Đây là giáo trình Giải tích V được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế.Nội dung cuốn sách:Chương 1: Định nghĩa Không gian Metric Chương 2:đầy đủ, compact, liên thông
Trang 2đại học huế
trường đại học khoa học
huỳnh thế phùng
Giáo trình
GiảI tích V
Huế – 2008
Trang 3Mục lục
Chương 1 Định nghĩa Không gian Metric 3
1.1 Định nghĩa 3
1.1.1 Hàm khoảng cách - Ví dụ 3
1.1.2 Các tính chất đơn giản 3
1.1.3 Không gian con, không gian tích 4
1.1.4 Dãy - Sự hội tụ 5
1.2 Tôpô trên không gian metric 5
1.2.1 Hình cầu, điểm trong, điểm ngoài, điểm biên 5
1.2.2 Tập mở, lân cận 7
1.2.3 Tập đóng 7
1.3 Tập đóng, mở trong không gian con, trù mật 9
1.3.1 Tập đóng, mở trong không gian con 9
1.3.2 Tập trù mật, không gian khả ly 10
1.4 Ánh xạ liên tục 11
1.4.1 Định nghĩa 11
1.4.2 Ánh xạ đồng phôi và metric tương đương 12
Chương 2 Đầy đủ, Compact, Liên thông 14 2.1 Không gian đầy đủ 14
2.1.1 Dãy Cauchy, không gian đầy đủ 14
2.1.2 Nguyên lý phạm trù Baire 16
2.1.3 Nguyên lý ánh xạ co 16
2.2 Tập hợp compact, không gian compact 16
2.2.1 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn 16
2.2.2 Tập compact, không gian compact 17
2.2.3 Ánh xạ liên tục trên tập compact 18
Trang 42.2.4 Định lý Ascoli 19
2.3 Không gian liên thông 20
2.3.1 Tập liên thông, không gian liên thông 20
2.3.2 Thành phần liên thông 20
2.3.3 Ánh xạ liên tục trên không gian liên thông 21
Tài liệu tham khảo 22
Trang 5Định nghĩa Không gian Metric
Lúc đó, (X, d) được gọi là một không gian metric.
Các ví dụ về không gian metric:
a) Không gian R, Rn với các khoảng cách thông thường
b) Metric rời rạc
c) Không gian C[a, b].
1.1.2 Các tính chất đơn giản.
Trong mục này ta luôn xem X là không gian metric.
Mệnh đề 1.1 Nếu x1, x2, · · · , x n là các điểm thuộc X (n ≥ 3) thì
d(x1, x n ) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3) + · + d(x n−1 , x n ).
Trang 6|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y).
Bài tập 1.1 Kiểm chứng các hàm khoảng cách sau trên các không gian tương ứng:
1 + d(x, y); d2(x, y) = min{r, d(x, y)}, với r > 0 cho trước.
1.1.3 Không gian con, không gian tích.
Cho (X, d) và ∅ 6= Y ⊂ X Nếu chỉ xét d trên Y thì (Y, d) cũng là một không gian metric, gọi là không gian con của (X, d).
Bây giờ cho (X1, d1) và (X2, d2) là hai không gian metric Trên tập X = X1×X2
ta định nghĩa hàm d : X × X → R xác định bởi
d(x, y) := d1(x1, y1) + d2(x2, y2); ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X.
Dễ kiểm chứng được (X, d) là một không gian metric, gọi là không gian tích của các không gian (X1, d1) và (X2, d2) Tương tự, ta có thể định nghĩa tích của n không gian metric (X i , d i ); 1 ≤ i ≤ n.
Bài tập 1.3 Cho dãy các không gian metric (X n , d n ), n ∈ N Xét tích Descartes:
Trang 71.1.4 Dãy - Sự hội tụ.
