PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN - TẬP 2 - HUỲNH THẾ PHÙNG (ĐH HUẾ)

Đây là giáo trình PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN HUỲNH THẾ PHÙNG (ĐH HUẾ) được Thầy giáo Huỳnh Thế Phùng giảng dạy và biên soạn tại trường Đại học khoa học Đại học Huế. Nội dung cuốn sách:Chương 1:Tích phân bội Chương 2:Tích phân phụ thuộc tham số Chương 3. Tích phân đường Tích phân mặt

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế Ngày 26 tháng năm 2009 Mục lục Chương Tích phân bội 1.1 Tích phân Riemann hộp đóng Rn 1.1.1 Hình hộp - Phân hoạch 1.1.2 Định nghĩa tích phân Riemann 1.1.3 Các tính chất 1.1.4 Định lý khả tích Lebesgue 1.2 Tích phân tập 1.2.1 Tập đo Jordan 1.2.2 Tích phân Riemann tập bị chặn - Tính chất 10 1.3 Định lý Fubini 11 1.3.1 Công thức tổng quát 11 1.3.2 Công thức tính tích phân hai lớp 12 1.3.3 Cơng thức tính tích phân ba lớp 12 1.4 Phép đổi biến tích phân bội 13 1.4.1 Công thức tổng quát 13 1.4.2 Đổi biến sang toạ độ cực 14 1.4.3 Đổi biến sang toạ độ trụ toạ độ cầu 15 1.5 Ứng dụng tích phân bội 16 1.5.1 Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng 16 1.5.2 Diện tích mặt cong 17 1.5.3 Khối lượng, trọng tâm phẳng 18 1.5.4 Khối lượng, trọng tâm cố thể 18 1.6 Thực hành tính tốn 19 1.6.1 Tích phân bội 19 1.6.2 Tích phân lặp 19 1.7 Bài tập 20 Chương Tích phân phụ thuộc tham số 23 2.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận 23 2.2 Tích phân với cận hàm tham số 24 2.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 25 2.3.1 Hội tụ - Hội tụ 25 2.3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 25 2.3.3 Tính chất tích phân hội tụ 26 2.4 Một số tích phân quan trọng 27 2.4.1 Hàm Gamma 27 2.4.2 Hàm Beta 27 2.4.3 Tích phân Dirichlet 28 2.5 Thực hành tính tốn 28 2.6 Bài tập 29 Chương Tích phân đường - Tích phân mặt 30 3.1 Tích phân đường loại I 30 3.1.1 Định nghĩa 30 3.1.2 Các tính chất 31 3.1.3 Cách tính 32 3.1.4 Ứng dụng 32 3.2 Tích phân đường loại II 33 3.2.1 Định nghĩa 33 3.2.2 Cách tính tích phân đường loại II 34 3.2.3 Ý nghĩa vật lý tích phân đường loại II 35 3.2.4 Công thức Green 35 3.2.5 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường 36 3.3 Tích phân mặt loại I 36 3.3.1 Định nghĩa 36 3.3.2 Cách tính 37 3.3.3 Ứng dụng 38 3.4 Tích phân mặt loại II 38 3.4.1 Mặt hai phía định hướng 38 3.4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 39 3.4.3 Cách tính 39 3.4.4 Ý nghĩa vật lý tích phân mặt loại II 40 3.4.5 Công thức Stokes 40 3.4.6 Công thức Ostrogradski 41 3.5 Thực hành tính tốn 41 3.6 Bài tập 41 Chương TÍCH PHÂN BỘI 1.1 Tích phân Riemann hộp đóng Rn 1.1.1 Hình hộp - Phân hoạch Ta gọi hộp Rn tập hợp có dạng n D= Ij , (1.1) đó, Ij khoảng R (tức có dạng (aj , bj ), (aj , bj ], [aj , bj ), [aj , bj ]) Nếu Ij khoảng đóng (mở) D gọi hộp ◦ đóng (mở) Dễ thấy với D hộp D D hộp mở (có thể rỗng) đóng Khoảng Ij gọi suy biến tập điểm D gọi hộp k chiều có k khoảng Ij khơng suy biến Lúc đó, k < n ta gọi D hộp suy biến, D gọi hộp không suy biến ngược lại ◦ Dễ thấy D hộp suy biến D = ∅ D gọi hộp mở tương đối k chiều k khoảng không suy biến cấu tạo nên D khoảng mở Chẳng hạn hộp mở tương đối chiều R2 hình chữ nhật mở mặt phẳng có cạnh song song với trục toạ độ, hộp mở tương đối chiều R2 đoạn thẳng (không kể mút) song song với