Giải tích hàm Huỳnh Thế Phùng ĐHKH HUẾ

Đây là giáo trình Giải tích hàm được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế.Nội dung cuốn sách:Chương 1: Không gian Định chuẩnChương 2: Các định lý cơ bản của giải tích hàmchương 3: Không gian liên hợp Topo yếuchương 4: Không gian Hilbert

Huỳnh Thế Phùng - Khoa Toán, Đại học Khoa học Huế

10/09/2005

Mục lục

1.1 Định nghĩa 3

1.1.1 Chuẩn 3

1.1.2 Các ví dụ 3

1.2 Tôpô trong không gian định chuẩn 4

1.2.1 Hàm khoảng cách - Sự hội tụ 4

1.2.2 Các tính chất tôpô 4

1.2.3 Chuẩn tương đương 5

1.3 Không gian Banach 5

1.3.1 Dãy Cauchy - Không gian Banach 5

1.3.2 Một số không gian Banach 6

1.3.3 Sự hội tụ của chuỗi 6

1.4 Không gian con - Không gian thương 6

1.4.1 Không gian con - Không gian con đóng 6

1.4.2 Không gian thương 7

1.5 Bài tập 8

Chương 2 Các Định lý cơ bản của Giải tích hàm 9 2.1 Toán tử tuyến tính liên tục 9

2.1.1 Định lý cơ bản 9

2.1.2 Các ví dụ 10

2.2 Nguyên lý bị chặn đều 10

2.2.1 Không gian L(X, Y ) . 10

2.2.2 Nguyên lý bị chặn đều 11

2.3 Định lý Hahn-Banach 11

2.3.1 Phát biểu định lý 11

2.3.2 Các hệ quả 12

2.4 Nguyên lý ánh xạ mở 12

2.4.1 Không gian đồng phôi - Nguyên lý ánh xạ mở 12

2.4.2 Định lý đồ thị đóng 13

2.4.3 Không gian hữu hạn chiều 14

2.5 Bài tập 14

Chương 3 Không gian liên hợp - Tôpô yếu 16 3.1 Không gian liên hợp 16

3.2 Liên hợp của một số không gian cụ thể 17

3.3 Không gian X ∗∗ - Không gian phản xạ 18

3.4 Toán tử liên hợp 19

3.5 Tôpô yếu - Tôpô yếu* 20

3.5.1 Tôpô σ(X, Γ) . 20

3.5.2 Tôpô yếu trên X . 20

3.5.3 Tôpô yếu* trên không gian X ∗ 21

3.6 Bài tập 22

Chương 4 Không gian Hilbert 24 4.1 Không gian Hilbert 24

4.1.1 Dạng song tuyến tính đối xứng dương 24

4.1.2 Không gian Hilbert 25

4.2 Khai triển trực giao 25

4.2.1 Hệ trực giao 25

4.2.2 Phần bù trực giao 26

4.2.3 Cơ sở của không gian Hilbert 27

4.3 Không gian liên hợp của không gian Hilbert 28

4.3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 28

4.3.2 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert 29

4.4 Toán tử liên hợp - Toán tử tự liên hợp 29

4.4.1 Toán tử liên hợp 29

4.4.2 Toán tử tự liên hợp 30

4.5 Bài tập 31

Tài liệu tham khảo 33

Bổ đề 1.2 Nếu (α n ) ∈ l p và (β n ) ∈ l q , với (p, q) là cặp liên hợp, thì (α n β n ) ∈ l1 và

e) Không gian L p [a, b], (p ≥ 1).

1.2 Tôpô trong không gian định chuẩn.

1.2.1 Hàm khoảng cách - Sự hội tụ.

Cho (X, k · k) Trên X ta định nghĩa hàm khoảng cách

d(x, y) := kx − yk.

Lúc đó, X cũng là một không gian metric, nên cũng có các khái niệm tôpô như hình

cầu, tập đóng, tập mở, sự hội tụ, ánh xạ liên tục Ngoài ra, metric trên không gian

định chuẩn X còn có một số tính chất đặc biệt khác.

Mệnh đề 1.1 d(x + z, y + z) = d(x, y), với mọi x, y, z ∈ X.

Mệnh đề 1.2 Với mọi dãy (x n ) ⊂ X: x n → x ⇒ kx n k → kxk.

Mệnh đề 1.3 Cho các dãy (x n ), (y n ) ⊂ X, (λ n ) ⊂ R sao cho x n → x0, y n → y0,

Hệ quả 1.1 Cho A, B ⊂ X Nếu A mở thì A + B mở.