Một dãy trong không gian metric X là một ánh xạ f : N → X Lúc đó, nếu ký hiệu x n = f (n) với mỗi n ∈ N thì dãy f còn được gọi là dãy {x1, x2, · · · , x n , · · · }
hay, đơn giản hơn, (x n)n
Cho dãy f = (x n)n Giả sử ϕ : N −→ N là ánh xạ sao cho ϕ(k) < ϕ(k + 1) với mọi k Lúc đó f ◦ ϕ được gọi là một dãy con của f Trong thực tế, người ta thường đặt n k := ϕ(k), như vậy (f ◦ ϕ)(k) = f (ϕ(k)) = f (n k ) = x n k Do đó, dãy con f ◦ ϕ của dãy (x n)n chính là dãy
Mệnh đề 1.4 Cho (x n ) và (y n ) là hai dãy trong X Lúc đó
(a) Nếu (x n ) hội tụ về x thì x là điểm giới hạn duy nhất.
(b) Nếu (x n ) hội tụ về x thì mọi dãy con của (x n ) cũng hội tụ về điểm đó (c) Nếu (x n ) và (y n ) lần lượt hội tụ về x và y thì
lim
n→∞ d(x n , y n ) = d(x, y).
Bài tập 1.4 Cho dãy (x n ) ⊂ X Chứng minh rằng nếu các dãy con (x 2n ), (x 2n+1),
(x 3n ) hội tụ thì dãy (x n) cũng hội tụ
Bài tập 1.5 Cho X và Y là các không gian metric Chứng minh một dãy (x n , y n)
trong không gian tích X × Y là hội tụ khi và chỉ khi các dãy thành phần (x n) và
(y n ) cũng hội tụ (trong X và Y , tương ứng).
1.2.1 Hình cầu, điểm trong, điểm ngoài, điểm biên.
Giả sử x0 ∈ X và r là một số thực dương, ta gọi hình cầu mở, hình cầu đóng,
mặt cầu tâm x0 bán kính r lần lượt là các tập sau đây:
B(x0; r) ={x ∈ X | d(x0, x) < r},
B 0 (x0; r)={x ∈ X | d(x0, x) ≤ r}, S(x0; r) ={x ∈ X | d(x0, x) = r}.
Trang 8Bây giờ cho A ⊂ X và x0 ∈ X Ta nói x0 là một điểm trong (ngoài) của A nếu tồn tại số dương ² sao cho B(x0; ²) ⊂ A (B(x0; ²) ∩ A = ∅) x0 được gọi là điểm biên
của A nếu x0 vừa không phải điểm trong, vừa không phải điểm ngoài của A; Tức
là, với mọi ² > 0 ta có B(x0; ²) ∩ A 6= ∅ và B(x0; ²) \ A 6= ∅.
Tập các điểm trong, điểm ngoài, điểm biên của A lần lượt được gọi là phần trong, phần ngoài, biên của A và được ký hiệu là int(A), ext(A) và ∂A Rõ ràng, ba tập này lập thành một phân hoạch của X (nghĩa là chúng rời nhau nhưng có hợp bằng X) Hơn nữa, từ định nghĩa ta cũng có:
int(A) ⊂ A ⊂ int(A) ∪ ∂A; ext(A) ⊂ X \ A.
(e) int(A ∩ B) = int A ∩ int B.
(f) int(A ∪ B) ⊃ int A ∪ int B.
Trang 91.2.2 Tập mở, lân cận.
Tập A được gọi là mở nếu A = int(A), hoặc một cách tương đương: ∀x ∈ A,
∃² > 0: B(x; ²) ⊂ A Ta ký hiệu τ là họ tất cả các tập con mở của X và gọi là tôpô
trên X.
Mệnh đề 1.6 Hình cầu mở B(a; r) là tập mở, với mọi a ∈ X và r > 0.
Mệnh đề 1.7 Với mọi tập con A ⊂ X, int A là tập mở và là tập con mở lớn nhất
của A.
Định lý 1.8
(a) ∅, X là các tập mở.
(b) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là mở.
(c) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở.