trục toạ độ, hộp mở tương đối hai chiều R3 hình chữ nhật (khơng kể cạnh) có cạnh song song với trục toạ độ, hộp mở tương đối chiều tập điểm Có thể kiểm tra hộp đóng n chiều biểu diễn dạng hợp 3n hộp mở tương đối (có chiều từ đến n) rời nhau!! Với hộp D cho (1.1), ta gọi giá trị n Vol(D) := λ(Ij ), (1.2) ◦ ¯ có với λ(Ij ) ký hiệu độ dài khoảng Ij , thể tích D Rõ ràng, D, D D thể tích hộp tích khơng hộp suy biến Ta dễ dàng chứng minh kết sau Bổ đề 1.1 Giả sử D1 , D2 , · · · , Dm hộp có phần rời cho hợp chúng hộp D Rn Lúc m Vol(D) = Vol(Dk ) Bây xét hộp đóng n D= [aj , bj ] = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ] Phân hoạch P D gồm n phân hoạch đoạn [a1 , b1 ], · · · , [an , bn ] : a1 = x10 < x11 < · · · < x1k(1) = b1 ; a2 = x20 < x21 < · · · < x2k(2) = b2 ; ··· an = xn0 < xn1 < · · · < xnk(n) = bn Lúc P xác định họ P(D) gồm m = k(1) × k(2) × · · · × k(n) hộp đóng có phần rời Ta gọi đường kính phân hoạch P giá trị sau ρ(P) := max{xij − xij−1 | ≤ j ≤ k(i); ≤ i ≤ n} Cuối cùng, môt phân hoạch Q gọi mịn phân hoạch P (hay P thô Q) với E ∈ Q(D) tồn E ∈ P(D) cho E ⊂ E Lúc ta ký hiệu P Q 1.1.2 Định nghĩa tích phân Riemann Cho f hàm bị chặn hình hộp D P phân hoạch D ta đặt bk := sup{f (x) | x ∈ Dk }, ak := inf{f (x) | x ∈ Dk }; Dk ∈ P(D) Lúc đó, tổng m S ∗ (f ; P) := m bk Vol(Dk ); k=1 S∗ (f ; P) := ak Vol(Dk ) k=1 gọi tổng Darboux tổng Darboux f D tương ứng với phân hoạch P Ta chứng minh tính chất sau tổng Darboux: a) S ∗ (f ; P) ≥ S∗ (f ; P) với phân hoạch P b) Nếu Q phân hoạch mịn P S∗ (f ; P) ≤ S∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; P) c) Với phân hoạch P Q D ta có S∗ (f ; P) ≤ S ∗ (f ; Q) Cho f hàm bị chặn hộp đóng D Ta gọi tích phân tích phân f D giá trị sau − f := inf S ∗ (f ; P) f := sup S∗ (f ; P); P P −D D đây, sup inf lấy tất phân hoạch D Rõ ràng, ta ln ln − có f ≤ f Hàm f gọi khả tích D −D D − f= −D f = I D Lúc đó, I gọi tích phân Riemann hàm f hộp D ký hiệu cách sau f; D f (x)dx; D f (x1 , x2 , · · · , xn )dx1 · · · dxn D hay ··· f (x1 , x2 , · · · , xn )dx1 · · · dxn D Đặc biệt, trường hợp hay chiều người ta thường thay ký hiệu tích phân D D hay , gọi tích phân hai lớp hay ba lớp Cụ thể, với D n = ta có D f (x, y)dxdy cịn với n = f (x, y, z)dxdydz D Ví dụ 1.1 Nếu f hàm hằng: f (x) = c với x ∈ D, dễ thấy − f= −D f = c Vol(D) ⇒ D f = c Vol(D) Trường hợp f hàm Dirichlet: 1, x ∈ Qn ∩ D, 0, x ∈ D \ Qn , f (x) = ta có − f = 0; f = Vol(D) −D D Nên nói chung f khơng khả tích Định lý 1.1 Hàm bị chặn f khả tích D với > tồn phân hoạch P cho S ∗ (f ; P) − S∗ (f ; P) < 1.1.3 Các tính chất a) Nếu f khả tích D α ∈ R hàm αf khả tích D αf = α f D D b) Nếu f, g hàm khả tích D f ± g khả tích D (f ± g) = D f± D g D c) Nếu f, g khả tích D, đồng thời f (x) ≤ g(x) với x ∈ D, f≤ D g D d) Nếu f hàm khả tích D m ≤ f (x) ≤ M với x ∈ D m Vol(D) ≤ f (x)dx ≤ M Vol(D) D 1.1.4 Định lý khả tích Lebesgue Một tập S ⊂ Rn gọi có độ đo (n−chiều) khơng với dãy hình hộp đóng (Dk )k cho ∞ S⊂ ∞ Dk k=1 Vol(Dk ) < k=1 > tồn Rõ ràng định nghĩa ta lấy hình hộp mở thay cho hình hộp đóng Ta dễ dàng kiểm tra khẳng định sau: a) Nếu S1 ⊂ S2 S2 có độ đo khơng S1 b) Nếu Sn có độ đo khơng với n ∈ N, ∪Sn có độ đo khơng Từ suy tập khơng q đếm có độ đo khơng c) Một hình hộp có độ đo khơng suy biến Định lý 1.2 (Lebesgue) Một