Giải tích 2 dành cho sinh viên ngành toán -toán tin

Giải tích 2 dành cho sinh viên ngành toán -toán tin

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC TẠ LÊ LI GIẢI TÍCH (Giáo Trình) Lưu hành nội -Đà Lạt 2008 Hướng dẫn sinh viên đọc giáo trình Đây giáo trình Giải tích dành cho sinh viên ngành Toán hay ngành Toán Tin Nội dung đề cập đến số khái niệm dãy chuỗi hàm, không gian Rn , tính liên tục, đạo hàm tích phân Riemann hàm nhiều biến thực Để đọc giáo trình sinh viên cần có kiến thức Giải tích (phép tính vi tích phân hàm thực biến thực) Đại số tuyến tính (e.g ánh xạ tuyến tính, ma trận, ) Giáo trình trình bày theo lối tuyến tính, người đọc lần đầu nên đọc phần theo thứ tự Để đọc cách tích cực, sau khái niệm định lý sinh viên nên đọc kỹ ví dụ, làm số tập nêu liền Ngoài học toán phải làm tập Một số tập chương nêu phần cuối giáo trình Về nguyên tắc nên đọc phần giáo trình Tuy vậy, nêu số điểm cần lưu ý chương: I Dãy hàm - Chuỗi hàm Có thể bỏ qua tính hội tụ chuỗi Fourier (mục 4.5) II Không gian Rn Tiết phần đọc thêm nên bỏ qua III Hàm liên tục Rn Có thể không đọc mục 3.4 IV Đạo hàm Phần sử dụng số kiến thức ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính V Tích phân Riemann Có thể bỏ qua chứng minh: Tiêu chuẩn Darboux (mục 1.3) Công thức đổi biến (mục 3.3) Để việc tự học có kết tốt sinh viên nên tham khảo thêm số tài liệu khác có nội dung liên quan (đặc biệt phần hướng dẫn giải tập) Khó nêu hết tài liệu nên tham khảo, đề nghị tài liệu sau (bằng tiếng Việt): [1] Jean-Marier Monier, Giải tích , NXB Giáo dục [2] Y.Y Liasko, A.C Bôiatruc, IA G Gai, G.P Gôlôvac, Giải tích toán học - Các ví dụ toán, Tập II , NXB Đại học trung học chuyên nghiệp Ngoài ra, sinh viên nên tìm hiểu sử dụng số phần mềm máy tính hỗ trợ cho việc học làm toán Maple, Mathematica, Chúc bạn thành công! Giải Tích Tạ Lê Lợi Mục lục Chương I Dãy hàm - Chuỗi hàm Dãy hàm Chuỗi hàm Chuỗi lũy thừa Chuoãi lượng giác Chương II Không gian Rn Khoâng gian Euclid Rn Topo Rn Taäp compact Tập liên thông Tổng quát hoá Chương III Hàm liên tục Rn Giới hạn hàm Tính liên tục Sự hội tụ Định lý Stone-Weierstrass Chương IV Đạo hàm Đạo hàm Caùc qui tắc - Định lý phần gia Đạo hàm cấp cao - Công thức Taylor Định lý hàm ngược - Định lý hàm ẩn 19 21 22 23 24 27 30 34 36 41 45 49 54 Chương V Tích phân Riemann Tích phân Riemann 59 Lớp hàm khả tích Riemann 62 Các công thức tính tích phân 65 Baøi taäp 73 I Dãy hàm - Chuỗi hàm Chương ta xét đến dãy hàm chuỗi hàm Ngoài hội tụ điểm, khái niệm quan trọng tính hội tụ đều, bảo toàn số tính chất giải tích dãy hàm qua giới hạn Đặc biệt nêu kết việc khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa (khai triển Taylor) hay chuỗi lượng giác (khai triển Fourier) DÃY HÀM 1.1 Định nghóa Một dãy hàm X họ hàm fn : X → R (n ∈ N) Ký hiệu (fn )n∈N Với x ∈ X , (fn (x))n∈N dãy số Tập D = {x ∈ X : dãy số (fn (x))n∈N hội tụ } gọi miền hội tụ dãy (fn ) Khi ñoù, ta coù D x → f (x) = n→∞ fn (x) xác định hàm ta nói (fn ) hội tụ lim (điểm hay đơn giản) hàm f D Ví dụ a) Cho fn (x) = − |x| (n ∈ N), dãy hàm R Dãy hội tụ R hàm n f (x) = lim (1 − |x|) = 1, ∀x n→∞ n b) Cho fn (x) = xn (n ∈ N), Trên miền dãy hội tụ hàm dãy hàm R Miền hội tụ dãy f (x) = lim xn = n→∞ (−1, 1] neáu |x| < neáu x = Nhận xét Ở ví dụ fn liên tục (thậm chí khả vi), hàm giới hạn f không liên tục Tốc độ hội tụ (fn (x)) với x ∈ D khác Bài toán: Với điều kiện hàm giới hạn bảo toàn tính chất giải tích liên tục, khả vi, khả tích dãy? 1.2 Sự hội tụ Dãy hàm > 0, tồn N , cho (fn ) gọi hội tụ hàm f D nếuu với n ≥ N ⇒ |fn (x) − f (x)| < , ∀x ∈ D Nói khaùc: Mn = sup |fn (x) − f (x)| → 0, x∈D Ví dụ Trong hai ví dụ nêu trên, ta có dãy hàm hội tụ không ñeàu n → ∞ Mn = sup |fn (x) − f (x)| = Vậy Mệnh đề Nếu hội tụ (fn ) (gn ) hội f + g cf D tụ f g D, (fn + gn ) (cfn ) 1.3 Tiêu chuẩn Cauchy Dãy hàm (fn ) hội tụ D ∀ > 0, ∃N : n, m ≥ N ⇒ sup |fn (x) − fm (x)| < x∈D Chứng minh: Gỉa sử (fn ) hội tụ f D Khi ∀ > 0, ∃N : n ≥ N ⇒ sup |fn (x) − f (x)| < /2 x∈D Suy m, n ≥ N , ta coù sup |fn (x) − fm (x)| < sup |fn (x) − f (x)| + sup |fm (x) − f (x)| < x∈D x∈D x∈D Gỉa sử ngược lại (fn ) thỏa tiêu chuẩn Cauchy D Khi với x ∈ D, dãy số (fn (x)) dãy