Cho x ∈ X, tập con V ⊂ X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại ² > 0 sao cho B(x; ²) ⊂ V , tức là x ∈ int V
Một họ V các lân cận của x được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi lân cận
U của x đều tồn tại V ∈ V sao cho V ⊂ U.
Định lý 1.9 Mỗi tập mở trong trong đường thẳng thực đều là hợp của một họ
không quá đếm được các khoảng mở rời nhau.
Trang 10Bài tập 1.12 Chứng minh rằng trong một không gian metric:
(a) Mọi tập đóng đều là giao của một số đếm được các tập mở
(b) Mọi tập mở đều là hợp của một số đếm được các tập đóng
Bài tập 1.13 Cho A và B là hai tập con của X, ta gọi khoảng cách giữa A và B
là giá trị d(A, B) := inf{d(a, b) | a ∈ B, b ∈ B}.
(a) Chứng minh nếu A ∩ B 6= ∅ thì d(A, B) = 0.
(b) Tìm hai tập A, B đóng trong R và d(A, B) = 0 nhưng A ∩ B = ∅.
Cho A ⊂ X và x ∈ X Ta nói x là điểm dính của A nếu tồn tại dãy (x n ) ⊂ A hội tụ đến x Tập các điểm dính của A được ký hiệu là A.
x được gọi là điểm tụ của A nếu tồn tại dãy (x n ) ⊂ A hội tụ đến x sao cho
x n 6= x với mọi n Tập các điểm tụ của A được ký hiệu là A 0
Trang 11Bài tập 1.14 Cho A ⊂ X Chứng minh
(a) int A = X \ (X \ A).
Bài tập 1.16 Cho F1 và F2 là hai tập đóng rời nhau Chứng minh tồn tại các tập
mở rời nhau G1 và G2 sao cho G i ⊃ F i , 1 ≤ i ≤ 2.
1.3.1 Tập đóng, mở trong không gian con.
Cho (X, d) và Y ⊂ X Lúc đó ta có không gian con (Y, d) Bây giờ lấy a ∈ Y ,
để dễ phân biệt ta sẽ ký hiệu B X (a; r) và B Y (a; r) lần lượt là hình cầu mở tâm a bán kính r trong X và trong Y Rõ ràng
B Y (a; r) = B X (a; r) ∩ Y.
Mệnh đề 1.18 Để một tập A ⊂ Y là mở trong Y , điều kiện cần và đủ là, tồn tại
tập mở G trong X sao cho A = Y ∩ G.
Hệ quả 1.2 Để một tập B ⊂ Y là đóng trong Y , điều kiện cần và đủ là, tồn tại
tập đóng F trong X sao cho B = Y ∩ F
Hệ quả 1.3 Cho A ⊂ Y ⊂ X Lúc đó
Trang 12(a) Nếu A mở trong X thì A cũng mở trong Y
(b) Nếu A đóng trong X thì A cũng đóng trong Y
Hệ quả 1.4 Cho A ⊂ Y ⊂ X Lúc đó
(a) Nếu A mở trong Y và Y mở trong X, thì A mở trong X.
(b) Nếu A đóng trong Y và Y đóng trong X, thì A đóng trong X.
Hệ quả 1.5 Cho A ⊂ Y ⊂ X Gọi e A là bao đóng của A trong Y Ta có e A = A ∩ Y
Bài tập 1.17 Cho A, B ⊂ X và C ⊂ A ∩ B Chứng minh rằng
(a) Nếu C mở trong A và trong B thì C mở trong A ∪ B.
(b) Nếu C đóng trong A và trong B thì C đóng trong A ∪ B.
1.3.2 Tập trù mật, không gian khả ly.
Cho A ⊂ Y ⊂ X Ta nói A trù mật trong Y nếu A ⊃ Y Vậy
chọn là đếm được
Bài tập 1.19 Chứng minh rằng tập {(sin n, cos n) | n ∈ N} (trong R2 với khoảng
cách Euclide) trù mật trong S(0; 1).