1.2.3 Chuẩn tương đương.

Cho không gian vectơ X, trên đó xác định hai chuẩn k · k1 và k · k2 Ký hiệu T1,

T2 lần lượt là các tôpô xác định bởi các chuẩn trên

Chuẩn k · k1 được gọi là mạnh hơn chuẩn k · k2 (hay k · k2 yếu hơn k · k1) nếu

T1 ⊃ T2 Ký hiệu k · k2 ≤ k · k1 hay k · k1 ≥ k · k2 Nếu T1 = T2 ta nói hai chuẩn là tương

1.3 Không gian Banach.

1.3.1 Dãy Cauchy - Không gian Banach.

Dãy (x n ) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu kx m − x k k −→

m,k→∞0 Tức là

∀² > 0, ∃n0, ∀m, k ≥ n0 : kx m − x k k < ².

Các kết quả dưới đây đã được chứng minh trong lý thuyết không gian metric

Mệnh đề 1.7 Nếu (x n ) là dãy hội tụ, thì nó là dãy Cauchy.

Mệnh đề 1.8 Nếu (x n ) là dãy Cauchy, thì nó bị chặn Tức là tồn tại số dương M

sao cho

kx n k ≤ M; ∀n.

Ngoài ra, trong không gian định chuẩn ta còn có tính chất sau

Mệnh đề 1.9 Nếu (x n ), (y n ) là các dãy Cauchy trong X và (λ n ) là dãy số Cauchy,

thì (x n + y n ) và (λ n x n ) cũng là các dãy Cauchy.

Một không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu nó đầy đủ Tức

là, trong đó, mọi dãy Cauchy đều hội tụ

1.3.2 Một số không gian Banach.

Rn, Cn , C(K), c0, l ∞ , l p , L p [a, b], (p ≥ 1).

1.3.3 Sự hội tụ của chuỗi.

Cho dãy (x n ) ⊂ X Ta xét dãy mới (s n) được định nghĩa bởi

hội tụ và có tổng bằng s Ngược lại ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ.

Mệnh đề 1.10 Nếu hai chuỗi Px n và Py n hội tụ và λ ∈ R thì các chuỗi P(λx n ),

Ta nói chuỗi Px n là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi Pkx n k hội tụ.

Định lý 1.12 Cho X là không gian định chuẩn, hai mệnh đề sau tương đương

a) X là không gian Banach.

b) Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong X đều hội tụ.

1.4 Không gian con - Không gian thương.

1.4.1 Không gian con - Không gian con đóng.

Cho không gian định chuẩn X và Y ≤ X Lúc đó, Y cũng là một không gian định chuẩn và được gọi là không gian con của X Nếu Y là tập đóng trong X thì ta nói Y

là không gian con đóng

Mệnh đề 1.14 Nếu M là tập đếm được thì span(M) khả ly.

Mệnh đề 1.15 Nếu X là không gian Banach và Y là không gian con đóng của X thì

Y là không gian Banach.

Định lý 1.16 Cho Y là không gian con đóng của X, u ∈ X \ Y và ² > 0 Lúc đó,

tồn tại x0 ∈ span(Y ∪ {u}) thoả mãn kx0k = 1 và

kx0− yk > 1 − ², ∀y ∈ Y.

Hệ quả 1.3 Cho Y là không gian con đóng của X và Y 6= X Lúc đó, với mọi ² > 0

tồn tại x0 ∈ X thoả mãn:

kx0k = 1; d(x0, Y ) > 1 − ².

1.4.2 Không gian thương.

Cho không gian định chuẩn X và Y là một không gian đóng của X Lúc đó ta có không gian vectơ thương X/Y Ta có thể định nghĩa trên không gian này một chuẩn

mà tương thích với chuẩn trên X theo nghĩa là nó sinh ra tôpô mạnh nhất trên X/Y bảo đảm cho phép chiếu chính tắc từ X lên X/Y là liên tục.

Thật vậy, với mỗi ξ ∈ X/Y , ξ là một đa tạp affine song song với Y , do đó ξ là

a) Phép chiếu chính tắc π từ X lên (X/Y, k · k) là liên tục.

b) Nếu k · k1 là một chuẩn trên X/Y sao cho π : X → (X/Y, k · k1) cũng liên tục,

thì k · k1 ≤ k · k.

Định lý 1.18 Nếu X là một không gian Banach và Y là không gian con đóng của X

thì X/Y là không gian Banach.

