Lý thuyết ổn định Lý thuyết phương trình vi phân

Lý thuyết ổn định là một trong những tính chất định tính tiêu biểu của lý thuyết phương trình vi phân và tích phân. Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoăc trong cấu trúc của hệ thống không làm cho hệ thông đó thay đổi quá nhiều so với trạng thái cân bằng đó

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Mục Lục Mở đầu Chương Cơ sở toán học 1.1 Bài toán ổn định ổn định hóa 1.1.1 Bài toán ổn định 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.1.3 Bài toán ổn dịnh hóa 1.2 Bài tốn ổn định ổn định hóa có trễ 10 1.2.1 Bài tốn ổn định hệ có trễ 10 1.2.2 Bài tốn ổn định hóa hệ phương trình điều khiển có trễ 13 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 13 Chương 16 Tính ổn định hệ phi tuyến khơng ôtônôm có trễ 16 Chương 22 Tính ổn định hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ hỗn hợp 22 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Một số kí hiệu đề tài    : tập số thực không âm ;   n : không gian véc tơ n – chiều với kí hiệu tích vơ hướng , chuẩn véc tơ || ||;   nr : không gian ma trận (n  r ) – chiều;  C([a,b],  n ) :tập tất hàm liên tục [a,b] nhận giá trị n ;  AT : ma trận chuyển vị ma trận A;  I :là ma trận đơn vị;   (A): tập tất giá trị riêng A;   max(A) : = max{Re  :    (A)};  A  0: ma trận A xác định không âm;  A > 0: ma trận A xác định dương;  BM +(0,  ): tập hàm ma trận đối xứng, xác định không âm bị chặn (0,  );   (A) :=   (A) := T  max (A + A ) gọi độ đo ma trận A; max  AAT  gọi chuẩn theo phổ ma trận A Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Mở đầu Lý thuyết ổn định tính chất định tính tiêu biểu lý thuyết phương trình vi phân tích phân Nói cách hình tượng, hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu bé điều kiện ban đầu hoăc cấu trúc hệ thống không làm cho hệ thơng thay đổi q nhiều so với trạng thái cân Được bắt đầu nghiên cứu từ năm cuối kỷ 19 nhà toán học người Nga A M Lyapunov, đến lý thuyết ổn định có bước phát triển mạnh mẽ thu nhiều thành tựu rực rỡ Đến năm thập kỷ 60, với phát triển lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển, lý thuyết ổn định mà Lyapunov đề xướng trước tiên thể tầm quan trọng phát triển liên tục tốn học Vì lý vừa phân tích mà tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết tốn học độc lập có nhiều ứng dụng hữu hiệu tất lĩnh vực từ kinh tế đến khoa học kĩ thuật Như biết, có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân Chẳng hạn : phương pháp thứ Lyapunov (hay gọi phương pháp mũ đặc trưng), phương pháp thứ hai Lyapunov (hay gọi phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, … Mỗi phương pháp có ưu điểm, nhược điểm riêng Trong đề tài này, chúng em nghiên cứu tính ổn định mũ hệ phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ ổn định mũ hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ hỗn hợp Khơng thế, cung lý thuyết quan trọng lý thuyết định tính hệ điều khiển, hệ động lực Ngồi ra, hầu hết q trình vật lý, hóa hoc, sinh học, kinh tế, kĩ thuật, … Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only thường liên quan đến độ trễ thời gian nên cách tất nhiên, lớp hệ có trễ thu hút nhiều quan tâm nhiều nhà tốn học Để ứng dụng nhiều thực tiễn, người ta không quan tâm đến việc đưa tiêu chuẩn ổn định cho lớp hệ có trễ mà khơng thể đánh giá “độ” ổn định hệ có trễ Một cách đánh giá ổn định hệ có trễ đánh giá độ ổn định hệ có trễ đánh giá hàm mũ Vì vậy, tính ổn định mũ hệ có trễ quan tâm nghiên cứu nhiều năm gần Đề tài trình bày hướng nghiên cứu tính ổn định mũ Bố cục đề tài gồm phần mở đầu, ba chương phần tài liệu tham khảo Chương sở toán học Trong chương này, chúng em giới thiệu toán ổn định tốn ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân có trễ số bổ đề sử dụng chương sau đề tài Chương chúng em xin trình bày tính ổn định mũ hệ phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ Chương chúng em tham khảo từ báo thầy P.Niamsup and K.Nlukdasai, V.N.Phat, improved exponential stability for time-varying systems with nonlinear delayed perturbations, đăng tạp trí Appl Math Comput 204, pp 490-495, 2008 Chương kết nghiên cứu đề tài Chương nghiên cứu tính ổn định hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ hỗn hợp, cách cải tiến hàm Laypunov cộng với số kỹ thuật chứng minh mới, chúng em đưa điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ hỗn hợp, ví dụ minh họa Cuối chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Mai Viết Thuận tận tình hướng dẫn bảo chúng em suốt trình nhận làm đề tài “tính ổn định hệ phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ” khoa Tốn – Tin, trường Đại Học Khoa Học – ĐHTN Đồng thời, chúng em bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, giáo khoa Toán – Tin, Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only ĐHKH – ĐHTN Những người bảo chuyền đạt kiến thức kinh nghiệm năm vừa qua Măc dù chúng em cố gắng nhiều thời gian trình độ hạn chế nên đề tài khơng tránh khỏi sai lầm thiếu sót Chúng em mong nhận bảo đóng góp q thầy bạn Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Chương Cơ sở toán học Chương chúng em xin trình bày số khái niệm tính ổn định tính ổn định hóa lớp hệ phương trình vi phân thường lớp hệ phương trình vi phân có trễ Chúng em nhắc lại số kết kinh điển phương pháp nghiên cứu 1.1 Bài tốn ổn định ổn định hóa 1.1.1 Bài tốn ổn định Xét hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân x  t   f  t , x  t   , t  0, (1.1) Trong x (t )   n véc tơ trạng thái, f :     n   n hàm véc tơ cho trước Xuyên suốt đề tài ta giả thiết hàm f () thỏa mãn điều kiện cho với  t0 , x0       n hệ (1.1) có nghiệm qua điểm  t0 , x0  nghiệm kéo dài với t  t0 Khi nghiệm kí hiệu x  t , t0 , x0  Với z  t  nghiệm hệ (1.1), phép đổi biến y t   x t   z t  , Thì hệ (1.1) đưa dạng y  t  = f  t , y  t   z  t    f  t , z  t   (1.2) Đặt F  t , y  t   = f  t , y  t   z  t    f  t , z  t   F  t ,0  = nghiệm y  t   hệ (1.2) tương ứng với nghiệm z  t  hệ (1.1) Vì vậy, thay nghiên cứu tính ổn định nghiệm z  t  hệ (1.1) ta nghiên cứu tính ổn định nghiệm y  t   hệ (1.2) Chính lý nên khơng tính tổng qt ta giả sử f  t ,0  = 0, tức giả sử hệ (1.1) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only ln có nghiệm khơng (nghiệm đồng ) Khi đó, ta có cách định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 [3] Nghiệm không hệ (1.1) gọi ổn định với , tồn số    , t0   cho với số   0, t0  nghiệm x  t , t0 , x0  hệ với x0   , ta có   0, t0  Nghiệm không hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số   (phụ thuộc vào t0 ) cho nghiệm x  t , t0 , x0  với x0   lim x  t , t0 , x0  = x Nghiệm không hệ (1.1) gọi ổn định mũ tồn số N  số  > cho x  t , t0 , x0   N    t  t0  (1.3) x0 , t  t0 Khi N gọi hệ số ổn định Lyapunov,  gọi số mũ ổn định Và  , N gọi chung số ổn định Lyapunov Để ngắn gọn, thay nói nghiệm khơng hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận ,ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận , ổn định mũ) Ngay từ cơng trình đầu tiên, Lyapunov đưa tiêu chuẩn quan trọng tính tốn ổn định mũ hệ tuyến tính ơtơnơm x  t  = x  t  , t  0, (1.4) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only dựa vào giá trị riêng  Cụ thể hệ (1.4) ổn định mũ phần thực tất giá trị riêng ma trận A âm Một tiêu chuẩn cổ điển khác hệ (1.4) ổn định mũ với ma trận Q đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov AT   A = - Q có nghiệm  đối xứng, xác định dương Hai kết quan trọng tiêu biểu cho hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân Đó phương pháp phổ phương pháp hàm Lyapunov Trong đề tài chúng em sử dụng phương pháp hàm Lyapunov phương pháp để nghiên cứu tốn ổn định ổn định hóa 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov Ta nhắc lại hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân x  t  = f t, x t , t 0 (1.5) Trong x  t   n véc tơ trạng thái hệ, f :     n   n hàm véc tơ cho trước giả thiết f  t ,0   0, t  kí hiệu  tập hàm tăng chặt a . :      , a    Định nghĩa 1.2 Hàm V  t , x  :     n   n ,V  t ,0   0, t  , khả vi liên tục gọi hàm Lyapunov hệ (1.5) nếu: i) V  t , x  hàm xác định dương theo nghĩa a .   : V  t , x   a || x || ,   t , x       n , ii) V V V  t , x  t   : f  t , x  t    0, với nghiệm  t x x  t  hệ (1.5) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Nếu hàm V  t , x  thỏa mãn thêm điều kiện iii) b .   : V  t , x   b  || x || ,   t , x       n , c .   : V  t , x   c  || x || , với nghiệm x  t  iv) hệ (1.5) ta gọi hàm V  t , x  hàm Lyapunov chặt hệ (1.5) Sau hai định lý ổn định Lyapunov nhắc lại trong[14] Định lý 1.1 Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov hệ ổn định Hơn nữa, ham Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Định lý 1.2 Nếu hệ (1.5) có hàm thỏa mãn: i) 1 , 2  : 1 || x || V  t , x   2 || x ||,   t , x       n , ii)   : V  t , x  t    2V  t , x  t   với nghiệm x  t  hệ (1.5), thi hệ (1.5) ổn định mũ với  , N  2 số ổn định 1 Lyapunov 1.1.3 Bài toán ổn định hóa Xét hệ điều khiển mơ tả hệ phương trình vi phân x  t   f  t , x  t  , u  t   , t  0, (1.6) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trong x  t    n véc tơ trạng thái, u  t    m véc tơ điều khiển Hàm điều khiển u . thuộc lớp hàm khả tích bậc hai đoạn hữu hạn [0,s], s  lấy giá trị  m Hàm f :     n   m   n hàm véc tơ cho trước giả thiết thỏa mãn f  t ,0,0   0, t  Định nghĩa 1.3 Hệ điều khiển (1.6) gọi ổn định hóa tồn hàm g :  n   m cho hệ phương trình vi phân sau (thường gọi hệ đóng, closed – loop system)   x  t   f t , x  t  , g  x  t   , t  0, (1.7) Là ổn định tiệm cận Hàm u  t   g  x  t   gọi hàm điều khiển ngược hệ Định nghĩa 1.4 Hệ điều khiển (1.6) gọi lầ ổn định hóa dạng mũ tồn hàm g :  n   m cho hệ phương trình vi phân (1.7) ổn định mũ Nếu hệ ổn định mũ (hoặc ổn định hóa dạng mũ) với tốc độ hội tụ mũ  cho trước hệ gọi hệ  - ổn định (hoặc  - ổn định hóa được) 1.2 Bài tốn ổn định ổn định hóa có trễ 1.2.1 Bài tốn ổn định hệ có trễ Chúng em thấy hệ phương trình vi phân thường (1.1) mơ tả mối quan hệ biến thời gian t , trạng thái hệ thống x  t  vận tốc thay 10 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only   P  t   AT  t  P  t   P  t  A  t   2 P  t       3he 2 h  I  x  t  , x  t      p     2e2 h   || x  t  ||2  1    Vì P  t  nghiệm  LDE    A  t   A t   x  t  , x  t  T    A || x  t  ||2 , Ta có 2 2 h  p   e     V  t , xt   2V  t , xt        A    || x  t  ||2  1      Theo