilbert Nếu dạng song tuyến tính đối xứng dương ·, · X thoả mãn thêm điều kiện x, x > 0, với x = 0, gọi tích vô hướng X (X, ·, · ) gọi khơng gian tiền Hilbert Lúc đó, dễ thấy x = p(x) = x, x xác định chuẩn X Vậy, không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn, khái niệm, kết thiết lập không gian định chuẩn áp dụng cho không gian tiền Hilbert Hơn nữa, chuẩn khơng gian tiền Hilbert thoả mãn tính chất sau | x, y | ≤ x y , x+y + x−y = 2( x + y ), ∀x, y ∈ X Mệnh đề 4.3 Nếu không gian tiền Hilbert X, dãy (xn ) (yn ) hội tụ x y lim xn , yn = x, y n→∞ Nói cách khác, ·, · phiếm hàm liên tục X × X Một khơng gian tiền Hilbert (với tư cách không gian định chuẩn) đầy đủ gọi không gian Hilbert Chẳng hạn, không gian Rn , l2 L2 [0, 1] không gian Hilbert 4.2 Khai triển trực giao 4.2.1 Hệ trực giao Hai vectơ x y không gian tiền Hilbert X gọi trực giao với ký hiệu x⊥y x, y = Tổng quát hơn, hệ S ⊂ X gọi hệ trực giao vectơ S trực giao với đôi Nếu nữa, vectơ x ∈ S có x = S gọi hệ trực chuẩn 26 Định lý 4.4 Giả sử S hệ trực giao gồm vectơ khác khơng Lúc S hệ độc lập tuyến tính Hơn nữa, với {x1 , x2 , · · · , xm } ⊂ S ta có x1 + x2 + · · · + xm = x1 + x2 + · · · + xm Định lý 4.5 Nếu {x1 , x2 , · · · , xn , · · · } họ độc lập tuyến tính, đếm khơng gian tiền Hilbert X, ln tìm hệ số αkj (k ∈ N; ≤ j < k) cho hệ gồm vectơ sau lập thành hệ trực giao: y = x1 , y2 = x2 + α21 x1 , ··· yn = xn + αn,n−1 xn−1 + · · · + αn,1 x1 , ··· Quá trình tìm họ {yn } gọi phương pháp trực giao hoá hệ {xn } Giả sử M tập X Ta nói vectơ x trực giao với M , ký hiệu x⊥M , x⊥y với y ∈ M Tổng quát hơn, ta nói hai tập M N trực giao với nhau, ký hiệu M ⊥N , m⊥n với m ∈ M n ∈ N Mệnh đề 4.6 Cho M ⊂ X x ∈ X Lúc x⊥M x⊥ span(M ) 4.2.2 Phần bù trực giao Cho không gian tiền Hilbert X Mệnh đề 4.7 Cho M tập khác rỗng X Lúc đó, M ⊥ := {x ∈ X | x⊥M } không gian đóng Bổ đề 4.1 Cho tập lồi C ⊆ X x0 ∈ X, c0 ∈ C Lúc x0 − c0 = d(x0 ; C) ⇔ x0 − c0 , c − c0 ≤ 0; ∀c ∈ C Đặc biệt, C Định lý 4.8 Nếu M khơng gian đóng khơng gian Hilbert X, X tổng trực tiếp M M ⊥ Tức với x ∈ X, tồn y ∈ M z ∈ M ⊥ cho x = y + z Lúc này, M ⊥ gọi phần bù trực giao M 27 Hệ 4.1 Nếu M không gian đóng khơng gian Hilbert X, M = (M ⊥ )⊥ Hệ 4.2 Nếu M tập khác rỗng không gian Hilbert X, span(M ) = (M ⊥ )⊥ Hệ 4.3 Cho M tập khác rỗng khơng gian Hilbert X Lúc đó, span(M ) = X ⇐⇒ ∀x ∈ X : x⊥M ⇔ x = 4.2.3 Cơ sở không gian Hilbert Định lý 4.9 Giả sử {en ; n ∈ N∗ } hệ trực chuẩn không gian Hilbert X (λn ) dãy số thực Lúc đó, hai chuỗi sau đồng