Phân loại bài tập về số nguyên tố
Tỡm hiu lớ thuyt phõn dng bi tp v s nguyờn t1Y BAN NHN DN TNH H TNHTRNG I HC H TNH--------------------Bài Tập LớnBc u tỡm hiu v phõn loi bi tp v s nguyờn tGv hng dn: Ths Nguyễn Thị Thanh TâmSinh viờn thc hin: Ngô Thị Kim NhungNguyễn Cao ThiệnKhoa S Phm T NhiờnLp K2 S Phm ToỏnH Tnh 12/2010 Tìm hiểu lí thuyết – phân dạng bài tập về số nguyên tố2Đồng tác giả Tìm hiểu lí thuyết – phân dạng bài tập về số nguyên tố3A - ĐẶT VẤN ĐỀI - Lý do chọn đề tài:Toán học là công cụ giúp việc học tập các môn khác cả về kiến thức và t ưduy. Môn toán có tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện tính linhhoạt, độc lập, sáng tạo, tính chính xác, thẩm mỹ cùng sự kiên trì, nhẫn nại.Trong chương trình toán học đa dạng và phong phú của nó, các bài toán về"Số nguyên tố" luôn để lại những vấn đề mới mẻ cho người học."Toán học là bà hoàng của khoa họ c". "Số học là bà chúa của toán học".Trong số học các bài toán hóc búa, thú vị hầu hết là bài toán về số nguyên tố.Từ trước công nguyên, Ơclít đã khẳng định số nguyên tố là phạm trù c ơbản của số học. Thực tế đã chứng minh, toán học dù phát triển đến đâu thì vaitrò của số nguyên tố cũng không hề thay đổi. Nó vẫn là một vùng đất kì lạ dùbao năm qua đã có nhiều người thám hiểm. Do vậy không thể tránh khỏi hiệntượng các bạn học sinh, sinh viên lo sợ khi gặp các bài toán về số nguyên tố,đa phần các bạn không định hình được phương pháp giải.Vấn đề đặt ra ở đây là bổ sung các kiến thức về số nguyên tố và làm thếnào để phân chia các bài toán đó theo từng dạng cũng như định hình đượcphương pháp giải cho mỗi dạng toán trên cơ sở đó giải quyết các bài toán cụthể.Đây cũng là lý do chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Bước đầu tìm hiểu vàphân dạng về số nguyên tố”Chúng tôi chỉ là những sinh viên mới chập chững bước vào công việcnghiên cứu khoa học, với rất ít tài liệu cùng sự hiểu biết nhỏ bé nhưng mongrằng đề tài này sẽ không nhàm chán mà có th ể hữu ích một phần nhỏ trongviệc giải quyết các bài toán dễ dàng, linh hoạt, đúng đắn hơn. Tìm hiểu lí thuyết – phân dạng bài tập về số nguyên tố4II - Mục đích nghiên cứu- Tìm hiểu lí thuyết chung về số nguyên tố để bổ sung thêm một số kiếnthức giúp cho việc giải quyết các bài toán trong phần này.- Phân dạng các bài toán cùng h ướng giải quyết giúp học sinh sinh viênđịnh hình được phương pháp giải mỗi dạng toán trên c ơ sở đó giải quyết đượccác bài toán với những hình thức biến t ướng của nó.III - Nội dung nghiên cứuĐề tài gồm 3 phầnA: Đặt vấn đềB: Nội dungC: Kết luậnNội dung chính đề tài ở phần hai gồm 2 mục là:Phần một: - Cơ sở lí thuyếtPhần hai: - Phân dạng bài toánDạng 1: Các bài toán về tập hợp số nguyên tốDạng 2: Chứng minh một số, một biểu thức là số nguyên tố, hợp sốDạng 3: Tìm số x thõa mãn điều kiện cho trướcDạng 4: Áp dụng giải phương trình nghiệm nguyên, chia hếtDạng 5: Áp dụng, chứng minh một số bổ đề, định lí có ứng dụng tr ong giảicác bài toán về số nguyên tốIV - Phương pháp nghiên c ứuNghiên cứu tài liệu Tìm hiểu lí thuyết – phân dạng bài tập về số nguyên tố5B – NỘI DUNGPhần một: TÌM HIỂU CHUNG VỀ LÝ THUYẾT SỐNGUYÊN TỐVấn đề số nguyên