Chuỗi lượng giác trong Giải tích 2 cho sinh viên ngành toán - toán tin
MỤC LỤC
CHUỖI LƯỢNG GIÁC
Khi đú hệ cỏc hàm lượng giỏc 1,cosx,sinx,cos 2x,sin 2x,ã ã ã ,cosnx,sinnx,ã ã ã là hệ hàmtrực giao theo nghĩa tích vô hướng của 2 hàm bất kỳ của hệ bằng0. • Khai triển hàm f xác định trên [a, b] thành chuỗi lượng giác: Trước hết thác triểnf thành hàm tuần hoàn f˜xác định trên Rvà có chu kỳ T ≥b−a, i.e.
Khoâng gian R n
TẬP COMPACT
Để nêu các định nghĩa tương đương của tập compact, nhằm mục đích thuận tiện khi sử dụng, ta có khái niệm sau. Theo giả thiết, tồn tại cầuB1 bán kính 1 sao cho K∩B1 không thể phủ bởi hữu hạn Ui.
TẬP LIÊN THÔNG
Ở chương sau ta sẽ chứng minh mọi chuẩn trong Rn đều cho khái niệm hội tụ như nhau.
Hàm liên tục trên R n
GIỚI HẠN HÀM
Giới hạn trên còn gọi là giới hạn đồng thời để phân biệt với khái niệmgiới hạn lặp sau đây. Bài tập: hãy nêu các định nghĩa sao cho phù hợp với các khái niệm tương ứng của hàm một biến. Khi cố định cơ sở chớnh tắc,T hoàn toàn xỏc định bởi ma trậnmdũngncột(aij)mìn, trong đó T(ej) =m.
Mọi không gian vector hữu hạn chiều E đều tồn tại chuẩn và mọi chuẩn trong E là tương đương. Nếu một không gian có chuẩn, thì trên không gian đó có khái niệm hội tụ theo chuẩn đã cho. Cũng từ đẳng cấu đó, để chứng minh mọi chuẩn trên E đều tương đương, ta chỉ cần chứng minh mọi chuẩn N trong Rn đều tương đương với chuẩn Euclid , như vậy mọi chuẩn trong Rn (và vì vậy trênE) là tương đương.
Dùng phương pháp chia đôi đoạn, xây dựng dãy(xk) hội tụ về một nghiệm của phương trình f(x) = 0 Ứng dụng.
SỰ HỘI TỤ ĐỀU
Phần này ta nghiên cứu việc xấp xỉ đều hàm liên tục bởi hàm đơn giản, dễ xử lý (như hàm tuyến tính từng khúc, hàm bậc thang hay hàm đa thức). Hd: Với mỗi phân hoạch đoạn [a, b], xét hàm tuyến tính từng khúc mà đồ thị là đường gấp khúc nối các điểm thuộc đồ thị f ứng với các điểm chia. Hd: Với mỗi phân hoạch đoạn[a, b], xét hàm bậc thang mà giá trị trên mỗi đoạn chia là một giá trị nào đó của f trên đoạn đó (chẳng hạn giá trị đầu mút hay max,min).
( Hd: Chứng minh hàm f(x) =ex không thể xấp xỉ đều bởi đa thức trên R.) Bây giờ ta xét đến trường hợp tổng quát. TậpA các hàm xác định trênK ⊂Rn gọi làđại số nếuu. Đại số hàm A gọi làtách điểm nếuu. b) Tập các đa thức lượng giác dạng. là một đại số hàm trênR. Lớp cỏc hàm cú dạng sau là một đại số hàm trờn K. Bài tập: Chứng minh các đại số ở ví dụ a) và b) là tách điểm. Định lý Stone-Weierstrass tuy khẳng định khả năng xấp xỉ đều hàm liên tục trên tập compact bởi đa thức hay đa thức lượng giác, nhưng việc chứng minh không cho phép xây dựng tường minh dãy hàm xấp xỉ. Để tính toán cụ thể (xác định hệ số đa thức xấp xỉ) cần nhiều giả thiết hơn về hình học của tập hay về tính chất của hàm.
