Phương pháp hàm số trong chứng minh BĐT và cực trị

Bài toán cực trị trong đề thi ĐH luôn là câu khó nhất dùng để phân loại học sinh giỏi. Trong các năm gần đây, các cấu cực trị thường được giải quyết bằng cách chuyển về 1 biến và khảo sát hàm số. Cái khó là làm thế nào để chuyển về một biến. CHuyên đề này giới thiệu với bạn đọc một số kính nghiệm để chuyển về một biến.

[...]... y b −a x 1 −a b Đồ thị hàm số lồi 2 Dấu hiệu đồ thị lồi Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên ( a; b ) * Nếu f ''(x) > 0 ∀x ∈ ( a; b ) thì đồ thị hàm số lõm trên (a; b) * Nếu f ''(x) < 0 ∀x ∈ ( a; b ) thì đồ thị hàm số lồi trên ( a; b ) 2 Ứng dụng Từ định nghĩa trên ta thấy : Định lí 2: (Bất đẳng thức tiếp tuyến) Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên [a;b]... + b + c − 3 ≤ 0 và f '(1) = − 4 < 0 nên từ (*) 27 Ta suy ra : f(a) + f(b) + f(c) ≥ 3f(1) = 1 Nhận xét : Dấu hiệu giúp chúng ta nhận ra phương pháp trên là BĐT cần chứng minh có dạng : f(a1 ) + f(a 2 ) + + f(a n ) ≥ k (*) hoặc f(a1 ) + f(a 2 ) + + f(a n ) ≤ k (**), trong đó a i (i = 1, ,n) là các số thực cho trước Trong một số trường hợp BĐT chưa có dạng trên, ta phải thực hiện một số phép biến đổi... cần chứng minh trở thành (x + y + z + 1) − 3+ 31 1 1  + + ÷≤ 0 9 x y z Sử dụng BĐT tiếp tuyến với hàm f(t) = t − 3+ 3 9t và kết hợp BĐT a + b + c ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = 3 ta có đpcm a b c 3 + + ≥ (a + b + c) 2 c+a b+c a+b Hướng dẫn giải a b c 3 + + ≥ Chuẩn hóa a + b + c = 1 Ta cần chứng minh: 2 1−a 1− c 1− b x Hàm số f(x) = có f ''(x) > 0 ∀x ∈ (0;1) 1− x Bài 6.5.7 Cho a, b,c > 0 Chứng minh: ... và tiếp tuyến của đồ thị hàm 3 4x 1 99x − 3 số f(x) = 2 tại điểm có hoành độ x = là : y = ) 3 100 x − 2x + 5 Mặt khác: ⇒ 2 4a 4x x2 − 2x + 5 + 2 4b − 99x − 3 (3x − 1)2 (15 − 11x) = ≥ 0 ∀x ∈ (0;1) 100 100(x 2 − 2x + 5) + 2 4c ≥ 99(a + b + c) − 9 9 = đpcm 100 10 a − 2a + 5 b − 2b + 5 c − 2c + 5 Trong nhiều trường hợp, Bđt cần chứng minh là thuần nhất khi đó ta có thể chuẩn hóa Bđt và chuyển Bđt cần chứng. .. trên ta chỉ xét các BĐT đối xứng ba biến và đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau Phần tiếp theo ta sẽ đi xét một số BĐT không đối xứng hoặc BĐT đối xứng nhưng đẳng thức xảy ra khi có ít nhất hai biến không bằng nhau Ví dụ 6.5.13 Cho a, b,c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng: ⇒ f(a) + f(b) + f(c) ≤ 10(a 3 + b3 + c 3 ) − 9(a 5 + b 5 + c 5 ) ≥ 1 Lời giải Giả sử a ≥ b ≥ c Xét hàm số f(x) = 10x 3 −... hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm đến cấp hai trên [a;b] f(a) − f(b) (x − a) + f(a) ∀x 0 ∈ [a; b] a) Nếu f ''(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] thì f(x) ≥ a−b f(a) − f(b) (x − a) + f(a) ∀x 0 ∈ [a; b] b) Nếu f ''(x) ≤ 0 ∀x ∈ [a; b] thì f(x) ≤ a−b Đẳng thức trong các BĐT trên có khi và chỉ khi x = a hoặc x = b II CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 6.5.1 Cho các số thực dương a, b,c thỏa a + b + c = 1 a b c 3 + + ≤ Chứng. .. a, b,c,d ∈  0; ÷ và a + b + c + d = π Chứng minh  2 2 sin a − 1 2 sin b − 1 2 sin c − 1 2 sin d − 1 + + + ≥0 cosa cos b cos c cos d Hướng dẫn giải 2 sin x − 1 π , x ∈  0;  , ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số  ÷ cos x  2 π π f(x) tại điểm có hoành độ x = có phương trình : y = 2  x −   ÷ 4 4  π   π Ta chứng minh được: f(x) ≥ 2  x − ÷ ∀x ∈  0; ÷ 4   2 Xét hàm số f(x) = ⇒ f(a) +... + c 2  ÷ 3 3 a b c Lời giải Vì BĐT đã cho thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh Bđt đúng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = 1 , khi đó bđt cần chứng minh trở ( ) thành: f(a) + f(b) + f(c) ≥ 1 , trong đó: f(x) = 1+ 3 1 − x với 0 < x < 1 3 3 x Dễ thấy hàm số f có f ''(x) > 0 ∀x ∈ (0;1) Nên theo BĐT tiếp tuyến ta có :  1   1  f(a) + f(b) + f(c) ≥ f '  ÷(a + b + c − 3) + 3f... Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = 2 tại điểm x = có phương 3 3x − 2x + 1 y = 12x + 3 Ta chứng minh được trình : f(x) ≤ 12x + 3 ∀x ∈ (0;1) ⇒ f(a) + f(b) + f(c) ≤ 12(a + b + c) + 9 = 21 ⇔ 2 3a − 2a + 1 + 2 3b − 2b + 1 + 2 Bài 6.5.3 Cho a, b,c > 0 Chứng minh: b+ c c+ a a+ b  a b c  + + ≥ 4 + + ÷ a b c b+ c c+ a a+ b  Hướng dẫn giải Chuẩn hóa a + b + c = 1 Ta cần chứng minh 5a − 1 5b − 1 5c... ab + bc + ca = −m; abc = −n , suy ra a, b,c là nghiệm của phương trình x 3 − mx + n = 0 (1) Xét hàm số f(x) = x 3 − mx + n Vì phương trình (1) có ba nghiệm (không có nghiệm bội ba) nên hàm số f có hai cực trị, đồng thời fcd fct ≤ 0 Do f '(x) = 3x 2 − m nên hàm số f có hai cực trị khi m > 0 Khi đó  2m m  2m m  4m 3 27 2 fct fcd =  n − n+ = n2 − ≤ 0 ⇒ m3 ≥ n ÷ ÷ 3 3  3 3  27 4  Suy ra: m 3 . ∈ *A+' 56   !  > 2  K   + + = + =  ÷   8 56 @   K  &  + =     =   ( )  > 2   = + = 8 56 @   &  &  =     =    Bài 6. 4.5. ).  ) %    + + = ⇒ < ≤ =  3 + N  B*D E  )  2DE )  ≥ + = + =  3 4 2DE 9 %I     ÷   +0 Bài 6. 4. 23.  ( )     N  ). = ⇔ = *A+' 56  ( ) YY > 2  & ≥ =  3    )    = = = :'.4BZ YY > & =  Bài 6. 4 .30 .)W5X) 