Lớp các hàm khả tích Riemann được hoàn toàn xác định dựa trên khái niệm sau (được Lebesgue đa ra vào khoảng 1890).
2.1 Độ đo không. Tập B ⊂ Rn gọi là có độ đo không, ký hiệu µ(B) = 0 hay
µn(B) = 0, nếuu với mọi >0tồn tại hữu hạn hay đếm được các hình hộpS1, S2,· · ·
V.2 Lớp hàm khả tích Riemann. 63
Ví dụ. Tập N ⊂ R là có độ đo không (?). Đường thẳng R khi xem như tập con của R2 là có độ đo không. (?)
Bài tập: Chứng minh nếu µ(B) = 0 và f :B → Rm thoả điều kiện Lipschitz, thì
µ(f(B)) = 0.
Mệnh đề. Nếuµ(Bi) = 0, i= 1,2,· · · , thì µ(∪iBi) = 0.
Chứng minh: Cho > 0. Khi đó với mỗi i, tồn tại các hộp Si1, Si2,· · · phủ Bi
sao cho jv(Sij) < /2i. Vậy họ hình hộp {Sij} phủ ∪iBi và có tổng thể tích
ijv(Sij)<
i 1
2i <
Ví dụ. Tập đếm được trong Rn là có độ đo không.
Việc xây dựng tích phân đòi hỏi các hàm “tốt”, chẳng hạn hàm liên tục, phải khả tích. Hàm khả tích Riemann khi và chỉ khi nó liên tục “hầu khắp nơi”. Một cách chính xác ta có
2.2 Định lý (Lebesgue). Hàm f : A → R giới nội trên hình hộp A ⊂ Rn là khả tích Riemann khi và chỉ khi tập điểm gián đoạn của f có độ đo không.
Chứng minh: Để đo độ gián đoạn của hàmf tại một điểm, ta có khái niệm:
Dao động củaf trên tậpS là số o(f, S) = sup
x∈Sf(x)−inf
x∈Sf(x).
Dao động củaf tạia được ký hiệu và định nghĩa bởi
o(f, a) = lim
r→0+o(f, B(a, r)).
Giới hạn trên là tồn tại do tính đơn điệu theo r. (Bài tập)
Từ định nghĩa, ta có: o(f, a) = 0 khi và chỉ khif liên tục tạia. (Bài tập) Đặt B={x:o(f, x)>0} là tập các điểm gián đoạn củaf.
(⇒) Giả sử µ(B) = 0. Với > 0, đặt B = {x : o(f, x) ≥ }. Do B ⊂ B, nên µ(B) = 0. Vì B đóng và giới nội nên nó compact (bài tập). Vậy tồn tại hữu hạn hộp S1,· · ·, SN phủB có tổng thể tích N
i=1
v(Si)< .
Gọi P là phân hoạch A sao cho nếu S ∈ P thì hoặc S∩B = ∅ hoặc S ⊂ Si với
i∈ {1,· · · , N} nào đó.
Đặt P1 ={S ∈P :S∩B =∅} cònP2 ={S ∈P :∃i S⊂Si}.
Nếu S ∈ P1, thì o(f, x) < , x ∈ S. Do S compact có thể làm mịn P sao cho khi
S ∈P1, thì supSf−infSf ≤2 Vậy U(f, P)−L(f, P) = ( S∈P1 + S∈P2 ) (sup S f −inf S f)v(S) ≤ S∈P1 2v(S) + S∈P2 M v(S), (M = sup A f−inf A f) ≤ 2v(A) +M N i=1 v(Si)<(2v(A) +M).
Theo tiêu chuẩn Riemann f khả tích trênA.
(⇐) Ngược lại, giả sửf khả tích trên A. Ta cóB =
k∈N
B1
k. Theo mệnh đề 2.1 chỉ cần chứng minh µ(B1
k) = 0,∀k∈N. Cố định k.
Với >0, tồn tại phân hoạchP : U(f, P)−L(f, P) =
S∈P (sup S f−inf S f)v(S)< k. Suy ra S∩B1 k=∅ 1 kv(S)≤ S∩B1 k=∅ (sup S f −inf S f)v(S)< k. Vì{S ∈P :S∩B1 k =∅}phủB1 k và S∩B1 k=∅ v(S)< , nên µ(B1 k) = 0.
Hệ quả 1. Tập giới nội C⊂Rn là đo được khi và chỉ khiµ(∂C) = 0.
Hệ qủa 2. Cho C ⊂ Rn đo được. Nếu f :C −→R có hữu hạn hay đếm được điểm gián đoạn, thì f khả tích trênC.
Hệ qủa 3. Nếu f : [a, b]→Rlà hàm đơn điệu, thì f khả tích.
Chứng minh: C đo được khi và chỉ khi χC khả tích. Tập điểm gián đoạn của χC
chính là biên ∂C. Vậy từ định lý suy ra hệ qủa 1. Hệ qủa 2 suy từ định lý và mệnh đề 2.1.
Để chứng minh hệ qủa 3, nhận xét là do tính đơn điệu, nên với mỗi k ∈ N tập
Dk = {x ∈ [a, b] : o(f, x) ≥ |f(a)−f(b)|/k} không thể có quá k phần tử. Suy ra tập các điểm gián đoạn củaflàB =kDkkhông quá đếm được. Vậyf khả tích.
Ví dụ.
a) Hàmf(x) = sin1
x nếux= 0,f(0) = 0là khả tích trên [−1,1]. b) Hàmf(x, y) =x2+sin1
y nếuy = 0,f(x,0) = 0là khả tích trênA={x2+y2 ≤1}.
2.3 Tính chất. Cho A là tập đo được trong Rn, và f, g là các hàm khả tích trên
A. Khi đó ta có
Tính tuyến tính: Với mọi α, β∈R, hàmαf+βg là khả tích trênA và
A(αf+βg) =α Af+β Ag
Tính phân đoạn: Nếu A1, A2 ⊂A là các tập đo được, thìf khả tích trênA1, A2 và
A1∪A2 f = A1 f + A2 f− A1∩A2 f.
Tính liên tục: Nếu f ≤g trên A, thì
Af ≤ Ag. Đặc biệt, hàm|f|khả tích trênA và| Af| ≤ A|f|.
Định lý giá trị trung bình: Nếuf liên tục và A liên thông , thì tồn tạic∈A sao cho