hàm f bị chặn hình hộp đóng D khả tích tập điểm gián đoạn f có độ đo khơng Để chứng minh định lý ta cần số kết bổ trợ Giả sử f hàm bị chặn tập D ⊂ Rn Với x ∈ D δ > ta đặt ω(f, x, δ) := sup{|f (y) − f (y )| : y, y ∈ D ∩ B(x; δ)} Ta gọi dao độ hàm f x giá trị sau ω(f, x) := lim ω(f, x, δ) = inf ω(f, x, δ) δ→0+ δ>0 Bổ đề 1.2 Hàm f liên tục x0 ∈ D ω(f, x0 ) = Bổ đề 1.3 Giả sử f hàm bị chặn hình hộp đóng D số dương cho ω(f, x) < với x ∈ D Lúc tồn phân hoạch P D mà S ∗ (f ; P) − S∗ (f ; P) < Vol(D) Bổ đề 1.4 Cho f hàm bị chặn tập đóng D Lúc đó, với số dương tập hợp sau đóng {x ∈ D | ω(f, x) ≥ } ˜ hai hình hộp, f hàm xác định D Ta định nghĩa Bây cho D ⊂ D hàm mở rộng: f (x), x ∈ D, f˜(x) := ˜ \ D 0, x∈D Lúc đó, áp dụng Định lý Lebesgue ta thấy f khả tích D f˜ khả ˜ ˜ f˜ = tích D f D D Hệ 1.1 Nếu f g hàm khả tích hình hộp D hàm f.g Hệ 1.2 (Định lý giá trị trung bình) Giả sử f g hàm khả tích hình hộp D thoả mãn m ≤ f (x) ≤ M ; g(x) ≥ 0; ∀x ∈ D, với m M số Khi đó, tồn µ ∈ [m, M ] cho f (x)g(x)dx = µ g(x)dx D D Hệ 1.3 Nếu f hàm khả tích hình hộp D hàm |f | Hơn nữa, ta có f (x)dx ≤ |f (x)|dx D D 1.2 Tích phân tập 1.2.1 Tập đo Jordan Cho G ⊂ Rn Ta gọi hàm χG : Rn → R xác định χG (x) = x ∈ G, x ∈ G hàm đặc trưng tập hợp G Tập hợp bị chặn G ⊂ Rn gọi đo Jordan tồn hình hộp đóng D ⊃ G cho hàm χG khả tích D Lúc số Vol(G) := χG D gọi thể tích G Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: - Thể tích tập đo Jordan G khơng phụ thuộc việc chọn hình hộp D chứa - Mọi hình hộp đo thể tích trùng với định nghĩa thể tích cho Cơng thức (1.2) - Một tập tích khơng có độ đọ khơng (xem Bài tập 1.4) Tuy nhiên, tập có độ đo khơng khơng đo Jordan, nên khơng tích khơng Định lý 1.3 Tập bị chặn G đo Jordan ∂G có độ đo khơng Điều ∂G tập hợp điểm gián đoạn hàm χG Hệ 1.4 a) Nếu G tập đo Jordan D hình hộp chứa G D \ G đo Jordan Lúc đó, Vol(D \ G) = Vol(D) − Vol(G) b) Nếu G1 G2 đo Jordan, hợp, giao, hiệu chúng Hơn nữa: Vol(G1 ∪ G2 ) = Vol(G1 ) + Vol(G2 ) − Vol(G1 ∩ G2 ) 29 −x xe y2 * Tính đạo hàm hàm F (y) = dx : y2 [> F:= y − > int((x/y∧2)*exp(-x∧2/y∧2),x=0 1); xe F := y− > − x2 y y2 dx [> diff(F(y),y); − 2.6 e − y2 y3 Bài tập 2.1 Tính đạo hàm tích phân phụ thuộc tham số: x3 −x F (x) := ln(y +1) arctan(1 + xy)dy; G(y) := cos x cos(x2 + y)dx sin y 2.2 Tính tích phân ∞ sin ax x ∞ dx, cos ax dx, (1 + x2 )2 ∞ 2.3 Chứng minh tích phân G(y) = ∞ sin(x2 ) cos(2ax)dx −∞ e−(x−y) dx hội tụ (−∞, β], với β ∈ R, không hội tụ R 2.4 Chứng minh Công thức Frullani ∞ f (ax) − f (bx) b dx = f (0) ln x a ∞ đó, f hàm liên tục tích phân A (a > 0, b > 0), f (x) dx có nghĩa với A > x 2.5 Sử dụng Tích phân Dirichlet Cơng thức Frullani để tính tích phân sau ∞ sin4 (ax) − sin4 (bx) dx, x ∞ sin ax cos bx dx, x ∞ sin ax sin bx dx x 2.6 Dùng hàm Gamma Beta để tính tích phân sau √ a ∞ ∞ √ dx dx x 2 √ x a − x dx, dx, , , n (1 + x) 1+x − xn 0 0 π π ∞ ∞ p−1 2 x ln x 2n −x2 sin x cos xdx, x e dx, tann xdx, dx 1+x 0 0 Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT 3.1 Tích phân đường loại I 3.1.1 Định nghĩa Cho C = AB đường cong trơn (trong mặt phẳng không gian), f hàm xác định điểm M ∈ C Ta nói phân hoạch C tập hợp P = {A0 , A1 , · · · , Am } ⊂ C cho A0 = A, Am = B cặp cung Ai−1 Ai , Ai Ai+1 có điểm chung Ai Ký hiệu ∆si độ dài cung Ai−1 Ai ρ(P) := max{∆s1 , ∆s2 , · · · , ∆sm } Trên cung Ai−1 Ai ta chọn điểm Mi lập tổng m σ(P) := f (Mi ).