tố là một trong những vấn đề trung tâm của bộ môn sốhọc. Trong chương này ta sẽ tìm hiểu và bổ sung một số vấn đề trong lí thuyếtsố: số nửa nguyên tố, số giả nguyên tố. Để đơn giản, chúng ta xét khái niệm sốnguyên tố trong tập hợp các số tự nhiên I - Số nguyên tố1. Định nghĩaSố nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho một và chính nó.2. Tập hợp số nguyên tố2.1 Định lí 1:Ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của một số tự nhiên lớn h ơn 1 là một số nguyêntố.Chứng minh: (Bằng phản ch ứng)Giả sử a, a > 1 và p > 1: p là ư ớc nhỏ nhất của a thì p là một sốnguyên tố.Thật vậy: p P p phải là hợp số nghĩa là p1\p và 1< p1 < p.Suy ra p1\a mà 1< p1 < p mâu thuẫn (do p là ước nhỏ nhất lơn 1 của a)2.2 Định lí Ơclit: Tập hợp số nguyên tố là v ô hạnChứng minh:Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố p1= 2, p2= 3, ., pnXét a = p1p2 pn + 1 là số tự nhiên lớn hơn 1 nên a có ít nhất một ước sốnguyên tố q.Nhưng vì: Chỉ có hữu hạn số nguyên tố p1, p2, , pn nên q phải trùng vớimột trong các số p1, p2, , pn. Do đó q phải là ước của tích p1p2 pn. Tìm hiểu lí thuyết – phân dạng bài tập về số nguyên tố6Từ q là ước của a = p1p2 pn + 1 và q lại là ước của p1p2 pnsuy ra q làước của a – p1p2 pn = 1. Mâu thuẫn với giả thiết q là số nguyên tố. Vậy t ậphợp số nguyên tố là vô hạ n (đpcm).3. Tính chất của số nguyên tố1) Nếu một số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố a khác 1 thì a = p2) Nếu các số nguyên tố p1, p2, , pn (n ≥ 2) khác nhau từng đôi một thìchúng nguyên tố cùng nhau.3) 2 là nguyên tố chẵn nhỏ nhất cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất.4) Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên suy ra hoặc p \a hoặc (a,p) = 15) Ước số dương bé nhất khác 1 của một hợp số a là một số nguyên tốkhông vượt quáaII - Định lí cơ bản của số họcTrong mục này chúng ta sẽ chứng minh một định lí nói lên vai trò quantrọng của số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên N. Định lí này có nhiều ứngdụng. Để thuận lợi cho việc chứng minh tr ước hết ta chứng minh một số bổ đềsau đây.1) Các bổ đề:1.1 Bổ đề 1: Với số tự nhiên a và số nguyên tố p thì hoặc a nguyên tốcùng nhau với p hoặc a chia hết cho p.Chứng minh: Giả sử: d = ƯCLN(a,p) d\ppdd 1 (a, p là số nguyên tố)1.2 Bổ đề 2: Nếu một tích gồm nhiều số tự nhiên chia hết cho số nguyêntố p thì phải có ít nhất một thừa số của tích chia hết cho pChứng minh:Thật vậy:Giả sử các số tự nhiên không chia hết cho số nguyên tố p. Tìm hiểu lí thuyết – phân dạng bài tập về số nguyên tố7Theo bổ đề 1 chúng đều nguyên tố cùng nhau với p. Do đó ta có tích cácsố tự nhiên nguyên tố cùng nhau với p chứ không phải chia hết p. Mâu thuẫnvới giả thiết rằng p là ước của tích đó.1.3 Hệ quả: Nếu số nguyên tố p là ước của tích các thừa số nguyên tố q1,q2, ., qn thì p phải trùng với một số trong các số nguyên tố của tích đó.2) Định lí cơ bảnMỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành những thừa số nguyêntố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số.Chứng minh:a) Sự phân tích đượcGiả sử a, a > 1 Khi đó a có một ước nguyên tố p1 nào đóTa có: a = a1p1trong đó 1 a1 < a- Nếu a1 = 1 thì a = p1 đó là sự phân tích a thành th ừa số nguyên tố.