Một hướng phát triển khác là việc nghiên cứu lớp các hàm có thể biểu diễn một cách địa phương như chuỗi lũy thừa: lý thuyết hàm giải tích.
Đạo hàm
(i) Nếu f khả vi tạiathì ánh xạ tuyến tính Df(a) là duy nhất. Vậy f liên tục tạia. a) Đạo hàm của hàm hằng tại mọi điểm là ánh xạ tuyến tính 0. b) Đạo hàm của ánh xạ tuyến tính T tại mọi điểm là chính nó, i.e. 43 (ii) Không thể tính đạo hàm bằng giới hạn nêu trên trong trường hợp số biến n >1, vì nói chung phép chia yh, vớiy∈Rm, h∈Rn, là không được định nghĩa. Bài tập: Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm 1 biến g(t) =f(x+th)và công thức đạo hàm hợp, chứng minh mệnh đề trên.
Chứng minh: Chỉ là việc áp dụng công thức Taylor cho hàm 1 biếng(t) =f(x+th), với chú ý là theo công thức đạo hàm hợp dễ qui nạp. (ii) Trong trường hợp 1 biến để xem điểm dừng có phải là cực trị hay không, ta có thể xét chiều biến thiên của f thông qua dấu củaf. Nếu f khả vi liên tục, thì theo định nghĩa đạo hàm (và tính liên tục của nó), có thể đoán nhận là tính chất địa phương của f tại a, i.e.
(Các chi tiết xem nh bài tập) Nhận xét: Để tính đạo hàm hàm ẩn, thường ta không dùng phép nhân ma trận trên, mà tính trực tiếp như sau. Ta cũng có thể dùng công thức vi phân cổ điển để tính Dg. suy ra các đạo hàm riêng ∂x∂g. Các ví dụ sau yêu cầu chi tiết hóa a) Xeựt heọ phửụng trỡnh.
Tích phaân Riemann
TÍCH PHAÂN
Bài tập: mô tả hình học giá trị tổng trên, tổng dưới, tổng Riemann của hàm một và hai biến dương (Bài toán tính diện tích và thể tích). P là phân hoạchA mà|P|< δ, thì tổng thể tích các hộp của P mà không chứa trong mọi hình hộp củaP là<. Vậy có thể tính gần đúng tích phân bởi tổng Riemann nêu trên (công thức hình chữ nhật).
Về mặt hình học U(χC, P) là tổng thể tích các hộp thuộc P có giao với C (thể tích ngoài); cònL(χC, P) là tổng thể tích các hộp thuộcP chứa trong C (thể tích trong). Bài tập: Gọi C là hình giới hạn bởi đường cong và A là hình chữ nhật cho ở hình trên. Tìm mối quan hệ giữa tổng trên, tổng dưới và số hình chữ nhật có giao với C hay nằm trọn trong C.
Lớp các hàm khả tích Riemann được hoàn toàn xác định dựa trên khái niệm sau (được Lebesgue đa ra vào khoảng 1890).
CÁC CÔNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN
Chứng minh: Trước hết chứng minh choC =AìB, vớiA, Blà cỏc hộp trongRn,Rm tương ứng. Công thức đổi biến nêu mối quan hệ của sự thay đổi thể tích của một hình Akhi qua phộp biến hỡnh g (phộp đổi biến). Về mặt địa phương độù co dón hỡnh chớnh là định thức của đạo hàm Dg.
Theo định lý ánh xạ ngược, tồn tại lân cậnU củaatrên đó Φcó ánh xạ ngược Φ−1 ∈C1. Kết thúc chứng minh công thức: Do A compact nên A chứa trong hình hộp nào đó. Chẳng hạn có thể chuyển việc lấy tích phân trên hình tròn thành việc tích phân trên hình chữ nhật như ví dụ sau.