∆si Nếu tồn giới hạn f ds := lim σ(P) AB ρ(P)→0 không phụ thuộc vào cách chọn P điểm Mi , giới hạn gọi tích phân đường loại I hàm f AB f gọi khả tích C 31 3.1.2 Các tính chất Từ định nghĩa tích phân đường loại I, ta có tính chất sau mà việc kiểm chứng khơng có khó khăn: Giả sử f g hai hàm khả tích AB, λ số thực Lúc a) f khả tích cung BA f ds = f ds AB BA Khi A = B, tức C đường cong kín, có hai chiều từ A đến C Tuy nhiên, nhờ tính chất nên việc lấy tích phân theo hai chiều cho kết b) λf khả tích AB f ds λf ds = λ AB AB c) f ± g khả tích AB f ± gds = AB d) Nếu f ≥ AB f ds ± AB gds AB f ds ≥ e) |f | khả tích AB |f |ds ≥ AB f ds AB f) Nếu β ≥ f (M ) ≥ α với M ∈ AB, β.s(AB) ≥ f ds ≥ α.s(AB) AB Đặc biệt, f liên tục tồn M0 ∈ AB cho f ds = f (M0 ).s(AB) AB g) Nếu C ∈ AB f khả tích AB f khả tích hai cung AC CB Hơn nữa, lúc f ds = AB f ds + AC f ds CB 32 3.1.3 Cách tính Giả sử AB đường cong phẳng có phương trình tham số AB : x = x(t), t ∈ [a, b], y = y(t); với hàm x(t), y(t) khả vi liên tục Từ định nghĩa tích phân đường sử dụng công thức vi phân cung: ds = x (t)2 + y (t)2 dt, ta chứng minh cơng thức tính tích phân đường loại I b f (x, y)ds = AB f (x(t), y(t)) x (t)2 + y (t)2 dt (3.1) a Nếu AB đường cong trơn khơng gian ta có cơng thức tương tự: b f (x(t), y(t), z(t)) x (t)2 + y (t)2 + z (t)2 dt f (x, y, z)ds = (3.2) a AB Trường hợp đường cong phẳng AB đồ thị hàm số y = g(x), x ∈ [a, b], từ (3.1) ta có b f (x, y)ds = AB f (x, g(x)) + g (x)2 dx (3.3) a Cuối AB đường cong trơn khúc cơng thức cịn đúng, cách lấy tích phân cung nhỏ cộng lại 3.1.4 Ứng dụng a) Diện tích mặt cong Giả sử C đường cong phẳng f (x, y) ≥ với (x, y) ∈ C Lúc đó, từ định nghĩa ta suy mặt cong S = {(x, y, z) | (x, y) ∈ C; f (x, y) ≥ z ≥ 0} không gian có diện tích mặt tích phân đường loại I f C Tức DT (S) = f (x, y)ds C b) Khối lượng, trọng tâm dây Cho dây chất điểm biểu thị đường cong C (phẳng không gian), với khối lượng riêng chất 33 điếm M ∈ C f (M ) ≥ Lúc đó, lập luận quen thuộc, khối lượng dây toạ độ trọng tâm I dây tính m= f ds; C xI = m x.f ds, yI = C m 3.2 Tích phân đường loại II 3.2.1 Định nghĩa y.f ds, · · · C Cho C = AB đường cong trơn phẳng F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) hàm vec-tơ xác định điểm M (x, y) ∈ C Với phân hoạch P = {A0 , A1 , · · · , Am } ⊂ C cách chọn điểm Mi ∈ Ai−1 Ai , ta lập tổng m σ ¯ (P) := (P (Mi ).∆xi + Q(Mi ).∆yi ) (3.4) Nếu tồn giới hạn P (x, y)dx + Q(x, y)dy := lim σ ¯ (P) ρ(P)→0 AB (3.5) không phụ thuộc vào cách chọn phân hoạch P điểm Mi , giới hạn gọi tích phân đường loại II hàm vec-tơ F = (P, Q) AB Chú ý rằng, xét cung BA thay cung AB, phân hoạch P = {A0 , A1 , · · · , Am } phải có A0 = B Am = A Do đó, lập tổng (3.4) ta nhận σ ¯ (P ) với dấu ngược lại Cuối cùng, qua giới hạn ta nhận P (x, y)dx + Q(x, y)dy = − BA P (x, y)dx + Q(x, y)dy AB Trường hợp đường cong khép kín Nếu C đường cong kín, tức A = B, khác với tích phân đường loại I, tích phân đường loại II lấy theo hai chiều khác C cho hai giá trị có dấu ngược Vì vậy, trường hợp cần rõ tích phân lấy theo chiều Để thống nhất, người ta quy ước đường cong kín chiều dương (+) chiều âm (-) Giả sử đường cong kín C xác định hình phẳng giới nội D Lúc