Phương pháp hàm số
Bài 1. Phương pháp hàm sốCHƯƠNG I. HÀM SỐBÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ1. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ( )1 2,x x a b∀ < ∈ ta có ( ) ( )1 2f x f x<2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ( )1 2,x x a b∀ < ∈ ta có ( ) ( )1 2f x f x>3. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm ( )kx x f x′= ⇔ đổi dấu tại điểm kx6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số• Giả sử y = ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại ( )1, ., ,nx x a b∈.Khi đó: [ ]( )( )( )( ) ( ){ }1,Max Max , ., , , ;nx a bf x f x f x f a f b∈=[ ]( )( )( )( ) ( ){ }1,M in M in , ., , ,nx a bf x f x f x f a f b∈=• Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ),,Min ; Maxx a bx a bf x f a f x f b∈∈= =• Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ),,Min ; Maxx a bx a bf x f b f x f a∈∈= =• Hàm bậc nhất ( )f x x= α + β trên đoạn [ ];a b đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút a; b1 b j j jx x x− ε + εi i ix x x− ε + εax Chương I. Hàm số – Trần PhươngII. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị ( )y u x= với đồ thị ( )y v x=.2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị ( )y u x= nằm ở phía trên so với phần đồ thị ( )y v x=.3. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị ( )y u x= nằm ở phía dưới so với phần đồ thị ( )y v x=.4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị ( )y u x=.5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ ( )IMinxu x m∈≥6. BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ ( )IMaxxu x m∈≤7. BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ ( )IMaxxu x m∈≥8. BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ ( )IMinxu x m∈≤III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số Bài 1. Cho hàm số( )22 3f x mx mx= + −a. Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2]b. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4]c. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[ ]1;3−Giải: a. Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có: ( )( )( )( )2 22 23 32 3 0 2 321 1f x mx mx m x x g x mx xx= + − = ⇔ + = ⇔ = = =++ −.Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì [ ]( )[ ]( )1;21;2Min Maxxxg x m g x∈∈≤ ≤ 318m⇔ ≤ ≤b. Ta có ∀x∈[1; 4] thì ( )22 3 0f x mx mx= + − ≤ ⇔ ( )22 3m x x+ ≤⇔ ( )[ ]23, 1;42g x m xx x= ≥ ∀ ∈+ [ ]( )1;4M inxg x m∈⇔ ≥. Do ( )( )231 1g xx=+ − giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔ [ ]( )( )1;41Min 48xg x g m∈= = ≥2αβbxav(x)u(x)abxy = m Bài 1. Phương pháp hàm sốc. Ta có với x∈ [ ]1;3− thì ( )22 3 0f x mx mx= + − ≥ ⇔ ( )22 3m x x+ ≥. Đặt ( )[ ]23, 1;32g x xx x= ∈ −+ . Xét các khả năng sau đây:+ Nếu 0x = thì bất phương trình trở thành .0 0 3m = ≥ nên vô nghiệm. + Nếu (]0;3x∈ thì BPT ⇔( )g x m≤ có nghiệm (]0;3x∈(]( )0;3xMin g x m∈⇔ ≤. Do ( )( )231 1g xx=+ − giảm /(]0;3 nên ycbt (]( ) ( )0;3135xMin g x g m∈⇔ = = ≤+ Nếu [)1;0x∈ − thì 22 0x x+ < nên BPT ( )g x m⇔ ≥ có nghiệm [)1;0x∈ − [)( )1;0Max g x m−⇔ ≥. Ta có ( )( )( )[ ]223 2 20, 1;02xg x xx x− +′= ≤ ∀ ∈ −+ . Do đó ( )g x nghịch biến nên ta có [)( )( )1;01 3Max g x g m−= − = − ≥Kết luận: ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[ ]1;3−(])1; 3 ;5m⇔ ∈ −∞ − +∞U Bài 2. Tìm m để bất phương trình: 3313 2x mxx−− + − < nghiệm đúng ∀x ≥ 1Giải: BPT ( )3 23 41 1 23 2, 1 3 , 1mx x x m x f x xxx x⇔ < − + ∀ ≥ ⇔ < − + = ∀ ≥. Ta có ( )5 2 5 2 24 2 24 2 4 22 2 2 0f x x xx x x x x− ′= + − ≥ − = > suy ra ( )f x tăng.YCBT ( ) ( )( )123 , 1 min 1 2 33xf x m x f x f m m≥⇔ > ∀ ≥ ⇔ = = > ⇔ >Bài 3. Tìm m để bất phương trình ( )2.4 1 .2 1 0x xm m m++ − + − > đúng x∀ ∈ ¡Giải: Đặt 2 0xt = > thì ( )2.4 1 .2 1 0x xm m m++ − + − > đúng x∀ ∈ ¡ ( ) ( )( )2 2. 4 1 . 1 0, 0 4 1 4 1, 0m t m t m t m t t t t⇔ + − + − > ∀ > ⇔ + + > + ∀ >( )24 1, 04 1tg t m tt t+⇔ = < ∀ >+ +. Ta có ( )( )2224 204 1t tg tt t− −′= <+ + nên ( )g t nghịch biến trên [)0;+∞ suy ra ycbt ⇔ ( ) ( )00 1tMax g t g m≥= = ≤Bài 4. Tìm m để phương trình: ( )12 5 4x x x m x x+ + = − + − có nghiệm.3 Chương I. Hàm số – Trần PhươngGiải: Điều kiện 0 4x≤ ≤. Biến đổi PT ( )125 4x x xf x mx x+ +⇔ = =− + −.Chú ý: Nếu tính ( )f x′ rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. Thủ thuật: Đặt ( ) ( )3112 0 022 12g x x x x g x xx′= + + > ⇒ = + >+ ( ) ( )1 15 4 0 02 5 2 4h x x x h xx x−′= − + − > ⇒ = − <− − Suy ra: ( )0g x > và tăng; ( )h x > 0 và giảm hay ( )10h x> và tăng⇒( )( )( )g xf xh x= tăng. Suy ra( )f x m= có nghiệm [ ]( )[ ]( ) ( )( )[ ]( )0;40;4min ;max 0 ; 4 2 15 12 ;12m f x f x f f ⇔ ∈ = = − Bài 5. Tìm m để bất phương trình: ( )33 23 1 1x x m x x+ − ≤ − − có nghiệm.Giải: Điều kiện 1x ≥. Nhân cả hai vế BPT với ( )31 0x x+ − > ta nhận đượcbất phương trình ( )( )( )33 23 1 1f x x x x x m= + − + − ≤. Đặt ( ) ( )( )33 23 1 ; 1g x x x h x x x= + − = + −Ta có ( ) ( )( )221 13 6 0, 1; 3 1 02 2 1g x x x x h x x xx x ′ ′= + > ∀ ≥ = + − + > − .Do ( )0g x > và tăng 1x∀ ≥; ( )0h x > và tăng nên ( ) ( ) ( ).f x g x h x= tăng 1x∀ ≥Khi đó bất phương trình ( )f x m≤ có nghiệm ( )( )1min 1 3xf x f m≥⇔ = = ≤Bài 6. Tìm m để ( ) ( )24 6 2x x x x m+ − ≤ − + nghiệm đúng [ ]4,6x∀ ∈ −Cách 1. BPT ( ) ( ) ( )22 4 6f x x x x x m⇔ = − + + + − ≤ đúng [ ]4,6x∀ ∈ −( )( ) ( )( )( ) ( )2 212 2 1 2 0 12 4 6 4 6xf x x x xx x x x− + ′= − + + = − + = ⇔ = + − + − Lập bảng biến thiên suy ra Max [ ]( )( )4,61 6Max f x f m−= = ≤Cách 2. Đặt ( ) ( )( ) ( )4 64 6 52x xt x x+ + −= + − ≤ =. Ta có 2 22 24t x x= − + +. Khi đó bất phương trình trở thành4 Bài 1. Phương pháp hàm số[ ]( )[ ]2 224, 0;5 24 ; 0;5t t m t f t t t m t≤ − + + ∀ ∈ ⇔ = + − ≤ ∀ ∈. Ta có:( )2 1 0f t t′= + > ⇒( )f t tăng nên( )[ ]; 0;5f t m t≤ ∀ ∈ ⇔[ ]( ) ( )0;5max 5 6f t f m= = ≤Bài 7. Tìm m để 2 23 6 18 3 1x x x x m m+ + − − + − ≤ − + đúng[ ]3,6x∀ ∈ −Giải: Đặt 3 6 0t x x= + + − > ⇒ ( )( ) ( )223 6 9 2 3 6t x x x x= + + − = + + −⇒ ( ) ( ) ( ) ( )29 9 2 3 6 9 3 6 18t x x x x≤ = + + − ≤ + + + − =( ) ( )( )2 2118 3 3 6 9 ; 3;3 22x x x x t t ⇒ + − = + − = − ∈ Xét ( ) ( ) ( ) ( )23;3 291 ; 1 0; 3;3 2 max 3 32 2f t t t f t t t f t f ′= − + + = − < ∀ ∈ ⇒ = = ycbt ( )2 23;3 2max 3 1 2 0 1 V m 2f t m m m m m ⇔ = ≤ − + ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ − ≥Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình 423 1 1 2 1x m x x− + + = − có nghiệm thực.Giải: ĐK: 1x ≥, biến đổi phương trình 41 13 21 1x xmx x− −⇔ − + =+ +. Đặt [)44121 0,11 1xux x−= = − ∈+ +. Khi đó ( )23 2g t t t m= − + = Ta có ( )16 2 03g t t t′= − + = ⇔ =. Do đó yêu cầu 113m⇔ − < ≤Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi 0m >, phương trình ( )22 8 2x x m x+ − = − luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.Giải: Điều kiện: 2x ≥. Biến đổi phương trình ta có:( ) ( ) ( )2 6 2x x m x⇔ − + = −( ) ( ) ( )2 22 6 2x x m x⇔ − + = −( )( )( )3 2 3 22 6 32 0 2 V g x 6 32x x x m x x x m⇔ − + − − = ⇔ = = + − =.ycbt ( )g x m⇔ = có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( )2; +∞. Thật vậy ta có:( ) ( )3 4 0, 2g x x x x′= + > ∀ >. Do đó ( )g x đồng biến mà ( )g x liên tục và 5t01+0–0– 1x2x +00 Chương I. Hàm số – Trần Phương( )( )2 0; limxg g x→+∞= = +∞ nên ( )g x m= có đúng một nghiệm ∈( )2; +∞. Vậy 0m∀ >, phương trình ( )22 8 2x x m x+ − = −có hai nghiệm phân biệt.Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 42 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =Giải: Đặt ( )[ ]4 42 2 2 6 2 6 ; 0;6 f x x x x x x= + + − + − ∈Ta có: ( )( ) ( )( )3 34 41 1 1 1 1, 0;622 62 6 f x xx xx x ′= − + − ∈ − − Đặt ( )( ) ( )( )( )3 34 41 1 1 1; 0,62 62 6 , xu x v xx xx x= − = − ∈−−( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ), 0, 0, 22 2 0, 0, 2,6u x v x xu vu x v x x> ∀ ∈⇒ = =< ∀ ∈ ( )( )( ) 0, 0,2( ) 0, 2,6(2) 0f x xf x xf′ > ∀ ∈′⇒ < ∀ ∈′=Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔42 6 2 6 3 2 6m+ ≤ < +Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007): Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 3 33 31 151 115 10x yx yx y mx y+ + + =+ + + = −Giải: Đặt 1 1;u x v yx y= + = +ta có ()()3331 1 1 13 3x x x x u ux x xx+ = + − ⋅ + = −và 1 1 1 1 12 . 2 ; 2 . 2u x x x v y yx x x y y= + = + ≥ = = + ≥ =6x026 +0– f(x)fff42 6 2 6+ Bài 1. Phương pháp hàm sốKhi đó hệ trở thành ( )3 35583 15 10u vu vuv mu v u v m+ =+ =⇔ = −+ − + = −⇔ ,u v là nghiệm của phương trình bậc hai( )25 8f t t t m= − + =Hệ có nghiệm ( )f t m⇔ = có 2 nghiệm 1 2,t t thỏa mãn 1 22; 2t t≥ ≥. Lập Bảng biến thiên của hàm số( )f t với 2t ≥t−∞– 2 2 5/2 +∞( )f t′– –0+( )f t+∞2227/4+∞Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 72 m 224m⇔ ≤ ≤ ∨ ≥Bài 12. (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình ( )22 sin cos 1 0x x y y+ + + ≥ đúng với y∀ ∈ ¡.Giải: Đặt sin cos 2, 2u y y = + ∈ − , BPT ( ) ( )( )( )22, 22 1 0, 2, 2 Min 0ug u x u x u g u ∈ − ⇔ = + + ≥ ∀ ∈ − ⇔ ≥ Do đồ thị ( )y g u= là một đoạn thẳng với 2, 2u ∈ − nên ( )2, 2Min 0ug u ∈ − ≥ ( )( )222 0 2 2 1 0 2 12 2 1 0 2 12 0g x x xx x xg − ≥ − + ≥ ≥ + ⇔ ⇔ ⇔ + + ≥ ≤ −≥ Bài 13. Cho , , 03a b ca b c≥+ + = Chứng minh rằng: 2 2 24a b c abc+ + + ≥Giải: BĐT ( ) ( ) ( )2 22 22 4 3 2 4a b c bc abc a a a bc⇔ + + − + ≥ ⇔ + − + − ≥( ) ( )22 2 6 5 0f u a u a a⇔ = − + − + ≥trong đó ()( )2210 32 4b cu bc a+≤ = ≤ = −. Như thế đồ thị ( )y f u= là một đoạn thẳng với ( )210; 34u a ∈ − . Ta có ( )()( )()( ) ( )22 2231 1 10 2 6 5 2 0; 3 1 2 02 2 4 4f a a a f a a a= − + = − + ≥ − = − + ≥ 7 Chương I. Hàm số – Trần Phươngnên suy ra ( )0;f u ≥( )210; 34u a ∀ ∈ − . Vậy 2 2 24a b c abc+ + + ≥. Đẳng thức xảy ra 1a b c⇔ = = =.Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984): Cho , , 01a b ca b c≥+ + =. Chứng minh rằng: 7227ab bc ca abc+ + − ≤.Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 1 2a b c a bc a a a bc a a a u f u+ + − = − + − = − + − = Đồ thị ( ) ( ) ( )1 2 1y f u a u a a= = − + − với ()( )22102 4ab cu bc−+≤ = ≤ = là một đoạn thẳng với 2 giá trị đầu mút ( ) ( )( )21710 12 4 27a af a a + −= − ≤ = < và( )()( )()()223 27 71 1 1 1 11 2 1 24 4 27 4 3 3 27f a a a a a− = − + + = − + − ≤ Do đồ thị( )y f u= là một đoạn thẳng với ( )210; 14u a ∈ − và ( )7027f <; ( )()27114 27f a− ≤ nên ( )727f u ≤. Đẳng thức xảy ra 13a b c⇔ = = = Bài 15. Chứng minh rằng: ( ) ( )2 4,a b c ab bc ca+ + − + + ≤ ∀[ ], , 0, 2a b c∈. Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có ( ) ( ) ( )[ ]2 2 4, , , 0, 2f a b c a b c bc a b c= − − + + − ≤ ∀ ∈Đồ thị ( )y f a=là một đoạn thẳng với [ ]0,2a∈ nên ( ) ( )( ){ }Max 0 ; 2f a f f≤Ta có ( ) ( ) ( )( )( )[ ]0 4 2 2 4; 2 4 4 4, , , 0, 2f b c f bc f a a b c= − − − ≤ = − ≤ ⇒ ≤ ∀ ∈Bài 16. CMR: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 1 1 1 1, , , , 0,1a b c d a b c d a b c d− − − − + + + + ≥ ∀ ∈Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có:( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]1 1 1 1 1 1 1 1, , , , 0,1f a b c d a b c d b c d a b c d= − − − − + − − − + + + ≥ ∀ ∈Đồ thị ( )[ ], 0,1y f a a= ∀ ∈ là một đoạn thẳng nên [ ]( ) ( )( ){ }0,1Min Min 0 , 1af a f f∈=Ta có ( )[ ]1 1 1, , , 0,1f b c d b c d= + + + ≥ ∀ ∈( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )0 1 1 1 1 1 1 1 1f b c d b c d g b c d b c d c d= − − − + + + ⇔ = − − − + − − + +Đồ thị ( )[ ], 0,1y g b b= ∀ ∈ là một đoạn thẳng nên [ ]( ) ( )( ){ }0,1Min 0 , 1bg b Min g g∈=8 Bài 1. Phương pháp hàm sốTa có ( )( ) ( ) ( )1 1 1; 0 1 1 1 1g c d g c d c d cd= + + ≥ = − − + + = + ≥⇒ ( ) ( )[ ]0 1, 0,1f g b b= ≥ ∀ ∈. Vậy ( )1f a ≥ hay ta có (đpcm)9 . Bài 1. Phương pháp hàm sốCHƯƠNG I. HÀM SỐBÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ1. y =. ix x x− ε + εax Chương I. Hàm số – Trần PhươngII. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là