Trong đó (X, k · k1) là không gian Banach nhưng (X, k · k2) thì không.

1.5 Chứng minh trong không gian định chuẩn X ta luôn có kxk ≤ max{kx + yk, kx −

yk} Bất đẳng thức kxk ≥ min{kx + yk, kx − yk} thì sao?

1.6 Chứng minh nếu (x n ) và (y n ) là hai dãy Cauchy trong không gian định chuẩn X, thì dãy số (kx n − y n k) hội tụ trong R.

1.7 Không gian định chuẩn (X, k · k) được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ X, độc lập tuyến tính, ta có kx + yk < kxk + kyk Chứng minh l p , L p , 1 < p < +∞, là các không gian lồi chặt, còn l1, l ∞ , L1 và L ∞ thì không

1.8 Chứng minh mọi đa tạp affine trong không gian định chuẩn X có phần trong khác rỗng đều trùng với X.

1.9 Một tập C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ (0, 1) ta có

λx + (1 − λ)y ∈ C.

a) Chứng minh các hình cầu mở, đóng đều là các tập lồi

b) Chứng minh nếu C là tập lồi, thì C và Int C cũng là các tập lồi.

c) Tìm một tập không lồi C ⊂ R2 sao cho C và Int C là các tập lồi.

1.10 Chứng minh kết quả mở rộng của Bổ đề 1.2:

Cho p, q, r là các số dương sao cho 1

Chương 2

Các Định lý Cơ bản của Giải tích hàm

2.1 Toán tử tuyến tính liên tục.

2.1.1 Định lý cơ bản.

Cho X và Y là các không gian định chuẩn và A ∈ L(X, Y ) Ta có thể nói đến tính liên tục (tại một điểm hay tại mọi điểm) của ánh xạ A Định lý sau cho ta một tính

chất đặc trưng của toán tử tuyến tính liên tục

Định lý 2.1 Với A ∈ L(X, Y ), các mệnh đề sau là tương đương

a) A liên tục trên X;

b) A liên tục tại một điểm x0 ∈ X;

c) A liên tục tại điểm 0 ∈ X;

d) Tồn tại một số M ≥ 0 sao cho

Mệnh đề 2.2 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Lúc đó,

a) kAk là giá trị M bé nhất thoả mãn Định lý 2.1.d Đặc biệt,

kAxk ≤ kAkkxk; ∀x ∈ X. (2.3)

b) kAk = sup{kAxk; kxk = 1} = sup{kAxk; kxk ≤ 1}.

Mệnh đề 2.3 Cho X, Y và Z là ba không gian định chuẩn và A ∈ L(X, Y ), B ∈

L(Y, Z) là các toán tử tuyến tính bị chặn Lúc đó, BA là toán tử tuyến tính bị chặn từ

X vào Z, và

kBAk ≤ kBkkAk.

2.1.2 Các ví dụ.

a) Toán tử Ax := x 0 là tuyến tính nhưng không bị chặn từ C1[0, 1] vào C[0, 1].

b) Cho Z X và đặt Y := X/Z (6= {0}) Phép chiếu chính tắc π từ X lên Y là

một toán tử tuyến tính bị chặn với kπk = 1.

2.2 Nguyên lý bị chặn đều.

2.2.1 Không gian L(X, Y ).

Cho X và Y là các không gian định chuẩn Ta ký hiệu L(X, Y ) là tập hợp các

toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Tức là

L(X, Y ) := {A ∈ L(X, Y ) | A liên tục }.

Lúc đó, dễ dàng kiểm tra được rằng L(X, Y ) là một không gian vectơ con cuả L(X, Y ).

Ngoài ra, ánh xạ k · k thực sự là một chuẩn trên L(X, Y ) Vậy L(X, Y ) là một không

gian định chuẩn Hơn nữa, ta có kết quả sau

Định lý 2.4 Nếu Y là không gian Banach thì L(X, Y ) cũng là không gian Banach.

Vì là không gian định chuẩn nên khi nói đến sự hội tụ trong L(X, Y ) người ta

hiểu đó là sự hội tụ theo chuẩn; Tức là,

A n −−−→ A ⇐⇒ kA L(X,Y ) n − Ak → 0.

Ngoài ra, trong không gian này còn có khái niệm hội tụ đơn giản, hay hội tụ tại từng

điểm Cụ thể, dãy toán tử (A n ) ⊂ L(X, Y ) được gọi là hội tụ đơn giản đến toán tử

A ∈ L(X, Y ) nếu

Ax = lim

n→∞ A n x; ∀x ∈ X.