Bài tập 1.20 Cho A là một tập con khác rỗng của một không gian metric X.
Chứng minh các khẳng định sau tương đương
(a) A trù mật khắp nơi trong X,
(b) ∀x ∈ X: d(x, A) = 0,
(c) ext A = ∅.
Trang 13x ∈ X và g : Y → Z liên tục tại f (x), thì g ◦ f liên tục tại x.
Định lý 1.23 Cho f : X → Y Các mệnh đề sau tương đương
(a) f liên tục,
(b) Với mọi tập mở G ⊂ Y , f −1 (G) mở trong X,
(c) Với mọi tập đóng F ⊂ Y , f −1 (F ) đóng trong X,
(d) Với mọi A ⊂ X, f (A) ⊂ f (A).
Mệnh đề 1.24 Nếu f, g : X → Y là các ánh xạ liên tục thì {x ∈ X | f (x) = g(x)}
là tập hợp đóng trong X.
Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập M ⊂ X nếu
∀ ² > 0, ∃ δ > 0 : ∀ x, x 0 ∈ M, d(x, x 0 ) < δ ⇒ d(f (x), f (x 0 )) < ².
Rõ ràng, một ánh xạ liên tục đều trên M thì liên tục trên M Tuy nhiên điều ngược
lại nói chung là không đúng
Ánh xạ f được gọi là Lipschitz với hằng số L nếu
d(f (x), f (x 0 )) ≤ Ld(x, x 0); ∀x, x 0 ∈ X,
và được gọi là đẳng cự nếu d(f (x), f (x 0 )) = d(x, x 0 ) với mọi x, x 0 ∈ X Nếu hơn nữa,
f (X) = Y ta nói X và Y là hai không gian đẳng cự.
Bài tập 1.21 Chứng minh một ánh xạ Lipschitz thì liên tục đều Hãy tìm một
ánh xạ f : R → R liên tục đều nhưng không Lipschitz.
Trang 14Bài tập 1.22 Cho A ⊂ X Chứng minh f (x) := d(x, A) là một ánh xạ Lipschitz.
Sử dụng kết quả này để làm lại các bài tập 1.9, 1.11, 1.12
Bài tập 1.23 Cho (X, d) là không gian metric tích của các không gian (X i , d i ),
1 ≤ i ≤ n Với mỗi i ta xét ánh xạ chiếu pr i : X → X i xác định bởi pri (x) := x i với
mọi x = (x i ) ∈ X Chứng minh các pr i đều liên tục
Bài tập 1.24 Chứng minh các ánh xạ f : C[a, b] → R dưới đây đều liên tục (a) f (x) = x(a); ∀x ∈ C[a, b].
(b) f (x) = max{|x(t)| | t ∈ [a, b]}; ∀x ∈ C[a, b].
(c) f (x) =Ra b x(t)dt; ∀x ∈ C[a, b].
Bài tập 1.25 Cho A và B là hai tập đóng rời nhau trong không gian metric X Chứng minh tồn tại ánh xạ liên tục f : X → R sao cho f (x) = 1 với mọi x ∈ A và
f (x) = 0 với mọi x ∈ B Sử dụng kết quả này để làm lại Bài tập 1.16
1.4.2 Ánh xạ đồng phôi và metric tương đương.
Cho X, Y là hai không gian metric và f : X → Y là song ánh liên tục Lúc
đó tồn tại ánh xạ ngược f −1 : Y → X Tuy nhiên ánh xạ này có thể liên tục hoặc không Nếu f −1 cũng liên tục ta nói f là một phép đồng phôi từ X lên Y còn X và
Y được gọi là hai không gian đồng phôi.