Dãy hàm - Chuỗi hàm
Xét sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi Fourier của các hàm cho ở bài tập trên. Biểu diễn các hàm ở bài trên thành chuỗi lượng giác chỉ có sin, bằng cách thác triển chúng thành hàm chẵn.
Khoâng gian R n
ChoUk (k∈N) là các tập mở trongRn. Đúng hay sai a). ChoX là tập vô hạn và giới nội trong Rn. Chứng minh X có điểm tụ. Chứng minh các tập sau không compact bằng cách chỉ ra một phủ mở của nó mà không có phủ con hữu hạn:. Hợp, giao, tích các tập compact có compact?. a) Chứng minh nếu X đóng vàx∈X, thì tồn tạidx>0sao cho. Giả thiết compact không thể bỏ, chẳng hạn dãyIk = (0,1. Các tập sau compact? liên thông?. Các mệnh đề sau đúng hay sai:. a) Nếu K là tập compact trong Rn, thìRn\K compact. b) NếuK là tập liên thông trongRn, thì Rn\K liên thông. Chứng minh C liên thông, nhưng không tồn tại đường gấp khúc trong C nối (0,0) với một điểm khác thuộcC.
Tổng quát, Fk là tập lập từ Fk−1 bỏ đi một phần ba khoảng mở giữa của các đoạn.
Lieõn tuùc
Chứng minh các điều sau tương đương (i) f lieõn tuùc treõnRn. với mọi tập mở V ⊂Rm. không đóng). Chứng minh nếu B ⊂Rn là tập giới nội, thìf(B) là tập giới nội. lieõn thoõng). Cho ví dụ hàm f liên tục, giới nội nhưng không đạt max, min. Chof :K→Rliên tục,Kcompact. Chứng minh nếu K compact, thì f−1 liên tuùc. NeỏuK khoõng compact thỡ sao?. Ta nói f thoảđiều kiện Lipschitz nếuu. a) Chứng minh nếu f thoả điều kiện Lipschitz, thìf liên tục đều. b) Xét xem tổng, tích các hàm thoả điều kiện Lipschitz có thoả điều kiện Lipschitz khoâng?. Chứng minh hàm số sau có các đạo hàm riêng tại(0,0)nhưng không liên tục. Hàmf gọi làkhả vi theo hướngv∈Rn tạia nếuu tồn tại. a) Chứng minh nếu f khả vi tạia, thì f có đạo hàm theo mọi hướng tạia, và. b) Chứng minh f có đạo hàm theo mọi hướng chưa chắc f khả vi. Kiểm tra công thức đạo hàm hàm hợp:. Xét phép đổi biến tọa độ cực: x=rcosϕ, y=rsinϕ. Chof là hàm khả vi. Chứng minh u thoảphương trình sóng::. Chof :R2 −→R2 khả vi liên tục và thoả điều kiện Cauchy-Riemann. b) Chứng minh nếuf khả nghịch thì ánh xạ ngược cũng thoả điều kiện Cauchy- Riemann.
Chứng minh f ∈ C∞, và là song ánh từ hình cầu đơn vị lên chính nó, nhưngf−1 không khả vi. Bài toán xấp xỉ bậcn, bình phương bé nhất: Cho hai đại lượng x, y mà quan hệ giữa chúng được cho bởi bảng dữ liệu sau (nhờ quan trắc thực nghiệm chẳng hạn). b) Chứng minh đa thứcp(x) =a0+a1xxấp xỉ bình phương bé nhất cho bộ dữ liệu trên thoả. Tổng quát hoá cho xấp xỉ bậc n, trung bình bình phương bé nhất cho hàm lieõn tuùc treùn[a, b].
Áp dụng định lý giá trị trung bình, chứng minh f có nghiệm trên (−π, π). Chof :A→Rvàg:B →Rlà các hàm khả tích. Dùng công thức Fubini chứng minh tính đối xứng của đạo hàm riêng cấp 2:. Áp dụng công thức Fubini đưa ra điều vô lý) 17.