Rõ ràng, một dãy hội tụ theo chuẩn thì hội tụ đơn giản Tuy vậy, điều ngược lại nói

chung không đúng Chẳng hạn, dãy toán tử (A n ) ⊂ L(l1, l1), với A n (x) := (x1, x2, · · · , x n , 0, 0, · · · )

là hội tụ đơn giản, nhưng không hội tụ theo chuẩn, đến toán tử đồng nhất I.

2.2.2 Nguyên lý bị chặn đều.

Định lý 2.5 (Nguyên lý bị chặn đều) Cho không gian Banach X, không gian định

chuẩn Y và họ các toán tử {A i | i ∈ I} ⊂ L(X, Y ) bị chặn tại từng điểm:

Hệ quả 2.1 Cho không gian Banach X, không gian định chuẩn Y và dãy các toán tử

{A n | n ∈ N} ⊂ L(X, Y ), sao cho với mọi x ∈ X, tồn tại giới hạn

Hệ quả 2.2 X ∗ là không gian Banach.

Mệnh đề 2.6 Một phiếm hàm tuyến tính f trên X là liên tục khi và chỉ khi f bị chặn

trên (hoặc bị chặn dưới) trên một lân cận của một điểm x0 ∈ X.

Một phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là dưới tuyến tính nếu

(i) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y), với mọi x, y ∈ X;

(ii) ϕ(λx) = λϕ(x), với mọi λ ≥ 0 và x ∈ X.

Định lý 2.7 (Hahn-Banach) Giả sử M là một không gian con của không gian định

chuẩn X, f ∈ M# và ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X thoả mãn

f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M.

Lúc đó, tồn tại F ∈ X# sao cho

a) F (m) = f (m) với mọi m ∈ M;

b) F (x) ≤ ϕ(x); với mọi x ∈ X.

Định lý 2.9 Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn X Lúc đó, với

mọi f ∈ M ∗ , tồn tại F ∈ X ∗ sao cho

F | M = f và kF k = kf k.

2.4 Nguyên lý ánh xạ mở.

2.4.1 Không gian đồng phôi - Nguyên lý ánh xạ mở.

Ta đã biết, nếu X và Y là hai không gian vectơ và A ∈ L(X, Y ) là một đẳng cấu tuyến tính thì tồn tại ánh xạ ngược A −1 , cũng là một đẳng cấu tuyến tính từ Y lên

X Trong trường hợp X, Y là các không gian định chuẩn và A ∈ L(X, Y ) là đẳng cấu

tuyến tính liên tục, thì mặc dù A −1 tồn tại nhưng có thể không liên tục

Chẳng hạn, cho X = C[0, 1], Y = C1

0[0, 1] := {x ∈ C1[0, 1] | x(0) = 0} và

A ∈ L(X, Y ) xác định bởi: Ax(t) := R0t x(s)ds, với mọi t ∈ [0, 1] Lúc đó, A là một

đẳng cấu tuyến tính liên tục từ X lên Y nhưng A −1 không liên tục

Định lý 2.10 Cho A là một đẳng cấu tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn

X lên không gian định chuẩn Y Để A −1 liên tục, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hằng số dương m sao cho

kxk1 := kAxk; ∀x ∈ X.

Rõ ràng, chuẩn này tương đương với chuẩn cũ trên X Mặt khác, ta có thể đồng nhất mỗi phần tử x ∈ X với phần tử Ax ∈ Y

Câu hỏi đặt ra là khi nào thì một phép đẳng cấu tuyến tính liên tục là một phép

đồng phôi Từ Định lý 2.1 ta thấy điều đó xảy ra khi và chỉ khi A −1 liên tục tại 0 ∈ Y , hay một cách tương đương, ảnh của một lân cận gốc trong X qua ánh xạ A cũng là một lân cận gốc trong Y Một cách tổng quát, ta gọi một ánh xạ là mở nếu nó biến mọi tập mở trong X thành một tập mở trong Y

Định lý 2.11 (Nguyên lý ánh xạ mở) Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục từ

không gian Banach X lên không gian Banach Y thì A là ánh xạ mở.

Hệ quả 2.4 Mọi phép đẳng cấu tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach đều

và được trang bị một trong các chuẩn (tương đương) sau:

k(x, y)k = kxk + kyk; k(x, y)k ∞ = max{kxk, kyk}; k(x, y)k2 =pkxk2 + kyk2.

Mệnh đề 2.12 Nếu X, Y là các không gian Banach thì X × Y cũng là không gian

Banach.