đó, chiều (+) C chiều mà dọc theo 34 thấy miền D nằm bên trái, chiều (-) chiều ngược lại Định nghĩa áp dụng cho trường hợp C hợp số hữu hạn đường cong kín rời mà tạo hình phẳng D liên thơng Lúc đó, D gọi miền đa liên Với quy ước chiều vậy, tích phân đường loại II hàm F đường cong kín C theo chiều dương ký hiệu P (x, y)dx + Q(x, y)dy, C theo chiều âm − P (x, y)dx + Q(x, y)dy C 3.2.2 Cách tính tích phân đường loại II Giả sử AB đường cong phẳng có phương trình tham số x = x(t), t ∈ [a, b], y = y(t); AB : với hàm x(t), y(t) khả vi liên tục P (x, y), Q(x, y) hàm liên tục Lúc đó, từ biểu thức (3.5) ta có cơng thức tích phân đường loại II sau b P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t) dt (3.6) a Trường hợp AB đồ thị hàm y = f (x), x ∈ [a, b] ta có b P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB P (x, f (x)) + Q(x, f (x))f (x) dx (3.7) a Đặc biệt, AB đoạn thẳng đường thẳng y = y0 b P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB P (x, y0 )dx a Bây giả sử AB đường cong không gian, cho hệ   x = x(t), AB : y = y(t) t ∈ [a, b],   z = z(t); (3.8) 35 P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) hàm xác định, liên tục AB Bằng thủ tục tương tự, ta có định nghĩa tích phân đường loại II hàm vec-tơ (P, Q, R) cung AB có cơng thức tính tương tự: b P dx + Qdy + Rdz = P (· · · )x (t) + Q(· · · )y (t) + R(· · · )z (t) dt a AB 3.2.3 Ý nghĩa vật lý tích phân đường loại II Giả thiết mặt phẳng R2 có trường lực F , tức điểm (x, y) ∈ R2 có lực tác động F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) Hãy tính cơng chất điểm có khối lượng đơn vị di chuyển từ A đến B cung AB Rõ ràng, với phân hoạch P = {A0 , A1 , · · · , Am } cung AB với cách chọn điểm Mi ∈ Ai−1 Ai , công lực sinh điểm vật chất di chuyển từ A đến B xấp xỉ tổng m ω(P) = (P (Mi ).∆xi + Q(Mi ).∆yi ) Như vậy, cách hợp lý, ta định nghĩa công W lực sinh điểm vật chất di chuyển cung AB giới hạn ω(P) ρ(P) → 0, mà tích phân đường loại II F AB Tóm lại, ta có W = P (x, y)dx + Q(x, y)dy AB 3.2.4 Công thức Green Định lý 3.1 Cho D miền giới nội, có biên C gồm nhiều đường cong kín, trơn khúc Giả sử P (x, y), Q(x, y) hàm liên tục với đạo hàm riêng cấp miền chứa D ∪ C Lúc đó, P (x, y)dx = − C D ∂P dxdy; ∂y Q(x, y)dy = C D ∂Q dxdy ∂x Vì vậy, D ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy C Áp dụng định lý cho trường hợp P (x, y) = −y Q(x, y) = x ta có cơng thức tính diện tích miền D: (xdy − ydx) m(D) = dxdy = xdy = − ydx = C D C C 36 3.2.5 Điều kiện để tích phân khơng phụ thuộc đường Định lý 3.2 Cho P (x, y), Q(x, y) hai hàm liên tục với đạo hàm riêng cấp miền đơn liên D Lúc đó, mệnh đề sau tương đương: ∂Q ∂P a) (x, y) = (x, y), với (x, y) ∈ D ∂y ∂x b) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, với đuờng cong kín C ⊂ D C c) P (x, y)dx + Q(x, y)dy, với AB ⊂ D, phụ thuộc vào hai mút A B AB mà không phụ thuộc đường cong từ A đến B d) P (x, y)dx + Q(x, y)dy vi phân toàn phần hàm U D Hệ 3.1 Nếu P (x, y)dx + Q(x, y)dy vi phân toàn phần hàm U (x, y) miền đơn liên D, P (x, y)dx + Q(x, y)dy = U (B) − U (A) AB ∂P ∂Q = với (x, y) ∈ R2 , P (x, y)dx + Q(x, y)dy vi ∂y ∂x phân toàn phần hàm sau R2 : Hệ 3.2 Nếu x U (x, y) = y P (u, y0 )du + x0 y = Q(x, v)dv + C y0 x Q(x0 , v)dv + y0 3.3 Tích phân mặt loại I 3.3.1 Định nghĩa P (u, y)du + C x0 Cho S mặt cong trơn không gian, f hàm xác định điểm M ∈ S Ta nói phân hoạch S tập hợp mảnh cong P = {S1 , S2 , · · · , Sm } cho Si ∩ Sj = ∅, với i = j ∪Si = S Ký hiệu ∆Si ρ(Si ) diện tích đường kính mảnh cong Si Ta gọi đường kính phân hoạch P giá trị ρ(P) := max{ρ(S1 ), ρ(S2 ), · · · , ρ(Sm )} 37 Trên mảnh Si ta chọn điểm Mi (xi , yi , zi ) lập tổng m σ(P) := f (Mi ).