- Nếu a1 > 1 thì a1 phải có một ước nguyên tố p2 chẳng hạn và ta có:a1 = p1a2nên a = p1p2a2 1 a2 < a1+) Nếu a2 = 1 thì a = p1p2 là sự phân tích a thành thừa số nguyên tố+) Nếu a2 > 1 thì với lập luận như trên ta được thừa số nguyên tố p3, . quátrình đó phải kết thúc vì ta có a > a1 > a2> nên ắt phải có an = 1 ta đượcp1p2 pn là dạng phân tích của a thành lũy thừa số nguyên tốb) Tính duy nhấtGiả sử ta có: a = p1p2 pn = q1q2 qn là 2 dạng phân tích của a thành sốnguyên tố.Thế thì ta có: p1\q1q2 qn Do đó p1 phải là ước của một thừa số nào đóchẳng hạn q1 của tích q1q2 qn. Vậy ta có p1 = q1 và ta được p2p3 pn =q2q3 qnLập lại lý luận trên với p2, p3 . cho tới khi đã ước lược hết các thừa sốnguyên tố của một vế trong đẳng thức trên, vì không thể xảy ra 1 = qn+1 .qm Tìm hiểu lí thuyết – phân dạng bài tập về số nguyên tố8hoặc pm+1 .pn = 1 nên ta được m = n và pi = qi, i =n,1 tính duy nhất đượcchứng minh.Ví dụ: Phân tích a = 300; a =300 = 2.2.5.5.33) Ứng dụng3.1 Tìm ước số- Cho a = p11p22 . pnn (i, pi )d\ad = p11p22 . pnn Với 0ii- Cho (a,b) = 1 khi đó d\ab d\xy với (x,y) = 13.2 Tìm ƯCLN, BCNNGiả sử a = p11p22 . pnn với 0i,i b = p11p22 . pnnKhi đó (a,b) = p11p22 . pnn vớii = min(i,i) [a,b] = p11p22 . pnn vớii = max(i,i)Do đó (a,b).[a,b] = abTính số các ước của một số tự nhiên- Với a =1 thì)(a = 1- Với a >1 Giả sử a = p11p22 . pnn (i )Muốn xác định số các ước của a choi lần lượt các giá trị từ 0 đếni Sốcác ước số của a là)(a = (1 + 1)(2 + 1) .(n + 1)3.4 Tìm tổng các ước của một số tự nhi ên- Với a = 1 thì)(a= 1- Với a > 1 Giả sử a = p11p22 . pnn thì)(a=111111pp112122pp 111nnnpp4) Dạng phân tích tiêu chu ẩnTrong sự phân tích số a >1 thành một tích những thừa số nguyên tố có thểxảy ra nhiều thừa số lặp lại. Gọi p1, p2, , pnlà các ước nguyên tố đôi một Tìm hiểu lí thuyết – phân dạng bài tập về số nguyên tố9khác nhau của a vài (1 i k) là số các nhân tử cùng là pi trong sự phântích a thành thừa số nguyên tố, ta sẽ có a = p11p22 . pkn gọi là dạng phân tíchtiêu chuẩn của a.VD 300 = 22.52.3III - Một số vấn đề về số nguyên tốTrong mục này chúng ta sẽ bổ sung thêm một số vấn đề về số số nguyên tốnhư số nửa nguyên tố, số giả nguyên tố, một vài vấn đề tìm biểu thức lấy cácgiá trị là số nguyên tố và một số vấn đề khác.1) Số nửa nguyên tố- Số nửa nguyên tố là số tự nhiên được tạo thành từ tích của hai số nguyêntố (không nhất thiết phải phân biệt)Ví dụ: các số nửa nguyên tố đầu tiên 4, 6, 9, 14, 15, 21, 15 .- Tính đến nay, số nửa nguyên tố lớn nhất được biết đến là (243112609– 1)2,với hơn 25 triệu chữ số. Nó là bình phương của số nguyên tố lớn nhất đượcbiết. Bình phương của bất kì số nguyên tố nào cũng là số nửa nguyên tố, do đósố nửa nguyên tố tiếp theo được biết đến vẫn sẽ là bình ph ương số nguyên tốlớn nhất được biết (trừ khi tìm ra được một phương pháp khẳng định một sốlớn là số nửa nguyên tố mà không biết hai phần tử của nó).