Cauchy, nên hội tụ f (x) ∈ R Hơn nữa, từ tiêu chuẩn trên, cho m → ∞, → 0, ta có sup |fn (x) − f (x)| → 0, x∈D n → ∞ Vaäy (fn ) hội tụ f D 1.4 Mệnh đề (1) Gỉa sử (fn ) dãy hàm liên tục hội tụ f D Khi f hàm liên tục D Đặc biệt, chuyển thứ tự lim lim lim fn (x) = lim lim fn (x) n→∞ x→x0 x→x0 n→∞ (2) Gỉa sử (fn ) dãy hàm liên tục hội tụ [a, b] Khi chuyển thứ tự lim lim b n→∞ a fn (x)dx = b lim fn (x)dx a n→∞ (3) Cho (fn ) dãy hàm khả vi liên tục [a, b] Gỉa sử dãy đạo hàm (fn ) hội tụ [a, b] dãy số (fn (c)) hội tụ với c ∈ [a, b] Khi (fn ) hội tụ hàm khả vi f [a, b] chuyển thứ tự lim đạo hàm lim f (x) n→∞ n = lim fn (x) n→∞ Chứng minh: (1) Cho x0 ∈ D Với > Do hội tụ đều, tồn N cho: |fN (x) − f (x)| < /3, ∀x ∈ D Do fN lieân tục x0 , tồn δ > 0, cho: |fN (x) − fN (x0 )| < /3, ∀x, |x − x0 | < δ Vaäy |x − x0 | < δ , |f (x)−f (x0 )| ≤ |f (x)−fN (x)|+|fN (x)−fN (x0 )|+|fN (x0 )−f (x0 )| < /3+ /3+ /3 = I.2 Chuỗi hàm lim lim lim lim lim Vậy f liên tục x0 , i.e x→x0 f (x) = x→x0 n→∞ fn (x) = f (x0 ) = n→∞ x→x0 fn (x) (2) Gỉa sử fn liên tục hội tụ Theo (1) hàm giới hạn f liên tục nên khả tích [a, b] Hơn b a Vậy b lim n→∞ a fn − x x c a b fn = (3) Đặt Fn (x) = b a x∈[a,b] f= fn b lim fn a n→∞ Theo (2) dãy (Fn ) hội tụ hàm F [a, b], lim fn c n→∞ Fn (x) = fn (x) F (x) = Suy f = F + lim fn (c) Hơn nữa, ta coù n→∞ Ta coù n → ∞ f ≤ |b − a| sup |fn (x) − f (x)| → 0, − fn (c) f (x) = F (x) = fn = Fn + fn (c) lim n→∞ c x fn hội tụ [a, b] = ( lim fn ) (x) n→∞ CHUỖI HÀM 2.1 Định nghóa Một chuỗi hàm X tổng hình thức ∞ fk = f0 + f1 + · · · + fn + · · · k=0 fk hàm xác định X Xét chuỗi tương đương với xét dãy hàm tổng riêng thứ n: Sn = f0 + · · · + fn Mieàn hội tụ chuỗi: D = {x ∈ X : dãy hàm (Sn (x))n∈N hội tụ } ∞ Khi S(x) = fk (x) xác định hàm D Ta nói k=0 ∞ fk k=0 chuỗi hàm hội tụ D nếuu dãy hàm tổng riêng (S n )n∈N hội tụ S D, i.e Mn = sup |Sn (x) − S(x)| = sup | x∈D Ví dụ Xét chuỗi hàm ∞ x∈D k=n+1 ∞ k=0 fk (x)| → 0, n→∞ xk = + x + x2 + · · · + xn + · · · Miền hội tụ chuỗi D = {x ∈ R : |x| < 1} miền Dr = {x : |x| ≤ r}, với < r < Chuỗi hội tụ S(x) = Thật vậy, ta có 1−x − xn+1 neân Sn (x) = 1−x sup |Sn (x) − S(x)| = sup |xleqr |x|≤r rn+1 xn+1 → 0, ≤ 1−x 1−r n→∞ Tuy nhiên chuỗi không hội tụ D, ∞ 2.2 Tiêu chuẩn Cauchy Chuỗi hàm fk sup |Sn (x) − S(x)| = +∞ |x|≤1 hội tụ D chæ k=0 m ∀ > 0, ∃N : n, m ≥ N ⇒ sup | x∈D k=n 2.3 Meänh đề Gỉa sử chuỗi hàm ∞ fk fk (x)| < hội tụ [a, b] Khi k=0 (1) Nếu fk liên tục [a, b] với k ∈ N, chuỗi xác định hàm liên tục [a, b] Đặc biệt chuyển lim vào dấu lim ∞ x→x0 ∞ fk (x) = k=0 lim fk (x) k=0 x→x0 (2) Neáu fk liên tục [a, b], chuyển vào daáu ∞ b a fk (x) dx = k=0 ∞ b a k=0 (3) Nếu fk khả vi liên tục [a, b] chuỗi fk (x)dx ∞ k=0 fk hội tụ [a, b], fk (x) = k=0 ∞ k=0 fk (x) 2.4 Một số dấu hiệu hội tụ cho chuỗi hàm Weierstrass M-test: Nếu |fk (x)| ≤ ak , ∀x ∈ D D Dirichlet: Nếu (fk ) ∞ fk ϕk Chứng minh: Nếu |fk (x)| ≤ ak , fk k=0 hội tụ, k=0 fk hội tụ k=0 ∞ ϕk chuỗi hàm có dãy tổng hội tụ D Abel: Nếu (fn ) dãy đơn điệu bị chặn ∞ ak ∞ k=0 k=0 chuỗi ∞ dãy giảm, hội tụ riêng bị chặn D, fk k=0 hàm khả vi [a, b] lấy đạo hàm vào dấu ∞ ∞ m ∞ ϕk hội tụ D, k=0 k=n |f (x)| ≤ m k=n ∞ fk ϕk hội tụ k=0 ak Theo tiêu chuẩn Cauchy hội tụ Hai tiêu chuẩn sau chứng minh phần chuỗi số (Bài tập) I.3 Chuỗi lũy thừa CHUỖI LŨY THỪA Phần nghiên cứu chuỗi lũy thừa chuỗi hàm dạng quát chuỗi lũy thừa tâm x0 , Nhận xét Khi thay biến chuỗi lũy thừa ∞ k=0 k=0 ak xk , hay toång ak (x − x0 )k z = x − x0 3.1 Định lý Abel Cho chuỗi S(x) = ∞ ∞ ta đưa chuỗi lũy thừa tâm ak (x − x0 )k x0 dạng Khi tồn R, ≤ R ≤ +∞, k=0 cho, R > 0, (1) S(x) hội tụ |x − x0 | < R, phân kỳ |x − x0 | > R (2) S hội tụ Dr = {x : |x − x0 | ≤ r}, với < r < R Số R gọi bán kính hội tụ S tính công thức Cauchy-Hadamard = lim sup R k→∞ k |ak | Chứng minh: Như nhận xét tịnh tiến từ x0 đổi biến z = x − x0 Khi |z| ≤ r < R Choïn ρ : r < ρ < R Theo định nghóa lim sup, tồn taïi k0 cho: 1 r k Theo M-test S(z) hội tụ đóa |ak | k < , ∀k > k0 Suy |ak z k | < ρ ρ Dr Từ suy S(z) hội tụ |z| < R Khi |z| > R Choïn ρ : R < ρ < |z| Theo định nghóa lim sup, tồn vô số số k: |ak | k > ρ kiện cần Vậy |ak z k | > ∞ ak z k k=0 |z| ρ k với vô số số k Suy ak z k → 0, nên theo