Bài viết trình bày bài toán tối ưu tác động nhanh đối với hệ thống tuyến tính có tham số không đổi. Trên cơ sở giải bài toán, tác giả đưa ra cấu trúc thuật toán mở về tác động nhanh tối ưu và cấu trúc tối ưu tác động nhanh của hệ thống điều khiển có thông tin phản hồi.
CHÚC MỪNG NĂM MỚI 2016 BÀI TOÁN VỀ BỘ ĐIỀU TỐC TỐI ƯU TÁC ĐỘNG NHANH ĐỐI VỚI HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH CĨ THAM SỐ KHƠNG ĐỔI ĐỂ THIẾT LẬP TỔ HỢP CÁC MƠ HÌNH ĐIỀU KHIỂN Q TRÌNH TÀU BIỂN TIẾP CẬN GẦN NHAU THE PROBLEM OFF TIME OPTIMAL CONTROLLER FORALINEAR SYSTEM WITHTHE CONSTANT PARAMETER SIND EVELOPMENTOF THE CONTROL MODEL COMPLEX FOR SHIP SINCLÓSE DAPP ROACH TS NGUYỄN XUÂN PHƯƠNG Trường Đại học GTVT Tp Hồ Chí Minh Tóm tắt Bài báo trình bày tốn tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số khơng đổi Trên sở giải tốn, tác giả đưa cấu trúc thuật toán mở tác động nhanh tối ưu cấu trúc tối ưu tác động nhanh hệ thống điều khiển có thơng tin phản hồi Mục đích nghiên cứu nhằm thiết lập tổ hợp mơ hình điều khiển q trình tiếp cận gần tàu biển Từ khóa: Bài tốn tối ưu tác động nhanh, Hệ thống điều khiển có phản hồi, Tiếp cận gần Abstract This paper presents the problem of time-optimal controller for a linear system with constant parameters Basing on the statement of this problem, the author introduced the structure of opened algorithm for quick optimal impact and the structure of quick optimal impact of feedback control system The research objective is to establish the complex of control model for ship in closed approach Key words: Quick Impact Algorithm, Feedback Control System, Closed Approach Mở đầu Để điều khiển chuyển động có mục tiêu tàu biển hệ bậc cao hơn, ví dụ hệ thống ven bờ, cần phải có tổ hợp định chương trình (hay thuật toán) điều khiển hệ thống lượng tổ hợp điều khiển tình xác định bất thường (sau gọi tổ hợp mơ hình điều khiển q trình tiếp cận gần tàu) Trong lĩnh vực có số nghiên cứu Micaelli and Samson (1993, Trajectory tracking for unicycle-typeand two-steering-wheels mobile robots Báo cáo số 2097 Inst National de Recherche en Informatique et en Automatique.), Hauser andHindman (1995, 1997, Maneuver regulation from trajectory tracking: feedback linearizable systems Kỷ yếu hội thảo IFAC symposium on nonlinear control systems design (trang 595600) IFAC, Hoa k.), Encarnaỗóo and Pascoal (2001, Combined trajectory trackingand path followingfor marine craft Kỷ yếu hội thảo Địa trung hải điều khiển tự động, Dubrovnik, Croatia.), Pettersen and Lefeber (2001, Way-point trackingcontrol of ships Kỷ yếu hội thảo lần thứ 40 IEEE điều khiển, trang: 940–945 Orlando, USA.), Al-Hiddabi and McClamroch (2002, Trackingand maneuver regulation control for nonlinear nonminimum phase systems: application to flight control IEEE Transactions on Control System Technology, 10(6), 780–792.) Tại báo này, tác giả trình bày hướng giải vấn đề theo cách thức khác, thơng qua vận dụng kết tốn điều tốc tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số