Giải số mô hình động học rừng bằng phương pháp ADI

Giải số mô hình động học rừng bằng phương pháp ADI

KILOBOOKS.COM MỤC LỤC Lời mở đầu Chương 1. Giới thiệu mơ hỡnh và một số kết quả lý thuyết đạt được 1.1 Giới thiệu 1.2 Nghiệm địa phương 1.3 Nghiệm khơng âm 1.4 Nghiệm tồn cục 1.5 Hệ động lực 1.6 Hàm Lyapunov 1.7 Sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất Chương 2. Phương pháp ADI và một số thuật tốn liên quan 2.1 Giới thiệu về sai phân và phương pháp ADI 2.1.1 Giới thiệu 2.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai 2.1.3 Các bước chính của phương pháp sai phân 2.1.4 Phương pháp ADI 2.2 Một số thuật tốn liên quan 2.2.1 Thuật tốn Thomas 2.2.2 Thuật tốn Newton Chương 3. Giải số mơ hình 3.1 Giải số mơ hình 3.2 Một số kết quả tính tốn được Kết Luận Tài liệu tham khảo Phụ Lục http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM 1Lời mở đầu Vấn đề nghiên cứu sự bảo tồn và phát triển của rừng có ý nghĩa rất quan trọng trong việc bảo vệ mơi trường cũng như phát triển kinh tế, xã hội. Để quan sát sự phát triển của rừng cần thời gian rất dài và chi phí lớn. Hiện nay, việc sử dụng các mơ hỡnh toỏn học và nghiờn cứu cỏc mụ hỡnh đó với sự trợ giúp của máy tính là phương pháp rất quan trọng. Vào năm 1994, Kuznetsov cùng các tác giả khác (xem [6]) đó đưa ra mơ hỡnh Cấu Trỳc Tuổi để mơ tả sự phát triển của hệ động học rừng. Họ nghiên cứu mơ hỡnh rừng đơn lồi và chỉ cú hai lớp, lớp cõy non và lớp cõy già. Quỏ trỡnh tỏi tạo của rừng được mơ tả thơng qua sự tạo hạt của cây già và sự nảy mầm phát triển thành cây non của hạt. Mơ hỡnh Cấu Trỳc Tuổi được biểu diễn bởi hệ phương trỡnh sau: 22( ) ,,.uβδw γ v u futvfu hvtw wαv βw dtx∂= − −∂∂= −∂∂ ∂= − +∂ ∂ (0.1) Trong đó ẩn hàm ( , )u t x và ( , )v t x lần lượt là mật độ cây non và cây già ở tại vị trí x ∈Ω và tại thời gian (0, )t ∈ ∞. Ẩn hàm ( , )w t xlà mật độ hạt trong khơng khí tại x ∈Ω và (0, )t ∈ ∞. Phương trỡnh thứ ba của (0.1) mụ tả sự biến đổi hạt, d > 0 là hằng số khuếch tỏn của hạt; 0α>và 0β> lần lượt là tốc độ tạo hạt của cây già và tốc độ lắng đọng của hạt. Các phương trỡnh thứ nhất và thứ hai của (0.1) mụ tả sự phỏt triển của cõy non và cõy già; 0 1δ< ≤ là tỷ lệ nảy mầm của hạt, ( ) 0vγ> là tỷ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào mật độ cây già v; 0f> là tốc độ phát triển của cây non và 0h > là tỷ lệ chết của cõy già. http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM 2Mụ hỡnh này đó được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong [3], và [4], L. H. Chuẩn, A. Yagi và T. Tsujikawa đó nghiờn cứu mụ hỡnh trong trường hợp hai chiều. Bằng cách biến đổi hệ phương trỡnh (0.1) về phương trỡnh tiến húa dạng parabolic và sử dụng cụng cụ nửa nhúm giải tớch, cỏc tỏc giả đó xõy dựng được nghiệm tổng qt