điều phân kỳ Nhận xét Do nhận xét phần chuỗi số, dùng công thức D’Alembert để tính bán kính hội tụ (nếu giới hạn tồn taïi): |ak+1 | = lim R k→∞ |ak | Ví dụ a) Chuỗi b) Chuỗi ∞ k=0 ∞ k!xk xk k! k=0 có bán kính hội tụ R = |an | k! = lim = n→∞ (k + 1)! k→∞ |an+1 | lim có bán kính hội tụ ∞ c) Định lý Abel không cho kết luận hội tụ hay phân kỳ chuỗi |x−x | = R ∞ ∞ xk ∞ xk , có bán kính hội tụ 1, tính Chẳng hạn chuỗi xk , k=0 k=1 k k=1 k hội tụ |x| = khác ∞ Chuỗi xk phân kỳ x = ±1, theo điều kiện cần Chuỗi Chuỗi k=0 ∞ xk k2 k=1 ∞ xk k k=1 hội tụ |x| = 1, theo tiêu chuẩn so sánh phân kỳ x = 1, nhng hội tụ x = −1 theo tiêu chuẩn Leibniz 3.2 Mệnh đề Gỉa sử chuỗi lũy thừa ∞ Khi S(x) = ak (x − x0 )k ∞ ak (x − x0 )k coù bán kính hội tụ R > k=0 xác định hàm khả vi cấp (x0 − R, x0 + R) k=0 ta lấy đạo hàm tích phân vào dấu tổng: ∞ ak (x − x0 )k k=0 ∞ ak (x − x0 )k dx = k=0 ∞ = kak (x − x0 )k−1 k=1 ∞ ak (x − x0 )k+1 + C k+1 k=0 Chứng minh: Suy từ Định ký Abel kết qủa từ tính hội tụ chuỗi hàm Ví dụ a) Ta có ∞ (−1)k xk = k=0 Đạo hàm từ ta có Tích phân từ ta có b) Ta có khai triển , |x| < 1+x ∞ (−1)k kxk−1 = − k=1 ∞ , |x| < (1 + x)2 (−1)k xk+1 = ln(1 + x), |x| < k+1 k=0 ∞ 1 = − x2 + x4 − x6 + · · · = = (−1)k x2k , |x| < 1 + x2 − (−x2 ) k=0 Tích phân từ ta có arctan x = x − ∞ x2k+1 x3 x5 x7 + − +··· = , |x| < (−1)k 2k + k=0 Bài tập: Áp dụng dấu hiệu Abel cho hội tụ chuỗi với ϕk (x) = ak chứng minh Định lý Abel sau đây: Nếu chuỗi ∞ ak k=0 lim S(x) = S x→1− hội tụ có tổng S , S(x) = ∞ k=0 ak xk f k (x) = xk hội tụ |x| < I.3 Chuỗi lũy thừa c) Dễ thấy chuỗi cuối hai ví dụ thỏa định lý Abel, suy ta có công thức tính gần 1 1 (−1)n+1 + − + − ···+ + Rn n+1 ln = − Bài tập: Chứng 1 1 (−1)n π = − + − + − ···+ + Rn 2n + 1 minh sai số Rn hai công thức O( n ) Hệ qủa Nếu hàm f (x) = ∞ f biểu diễn thành chuỗi lũy thừa lân cận x0 , i.e ak (x − x0 )k , biểu diễn Cụ thể k=0 ak = f (k) (x0 ) k! k = 0, 1, 2, · · · Chứng minh: Qui nạp mệnh đề trên, với n ∈ N x lân cận x , ta coù ∞ ak (x − x0 )k (n) = k=0 Cho x = x0 ta có công thức 3.3 Chuỗi Taylor Cho Taylor f x0 ∞ k(k − 1) · · · (k − n + 1)ak (x − x0 )k−n k=n hàm khả vi vô hạn lân cận ký hiệu định nghóa f T f (x) = ∞ ak (x − x0 )k , k=0 ak = x0 Khi chuỗi f (k) (x0 ) k! Bài toán T f (x) = f (x) ? Có khả xảy ra: (1) T f (x) không hội tụ Ví dụ chuỗi Taylor hàm f (x) = ∞ sin 2k x k! k=0 (2) T f (x) hội tụ T f (x) = f (x) Ví dụ hàm f (x) = e− x2 , x = 0, f (0) = 0, hàm khả vi vô hạn f (k)(0) = 0, ∀k Vaäy T f (x) ≡ = f (x) (3) T f (x) = f (x), |x − x0 | < R Khi ta nói f hàm giải tích D = {x : |x − x0 | < R} Mệnh đề Nếu f hàm khả vi vô hạn tồn C (x0 − R, x0 + R), f hàm giải tích khoảng cho |f (k) (x)| ≤ C, ∀x ∈ Chứng minh: Theo công thức Taylor, với x ∈ (x0 − R, x0 + R), tồn taïi θ ∈ (0, 1), cho |f (x) − Tn (x)| = |Rn (x)| = CRn+1 f (n+1) (x0 + θR) (x − x0 )n+1 ≤ (n + 1)! (n + 1)! 78 Bài tập Xét tính liên tục hàm: xy(x + y) , (x, y) = (0, 0); f (0, 0) = x2 + y exy − , neáu xy = 0; f (x, y) = 0, neáu xy = b) f (x, y) = 2xy sin xy , neáu x = 0; f ((0, y) = y c) f (x, y) = x a) f (x, y) = Tìm ví dụ hàm liên tục theo biến không liên tục xy (HD: Xét f (x, y) = 2 , f (0, 0) = 0) x +y Tìm ví dụ hàm f : R2 → R liên tục hạn chế đường thẳng qua (0, 0), không liên tục (HD: Xét f (x, y) = x2 y x4 + y neáu (x, y) = (0, 0), f (0, 0) = 0) Cho f : R → R, thoaû f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Chứng minh f liên tục 0, f liên tục 10 Cho g : R → R, thoaû g(x + y) = g(x)g(y), ∀x, y ∈ R Chứng minh g liên tục 0, g liên tục p 11 Cho f : [0, 1] −→ [0, 1], f (x) = , neáu x = phân số tối giản; q q x vô tỉ Chứng minh f liên tục điểm vô tỉ f (x) = 0, 12 Cho f : Rn → Rm Chứng minh điều sau tương đương (i) f liên tục Rn (ii) f −1 (V ) mở với tập mở V ⊂ Rm (iii) f −1 (F ) laø đóng, với tập đóng F ⊂ Rm 13 Chứng minh U ⊂ R tập mở, 14 Cho f đóng : Rn → R {(x, y) ∈ R : x ∈ U } liên tục Chứng minh tập 15 Tìm ví dụ f : R → R liên tục không mở (t.ư không đóng) U ⊂R tập mở {x ∈ Rn : ≤ f (x) ≤ 1} tập tập mơ (t.