khơng đổi Trình tự xem xét tốn sau [1, 2, 3, 7]: Thiết lập toán điều tốc tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số khơng đổi; Xác định điều kiện cần mà trình điều khiển tối ưu tác động nhanh cần phải thỏa mãn; Thành lập trình tự nghiên cứu cho toán chuẩn tắc; Rút kết luận số lần chuyển vị trình điều khiển tối ưu tác động nhanh; Chứng minh tính trình điều khiển cực trị Trên sở giải toán, đưa cấu trúc thuật toán mở tác động nhanh tối ưu cấu trúc tối ưu tác động nhanh hệ thống điều khiển có thơng tin phản hồi Mục đích nghiên cứu nhằm thiết lập tổ hợp mơ hình điều khiển q trình tiếp cận gần tàu biển Bài toán điều tốc tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số khơng đổi Cho hệ động lực học [1, 2, 3, 5]: x(t ) Ax(t ) Bu(t ) (1) Trong đó:Trạng thái hệ x(t) vectơ n chiều; Ma trận hệ thống А ma trận khơng đổi có thứ nguyên n × n; Ma trận hệ số hàm điều khiển (“tăng cường”) B, có thứ ngun n × r; Trình điều khiển u(t) vectơ r chiều Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 45 – 01/2016 76 CHÚC MỪNG NĂM MỚI 2016 Coi hệ thống hồn tồn điều khiển phần tửu1(t), u2(t),…, ur(t) giới hạn giá trị: (2) | u j (t ) | 1, j 1,2, , r Tại thời điểm đầu cho t0=0 trạng thái ban đầu hệ thống bằng:x(0)= ξ (3) Тìm trình điều khiển u*(t), để đưa hệ thống từξ thời gian ngắn Ta kí hiệu qua λ1, λ2,…, λn giá trị ma trận A, qua b1, b2,…, br– vec-tơ cột ma trận В, lúc ta có: B b1 b2 br (4) Hệ thống hồn tồn điều khiển Điều có nghĩa rằng, trình điều khiển chuyển vị hệ (1) từ trạng thái ξ ban đầu gốc tọa độ 0, có tồn Điều diễn trường hợp, ma trận thứ nguyên n × (rn): G B AB A2B An 1B (5) сó chứa n vec-tơ cột độc lập tuyến tính [5, 8] Tiếp theo thànhlập hàm Hamilton cho toán điều tốc tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số khơng đổi sau [8]: H x(t ), p(t ),u(t ) Ax(t ), p(t ) Bu(t ), p(t ) Ax(t ), p(t ) u(t ),B'p(t ) (6) Xác định điều kiện cần mà trình điều khiển tối ưu tác động nhanh cần phải thỏa mãn Giả sử u*(t) trình điều khiển tối ưu tác động nhanh, đưa trạng thái ban đầu ξ gốc tọa độ Ta kí hiệu qua x*(t) quỹ đạo hệ (1), tương ứng với u*(t), xuất phát từ ξ t0 = đến điểm gốc tọa độ thời gian T* nhỏ (nghĩa x*(0 ) = ξ, x*(T*)=0) Trong trường hợp tồn vec-tơ bổ sung tương ứng p*(t), cho x*(t) p*(t) nghiệm phương trình chuẩn tắc [1, 8]: x (t ) p(t ) H x (t ), p (t ),u (t ) p (t ) (7) H x(t ), p(t ),u(t ) A' p(t ) x(t ) (8) với điều kiện biên sau: x*(0) = ξ; x*(T*) = hệ thức ' (9) ' Ax (t ), p (t ) u (t ),B p (t ) Ax (t ), p (t ) u(t ), B p (t ) (10) thực với tất trình điều khiển cho phép u(t) t ϵ [0,T*], đến hệ thức: u(t ) SIGN q(t ) SIGN B' p(t ) , q*(t) = B’p*(t) (11) Nhờ có (4) mà phương trình (11) viết dạng biểu thức thông qua phần tử sau: uj (t ) SIGN qj (t ) SIGN b j , p(t ) , j 1,2, , r (12) t ϵ [0,T*] tồn hệ thức [8]: H x(t ), p(t ),u(t ) Ax(t ), p(t ) u(t ), B' p(t ) (13) Trình tự nghiên cứu cho tốn chuẩn tắc - Các điều kiện cần đủ tính chuẩn tắc tốn Bài tốn tác động nhanh tối ưu chuẩn tắc trường