- Giá trị của phi hàm Euler cho số nửa nguyên tố n = pq khi p và q phânbiệt là:)(a = (p – 1)(q – 1) = pq – (p + q) + 1 = n – (p + q) + 12) Số giả nguyên tố2.1 Số giả nguyên tố Fermat- Định nghĩa:Định lí nhỏ Fermat khẳng định: Với mọi số nguyên tố p và số tự nhiên akhông chia hết cho p ta có:ap - 1 1 (mod p)- Dạng khác của định lí Fermat: Tìm hiểu lí thuyết – phân dạng bài tập về số nguyên tố10Nếu p là số nguyên tố a là số n guyên bất kỳ, ap– a sẽ chia hết p. Nghĩa làap a (mod p) Định lí nhỏ Fermat là c ơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suấttrong kiểm tra Fermat.2.2 Số giả nguyên tố (Fermat) mạnhĐịnh nghĩa: Trong đồng dư thức của định lí nhỏ Fermat vớ i số nguyên tốlẻ p và số tự nhiên a không chia hết cho pap – 1 1 (mod p)ta phân tích số chẵn p – 1 = 2sm, với m là số lẻKhi đó: - Hoặc am 1 (mod p) (1)- Hoặc ams2– 1 (mod p) với k nào đó {0,1, s} (2)Số tự nhiên lẻ n trong đó n – 1 = 2sm thỏa mãn am– 1 (mod m) hoặc tồntại k {0, 1, , s} sao cho ams2– 1 (mod m) được gọi là số nguyên tố xácsuất mạnh Fermat cơ sở a.Nếu n là hợp số thì n được gọi là số giả nguyên tố Fermat c ơ sở a.* Số nguyên tố xác suất Fermat mạnh được sử dụng trong kiểm t ra Miller -Rabin để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất của số tự nhiên lẻ.Nhận xét:1) Nếu n là số giả nguyên tố c ơ sở 2 thì m = 2n– 1 cũng là số giả nguyêntố cơ sở 2. Từ đó suy ra có vô hạn số nguyên tố cơ sở 2.2) Mọi số giả nguyên tố mạnh Fermat đều là số giả nguyên tố Fermat.3) Số Carmichael: Hợp số n là số Carmichael nếu nó là số giả nguyên tốFermat với mọi cơ sở a sao cho ƯCLN [a,n] = 1.4) Nếu n < 4759123141 là hợp số thì n không thể là số giả nguyên tố mạnhFermat đồng thời với ba cơ sở a = 2, 7 và 61 (Jaeschhe – 1993).5) Nếu n < 341550071728312 là hợp số thì n không thể là số giả nguyên tốmạnh Fermat đồng thời với bảy cơ sở a = 2, 3, 5, 7, 11, 13 và 17 (Jaeschhe –1993). [...]... nguyên tố vì nó chia hết cho 89 và 23, mặc dù số 11 là số nguyên tố Hiện nay, các số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy thường là số nguyên tố Mersenne 12 Phần hai: PHÂN DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Trong chương này chúng ta s ẽ phân dạng các bài toán về số nguyên tố cùng một số phương pháp giải, bài tập ứng dụng và đưa ra một số bài tập tương tự Dạng 1: Các bài toán về tập hợp số nguyên tố Loại 1: Tìm tập. .. một số nguyên tố nữa 4) Số nguyên tố Mersenne Định nghĩa: Số nguyên tố Mersenne là một số có dạng lũy thừa của 2 trừ 1: 2 n − 1 với n là số nguyên tố Ví dụ: 31 là số nguyên tố Mersenne Mn = 31 = 25 – 1 với 5 là số nguyên tố Điều kiện cần để Mn là số nguyên tố là n là số nguyên tố, 2 4 – 1 = 15 là hợp số vì 4 không là nguyên tố, nh ưng ngược lại không đúng: ví dụ số Mersenne 2047 = 2 11 − 1 không là nguyên. .. Mọi số giả nguyên tố Euler cơ sở a đều là số giả nguyên tố Fermat 2 Mọi số giả nguyên tố Euler – Jacobi cơ sở a đều là số giả nguyên tố Euler cơ sở a 3 Mọi số giả nguyên tố Fermat mạnh c ơ sở a đều là số giả nguyên tố Euler – Jacobi 4 Mọi số giả nguyên tố Euler – Jacobi cơ sở a thỏa mãn một trong hai điều kiện sau là số giả nguyên tố mạnh c ơ sở a 11 +n 3 (mod 4) a n + Kí hiệu Jacobi ( ) = – 1 3) Số nguyên. .. là những số nguyên tố b) p + 2, p + 6 và p + 8 là những số nguyên tố c) p + 10, p + 14 là những số nguyên tố Loại 2: Tìm số tự nhiên n để