giả thiết, ta có V  t , xt   2V  t , xt  , t  0, Suy V  t , xt   V  0, x0  e2t , t  Vì  || x  t  ||2  V  t , xt  , t  0, Nên || x  t ,   || V  0, x0   e  t , t  Mặt khác ta có 0 V  0, x0    p    h  ||  ||     e 2  s  h  || x  s  ||2 dsd  h h  t    p    h  ||  ||2 2h2 3e 2 h ||  ||2 Từ đó, suy điều phải chứng minh 19 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Ví dụ 2.1 Xét hàm có nhiễu phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ (2.1) với hàm điều kiện ban đầu   t   C  2,0 ,   , hàm trễ h  t   2sin  0.45 t , Và  f t, x t  h t       ,     sin  t  x2  t  h  t      cos  t  x  t  h  t     a t   At      1 a  t   Trong a  t   0.5cos t  10e  sin t   5.1e sin t  Từ   A   sup max  A  t   AT  t   ,bằng tính tốn, ta thu t      A   sup 0.5cos t  10e  sin t 4  5.1e sin t   203,731 t  Cho   0,1, 1  10e4 ,   10,   5,   Khi với ký hiệu Định lý 2.1 , ta có h  2,   0,9   0,5 Khi   20e  10,2   10e4    A    0,1 203,731  40,7462 Chúng ta kiểm tra nghiệm P  t  phương trình  LDE  là:  esin t P t     0  , e  sin t Ta có p  sup || P  t  ||  t    1    1  2  A  p    e h  10 1  0,9  10e4   0,1 203,731    0,1 e  63,5 Ta rễ dàng kiểm tra tất điều kiện Định lý 2.2 thỏa mãn Do hệ ổn định mũ nghiệm hệ thỏa mãn 20 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only || x  t ,  || N ||  || e t , Với N p    h  2h2 3e 2 h  21 t   , Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Chương Tính ổn định hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ hỗn hợp Trong chương này, số kết nghiên cứu tính ổn định mở rộng cho hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ hỗn hợp Xét hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ hỗn hợp t x  t   A  t  x  t   A1  t  x  t  h  t    A2  t   x  s  ds (3.1) t k  t  x  t     t  , t    h,0  ; h  max h, k  , Trong x  t   n véc tơ trạng thái, A  t  , A1  t  A2  t  hàm ma   trận liên tục ( cho trước )     t   C   h,0  ,  n hàm điều kiện ban đầu với chuẩn cho ||  || sup ||   s  || s h ,0  Các hàm h  t  , k  t  hàm trễ khả vi liên tục thỏa mãn  h  t   h, h  t     , t  0,  k t   k Cho số dương  ,  , 1 ,  , h, k , ta đặt   A   sup   A  t   ,   A1   sup  A1  t   , t  t   A2   sup  A2  t   , p  sup P  t  , P  t   P  t    I , A t   A  t    I , t  t  22 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 1 R  t   11 1    e2 h A1  t  A1T  t    1ke2 k A2  t  A2T  t  Q  t   1   k  I , k2 p     1h   2 , N  Khi ta có định lý sau: Định lý 3.1 Cho trước số   Hệ (3.1)   ổn định tồn số   , ma trận P  t  đối xứng ,xác định không âm bị chặn đều,và số dương  1,  , cho phương trình Riccati sau thỏa mãn: T P  t   P  t  A  t   A  t  P  t   P  t  R  t  P  t   Q  t    RDE1 Hơn nữa, nghiệm x(t ,  ) hệ thỏa mãn || x(t , ) || N ||  || e t , t    Chứng minh: V  t , xt   V1  t , x  t    V2  t , xt   V3  t , xt   V4  t , xt  , Trong V1  t , x  t    xT  t  P  t  x  t  , V2  t , xt   xT  t   x  t  , t V3  t , xt   1 e  2  s  t  || x  s  ||2 ds , t  h t  V4  t , xt     t e 2   t  || x   ||2 d ds , k t s Dễ thấy 1 || xt ||2  V  t , xt   2 || xt ||2 , 23 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trong 1   , k2 2  p    h1   , Lấy đạo hàm V1  t , x  t   ,V2  t , xt  dọc theo quỹ đạo x  t  hệ, Ta có: V1  t , x  t    V2  t , xt   P  t  x  t  , x  t   P  t  x  t  , x  t    x  t  , x  t   P  t  x  t  , x  t   P  t  A  t  x  t  , x  t   P  t  A1  t  x  t  h  t   , x  t  t 2 P  t  A2  t   x  s  ds, x  t   2 A  t  x  t  , x  t  t kt  t 2 A1  t  x  t  h  t   , x  