thời hội tụ phân kỳ: ∞ ∞ λ2n λn e n ; 1 Định lý 4.10 Giả sử {en ; n ∈ N∗ } hệ trực chuẩn không gian Hilbert X Với x ∈ X, chuỗi ∞ x, en en hội tụ Hơn nữa, ∞ x, en ≤ x (Bất đẳng thức Bessen) Nếu hệ trực chuẩn {en ; n ∈ N∗ } có tính chất ∞ ∀x ∈ X, x, en = x (Đẳng thức Parseval), gọi hệ trực chuẩn đầy đủ, hay sở trực chuẩn (đếm được) khơng gian Hilbert X Lúc này, ta kiểm chứng ∞ x= x, en en Đẳng thức gọi khai triển vectơ x theo sở trực chuẩn {en ; n ∈ N∗ } 28 Định lý 4.11 Giả sử khơng gian Hilbert X có sở trực chuẩn đếm {en ; n ∈ N∗ } Với x, y ∈ X, ta có ∞ x, y = x, en y, en Định lý 4.12 Để khơng gian Hilbert X có sở trực chuẩn đếm được, điều kiện cần đủ X vô hạn chiều khả ly Hệ 4.4 Mọi không gian Hilbert vô hạn chiều, khả ly đẳng cấu với 4.3 Không gian liên hợp không gian Hilbert 4.3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục Với vectơ cố định u không gian Hilbert X, ta xét phiếm hàm fu X xác định fu (x) = x, u ; x ∈ X Rõ ràng, fu tuyến tính Hơn nữa, từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, |fu (x)| = | x, u | ≤ u x ; ∀x ∈ X, suy fu ∈ X ∗ fu ≤ u Mặt khác, fu (u) = u , ta có fu ≥ u Vậy, fu = u Tóm lại, phần tử u ∈ X xác định phiềm hàm tuyến tính liên tục fu có chuẩn u Ngược lại, ta có Định lý 4.13 Với phiếm hàm tuyến tính liên tục f không gian Hilbert X, tồn vectơ u ∈ X cho f (x) = x, u ; ∀x ∈ X Hơn nữa, u = f Từ định lý ta thấy có song ánh từ X lên X ∗ xác định u ∈ X → fu ∈ X ∗ Có thể kiểm chứng phép đẳng cấu tuyến tính từ X lên X ∗ Do đó, ta đồng hai không gian với Hệ 4.5 Mọi không gian Hilbert phản xạ 29 4.3.2 Sự hội tụ yếu không gian Hilbert Vì khơng gian Hilbert khơng gian định chuẩn nên X, ngồi tơpơ chuẩn, có tơpơ yếu tôpô yếu bảo đảm liên tục phiếm hàm f ∈ X ∗ = X Từ Mệnh đề 3.16 ta thấy, để dãy (xn ) X hội tụ yếu đến x¯ ∈ X điều kiện cần đủ xn , u → x¯, u ; ∀u ∈ X Nói chung, tơpơ yếu yếu hẳn tơpơ chuẩn Ta xét ví dụ Ví dụ 4.2 Nếu {en ; n ∈ N∗ } hệ trực chuẩn không gian Hilbert X w en −→ en −→ Từ Mệnh đề 3.17.c ta có kết sau Mệnh đề 4.14 Cho (xn ) (yn ) hai dãy khơng gian Hilbert X Lúc đó, w (xn −→ x) ∧ (yn → y) ⇒ ( xn , yn → x, y ) Chú ý hai dãy (xn ) (yn ) hội tụ yếu dãy ( xn , yn ) không hội tụ đến x, y Chẳng hạn, xem Ví dụ 4.2 Định lý 4.15 Cho dãy (xn ) khơng gian Hilbert X Lúc đó, w (xn −→ x) ∧ ( xn → x ) ⇒ (xn → x) 4.4 Toán tử liên hợp - Toán tử tự liên hợp 4.4.1 Toán tử liên hợp Cho X Y hai không gian Hilbert A ∈ L(X, Y ) Nhắc lại lúc tốn tử liên hợp A∗ A toán tử tuyến tính liên tục từ Y = Y ∗ vào X = X ∗ xác định A∗ y = y ◦ A; ∀y ∈ Y Nói cách khác, ta có x, A∗ y = Ax, y ; ∀x ∈ X, y ∈ Y Vì khơng gian Hilbert phản xạ nên dễ thấy A = A∗∗ với A ∈ L(X, Y ) Để dễ hình dung, ta xét toán tử liên hợp số toán tử đơn giản 1) Giả sử X = Rm Y = Rn Lúc đó, A ∈ L(Rm , Rn ) = L(Rm , Rn ) tương ứng với ma trận thực cấp m × n (mà ta ký hiệu A) Ta kiểm chứng toán tử A∗ ∈ L(Rn , Rm ) tương ứng với ma trận chuyển vị AT A 30 2) Giả sử X = Y = L2 [a, b] K(t, s) hàm bình phương khả tích [a, b] × [a, b]: b b a |K(t, s)|2 dtds < ∞ a Lúc đó, toán tử A từ X vào Y xác định b Ax(t) = K(t, s)x(s)ds; x ∈ L2 [a, b] a tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y A gọi toán tử tích phân có hạch K Ta kiểm chứng toán tử liên hợp A∗ xác định b ∗ A y(t) = K(s, t)y(s)ds; y ∈ L2 [a, b] a Với A ∈ L(X, Y ) ta ký hiệu N (A) = A−1 (0) = {x ∈ X | Ax = 0}, R(A) = A(X) = {Ax | x ∈ X} Định lý 4.16 Nếu A ∈ L(X, Y ), X = N (A) ⊕ R(A∗ ); 4.4.2 Y = N (A∗ ) ⊕ R(A) Toán tử tự liên hợp Một toán tử tuyến tính liên tục A từ khơng gian Hilbert X vào gọi tự liên hợp A∗ = A Lúc đó, Ax, y = x, Ay ; ∀x, y ∈ X Chẳng hạn, X = Y = Rn tốn tử A ∈ L(X) tự liên hợp ma trận A đối xứng Còn X = Y = L2 [a, b] A ∈ L(X) tốn tử tích phân có hạch K(t, s), A tự liên hợp K(t, s) = K(s, t) hầu khắp nơi [a, b] × [a, b] Định lý 4.17 Giả sử λ µ hai giá trị riêng khác toán tử tự liên hợp A Lúc đó, khơng gian riêng sau trực giao với nhau: Nλ = {x ∈ X | Ax = λx}, Nµ = {x ∈ X | Ax = µx} 31 4.5 Bài tập Trong mục này, khơng nói thêm, X hiểu không gian tiền Hilbert 4.1 Cho x, y ∈ X Chứng minh x y phụ thuộc tuyến tính x, x y, y = x, y 4.2 Cho M không gian đóng khơng gian Hilbert X x0 ∈ X Chứng minh d(x0 , M ) = max{ x, y | y ∈ M ⊥ ∩ S(0, 1)} 4.3 Cho M đa tạp affine, x ∈ X m ∈ M Chứng minh x − m = d(x; M ) x − m⊥n − m với n ∈ M 4.4 Cho (xn ), (yn ) hai dãy chứa hình cầu đơn vị đóng X thoả mãn xn , yn → Chứng minh xn → 1, yn → xn − yn → 4.5 Cho A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] xác định t Ax(t) := (1 + s2 t)x(s)ds; ∀x ∈ L2 [0, 1], t ∈ [0, 1] Chứng minh A tốn tử tuyến tính liên tục xác định toán tử A∗ 4.6 Cho x, y ∈ X M ≤ X Chứng minh khẳng định sau x⊥y ⇔ x ≤ x − λy ; ∀λ ∈ R x⊥M ⇔ x ≤ x − m ; ∀m ∈ M 4.7 Ký hiệu l2 khơng gian Hilbert dãy số thực bình phương khả tổng Xét A : l2 → l2 xác định bởi: x = (x1 , x2 , · · · , xn , · · · ) −→ Ax = x1 , x2 xn ,··· , ,··· n Chứng minh A tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp 4.8 Chứng minh với δ > tồn (δ) > cho ∀x, y ∈ B (0; 1), x−y ≥δ ⇒ x+y