hợp, tất ma trận G1, G2,…, Gr thứ ngun n× n ma trận khơng suy biến [5, 8]: G1 b1 Ab1 A2b1 An 1b1 ; G2 b2 Ab1 A2b2 An 1b2 ; (14) Gr br Abr A2br An 1br Nếu tốn tác động nhanh, hệ tuyến tính: x(t ) Ax(t ) Bu(t ) hệ chuẩn tắc trình điều khiển tối ưu tác động nhanh trình điều khiển (nếu có tồn tại) [1, 3] Chứng minh: Giả thiết, u1 (t ) u2 (t ) – hai trình điều khiển tối ưu tác động nhanh khác biệt nhau, điều chuyển trạng thái ban đầu ξ với khoảng thời gian (như nhau) nhỏ T* Và giả sử x1 (t ) x2 (t ) – quỹ đạo riêng biệt khác nhau, xuất phát từ ξ Lúc đó: Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 45 – 01/2016 77 CHÚC MỪNG NĂM MỚI 2016 t x1(t ) e At e A Bu1( )d (15) t e A Bu ( )d (16) x2 (t ) e At Do hai trình điều khiển u1(T ), u2 (T ) giả thiết tối ưu, phải tồn tham biến bố sung p1(t ) eA t1 p2 (t ) eA t , tương ứng với u1(T ), u2 (T ) thế, cho hệ thức [1, 3, 4]: ' ' u1(t ) SIGN {B'eA t 1} ' (17) u2 (t ) SIGN {B'eA t } ' (18) xác định (theo tính chất chuẩn tắc) trình điều khiển tập hợp thời điểm chuyển vị tính u1 (T ), u2 (T ) Kết luận số lần chuyển vị trình điều khiển tối ưu tác động nhanh Giả thiết hệ: (19) x(t ) Ax(t ) Bu(t ) hệ chuẩn tắc giá trị riêng λ1, λ2, …, λn ma trận hệ A – số thực Lúc đó, giả sử uj (t ), j 1,2, ,r – thành phần trình điều khiển (duy nhất) tối ưu tác động nhanh (nếu tồn tại), tγj – thời điểm chuyển vị hàm liên tục – phần uj (t ) Lúc số chuyển vị lớn γj khơng thể vượt n - với j = 1, 2,…, r Hay nói cách khác, trình điều khiển liên tục-từng phần uj (t ) chuyển vị (từ +1 sang -1 từ -1 +1) không n - lần [1, 3, 4] Chứng minh Giả thiết thêm rằng, λ1, λ2, …, λn giá trị khác Biết [4, 5] thành phần uj (t ) trình tối ưu tác động nhanh xác định phương trình: u j (t ) sign e At b j , , 0; j 1,2, , r (20) Theo định nghĩa thời điểm chuyển vị t j ta có: e At j b j 0, j 1,2, (21) Ta biết [8], ma trận e t e At có liên hệ với hệ thức: et P 1eAt P At (22) t 1 Từ biểu thức cuối ta kết luận rằng: e Pe P , Và hệ thức (20) quy phương trình: uj (t ) sign Pe t P 1b j , (23) n sign e kj k t k 1 (24) Tính trình điều khiển cực trị toán điều tốc tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số khơng đổi Giả thiết u10 (t ),0 t T1 u20 (t ),0 t T2 – hai trình điều khiển cực trị tốn tác động nhanh [1, 5, 8] Nếu hệ x(t ) Ax(t ) Bu(t ) chuẩn tắc trình tối ưu tác động nhanh u*(t) có tồn tại, T1 T2 T (25) u10 (t ) u20 (t ) u (t ) (26) thì: Chứng minh Giả thiết rằng, trình điều khiển cực trị u10 (t ) u20 (t ) trình điều khiển T1 T2 khác có [1, 5, 8]: Thành lập tích vơ hướng ,1 : T1 ,1 1, e At (27) T1 Bu10 (t )dt Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải 1, e At Bu20 (t )dt (28) Số 45 – 01/2016 78 CHÚC MỪNG NĂM MỚI 2016 Bởi 1 – vec-tơ số, nên ta có: T1 e At T2 1, Bu10 (t ) dt e At 1, Bu20 (t ) dt (29) Đồng thời xét tới (28), ta lại có: T1 T2 p1, Bu10 (t ) dt p ,Bu (t ) dt (30) Bởi u10 – trình điều khiển cực trị, nên tìm hệ thức [5, 8]: p1,Bu10 (t ) p1,Bu20 (t ) ;t [0,T2 ] (31) Từ (28) (29) theo [5, 8], với u10 (t ) u20 (t ) khác nhau, thu hệ thức: T1 T2 p1, Bu10 (t ) dt p ,Bu (t ) dt (32) Kết luận Như đẳng thức (30) bất đẳng thức (32) mâu thuẫn Cho nên, u10 (t ) u20 (t ) khơng thể khác được, có T1 T2 u10 (t ) u20 (t ) Cũng trình điều khiển cực trị nên giả thiết trình điều khiển tối ưu tác động nhanh u*(t) có tồn (vì tính chất chuẩn tắc), nên điều kiện (25) (26) thỏa mãn, chứng minh tồn trình điều khiển tối ưu [3, 5, 8] Bài toán điều tốc tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số không đổi giải với giả thiết miền cuối điểm gốc tọa độ không gian pha [6, 7] Tuy nhiên, đáng tiếc điều chứng minh khơng đúng, điểm gốc tọa độ khơng phải trạng thái cuối hệ Nói cách khác, muốn chuyển vị hệ từ trạng thái ban đầu ξ trạng thái θ≠ khoảng thời gian ngắn nhất, có nhiều trình điều khiển cực trị Vì điều kiện hàm Hamiltonian dọc theo quỹ đạo tối ưu không chưa vận dụng,nên ta cần cực tiểu hóa hàm Hamiltonian để chứng minh vấn đề [8] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Кулибанов Ю М Оптимизация эксплуатационных режимов работы дизельных энергетических установок судов внутреннего плавания Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук –Л 1990 с [2] Кулибанов Ю М Основы системотехники.Учебное пособие – Л.: ЛИВТ, 1988 – 46 с [3] Кулибанов Ю М Судно как объект многосвязного регулирования при оптимальном управлении главными двигателями Тр ин-та: Экономика и организация перевозок ЛИВТ – 1966 часть I – с 78 – 88 [4] Кулибанов Ю М., Кулибанов М Ю Групповое поведение в системах человек-машина Сб научных трудов "190 лет транспортного образования" СПб.: СПГУВК, 1999 с.184-188 [5] Kose, K (1982) On a New Mathematical Model of Maneuvering of A Ship and Its Applications International Shipbuilding Progress, 336 pp 201-219 [6] Кулибанов Ю М., Кулибанов М Ю Особые управления в человеко-машинных системах оптимизации расхода топлива Сб научных трудов "Методы прикладной математики в транспортных системах" выпуск II, СПб.: СПГУВК, 1998 с 78-83 [7] Маслов Ю.В Энергосберегающие технологии в управлении движением судов на внутренних водных путях СПб.: Судостроение, 2004 г., 245 с [8] Болнокин В.Е., Хо Дак Лок, Данг Ван Уи Адаптивные системы управления на базе нечетких регуляторов и нейросетевой технологии, монография, издание третье, расширенное и дополненное, М.: издательство ИИНТЕЛЛ, 2011, 428 с Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 45 – 01/2016 79 ... (24) Tính trình điều khiển cực trị toán điều tốc tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số không đổi Giả thiết u10 (t ),0 t T1 u20 (t ),0 t T2 – hai trình điều khiển cực trị toán. .. chứng minh tồn trình điều khiển tối ưu [3, 5, 8] Bài toán điều tốc tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số khơng đổi giải với giả thiết miền cuối điểm gốc tọa độ không gian pha [6,... (5) сó chứa n vec-tơ cột độc lập tuyến tính [5, 8] Tiếp theo thànhlập hàm Hamilton cho toán điều tốc tối ưu tác động nhanh hệ thống tuyến tính có tham số khơng đổi sau [8]: H x(t ), p(t ),u(t