Từ Định lý 1.23 ta thấy, nếu f là phép đồng phôi từ X lên Y thì với mọi tập
A ⊂ X, A mở (đóng) trong X khi và chỉ khi f (A) mở (đóng) trong Y
Nếu trên cùng một tập hợp X được trang bị hai metric khác nhau d1 và d2 màánh xạ đồng nhất
I X : (X, d1) → (X, d2)
là một phép đồng phôi thì ta nói d1 và d2 là các metric tương đương tôpô và ký hiệu
d1 ∼ d2 Lúc đó hai metric này cùng xác định một tôpô trên X Tức là, với mọi tập
A ⊂ X, A mở (đóng) theo d1 khi và chỉ khi A mở (đóng) theo d2 Ta còn có khái
niệm mạnh hơn: d1 và d2 được gọi là tương đương đều nếu tồn tại M ≥ m > 0 sao
(a) Trong R hai metric d1(x, y) = |x − y| và d2(x, y) = |x3 − y3| là tương đương
tôpô nhưng không tương đương đều
Trang 15(b) Trong Rn các metric d1, d2 và d ∞ là tương đương đều.
Bài tập 1.26 Chứng minh hai điều sau tương đương:
(a) d1 và d2 tương đương tôpô,
(b) Một dãy trong X hội tụ theo metric d1 khi và chỉ khi nó hội tụ theo d2
Trang 16Không gian Đầy đủ,
Compact, Liên thông
2.1.1 Dãy Cauchy, không gian đầy đủ.
Cho không gian metric X, một dãy (x n ) ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu
∀ ² > 0, ∃n0, ∀ m, k ≥ n0, d(x m , x k ) < ²,
và được gọi là dãy bị chặn nếu tồn tại hình cầu B(a; r) chứa mọi phần tử x n.Mệnh đề 2.1
(a) Mọi dãy Cauchy đều bị chặn,
(b) Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.
Mệnh đề 2.2 Nếu (x n ) là dãy Cauchy và tồn tại một dãy con (x n k ) hội tụ đến
(b) Rn , với mỗi metric d1, d2, d ∞ là đầy đủ
(c) C[a, b] với metric d(f, g) = max [a,b] |f (x) − g(x)| là đầy đủ.
Trang 17Bài tập 2.1 Chứng minh không gian metric rời rạc là đầy đủ.
Bài tập 2.2 Chứng minh không gian C[a, b] với metric d(f, g) =Ra b |f (x) − g(x)|dx
không đầy đủ
Bài tập 2.3 Giả sử d1 và d2 là hai metric trên cùng không gian X Chứng minh rằng nếu d1 và d2 tương đương đều, thì mọi dãy trong X Cauchy theo metric này cũng Cauchy theo metric kia Từ đó suy ra, nếu d1 và d2 tương đương đều, thì
(X, d1) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d2) đầy đủ
Bài tập 2.4 Trên R, ngoài metric thông thường d ta xét metric e d xác định bởi
Trên C0(R) ta xác định hàm khoảng cách d(f, g) := sup x∈R |f (x) − g(x)| Chứng
minh (C0(R), d) là một không gian đầy đủ Bây giờ trong C0(R) ta xét tập
K(R) = {f : R → R | f liên tục và ∃[a, b] sao cho f (x) = 0, ∀ x 6∈ [a, b]}.
Chứng minh không gian con (K(R), d) không đầy đủ.
Bài tập 2.6 Một tập con Y của không gian metric (X, d) được gọi là bán rời rạc nếu với mọi y ∈ Y tồn tại ² > 0 sao cho B(y, ²) ∩ Y = {y}; và được gọi là rời rạc nếu tồn tại ² > 0 sao cho với mọi y ∈ Y , B(y; ²) ∩ Y = {y}.
(a) Chứng minh nếu Y rời rạc thì không gian con (Y, d) đầy đủ.
(b) Tìm một ví dụ chứng tỏ khẳng định trên không còn đúng với tập bán rời rạc
Mệnh đề 2.3 Cho không gian metric đầy đủ X và Y ⊂ X Lúc đó, không gian
con Y là đầy đủ khi và chỉ khi Y là tập đóng trong X.