∆Si Nếu tồn giới hạn f (x, y, z)dS := lim σ(P) ρ(P)→0 S không phụ thuộc vào cách chọn P điểm Mi , giới hạn gọi tích phân mặt loại I hàm f S f gọi khả tích S 3.3.2 Cách tính Giả sử S mặt cong trơn, có hệ phương trình tham số   x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D,   z = z(u, v), f hàm liên tục S Lúc đó, f khả tích S Mặt khác, từ định nghĩa từ cơng thức tính diện tích mặt cong (1.3) ta thiết lập cơng thức tính tích phân mặt loại I sau f (x, y, z)dS = S f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) a b − a, b dudv, (3.9) D đó, a = (xu , yu , zu ) b = (xv , yv , zv ) Nếu ký hiệu vec-tơ v = a × b, tức v = (A, B, C); A= yu zu z x x y ; B= u u ; C= u u , yv zv z v xv xv y v (3.10) cơng thức (3.9) viết lại √ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A2 + B + C dudv, f (x, y, z)dS = S (3.11) D Đặc biệt, S mặt trơn cho dạng hiển S = {(x, y, g(x, y)) | (x, y) ∈ D}, ta có cơng thức đơn giản hơn: f (x, y, z)dS = S f (x, y, g(x, y)) D + gx (x, y)2 + gy (x, y)2 dxdy (3.12) 38 3.3.3 Ứng dụng Tương tự tích phân đường loại I, tích phân mặt loại I sử dụng để tính khối lượng toạ độ trọng tâm mặt cong Cụ thể, mặt vật chất biểu thị mặt cong trơn S, với khối lượng riêng chất điếm M ∈ S f (M ) ≥ 0, khối lượng mặt toạ độ trọng tâm I mặt tính m= f (x, y, z)dS; S xI = m x.f dS, yI = S m y.f dS, zI = S 3.4 Tích phân mặt loại II 3.4.1 Mặt hai phía định hướng m z.f dS S Giả sử S mặt cong trơn, điểm M ∈ S ta có hai vec-tơ pháp tuyến đơn vị đối chiều n+ (M ) n− (M ) Nếu ta cho M di chuyển đường cong kín đơn AA S giữ cho n+ (M ) biến thiên liên tục, n+ (M ) xuất phát từ giá trị n+ (A) kết thúc giá trị n+ (A) n− (A) Nếu trường hợp vec-tơ pháp kết thúc n+ (A) S gọi mặt hai phía Trường hợp ngược lại, tồn đường cong kín AA mà di chuyển theo pháp tuyến kết thúc n− (A), S gọi mặt phía Những mặt thơng thường mặt phẳng, mặt cầu, mặt cong hiển z = f (x, y) mặt hai phía, “lá Moebius” mặt phía Ở đây, ta xét mặt hai phía Mặt hai phía, điểm M xác định vec-tơ pháp n+ (M ) n− (M ), gọi mặt định hướng Hướng n+ gọi hướng dương hướng ngược lại hướng âm Giả sử S mặt định hướng Lúc đó, người ta quy định hướng cho đường cong kín C ⊂ S theo quy tắc “vặn nút chai” Cụ thể, hướng dương C hướng mà theo (với thân người hướng theo vec-tơ n+ ) ta thấy mảnh cong giới hạn C nằm phía tay trái Đối với mặt hai phía trơn mảnh, việc định hướng tiến hành mảnh cho hướng đường biên chung hai mảnh kề ngược Đối với mặt cong kín mặt cầu, mặt ê-lip, người ta thường định hướng “ra ngoài” “vào trong”; mặt cho dạng hiển z = f (x, y) người ta thường định hướng “lên trên” “xuống dưới” 39 3.4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II Cho S mặt cong trơn, định hướng, với n+ (M ) = (nx (M ), ny (M ), nz (M )) vec-tơ pháp đơn vị theo hướng dương điểm M ∈ S Lúc đó, với hàm vec-tơ F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) xác định S, ta có