t   2 A2  t   x  s  ds, x  t  t k  t   P  t  x  t  , x  t   P  t  A  t  x  t  , x  t   P  t  A1  t  x  t  h  t   , x  t  t 2 P  t  A2  t   x  s  ds, x  t  t k  t  Trong P  t   P  t    I , Ta có P  t  A  t  x  t  , x  t    P  t  A  t   AT  t  P  t   x  t  , x  t  , Sử dụng Hệ 1.1 : x, y   x, x   1 y, y , x, y   n ,   24 , Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Ta có t P  t  A2  t   t x  s  ds, x  t   xT  t  P  t  A2  t  t k t   x  s  ds t  k t    1ke2 k xT  t  P  t  A2  t  A2T  t  P  t  x  t  T 1 2 k  k e  t    x  s  ds   t k t      t    x  s  ds  ,  t  k t     Ta có T  t    x  s  ds   t kt     t  t    x  s  ds   k  t   xT  s  x  s  ds  t k  t   t k  t    t  k t   || x  s  ||2 ds t k  t  k  || x  t  s  ||2 ds  k t   k  || x  t  s  ||2 ds k Suy t P  t  A2  t   x  s  ds, x  t    1ke2 k xT  t  P  t  A2  t  A2T  t  P  t  x  t  tkt  1 2 k  k e k  || x  t  s  ||2 ds k 1   ke 2 k T T x  t  P  t  A2  t  A2  t  P  t  x  t    2e 2 k  || x  t  s  || k Suy 25 ds Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only V1  t , x  t    V2  t , xt   P  t  x  t  , x  t    P  t  A  t   AT  t  P  t   x  t  , x  t  2 P  t  A1  t  x  t  h  t   , x  t   1ke2 k xT  t  P  t  A2  t  A2T  t  P  t  x  t    2e2 k  || x  t  s  ||2 ds k Ta lại có t V3  t , xt   1  t e 2  s  t  || x  s  || ds  1e 2 t t  h t   e2 s || x  s  ||2 ds t  h t  Sử dụng công thức t  d   f  s  ds   f  t    h  t  f  t  h  t   ,  dt  t  ht     Lấy đạo hàm V3  t , xt  dọc theo quỹ đạo x  t  hệ Ta có 2 t  h  t   V3  t , xt   2V3  t , xt   1e 2 t e2 t || x  t  ||2 e   h  t  || x  t  h  t   ||2      2V3  t , xt   1 || x  t  ||2 1e 2 h t   1  h  t   || x  t  h  t   || , Vì h  t     1,   h  t     , h t   h ,  e Và 2 h t   e2 h , Nên V3  t , xt   2V3  t , xt   1 || x  t  ||2 1e2 h 1    || x  t  h  t   ||2 Ta có V4  t , xt     t  e 2   t  || x   ||2 d ds   e 2 t k t s t  e k t s 26 2 || x   ||2 d ds Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Sử dụng công thức t  d  f  s  dsd   hf  t    u  t  s  f  u  t  s  ds ,  dt  h u  t s  h  Lấy đạo hàm V4  t , xt  dọc theo quỹ đạo x  t  hệ   2 t  s V4  t , xt   2V4  t , xt    2e 2 t  ke2 t || x  t  ||2   e   || x  t  s  ||2 ds  ,   k  2V4  t , xt    k || x  t  ||   e2 s || x  t  s  ||2 ds k Vì k  s   e 2 k  e 2 s  e 2 s  e 2 k Nên V4  t , xt   2V4  t , xt    k || x  t  ||2  2e 2 k  || x  t  s  ||2 ds k Từ ta suy V  t , xt   2V  t , xt   P  t  x  t  , x  t    P  t  A  t   AT  t  P  t   x  t  , x  t  2 P  t  A1  t  x  t  h  t   , x  t   1ke2 k xT  t  P  t  A2  t  A2T  t  P  t  x  t   e 2 k  || x  t  s  || ds  2 P  t  x  t  , x  t  k 1 || x  t  ||2 1e2 h 1    || x  t  h  t   ||2  2k || x  t  ||  2e 2 k  || x  t  s  || k 27 ds Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only  P  t  x  t  , x  t     P  t  A  t   AT  t  P  t   x  t  , x  t  2 P  t  x  t  , x  t       k  || x  t  ||2  1ke2 k xT  t  P  t  A2  t  A2T  t  P  t  x  t  2 P  t  A1  t  x  t  h  t   , x  t    1e 2 h 1    || x  t  h  t   ||2 T  P  t  x  t  , x  t    P  t   A  t    I    A  t    I  P  t   x  t  , x  t     1ke2 k xT  t  P  t  A2  t  A2T  t  P  t  x  t  x  t  2 P  t  A1  t  x  t  h  t   , x  t    1e 2 h 1    || x  t  h  t   ||2      k  || x  t  ||2 Sử dụng Bổ đề 1.1 (bất đẳng thức ma trận cauchy) Ta có P  t  A1  t  x  t  h  t   , x  t   1e 2 h 1    || x  t  h  t   ||2 1  11 1    e 2 h P  t  A2  t  A2T  t  P  t  x  t  , x  t  Suy V  t , xt   2V  t , xt  T  P  t  x  t  , x  t    P  t   A  t    I    A  t    I  P  