ư đóng) f (U ) 16 Chứng minh tập ma trận khả nghịch {A ∈ M at(n, n) : det A = 0} mở không gian Mat(n, n) ma trận vuông cấp n R 17 Cho f : R → R liên tục Các tập sau mở, đóng, compact, liên thông? {x : f (x) = 0} {x : f (x) > 1} {f (x) : x ≥ 0} {f (x) : ≤ x ≤ 1} 18 Cho f : R2 → R liên tục Chứng minh {f (x, y) : x2 + y2 = 1} đoạn inf 19 Cho X ⊂ Rn Định nghóa d(x, X) = y∈X d(x, y) a) Chứng minh hàm x → d(x, X) Rn |d(x, X) − d(x , X)| ≤ d(x, x ) ) hàm liên tục (HD: Chứng minh 79 Bài tập b) Chứng minh: x∈X d(x, X) = d(x, X) c) Cho X, Y tập đóng rời Xét hàm f (x) = d(x, X) + d(x, Y ) Chứng minh f liên tục f −1 (1) = Y, f −1 (0) = X Suy tồn tập mở U, V rời X ⊂ U, Y ⊂ V (Ta nói: Rn , hai tập đóng rời tách hai tập mở) inf 20 Định nghóa khoảng tập X, Y cuûa Rn : d(X, Y ) = x∈X,y∈Y d(x, y) n compact, X đóng Từ tính liên tụcỏua haøm K x → d(x, X), Cho K ⊂ R chứng minh tồn x0 ∈ K, y0 ∈ X cho d(x0 , y0 ) = d(K, X) Tìm ví dụ điều kiện K compact thiếu 21 Cho f : Rn → Rm liên tục Chứng minh B ⊂ Rn tập giới nội, f (B) tập giới nội 22 Đúng hay sai: f : Rn → Rm liên tục K compact (t.ư liên thông), f −1 (K) compact (t.ư liên thông) 23 Cho ví dụ hàm f liên tục, giới nội không đạt max, 24 Cho f : K → R liên tục, K compact Chứng minh tập M = {x : f (x) = max f } K compact 25 Đúng hay sai: không tồn toàn ánh liên tục từ [0, 1] lên (0, 1) 26 Cho f : K −→ f (K) laø 1-1 liên tục Chứng minh K compact, f −1 liên tục Nếu K không compact sao? 27 Chứng minh hàm g(x) = sin liên tục giới nội, không liên tục x (0, +∞) 28 Cho f : A → Rm , A ⊂ Rn Ta nói f thoả điều kiện Lipschitz nếuu ∃L > : f (x) − f (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ A a) Chứng minh f thoả điều kiện Lipschitz, f liên tục b) Xét xem tổng, tích hàm thoả điều kiện Lipschitz có thoả điều kiện Lipschitz không? 29 Chứng minh thông f : R n −→ Rm liên tục, đồ thị Gf tập đóng liên 30 Cho f : C → R liên tục, C liên thông Chứng minh f (x) = 0, ∀x ∈ C , f (x) dương hay âm với x ∈ C 31 Chứng minh đa thức bậc lẻ hệ số thực cóít nghiệm thực 32 Chứng minh phương trình x4 + 7x3 − = có hai nghiệm thực 33 Chứng minh phương trình: tgx = x có vô số nghiệm 34 Cho f : [a, b] → [a, b] liên tục Chứng minh f có điểm bất động, i.e điểm x0 : f (x0 ) = x0 80 Bài tập 35 Cho f hàm liên tục [0, 2π] (0, 2π), f (c) = f (c + π) vaø f (0) = f (2π) Chứng minh tồ c ∈ 36 Cho f : [a, b] → R lieân tục, f (a)f (b) < Nêu phương pháp xấp xỉ tìm nghiệm √ phương trình f (x) = Áp dụng tính gần với sai số < 10 , cách − = [0, 2] tìm nghiệm x 37 Với giá trị α ∈ R, thỉ hàm f (x) = αx, x∈R ánh xạ co? 38 Cho A : R2 → R2 ánh xạ tuyến tính xác định ma trận A = a) Chứng minh a, b, c, d > 0, A xác định ánh xạ: R+ = {x ∈ R : x > 0} b) Với điều kiện a) định nghóa f : [0, π ] → [0, π ], 2 A cos ϕ sin ϕ = λ(ϕ) R2 + a b c d → R2 , + với cos f (ϕ) sin f (ϕ) Chứng minh f liên tục Từ suy A có vector riêng thuộc R + c) f có aùnh xaï co? 39 Cho f : R2 → R2 , ánh xạ tuyến tính f (x, y) = (ax + by, cx + dy) Tìm điều kiện cho a, b, c, d để f ánh xạ co không gian Euclid R2 Tổng quát tập f : Rn → Rn , f (x) = Ax, A = (aij ) ma trận vuông cấp n 40 Cho f : [0, r] → [0, r], f (x) = x2 Định r để f ánh xạ co 41 Cho f : X → X , thoaû: d(f (x), f (y)) < d(x, y), ∀x, y ∈ X, x = y a) Tìm ví dụ hàm f thoả bất đẳng thức điểm bất động b) Chứng minh f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = sin x, thỏa bất đẳng thức không ánh xạ co 42 Cho f :K →K ánh xạ co tập compact K Ký hiệu fn = f ◦ · · · ◦ f Chứng minh ∩n∈N fn (K) tập có điểm n ln 43 Tìm ví dụ: Dãy hàm liên tục hội tụ hàm liên tục, hội tụ không Dãy hàm không liên tục hội tụ hàm liên tục 44 Đúng hay sai: Nếu dãy hàm (fk ) hội tụ f dãy số (x k ) hội tụ x, dãy (fk (xk )) hội tụ f (x) 45 Cho dãy đa thức Pk (x) = + x + · · · + xk , k ∈ N, vaø haøm f (x) = 1−x Chứng minh với < c < 1, (Pk ) hội tụ f [0, c], không hội tụ f (0, 1) 46 Ta nói g hàm tuyến tính khúc [a, b] nếuu tồn cacù điểm: a = a0 < a1 < · · · < an = b, cho g(x) = Ak x + Bk , x ∈ [ak−1 , ak ], k = 81 Baøi tập 1, · · · , n Tìm hệ thức mà hệ số Ak , Bk phải thỏa để g liên tục Chứng minh hàm liên tục [a, b] giới hạn dãy hàm tuyến tính khúc 47 Viết đa thức Berstein Bk (f ), hàm f (x) = x2 , với x ∈ [0, 1] Tìm k cho Bk (f ) − f = sup (|Bk (f )(x) − x2 |) < 1000 x∈[0,1] 48 Viết đa thức Berstein Bk (f ), hàm (Bk (f )) hội tụ f f (x) = x3 , x ∈ [0, 1] Chứng minh 49 Chứng minh hàm f (x) = ex , x ∈ R, không giới hạn dãy hàm đa thức (Định lý Weierstrass không cho khoảng mở) 50 Cho A tập cá hàm có dạng: h(x) = n ebi x , n ∈ N, , bi ∈ R i=0 Khi f ∈ C[0, 1], có giới hạn dãy hàm thuộc A hay không? 