tương ứng hàm số f xác định S f (x, y, z) = F (x, y, z).n+ (x, y, z) = P (x, y, z)nx + Q(x, y, z)ny + R(x, y, z)nz Nếu tồn tích phân mặt loại I hàm f S, giá trị gọi tích phân mặt loại II hàm vec-tơ F S, hàm vec-tơ F gọi khả tích loại II S viết P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S P (x, y, z)nx + Q(x, y, z)ny + R(x, y, z)nz dS S Rõ ràng, mặt S định hướng ngược lại tích phân nhận đổi dấu 3.4.3 Cách tính Giả sử S mặt cong trơn, có hệ phương trình tham số   x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D,   z = z(u, v), F = (P, Q, R) hàm vec-tơ liên tục S Lúc đó, F khả tích loại II S Tại điểm (x, y, z) ∈ S vec-tơ a = (xu , yu , zu ) b = (xv , yv , zv ) lập thành cặp vec-tơ phương tiếp diện Vì vec-tơ v định nghĩa (3.10) vec-tơ pháp mặt cong (x, y, z) Trước tiên giả sử v n+ hướng Lúc n+ = √ (A, B, C) A2 + B + C Từ định nghĩa ta có P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S S P.A + Q.B + R.C √ A2 + B + C dS P.A + Q.B + R.C dudv = D (3.13) 40 Trường hợp S định hướng ngược lại, n+ trái chiều với v, tích phân có thêm dấu trừ: P dydz + Qdzdx + Rdxdy = − S P.A + Q.B + R.C dudv (3.14) D Đặc biệt, S mặt cho dạng hiển z = g(x, y), (x, y) ∈ D, định hướng lên trên, P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S D R − P.gx − Q.gy dxdy (3.15) Nếu S mặt trơn mảnh tính tích phân mảnh cộng lại 3.4.4 Ý nghĩa vật lý tích phân mặt loại II Giả sử dịng vật chất với mật độ h(x, y, z), chịu tác động trường lực G(x, y, z) Hàm vec-tơ h.G = F = (P, Q, R) gọi trường lực dòng Lượng dòng chảy qua mặt S đơn vị thời gian gọi thông lượng dịng tính Φ= P dydz + Qdzdx + Rdxdy S 3.4.5 Công thức Stokes Định lý Stokes mở rộng Định lý Green cho đường cong kín khơng gian Định lý 3.3 Giả thiết S mặt cong trơn định hướng, có biên đường cong kín đơn C, F = (P, Q, R) hàm vec-tơ khả vi liên tục miền mở chứa S Lúc đó, P dx + Qdy + Rdz = C S (Qx − Py )dxdy + (Ry − Qz )dydz + (Pz − Qx )dzdx Hệ 3.3 Giả thiết V miền “đơn liên mặt” hàm P, Q, R liên tục đạo hàm riêng Py , Pz , Qz , Qx , Rx , Ry Khi ấy, tính chất sau tương đương a) ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R = , = , = , với (x, y, z) ∈ V ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x b) P dx + Qdy + Rdz = 0, với đuờng cong kín C ⊂ V C 41 c) P dx + Qdy + Rdz, với AB ⊂ V , phụ thuộc vào hai mút A B mà AB không phụ thuộc đường cong từ A đến B d) P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz vi phân toàn phần hàm U V 3.4.6 Cơng thức Ostrogradski Định lý Green cho ta công thức liên hệ tích phân hai lớp tích phân đường Định lý Ostrogradski cho ta công thức liên hệ tích phân ba lớp tích phân mặt Định lý 3.4 Giả thiết S mặt cong kín, trơn mảnh, bao quanh miền V R3 , định hướng Nếu hàm vec-tơ F = (P, Q, R) khả vi liên tục miền mở chứa V P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S V ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z dxdydz Hệ 3.4 Giả thiết V miền đơn liên R3 F = (P, Q, R) hàm vec-tơ khả vi liên tục V Lúc đó, tích phân F mặt cong kín trơn mảnh V khơng ∂P ∂Q ∂R (x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) = 0, ∀(x, y, z) ∈ V ∂x ∂y ∂z 3.5 Thực hành tính tốn Thực ra, để tính tốn tích phân đường, mặt ta ln ln phải đưa chúng dạng tích phân hai lớp Cụ thể, để tính tích phân đường loại