t   x  t  , x  t    1  P  t  11 1    e 2 h A1  t  A1T  t    21ke 2 k A2  t  A2T  t   P  t  x  t  , x  t         k  || x  t  ||2 28 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Hay V  t , xt   2V  t , xt  T   P  t   P  t  A  t   A  t  P  t   P  t  R  t  P  t   Q  t   x  t  , x  t    Vì nghiệm phương trình  RDE1 nên ta có: V  t , xt   2V  t , xt   , t  V  t , xt   2V  t , xt  , t  Do Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức từ đến t , ta có V  t , xt   V  0, x0  e2 t , t  Mặt khác , từ biểu diễn hàm V  t , xt  , ta có  x  t   V  t , xt  , t  Và V  0, x0  x  t,    e  t , t  Ta lại có V  0, x0   xT   P   x    xT    x   1  e 2 s  h  0 2 x  s  ds    e 2 x   d ds k s Mà 1   h 0 2 e2 s x  s  ds  1  x  s  ds  1  h 2   e k s 2 0 x   d     ds 1h  h Và 0   d ds k s 29 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 0  2    d ds k s  2     s  ds k k2  2  Do  k2  V  0, x0    P    h1       Vì x  t ,    Ne  t  Suy điều phải chứng minh Ví dụ 3.1 Xét hệ t x  t   A  t  x  t   A1  t  x  t  h  t    A2  t   x  s  ds , t  t k  k  Với hàm điều kiện ban đầu      t   C    ,0 ,       Các hàm có trễ h(t )  sin t  h(t )  sin 2t , k (t )  cos3t 30 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Và   a (t ) , A(t )   a2 (t )    sin t A2 (t )      sin t A1 (t )    0  , cos t   , cos t  Trong 81 e 2t   esin t  e 2t  1 , a1 (t )   2t 2t 32 e  e  a2 (t )   81 e 2 t   2esin t  e 2 t  1 , 2 t 2 t 32 e  e  Ta có  ( A)  , Chọn hk   ( A2 )   ( A1 )  , , 1  ,   2, 2  ,   1,  , Ta có  3e sin t  e 2t  12 R(t )     4e cos t  e 2t  , 2  1   33   16  Q(t )   ,  33    16   Nghiệm phương trình  RDE1   e 2t P(t )    0   e 2t  Khi dễ dàng kiểm tra tất điều kiện định lý thỏa mãn, hệ ổn định mũ 31 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Kết luận Đề tài trình bày số hướng nghiên cứu tính ổn định hệ phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ Kết luận văn là: Giới thiệu số kết tính ổn định mũ hệ phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ Bằng việc xây dựng cải tiến hàm Laypunov kỹ thuật chúng minh phù hợp, chúng em đưa số điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ phi tuyến khơng ơtơnơm có trễ hỗn hợp, chúng em áp dụng kết để đưa số điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có trễ hỗn hợp, két minh họa ví dụ kiểm tra cụ thể 32 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu, sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, 2000 [2] P.Niamsup, K.Mukdasai and V.N.Phat, Improved exponential stability for time – varying systems with nonlinear delayed perturbations, Appl Math Comput, 204, pp.490 – 495, 2008 [3] Mai Viết Thuận, tính ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân hàm hệ có nhiễu phi tuyến có trễ hỗn hợp, luận văn thạc sĩ toán học, 2009 [4] Vũ Ngọc Phát, nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà nội, 2001 33 ... trình vi phân có trễ Chúng em nhắc lại số kết kinh điển phương pháp nghiên cứu 1.1 Bài toán ổn định ổn định hóa 1.1.1 Bài tốn ổn định Xét hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân x  t   f  t ,... hội tụ mũ  cho trước hệ gọi hệ  - ổn định (hoặc  - ổn định hóa được) 1.2 Bài tốn ổn định ổn định hóa có trễ 1.2.1 Bài tốn ổn định hệ có trễ Chúng em thấy hệ phương trình vi phân thường (1.1)... với nghiệm x  t  hệ (1.5), thi hệ (1.5) ổn định mũ với  , N  2 số ổn định 1 Lyapunov 1.1.3 Bài tốn ổn định hóa Xét hệ điều khiển mô tả hệ phương trình vi phân x  t   f  t , x  t  ,