Mệnh đề 2.4 Cho các không gian metric X i , 1 ≤ i ≤ m, và không gian tích
X = X1× X2· · · × X m Lúc đó X là đầy đủ khi và chỉ khi X1, X2, · · · , X m đầy đủ.
Dãy hình cầu (B(x n ; r n )) được gọi là thắt lại nếu B(x n ; r n ) ⊃ B(x n+1 ; r n+1),
với mỗi n và r n → 0.
Định lý 2.5 Không gian metric X là đầy đủ khi và chỉ khi, mọi dãy hình cầu đóng
thắt lại trong X đều có giao khác rỗng, hơn nữa, đó là tập một điểm.
Định lý 2.6 Giả sử A là tập con trù mật khắp nơi trong X và f là ánh xạ liên
tục đều từ A vào một không gian metric đầy đủ Y Lúc đó tồn tại ánh xạ liên tục
f : X → Y sao cho f | A = f Ánh xạ f như thế là duy nhất và cũng liên tục đều.
Trang 18Định lý 2.8 (Baire) Mọi không gian metric đầy đủ đều thuộc phạm trù thứ hai.
Hệ quả 2.1 Nếu X đầy đủ và X = ∪ ∞
n=1 M n , thì tồn tại k sao cho M k chứa một hình cầu mở khác rỗng.
Bài tập 2.7 Trong không gian Rn với metric d2 (hoặc d1, hoặc d ∞ ) cho tập F thỏa
Định lý 2.9 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử f là một ánh xạ co từ không gian metric
đầy đủ X vào chính nó Lúc đó tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x) = x.
Bài tập 2.8 Chứng minh phương trình sau có duy nhất một nghiệm thực:
Trang 19Hệ quả 2.2.
(a) Tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn.
(b) Hợp của một số hữu hạn tập bị chặn (hoàn toàn bị chặn) là bị chặn (hoàn
toàn bị chặn) Đặc biệt, tập hữu hạn phần tử thì hoàn toàn bị chặn.
Mệnh đề 2.10 Trong R n , một tập là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu nó bị chặn.
Mệnh đề 2.11 Nếu A hoàn toàn bị chặn thì A cũng vậy.
Mệnh đề 2.12 Nếu A hoàn toàn bị chặn thì tồn tại tập đếm được B ⊂ A trù mật
trong A.
Bài tập 2.9 Gọi l ∞ là không gian các dãy số thực bị chặn, với hàm khoảng cách
d(x, y) := sup n |x n − y n |, với x = (x n ), y = (y n ) ∈ l ∞ Ký hiệu 0 = (0, 0, · · · , 0, · · · ) Chứng minh hình cầu B(0; 1) không hoàn toàn bị chặn.
Bài tập 2.10 Chứng minh rằng ảnh của một tập hoàn toàn bị chặn qua một ánh
xạ liên tục đều thì hoàn toàn bị chặn
2.2.2 Tập compact, không gian compact.
Tâp K ⊂ X được gọi là tập compact nếu với mọi dãy (x n ) ⊂ K, tồn tại dãy con (x n k ) ⊂ (x n ), hội tụ đến một điểm x ∈ K Nếu bản thân X là tập compact ta nói (X, d) là không gian metric compact.
Ví dụ 2.2
(i) Một tập hữu hạn là compact
(ii) Một tập con trong Rn là compact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn
Định lý 2.13 Nếu K là tập compact trong X thì
(a) K hoàn toàn bị chặn.
(b) Không gian con (K, d) đầy đủ (do đó K đóng).
Ngược lại, nếu tập K ⊂ X thỏa mãn (a) và (b) thì nó là tập compact.
Hệ quả 2.3 Một tập con của một không gian metric đầy đủ là compact khi và chỉ
khi nó đóng và hoàn toàn bị chặn.
Hệ quả 2.4 Nếu K ⊂ X là tập compact và F ⊂ K là tập đóng, thì F compact Mệnh đề 2.14 Mọi không gian compact đều đầy đủ, hoàn toàn bị chặn và khả ly.