cho mơ hỡnh, nghiờn cứu sự ổn định và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian đủ lớn. Dựa trờn cỏc kết quả lý thuyết đó đạt được, luận văn nghiên cứu việc xây thuận tốn và viết chương trỡnh để giải số mơ hỡnh Cấu Trỳc Tuổi trong trường hợp hai chiều. Hệ (0.1) là một hệ phương trỡnh vi phõn đạo hàm riêng khá phức tạp khơng có phương pháp giải đúng. Phương pháp giải gần đúng được sử dụng trong luận văn là phương pháp sai phân, kết hợp với phương pháp ADI (Alternating Direction Implicit) để giảm thời gian tớnh toỏn và tăng độ chớnh xỏc. Luận văn gồm cú ba chương: Chương 1. Giới thiệu mụ hỡnh Cấu Trỳc Tuổi mụ tả sự phỏt triển của rừng do Kuznetsov cựng cỏc tỏc giả khỏc đưa ra và trỡnh bày một số kết quả lý thuyết đó được chứng minh. Chương 2. Giới thiệu cỏc khỏi niệm cơ bản của phương phỏp sai phõn, phương phỏp ADI (Alternating Direction Implicit) và phương pháp Thomas ứng dụng cho việc giải gần đúng phương trỡnh đạo hàm riêng. Chương 3. Trỡnh bày quỏ trỡnh sai phõn mụ hỡnh Cấu Trỳc Tuổi, sơ đồ khối mụ tả thuật toỏn để giải nghiệm gần đỳng. Đồng thời trỡnh bày một số kết quả tớnh toỏn thu được. http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM 3Chương 1 GIỚI THIỆU Mễ HèNH CẤU TRÚC TUỔI VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ Lí THUYẾT 1.1. Giới thiệu Vào năm 1994, Kuznetsov, Antonovsky, Biktashev và Aponina (xem [6]) đó đưa ra mơ hỡnh Cấu Trỳc Tuổi để mơ tả sự phát triển của hệ động học rừng (xem (0.1)). Trong [3] và [4], L. H. Chuẩn cùng các tác giả khác đó nghiờn cứu mụ hỡnh đó trong trường hợp hai chiều như sau: 00 0( ) trên (0, ),trên (0, ),trên (0, ),0 trên (0, ),( ,0) ( ),( ,0) ( ), ( ,0) ( ) trên .uβδw γ v u futvfu hvtwd w βw αvtwnu x u xv x v x w x w x∂= − − Ω × ∞∂∂= − Ω × ∞∂∂= ∆ − + Ω × ∞∂∂= ∂Ω × ∞∂== = Ω (1.1) Trong đó Ω là miền lồi hoặc cú biờn 2C và bị chặn trong 2R. Cỏc ẩn hàm ( , )u t x và ( , )v t x lần lượt là mật độ cây non và cây già ở tại vị trí x ∈Ω và tại thời gian (0, )t ∈ ∞. Ẩn hàm ( , )w t xlà mật độ hạt trong khơng khí tại x ∈Ω và (0, )t ∈ ∞. Phương trỡnh thứ ba của (1.1) mụ tả sự biến đổi hạt, 0d > là hằng số khuếch tỏn của hạt; 0α>và 0β> lần lượt là tốc độ tạo hạt của cây già và tốc độ lắng đọng của hạt. Các phương trỡnh thứ nhất và thứ hai của (1.1) mụ tả sự phỏt triển của cõy non và cõy già; 0 1δ< ≤ là tỷ lệ nảy mầm của hạt, ( ) 0γ v > là tỷ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào mật độ cây già v; 0f> là tốc độ phát triển của cây non và 0h > là tỷ lệ chết của cõy già. Hàm ( , )w t x thỏa món điều kiện Neumann trên biên ∂Ω. Các giá trị ban đầu 0( ) 0u x≥, 0( ) 0v x≥ và 0( ) 0w x≥ http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM 4được cho trên Ω. Giả sử rằng tỷ lệ chết của cây non được cho bởi một phương trỡnh bậc hai cú dạng 2( ) ( ) ,γ v a v b c= − + trong đó ,a b và c là các hằng số dương, tức là ta có thể thấy tỷ lệ chết của cây non phụ thuộc vào cây già và đạt giá trị nhỏ nhất khi mật độ cây già là b. Sau đây ta sẽ trỡnh bày một số kết quả lý thuyết đó đạt được (xem [3] và [4]). 