51 Nếu có dãy đa thức hội tụ f [a, b], f có khả vi? P0 (x) = 0, Pk+1 (x) = Pk (x) + (x − Pk (x)2 ) √ √ √ x √ , neân ≤ x − Pk (x) ≤ Chứng minh qui nà: ≤ x − Pk (x) ≤ + k√ x k Từ suy (Pk ) hội tụ hàm [0, 1] x → x √ (Đây chứng minh khác cho điều: hàm f (t) = |t| = t2 , t ∈ [−1, 1], 52 Cho dãy đa thức (Pk ): giới hạn dãy hàm đa thức) 53 Cho f ∈ C[0, 1] Giả sử với k = 0, 1, · · · f (x)xk dx = Chứng minh f ≡ (HD: Chứng minh tích phân tích f với đa thức không Sau áp dụng định lý Weierstrass chứng minh f = 0) 54 Cho f : [0, 1] → R khoâng đa thức Giả sử (Pk ) dãy hàm đa thức hội tụ f [0, 1] Chứng minh bậc P k không bị chặn (HD: Một đa thức P (x), bậc ≤ n, xác định cách giá trị n + điểm x0 , · · · , xn có biểu diễn qua công thức nội suy Lagrange P (x) = n P (xi )πi (x), i=0 πi (x) = j=i (x − xj ) ) j=i (xi − xj ) IV Đạo hàm Cho f : Rn −→ Rm thoả: ∃M cho vi Df (0) = Nếu f (x) < M x , f có khả vi? f (x) ≤ M x Chứng minh f khả 82 Bài tập Viết ma trận Jaconi của: a) f (x, y) = (xy, y/x) b) f (x, y, z) = (x4 y, xez ) c) f (x, y, z) = (z xy , x2 , tgxyz) d) f (x, y, z) = (ez sin x, xyz) Tính grad f hàm: a) f (x, y, z) = x sin y/z b) f (x, y, z) = ex2 +y2+z2 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cho phương trình: a) z = x3 + y4 , taïi x = 1, y = 3, z = 82 b) x2 − y2 + xyz = 1, taïi (1, 0, 1) √ c) z = x2 + 2xy − y2 + 1, taïi (1, 1, 3) d) ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, taïi (x0 , y0 , z0 ) Tính góc tạo hai mặt cong sau taïi (2, −1, 2): S1 : x2 + y + z = vaø S2 : z = x2 + y − Trong R3 cho hai mặt cong xác định phương trình: S1 : x2 + y + z = vaø S2 : x3 + y + z = Chứng minh S1 , S2 tiếp xúc với (1, 1, 1) Trong R3 cho hai mặt cong xác định phương trình: S1 : ax2 + by + cz = S2 : xyz = Tìm tham số a, b, c cho S1 , S2 vuông góc với giao điểm Tìm vector tiếp xúc với đường cong tham số hoá: a) c(t) = (3t2 , et, t + t2 ), taïi điểm ứng với t = b) c(t) = (2 cos t, sin t, t), điểm ứng với t = π/2 Tìm hướng mà f (x, y, z) = x2 y sin z , tăng nhanh lân cận (3, 2, 0) 10 Tìm hướng mà f (x, y) = ex2 y, giảm nhanh lân cận (0, 0) Vẽ đường mức 11 Đúng hay sai: Một hàm f xác định (a, b), khả vi c, f (c) > 0, (HD: Xét hàm: f (x) = x x hữu tỉ, f (x) = sin x x vô tỉ Chứng minh f (0) > 0, f không đơn điệu lân cận 0) 12 Chứng minh tính chất Darboux: Nếu f khả vi [a, b], f nhận giá trị nằm f (a), f (b) (HD: Cho γ giá trị nằm f (a) f (b) Chứng minh g(x) = f (x)−γx đạt cực trị c ∈ (a, b)) 13 Cho f (x) = x2 sin x không liên tục x = 0, f (0) = Chứng minh f khả vi, f 83 Bài tập 14 Chứng minh hàm số sau có đạo hàm riêng (0, 0) không liên tục f (x, y) = x , y neáu y = 0; f (x, y) = 0, y = 15 Hàm f gọi khả vi theo hướng v ∈ Rn a nếuu tồn f (a + tv) − f (a) t→0 t Dv (a) = lim a) Chứng minh f khả vi a, f có đạo hàm theo hướng a, Dv f (a) =< grad f (a), v > b) Chứng minh f có đạo hàm theo hướng chưa f khả vi xy neáu x2 = −y, f (x, y) = x2 = −y (HD: Xét hàm f (x, y) = Hay hàm x +y x2 y (x, y) = (0, 0); f (0, 0) = f (x, y) = x + y2 16 Xét tính khả vi hàm a) f (x, y) = x3 + y3 xy b) f (x, y) = 2 neáu x, y = 0, f (0, 0) = x +y c) f (x, y) = x2 y x2 y + (y − x)2 neáu x, y = 0, f (0, 0) = d) f (x, y) = |x| + |y| 17 Kieåm tra công thức đạo hàm hàm hợp: a) f (u, v, w) = u2 v + v2 w, với u = xy, v = sin x, w = ex b) f (u, v) = u2 + v sin u, với u = xeu , v = yz sin x 18 Cho f : R → R vaø F : R2 → R hàm khả vi Giả sử ∂F/∂x ∂F = Chứng minh f = − , với y = f (x) ∂y F (x, f (x)) ≡ 0, ∂F/∂y 19 Xét phép đổi biến tọa độ cực: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ Cho f : R2 → R khả vi, vàF (r, ϕ) = f (x, y) Chứng minh (D1 F (r, ϕ))2 + (D2 F (r, ϕ))2 = (D1 f (x, y))2 + (D2 f (x, y))2 r2 20 Qua phép quay góc θ, tọa độ cũ (x, y) (u, v) có quan hệ sau x = u cos θ − v sin θ, y = u sin θ + v cos θ Cho f : R2 → R khả vi, F (u, v) = f (x, y) Chứng minh (D1 F (u, v))2 + (D2 F (u, v))2 = (D1 f (x, y))2 + (D2 f (x, y))2 84 Bài tập 21 Cho f hàm khả vi Chứng minh ∂F