Bây giờ cho A ∈ L(X, Y ), ta có thể kiểm chứng được rằng đồ thị của A:

Gr A := {(x, Ax) | x ∈ X}

là một không gian con của không gian tích X × Y A được gọi là một ánh xạ đóng nếu

Gr A là một không gian con đóng.

Mệnh đề 2.13 Nếu A ∈ L(X, Y ) thì A là ánh xạ đóng.

Định lý 2.14 (Định lý đồ thị đóng) Nếu X và Y là các không gian Banach và

A ∈ L(X, Y ) là một ánh xạ đóng thì A liên tục.

2.4.3 Không gian hữu hạn chiều.

Trong các không gian định chuẩn, các không gian hữu hạn chiều có nhiều tínhchất rất đẹp mà không gian vô hạn chiều không có được Mục này dành để trình bàycác tính chất đó

Định lý 2.15 Tất cả các không gian định chuẩn n chiều đều đồng phôi tuyến tính với

nhau Nói riêng, mọi chuẩn trong không gian R n đều tương đương.

Hệ quả 2.5 Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian Banach.

Hệ quả 2.6 Trong một không gian định chuẩn bất kỳ, mọi không gian con hữu hạn

chiều đều đóng.

Một không gian định chuẩn khác {0} là không bị chặn nên không compact Tuy

nhiên, nó có thể là không gian compact địa phương Thật ra, có thể kiểm chứng được

rằng, một không gian định chuẩn X là compact địa phương khi và chỉ khi hình cầu đơn vị đóng trong X là compact Ta có định lý sau:

Định lý 2.16 Để không gian định chuẩn X là compact địa phương, điều kiện cần và

đủ là X có số chiều hữu hạn.

Trong Mục 2.2.1 ta đã thấy L(X, Y ) là một không gian con của không gian

L(X, Y ) Đặc biệt, khi X là không gian hữu hạn chiều thì các không gian này là đồng

nhất Điều đó được khẳng định ở kết quả dưới đây

Định lý 2.17 Với X là không gian định chuẩn, hai điều sau tương đương:

a) dim X < ∞,

b) L(X, Y ) = L(X, Y ) với mọi không gian định chuẩn Y

Hệ quả 2.7 Không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều khi và chỉ khi X ∗ = X#.

2.5 Bài tập.

Trong phần này, nếu không chỉ định cụ thể, X luôn được hiểu là một không gian

định chuẩn

2.1 Cho Y là không gian con hữu hạn chiều của X Chứng minh rằng, với mọi x0 ∈ X

tồn tại y0 ∈ Y sao cho kx0− y0k = min{kx0− yk; y ∈ Y }.

2.2 Chứng minh rằng nếu X là không gian vô hạn chiều, thì mọi tập con của X có

phần trong khác rỗng đều không compact

2.3 Chứng minh diamA(B 0 (0; 1)) = 2kAk với mọi toán tử tuyến tính liên tục A.

2.4 Cho f ∈ X ∗ \ {0} Chứng minh rằng kf k = d(0; f −1(1))−1

2.5 Cho f ∈ X ∗ Chứng minh rằng với mọi a ∈ X ta có |f (a)| = d(a; Ker f )kak 2.6 Cho X = C[0, 1] với chuẩn kxkmax := max{|x(t)|; t ∈ [0, 1]} Chứng minh các ánh xạ A : X → X được định nghĩa dưới đây đều là các ánh xạ tuyến tính liên tục,

xác định chuẩn của chúng

a) A(x)(t) = x(0) + tx(t); với mọi t ∈ [0, 1] và x ∈ X.

b) A(x)(t) = tx(1) + (1 − t)x(t); với mọi t ∈ [0, 1] và x ∈ X.

c) A(x)(t) = tx(1 − t) − (1 − t)x(t); với mọi t ∈ [0, 1] và x ∈ X.

d) A(x)(t) = x(1) + (1 + t)x(t2); với mọi t ∈ [0, 1] và x ∈ X.

2.7 Một toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y được gọi là toán tử hữu hạn chiều nếu dim(Im A) < ∞ Chứng minh rằng A hữu hạn chiều khi và chỉ khi tồn tại các phiếm hàm tuyến tính liên tục f1, f2, · · · , f n ∈ X ∗ và các phần tử y1, y2, · · · , y n ∈ Y sao cho

Ax = f1(x)y1+ f2(x)y2+ · · · + f n (x)y n , với mọi x ∈ X.