1.2. Nghiệm địa phương Trong mục này, ta đi xây dựng nghiệm địa phương cho (1.1) trên khơng gian nền 2; ( ), ( ), ( ) ,uX v u L v L w Lw∞ ∞    = ∈ Ω ∈ Ω ∈ Ω       và khơng gian các giá trị ban đầu 00 0 0 00; 0, 0, 0uK v X u v ww   = ∈ ≥ ≥ ≥     . Toỏn tử tuyến tớnh A được định nghĩa bởi: 0 00 00 0fA h  =  Λ  với 2( ) ; , ( ), ( )NuD A v u v L w Hw∞   = ∈ Ω ∈ Ω     , trong đó Λ là tốn tử đóng liên kết với tốn tử Laplace d β− ∆ + trong 2( )L Ω với điều kiện biên Neumann. Miền xác định của Λ là khụng gian 2 2( ) ( ) { ( ); 0NuD H u Hn∂Λ = Ω = ∈ Ω =∂ trờn ∂Ω}. Toỏn tử phi tuyến Fđược định nghĩa bởi ( )( )w v uF U fuvβδ γα−  =   , uU v Xw  = ∈   . http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM 5Khi đó, hệ phương trỡnh (1.1) được viết lại dưới dạng sau: 0( ),0 .(0) ,dUAU F UtdtU U+ =< < ∞= (1.2) Bằng cỏch kiểm tra một số tớnh chất của toỏn tử A và toỏn tử F, ta chứng minh được kết quả sau: Định lý 1.1. Với mỗi giá trị ban đầu 0 0 0 0( , , )U u v w K= ∈, phương trỡnh (1.2) cú nghiệm duy nhất ( , , )u v w trong khụng gian hàm 11 12 1 2 21 1 1, ([0, ]; ( )) ((0, ]; ( )),([0, ]; ( )) ((0, ]; ( )) ((0, ]; ( )).Nu v C T L C T Lw C T L C T L C T H∞ ∞∈ Ω ∩ Ω∈ Ω ∩ Ω ∩ Ω (1.3) Trong đó 10T > được xác định chỉ bởi 0U. 1.3. Nghiệm khụng õm Định lý 1.2. Cho 0U K∈ và giả sử ( , , )U u v w= là nghiệm địa phương của (1.2) thu được trong Định lý 1.1. Khi đó ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0u t v t w t≥ ≥ ≥ trờn Ω với mọi 00t T≤ ≤, trong đó 0 10T T< ≤ được xác định bởi 0U. Chứng minh: Xột bài toỏn phụ: 0 0 0( ) trên (0, ),trên (0, ),(Re ) trên (0, ),0 trên (0, ),( ,0) ( ), ( ,0) ( ), ( ,0) ( ).uβδw γ v u futvfu hvtwd w βw αχ vtwnu x u x v x v x w x w x∂= − − Ω × ∞∂∂= − Ω × ∞∂∂= ∆ − + Ω × ∞∂∂= ∂Ω× ∞∂= = =%% % % %%% %%% % %%% % % (1.4) http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM 6Trong đó ( )vχ% là hàm cho bởi 0,( )0 0.v khi vvkhi v≥=<% %%%χ Dễ thấy2 1 2 1 1 2| ( ) ( ) | | | , Rχ v χ v v v v v− ≤ − ∀ ∈% % % % % %. Sử dụng Định lý 1.1, ta suy ra (1.4) có nghiệm địa phương duy nhất ( , , w)u v% % % trong [0,2T] với 2T được xác định bởi 0U. Ta sẽ chứng minh rằng , , wu v% % %khụng õm. Xột hàm ( )H τ định nghĩa bởi 20 0( )02khiHkhiττττ≥=< và đặt 1 2( ) ( ( , )) , 0t H w x t dx t TΩΨ = ≤ ≤∫%. Dễ thấy 1( )tΨ là hàm liên tục khơng âm có đạo hàm ' '' 2 ' '1( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) 0.t d H w w dx H w wdx H w v dxβ α χΩ Ω ΩΨ = − ∇ − + ≤∫ ∫ ∫% % % % % % Vỡ 1(0) 0Ψ =, ta suy ra 1( ) 0tΨ = với