a) F (x, y) = f (x2 + y2 ), thoaû x ∂y −y ∂F =0 ∂x ∂F ∂F −y =0 ∂x ∂y ∂F ∂F −b = F (x, y) = f (ax + by), thoaû a ∂y ∂x b) F (x, y) = f (xy), thoaû x c) 22 Cho f, g : R → R thuộc lớp C a) Với c ∈ R,đặt u(x, y) = f (x + cy) − g(x − cy) Chứng minh u thoả phương trình sóng:: c2 ∂2u ∂2u = ∂x2 ∂y b) Cho v(x, y) = f (3x + 2y) + g(x − 2y) Chứng minh ∂2v ∂2v ∂ 2v −3 =0 −4 ∂x2 ∂x∂y ∂y 23 Cho f : R2 −→ R2 khả vi liên tục thoả điều kiện Cauchy-Riemann ∂f2 ∂f1 ∂f2 ∂f1 = , =− ∂x ∂y ∂y ∂x a) Chứng minh: det Jf (x, y) = Df (x, y) = b) Chứng minh f khả nghịch ánh xạ ngược thoả điều kiện CauchyRiemann 24 Hàm f : Rn → R gọi bậc R+ Giả sử f khả vi Chứng minh f bậc m 25 Cho f : Rn → R thuộc lớp C k ⇔ n xi i=1 (k > 1) f (x) = f (0) + n m neáuu f (tx) = tm f (x), ∀x ∈ Rn , t ∈ ∂f (x) = mf (x), ∀x ∈ Rn ∂xi Chứng minh gi (x)xi , gi ∈ C k−1 (Rn ) i=1 26 Cho f : R → R khả vi Giả sử |f (x)| ≤ L, ∀x Chứng minh f thoả điều kiện Lipschitz: |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ R Suy điều kiện để hàm khả vi f : Rn → Rn ánh xạ co Tìm ví dụ : [a, b] → R hàm khả vi Giả sử < m < f (x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b], vaø f (a) < < f (b) Sau phương pháp tìm nghiệm f a) Chứng minh g(x) = x − M f (x) xác định ánh xạ co [a, b] b) Cho x0 ∈ [a, b] vaø xk+1 = xk − M f (xk ), k ∈ N Chứng minh dãy (xk ) hội tụ nghiệm x∗ f |f (x0 )| m k 1− c) Chứng minh sai số: |xk+1 − x∗ | ≤ m M 27 Cho f 85 Bài tập 28 Giả sử f : R → R khả vi liên tục, f (a) = b, f (a) = Gọi δ số dương: δ |x − a| < δ , |f (x) − f (a)| ≤ |f (a)| Đặt η = |f (a)| Chứng minh |¯ − b| < η, dãy y x0 = a, xk+1 = xk − f (xk ) − y ¯ (k ∈ N) f (a) hội tụ nghiệm phương trình: f (x) = y , x ∈ [a − δ, a + δ] ¯ 29 Áp dụng tính chất đạo hàm, rút gọn biểu thức: f (x, y) = arctg x + arctg y − arctg x+y − xy 30 Giả sử f : Rn → Rm , có đạo hàm Df (x) = A, ∀x, A ánh xạ tuyến tính Chứng minh f ánh xạ affin, i.e f (x) = Ax+ const f : U → R hàm khả vi hình cầu U ⊂ R n Chứng D1 f (x) = 0, ∀x ∈ U , f không phụ thuộc biến thứ nhất, i.e 31 Cho minh neáu f (x1 , x2 , · · · , xn ) = f (x1 , x2 , · · · , xn ), ∀(x1 , · · · , xn ), (x1 , · · · , xn ) ∈ U 32 Cho f (x, y) = xy x2 − y x2 + y neáu x, y = 0, f (0, 0) = Chứng minh ∂ 2f ∂2f (0, 0) = (0, 0) ∂x∂y ∂y∂x 33 Khai triển Taylor đến cấp hàm: a) f (x, y) = x2 + y22, taïi (0, 0); (1, 2) b) f (x, y) = e−x2 −y cos xy, taïi (0, 0) c) f (x, y) = e(x−1)2 cos y, taïi (1, 0) 34 Khai triển Taylor hàm: f (x) = e− x2 x = 0, f (0) = Chuỗi Taylor có hội tụ f hay không? Hàm f có hàm giải tích không? 35 Xét phép biến đổi lớp C u = f1 (x, y) v = f2 (x, y) Chứng minh biến đổi khả nghịch địa phương (x , y0 ) ∆= ∂f1 ∂f2 ∂f1 ∂f2 − ∂x ∂y ∂y ∂x khác (x0 , y0 ), phép biến đổi ngược x = x(u, v), y = y(u, v) có đạo hàm riêng thoả ∂x ∂u = ∂v ∆ ∂y ∂x ∂v = − ∂u ∆ ∂y ∂y ∂u = − ∂v ∆ ∂x ∂y ∂v = ∂u ∆ ∂x 86 Baøi taäp 36 Cho f (x, y) = ( (0, 1) xy x2 − y , ) + y x2 + y x Xét tính khả nghịch địa phương f 37 Xét tính khả nghịc địa phương phép biến đổi a) Tọa độ cực: R2 (r, ϕ) → (r cos ϕ, r sin ϕ) ∈ R2 b) Tọa độ cầu: R3 (ρ, ϕ, θ) → (ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ) ∈ R3 Moâ tả hình học tìm miền màcác phép biến đổi song ánh 38 Cho f : R2 \ {(0, 0)} → R2 \ {(0, 0)}, f (x, y) = (x2 − y2 , 2xy) a) Chứng minh det Df (x, y) = 0, ∀(x, y), nhöng f không khả nghịch R \ {(0, 0)} b) Chứng minh f đơn ánh A = {(x, y) : x > 0} Tìm f (A) c) Tính Dg(1, 0),trong g ánh xã ngược địa phương cuûa f 39 Cho f : Rn → Rn , f (x) = x x Chứng minh f ∈ C ∞ , song ánh từ hình cầu đơn vị lên nó, f −1 không khả vi x + x2 sin x = 0, f (0) = Chứng x f (0) = 0, f không khả nghịc địa phương 40 Cho f (x) = minh f khaû vi Điều có mâu thuẫn với định lý hàm ngược không? 