I ta dùng cơng thức (3.1)-(3.3), tích phân đường loại II dùng cơng thức (3.6)-(3.8), tích phân mặt loại I dùng cơng thức (3.9), (3.11), (3.12) tích phân mặt loại II dùng công thức (3.13)-(3.15) Như vậy, để giải tốn cụ thể tích phân đường, mặt trước hết cần tìm biểu diễn xác đường, mặt liên quan, sau thiết lập cơng thức tích phân (một hai lớp) tương ứng cuối dùng lệnh Maple để tính tích phân 3.6 Bài tập 3.1 Tính tích phân đường loại I sau (x2 y + xy )ds, C 42 với C đường trịn tâm I(0, 1) bán kính 3.2 Dùng cơng thức Green tính tích phân đường loại hai (2x sin y + y + y )dx + (x2 cos y + 3xy + 1)dy, I= AO với AO đường gấp khúc ABO, với A(2, 0), B(0, 5) O(0, 0) (2x sin y + y + x)dx + (x2 cos y + 3xy + 1)dy, J= AO với AO đường gấp khúc ABCO, với A(2, 0), B(1, 5), C(0, 3) O(0, 0) 3.3 Tính tích phân đường: (x2 + 2y)dx + (x + 2y )dy, L với L đường Elipse: (x − 1)2 + 4y = 3.4 Đưa tích phân đường loại I sau tích phân xác định (x2 cos(xy) + yex )ds, C với C đường trịn tâm I(0, 1) bán kính 3.5 Đưa tích phân đường loại II sau tích phân xác định x2 cos(xy)dx + yex dy, C với C đường trịn tâm I(1, 0) bán kính 3.6 Dùng cơng thức Green tính tích phân đường (x + y)dx + (xy + x − y)dy; x2 +y =4x (xy + x + y)dx + (x − y)dy x2 +y =2y 3.7 Cho S mặt cầu đơn vị: (S) : x2 + y + z = a) Hãy biểu diễn mặt cầu dạng tham số Xác định vec-tơ pháp mặt S điểm M (x, y, z) ∈ S b) Giả sử S mặt vật chất khối lượng riêng điểm (x, y, z) ∈ S x + y Hãy tính khối lượng mặt S 43 3.8 Cho mặt vật chất biểu diễn dạng hiển (S) : x = y + z ; (y, z) ∈ D, D phần tư thứ I hình trịn tâm (0, 0) bán kính Cho biết khối lượng riêng điểm (x, y, z) ∈ S ρ(x, y, z) = yz Hãy tính khối lượng mặt S 3.9 Đưa tích phân mặt loại I sau tích phân hai lớp (x + 2y + 3z)dS, S với S hợp bốn mặt tứ diện OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) 3.10 Tính khối lượng mặt Parabol: z = − x2 − y ; z ≥ Biết khối lượng riêng điểm M (x, y, z) ρ(x, y, z) = xy → 3.11 Tính thơng lượng trường vec-tơ F = (0, 0, R), với R(x, y, z) = x + y + z, qua mặt z = x2 + y ; z ≤ 1, định hướng lên 3.12 Hãy áp dụng Công thức Ostrogradsky để tính tích phân mặt x3 dydz + y dzdx + z dxdy S Trong S mặt cầu x + y + z = 4, hướng ngồi 3.13 Đưa tích phân mặt loại II sau tích phân hai lớp xdydz + ydzdx + zdxdy, S với S hợp bốn mặt ngồi tứ diện OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) 3.14 Dùng cơng thức Ostrogradski tính tích phân mặt x2 dydz + y dzdx + z dxdy, S với S phía ngồi nửa mặt cầu trên: x2 + y + z = 1, z ≥ 3.15 Tính tích phân mặt xzdydz + x2 ydzdy + y zdzdx I= S với S mặt vật thể giới hạn mặt x2 + y = 1, z = 0, z = 3.16 Tính tích phân mặt I= zdxdy, S với S phía mặt z = − x2 − y bị chắn mặt x2 + y = 2x ... z = 2; c) (x2 + y + z )3 = 3xyz; d) (x2 + y )2 + z = y; 22 x2 y + + z2 e) = x2 y; y 23 z 32 f) x + + = 1; g) x2 + y = 2x, z = x2 + y , z = 1. 12 Đổi biến sang toạ độ trụ vi? ??t lại cận tích phân. .. limit(int(1/(1+x? ?2+ a? ?2) ,x=a 1+a),a=0); * Để tính lim a→0 π 29 −x xe y2 * Tính đạo hàm hàm F (y) = dx : y2 [> F:= y − > int((x/y? ?2) *exp(-x? ?2/ y? ?2) ,x=0 1); xe F := y− > − x2 y y2 dx [> diff(F(y),y); − 2. 6 e − y2... 23 2. 2 Tích phân với cận hàm tham số 24 2. 3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 25 2. 3.1 Hội tụ - Hội tụ 25 2. 3 .2 Các tiêu