một số, một biểu thức là số nguyên tố Bài toán 1: Tìm số tự nhiên n để A = n1997 + n1996 + 1 là số nguyên tố Giải: ta có: Trường hợp 1: n = 0 thì A = n1997 + n1996 + 1 không là số nguyên tố Trường hợp 2: n = 1 thì A = n1997 + n1996 + 1 = 3 là số nguyên tố Trường... là số nguyên tố Các bài tập tương tự: 1 Cho 3n – 2n là lũy thừa của 1 số nguyên tố với n nguyên dương Chứng minh n nguyên tố 2 Cho p là một số nguyên tố dạng 4k + 3, a và b là các số nguyên Chứng minh: Nếu a 2 + b2 p thì a, b đều chia hết cho p 3 Số a4 + a2 + 1 có thể là một số nguyên tố không? Loại 2: Chứng minh một số, một biểu thức là hợp số Các bài toán dạng này thường dùng để chứng minh một số, ... Z*) m n Vậy dãy số (p n) n N là đôi Tập các số nguyên tố là vô hạn Cách 3: Chứng minh có vô số số nguyên tố bằng cách dựa vào số ước số nguyên tố của một số Trước hết ta chứng minh với m > 2 ta có số số nguyên tố Với m > 2 (m) > 1, từ đó suy ra có vô m – 1 > 1 và (m – 1,m) = (m,1) = 1 Do đó (m) > 1 Giả sử chỉ có k số nguyên tố p 1, p2, , pk Đặt m = p 1.p2 pk > 2 Với mọi giá trị k nguyên sao cho 1... số lẻ m2 = 1, m2 = 9 m = 1, n =10 m = 3; n = 6 Vậy các giá trị cần tìm là (1, 10) ; (3, 6) Các bài tập tương tự: 1 Tìm n để a) n2009 + n2008 + 1 là số nguyên tố b) n 3 – n2 + n – 1 là số nguyên tố 2 Chứng minh rằng nếu a n + 1 là số nguyên tố với a > 1 thì n = 2 k với k 3 Tìm tất cả các số n sao cho: a n4 + n2 + 1 là số nguyên tố c n1998 + n1997 + 1 là số nguyên tố b n3 – n2 + n – 1 là số nguyên tố. .. Trường hợp này loại vì c = 4 không nguyên tố Vậy bộ 3 số nguyên tố cần tìm là (2; 5; 7) Bài toán 3: Số n = 561 thuộc loại số giả nguyên tố n ào? Giải: Số n = 561 = 3.11.17 là một hợp số Lấy a = 2 ta có: 2 560 4 280 2 560 10 56 (2 ) 2 560 16 35 (2 ) 1 (mod 3) 1 (mod 11) 2560 1 (mod 561) 1 (mod 17) Do đó Số n = 561 là số giả nguyên tố Fermat c ơ sở 2 Bài toán 4: Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn... hợp số Giá trị p cần tìm là p = 2 hoặc p = 5 Các bài tập tương tự: 1 Chứng minh rằng với m > 2 giữa m và m! c ó ít nhất một số nguyên tố Từ đó suy ra rằng có vô số số nguyên tố 2 (Iran 2008) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố p thỏa mãn 13 \(p3 + 1) 3 Chứng minh rằng: a) Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4p 1 (p > 0) 15 b) Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6p 1 (p > 0) Loại 2: Các bài. .. 3 ) ? Dạng2: Chứng minh một số, một biểu thức là số nguyên tố, hợp số Loại 1: Chứng minh một số, một biểu thức là số nguyên tố Thông thường để chứng minh một số, một biểu thức là số nguyên tố người ta dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng 18 Bài toán 1: Cho 2m – 1 là số nguyên tố Chứng minh rằng m là số nguyên tố Chứng minh: Giả sử m là một hợp số m = p.q ( p, q > 1; p, q N) Ta có: 2 m – 1 = 2pq . dạng bài tập về số nguyên tố1 3Phần hai: PHÂN DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐNGUYÊN TỐTrong chương này chúng ta s ẽ phân dạng các bài toán về số nguyêntố cùng một số phương. giải, bài tập ứng dụng và đưa ra một số bàitập tương tự.Dạng 1: Các bài toán về tập hợp số nguyên t Loại 1: Tìm tập hợp số nguyên tố ể giải quyết các bài