41 Cho f : Rn → Rn thuộc lớp C f (x) ≤ c < 1, ∀x Đặt g(x) = x + f (x) Chứng minh g song ánh (HD: Hãy chứng minh gy (x) = y − f (x) ánh xạ co, dùng nguyên lý điểm bất động.) 42 Cho f : Rn+k → Rn hàm lớp C Giả sử f (a) = Df (a) có hạng Chứng minh với c đủ gần 0, phương trình f (x) = c có nghiệm n 43 Cho f : R → R thuộc lớp C Xét phép biến đổi u = f (x) v = −y + xf (x) Chứng minh f (x0 ) = 0, biến đổi khả nghịc địa phương x0 , y0 ) biến đổi ngược có dạng x = f −1 (u), y = −v + uf −1 (u) 44 Tại giá trị x mà từ phương trình F (x, y) = y + y + 3x + = 0, giải y = y(x) hàm khả vi lân cận điểm Trong trường hợp dy tính dx 45 Cho (x0 , y0 , z0 ) nghiệm hệ: z + xy − a = 0, z + x2 − y − b = Tìm điều kiện để giải lân cận nghiệm x = f (z), y = g(z) hàm khả vi Trong trường hợp tính f (z), g (z) 46 Cho f : R3 → R, g : R2 → R hàm khả vi Xét F (x, y) = f (x, y, g(x, y)) a) Tính DF (x, y) theo đạo hàm riêng f g b) Nếu F (x, y) = với x, y, tính D1 g, D2 g theo đạo hàm riêng f 87 Bài tập 47 Xét hệ phương trình (x4 + y )/x = u sin x + cos y = v Khi naøo giải x, y hàm khả vi u, v lân cận x = π/2, y = π/2 ∂x Tính (π 3/4, 1) ∂u 48 Có thể giải x, y, z theo u, v, w lân cận (0, 0, 0) từ hệ phương trình sau?   u(x, y, z)  = x + xyz v(x, y, z) = y + xy   w(x, y, z) = z + 2x + 3z 49 Chứnh minh từ hệ phương trình x2 − y − u3 + v + = 2xy + y − 2u2 + 3v + = giải u, v theo x, y lân cận x = 2, y = −1 thoả u(2, −1) = 2, v(2, −1) = Tính đạo hàm riêng nghiệm u, v 50 Xét tính giải u, v theo x, y từ hệ phương trình xu + yv = xv + y u6 = taïi lân cận x = 1, y = −1, u = 1, v = nghieäm u = u(x, y), v = v(x, y) −1 Tính đạo hàm riêng 51 Xét tíng giải u, v, w theo x, y, z từ hệ phương trình    3x + 2y + z + u + v = 4x + 3y + z + u2 + v + w + =   x + z + u2 + w + = lân cận x = 0, y = 0, z = 0, u = 0, v = 0, w = −2 Tính đạo hàm riêng nghiệm u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z) 52 Chứng minh phương trình sin tx + cos tx = t, |t| < x = ϕ(t), với ϕ hàm khả vi vô hạn Hãy viết khai triển Taylor đến cấp ϕ √ , tồn nghiệm 53 Cho dạng toàn phương Q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 (a = 0) Chứng minh: a) Q xác định dương a > ac − b2 > b) Q xác định âm cỉ a < vaø ac − b2 > c) Q không xác định dấu ac − b2 < 54 Xét cực trị hàm: a) f (x, y) = x2 + 2xy + y2 + b) f (x, y) = (x2 + y2 )e−x2−y2 88 Bài tập c) f (x, y) = x3 − 3xy2 (đồ thị hàm có dạng ‘lưng khỉ’) d) f (x, y, z) = x2 + y2 + 2z + xyz e) f (x, y, z) = xy z (a − x − 2y − 3z), (x, y, z > vaø a > 0) f) f (x, y, z) = cos 2x sin y + z 55 Cho a1 , · · · , an ∈ R Xác định x cho n (x − )2 i=1 −ât 56 Bài toán xấp xỉ bậc n, bình phương bé nhất: Cho hai đại lượng x, y mà quan hệ chúng cho bảng liệu sau (nhờ quan trắc thực nghiệm chẳng hạn) x y x1 y1 ··· ··· x2 y2 xm ym a) Tìm đa thức bậc n, p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , cho Q(a0 , · · · , an ) = m (p(xi ) − yi )2 → i=1 b) Chứng minh đa thức p(x) = a0 + a1 x xấp xỉ bình phương bé cho liệu thoả a1 a1 i xi + a0 xi + na0 i i xi = = i xi yi i yi c) Áp dụng tìm xấp xỉ bậc hay bậc 2, liệu x -2 -1 x y y 1 Vẽ đồ thị hàm tìm So sánh với đa thức nội suy Lagrange 57 Cho f : [0, 1] → R ta muốn tìm A, B, C cho (f (x) − Ax2 − Bx − C)2 dx đạt Chứng minh A, B, C nghiệm hệ phương trình tuyến tính    A + 1B + 1C      4A = + 1B + 1C =        A + 1B + C = 0 1 x2 f (x)dx xf (x)dx f (x)dx Đa thức Ax2 + Bx + C gọi xấp xỉ bậc trung bình bình phương bé f Tổng quát hoá cho xấp xỉ bậc n, trung bình bình phương bé cho hàm liên tục trẹn [a, b] 89 Bài tập V Tích phân Riemann Phân hoạch [a, b] thành n đoạn tính tổng cà tổng dước hàm: a) f (x) = x2 , x ∈ [0, 1] b) f (x) = sin x, x ∈ [0, π/2] Tính tổng vừa tìm n → +∞ Nêu ý nghóa hình học Chứng minh f liên tục [0, 1], k k f( ) = n→∞ n n k=1 lim tập mở, đo f : A → f (x0 ) > điểm x0 ∈ A Chứng minh Cho A ⊂ Rn Đúng hay sai: Nếu f liên tục [0, 1] 1 f liên tục, không âm Giả sử f > R A f = 0, f ≡ Đúng hay sai: Mọi tập R2 ≡ R2 × có độ đo không R3 Chứng minh g hàm liên tục [a, b], đồ thị g có độ đo không Suy g1 , g2 liên tục [a, b] g1 ≤ g2 , tập {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)} đo R2 Cho f (x, y) = x2 + sin , neáu y = 0, f (x, 0) = x2 Chứng minh f khả tích y A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} Đúng hay sai: Nếu |f | khả tích f khả tích Đúng hay sai: Nếu f khả tích [a, b] f (x) == g(x) tập có độ đo không, g khả tích 10 Cho f, g : A −→ R khả tích |f − g| = Chứng minh f (x) = g(x) với A x ngoại trừ tập có độ đo không 11 Chứng minh f : [a, b] −→ R đơn điệu, f khả tích 12 Cho f, g : [0, 1] → R hàm khả tích Chứng minh hàm h(x, y) = f (x)g(y), (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1], khả