2.8 Cho X = C1[0, 1] với chuẩn kxk = |x(0)| + max{|x 0 (t)|; t ∈ [0, 1]} Xét ánh xạ

A : X → X xác định bởi Ax(t) =R0t x(s)ds Chứng minh A ∈ L(X, Y ) và tính kAk.

2.9 Chứng minh nếu A là phép đồng phôi tuyến tính thì kA −1 k = m −1 với m = inf{kAxk : kxk = 1}.

2.10 Tìm một ví dụ trong đó A là một toàn ánh tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn nhưng không mở (Hd: Xem Bài tập 1.4, xét ánh xạ đồng nhất I : (C1[0, 1], k · k1) → (C1[0, 1], k · k2))

2.11 Tìm ví dụ trong đó A là một ánh xạ tuyến tính đóng giữa hai không gian định

chuẩn nhưng không liên tục

2.12 Cho k · k1 và k · k2 là hai chuẩn trên không gian X sao cho (X, k · k1) và (X, k · k2)đều là các không gian Banach Chứng minh rằng

k · k1 ' k · k2 ⇐⇒¡∀(x n ) ⊂ X, kx n k1 → 0 ⇒ kx n k2 → 0¢.

2.13 Cho X, Y là các không gian Banach và A ∈ L(X, Y ) Chứng minh rằng nếu

chuỗiPx n hội tụ (hội tụ tuyệt đối) trong X thìPAx n hội tụ (hội tụ tuyệt đối) trong

Y

2.14 Cho A n : l2 → l2 xác định bởi A n x = (x1, x2, · · · , x n , 0, 0, · · · ) với mọi x = (x n)

Chứng minh dãy A n hội tụ điểm, nhưng không hội tụ theo chuẩn, đến ánh xạ đồng

nhất I trong l2

2.15 Cho C là tập lồi nhận 0 làm điểm trong còn x0 6∈ C Chứng minh rằng

a) p C (x) = inf{λ > 0 | x ∈ λC} là một phiếm hàm dưới tuyến tính xác định trên

X (hàm này được gọi là phiếm hàm Minkowski của tập C).

b) Tồn tại f ∈ X ∗ sao cho f (x0) = 1 ≥ f (c) với mọi c ∈ C Hơn nữa, f (x) ≤ p C (x) với mọi x ∈ X.

Không gian liên hợp - Tôpô yếu

3.1 Không gian liên hợp.

Trong chương này chúng ta đi sâu nghiên cứu về không gian liên hợp của các

không gian định chuẩn Nhắc lại rằng nếu X là một không gian định chuẩn thì không gian liên hợp X ∗ , bao gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, cũng là

một không gian định chuẩn với chuẩn được định nghĩa bởi

Hơn nữa, theo Hệ quả 2.2, X ∗ là một không gian Banach

Từ định nghĩa chuẩn của phiếm hàm, ta có

|f (x)| ≤ kf kkxk; ∀f ∈ X ∗ ; x ∈ X.

Đặc biệt, nếu kf k = 1 thì |f (x)| ≤ kxk Kết hợp nhận xét này với Hệ quả 2.3 ta nhận

được kết quả sau

Mệnh đề 3.1 Với mọi phần tử x ∈ X, ta có

kxk = sup

kf k=1

|f (x)|.

Định lý 3.2 Nếu X ∗ là không gian khả ly thì X cũng vậy.

Bây giờ nếu x ∈ X và f ∈ X ∗ sao cho f (x) = 0, thì ta sẽ gọi f và x là trực giao với nhau Tổng quát hơn, giả sử (x n ) là một dãy trong X và (f n ) là một dãy trong X ∗,

ta nói các dãy (x n ) và (f n) là song trực giao nếu

f i (x j ) = δ ij =

(

1, i = j,

0, i 6= j; ∀ i, j.

... rằng

a) p C (x) = inf{λ > | x ∈ λC} phiếm hàm tuyến tính xác định trên

X (hàm gọi phiếm hàm Minkowski tập C).

b) Tồn f ∈ X ∗...

Mệnh đề 2.6 Một phiếm hàm tuyến tính f X liên tục f bị chặn

trên (hoặc bị chặn dưới) lân cận điểm x0 ∈ X.

Một phiếm hàm ϕ : X → R gọi tuyến tính... chứng đồ thị A:

Gr A := {(x, Ax) | x ∈ X}

là không gian không gian tích X × Y A gọi ánh xạ đóng nếu

Gr A khơng gian đóng.

Mệnh đề 2.13