tích 13 Cho f : [a, b] −→ R khả vi liên tục, f (a) = 0, f (b) = −1, minh tồn c cho f (c) = 14 Cho f (x) = x + n (ak sin kx + bk cos kx) k=1 b a f = Chứng Áp dụng định lý giá trị trung bình, chứng minh f có nghiệm (−π, π) 15 Cho f : A → R vaø g : B → R hàm khả tích Cho F (x, y) = f (x) + g(y) F = f v(B) + gv(A) Chứng minh B A B 90 Bài tập 16 Dùng công thức Fubini chứng minh tính đối xứng đạo hàm riêng cấp 2: ∂2f ∂2f = Nếu f ∈ C (R2 ), ∂xi ∂xj ∂xj ∂xj 2f ∂ 2f ∂ (a) − (a) > Khi đó, f ∈ C , D(x) > (HD: Giả sử D(a) = ∂xi ∂xj ∂xj ∂xj lân cận hộp a Áp dụng công thức Fubini đưa điều vô lý) 17 Tính a) b) A A dxdy , với A tam giác giới hạn đường: (x + y + z)2 dxdydz , x = 0, y = 0, x + y = với A = {(x, y, z) : x + y + z ≤ 1, x, y, z ≥ 0} 18 Cho g : [0, 1] → R hàm khả tích Chứng minh 1 19 Tính π a) c) sin x dxdy x π ex y √ dxdy x y2 x b) d) ln 16 x tg(t)dt e− y dydx ex/2 g(t)dt dx = dydx ln y (Caùc hàm dấu tích phân có nguyên hàm không hàm sơ cấp!) 20 Đưa tích phân lớp tích phân sau: a) b) x 0 0 dx η dη 21 Tính: a) b) ξ dξ f (ζ)dζ x+y dy f (z)dz (x4 − y )dxdy , phép đổi biến u = x2 − y2 , v = 2xy (x2 + y )dxdy , phép đổi biến x = u + v, y = u − v y 22 Dùng phép đổi biến thích hợp, tính: a) b) c) d) −y D D V V e−x dxdy , ñoù D = {x2 + y2 ≤ 1} ln(x2 + y )dxdy , D = {x, y ≥ 0, a2 ≤ x2 + y ≤ b2 } (0 < a < b) z x2 + y dxdydz , +y +z )3/2 e(x V dxdydz , = {1 ≤ x2 + y ≤ 2, ≤ z ≤ 2} ñoù V = {x2 + y + z ≤ 1} 23 Dùng biến đổi tọa độ trụ thích hợp để tính 1 √ −1 − 1−y √ 1−y z(x2 + y )dzdydx 91 Bài tập 24 Cho ϕ hàm khả vi [a, b], f hàm liên tục ϕ[a, b] Chứng minh d dx ϕ(x) ϕ(a) f (t)dt = f (ϕ(x))ϕ (x) 25 Tính đạo hàm F a) F (t) = b) F (t) = 0≤x,y≤t tx e y dxdy x2 +y +z ≤t2 (HD: Đổi biến x = tu, y = tv) f (x2 + y + z )dxdydz , f hàm lớp C 26 Tính diện tích hay thể tích a) D = {(x, y) : x2 < y < − x2 } b) V = {x2 + y2 + z < 1, z < 1/2} 27 Hình bình hành căng v1 , · · · , ∈ Rn , định nghóa tập: P = {x ∈ Rn : x = t1 v1 + · · · + tn , t1 , · · · , tn ∈ [0, 1]} Chứng minh thể tích P : v(P ) = | det(v1 , · · · , )| 28 Cho S tập đo Rn , λ > Xét tập R = {(λx : x ∈ S} biến đổi vị tự S Chứng minh thể tích S R có quan hệ: v(R) = λ n v(S) 29 Cho ϕ : [0, ∞) → R hàm liên tục, tăng, không bị chặn ϕ(0) = Đặt ψ = ϕ−1 a) Cho α, β > Dựa vào diện tích [0, α] × [0, β] diện tích giới hạn trục tọa độ ϕ, chứng minh bất đẳng thức Young: α αβ ≤ b) Cho p, q ≥ vaø 1 + = p q β ϕ+ ψ Áp dụng a) cho ϕ(x) = xp−1 suy αβ ≤ αp β q + p q c) Từ chứng minh baỏt ủaỳng thửực H ăolder: n i=1 n |ai bi | ≤ ( |ai |p ) p ( i=1 n |bi |q ) q i=1 30 Cho [α, β] ⊂ [0, 2π] vaø f : [α, β] → R liên tục, f ≥ Xét hình quạt D = {(r cos ϕ, r sin ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β, ≤ r ≤ f (ϕ)} Chứng minh công thức diện tích S(D) = β α f (ϕ)dϕ 92 Bài tập 31 Cho f : [a, b] → R liên tục, f ≥ Goïi D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ≤ y ≤ f (x)} Xét khối tròn xoay quay D quanh trục x hay trục y R3 : X = {(x, y cos θ, y sin θ) : (x, y) ∈ D, ≤ θ ≤ 2π} Y = {(x cos θ, y, x sin θ) : (x, y) ∈ D, ≤ θ ≤ 2π} Chứng minh công thức tính thể tích v(X) = π b a f (x)dx vaø b v(Y ) = 2π a xf (x)dx 32 Bài tập nhằm tính thể tích hình cầu B n (r) = {x ∈ Rn : a) Chứng minh v(B n (r)) = λn rn , λn = v(B n (1)) n−2 b) Tính 2 (1 − x2 − x2 ) dx1 dx2 x ≤ r} x1 +x2 ≤1 c) Suy biểu thức quan hệ λn λn−2 d) Tính λn Từ suy v(B n (r)) πn 2n+1 π n (ÑS: λ2n = , λ2n+1 = ) 1.3 (2n + 1) n! 33 Cho T song ánh tuyến tính R n Chứng minh B(0,r) Cho r → ∞, suy Đặc biệt, ta coù +∞ −∞ e− dx = Rn T (B(0,r)) e− dx = e−x dx = √ π e− π n/2 | det T | x | det T −1 | ... dẫn sinh viên đọc giáo trình Đây giáo trình Giải tích dành cho sinh viên ngành Toán hay ngành Toán Tin Nội dung đề cập đến số khái niệm dãy chuỗi hàm, không gian Rn , tính liên tục, đạo hàm tích. .. + 1)x 2k + k=0 ∞ cos(2k + 1)x (2k + 1 )2 k=0 ∞ sin 2kx 2k k=1 ∞ cos 2kx (2k )2 k=1 = = = = π π − 2? ?x π − 2x − 6πx + π 6x 24 với < x < π với < x < 2? ? với < x < π với < x < 2? ? Với gía trị x cụ thể... cos kx k2 k=1 ∞ sin kx k k=1 ∞ cos kx (−1)k+1 k2 k=1 (−1)k+1 = = = = π−x 3x2 − 6πx + 2? ? 62 12 x π − 3x2 12 với < x < 2? ? với < x < 2? ? với |x| < π với |x| < π Từ công thức suy ∞ sin(2k + 1)x 2k + k=0