mọi 2[0, ]t T∈. Do đó ( ) 0w t≥% trờn 2[0, ]T. Tương tự, đặt 2 2( ) ( ( , )) , 0 .t H u x t dx t TΩΨ = ≤ ≤∫% Ta cũng được 2( )tΨ là hàm liên tục, khơng âm, có đạo hàm ' ' '2( ) ( ) ( ( ) ) ( )t H u vdx v f H u udxβδ γΩ ΩΨ = − +∫ ∫% % % % % Vỡ 0w ≥%, 2(0) 0Ψ = nờn ( ) 0u t≥% trong 2[0, ]T. Tương tự ta có 0v≥%. Vỡ 0v≥% nờn ( )v vχ=% % , chứng tỏ (, ,u v w% % %) cũng là nghiệm địa phương của (1.2) trên 0[0, ]T. Theo tớnh duy nhất nghiệm ta suy ra rằng ( , , ) ( , , )u v w u v w=% % % trờn 0[0, ]T, trong đó { }0 1 2min ,T T T=. Như vậy (1.2) có nghiệm địa phương khơng âm trong khơng gian hàm (1.3), trong đó 0T được xác định bởi 0U. http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM 7 1.4. Nghiệm tồn cục Để xây dựng nghiệm tồn cục của bài tốn, ta cần đánh giá tiên nghiệm sau: Định lý 1.3. Cho 0U K∈ và giả sử rằng ( , , )U u v w= là nghiệm địa phương của phương trỡnh (1.2) trờn khoảng [0, ]UT như sau: 12 1 2 20 , ([0, ); ( )) ((0, ); ( ),0 ([0, ); ( )) ((0, ); ( )) ((0, ); ( )).U UU U U Nu v C T L C T Lw C T L C T L C T H∞ ∞≤ ∈ Ω ∩ Ω≤ ∈ Ω ∩ Ω ∩ Ω Khi đó ta có đánh giá 0{ 1}, 0 ,ρtUX XU C e U t T−≤ + ≤ < trong đó các hằng số C > 0 và ρ > 0 khụng phụ thuộc U. Sử dụng đánh giá tiên nghiệm trên, ta chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trỡnh (1.1). Định lý 1.4. Với mọi giá trị ban đầu 0U K∈, hệ phương trỡnh (1.1) cú duy nhất nghiệm tồn cục trong khụng gian hàm 12 1 2 20 , ([0, ); ( )) ((0, ); ( ))0 ([0, ); ( )) ((0, ); ( )) ((0, ); ( ))Nu v C L C Lw C L C L C H∞ ∞≤ ∈ ∞ Ω ∩ ∞ Ω≤ ∈ ∞ Ω ∩ ∞ Ω ∩ ∞ Ω Chứng minh: Theo Định lý 1.2, bài tốn ln có duy nhất nghiệm địa phương U trong 0[0, ]T. Theo Định lý 1.3, 0( )U T được xác định bởi 0U. Do đó nghiệm Ucú thể thỏc triển thành nghiệm địa phương trên 0[0, ]Tτ+ với 0τ> được xác định bởi 0( )U T, tức là chỉ phụ thuộc vào0U. Tiếp tục quỏ trỡnh thỏc triển đó, ta sẽ thu được nghiệm tồn cục của bài toỏn. 1.5. Hệ động lực http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM 8Theo Định lý 1.4, với mỗi 0U ∈ K, tồn tại duy nhất nghiệm tồn cục 0( , ) ( ( ), ( ), ( ))U t U u t v t w t= của (1.1) và nghiệm này liên tục theo giá trị ban đầu 0U. Do đó, ta có thể định nghĩa nửa nhóm 0{ S(t) }t≥ trờn K bởi 0 0( ) ( , )S t U U t U=. Do đó ta xây dựng được một hệ động lực ( ( ), , )S t K X sinh ra bởi hệ phương trỡnh (1.1). 1.6. Hàm Lyapunov Trong phần này ta sẽ đi xây dựng hàm Lyapunov cho (1.1). Giả sử ( , , )u v w là nghiệm tồn cục của (1.1) với giá trị ban đầu 0 0 0 0( , , )U u v w K= ∈. Đặt ( ) ( ) ( ), 0t fu t hv t t= − ≤ < ∞ϕ. Từ hai phương trỡnh đầu của (1.1) ta có - { ( ) } { ( ) }, 0 .f w v f h h v v fv ttϕβδ γ ϕ γ∂= + + − + < < ∞∂ (1.5) Nhõn (1.5) với ( )vttϕ∂=∂ và tớnh tớch phõn trờn miền Ω 2 21( ) { ( ) }( )2d d v vdx h v dx f wdx v f h dxdt dt t tϕ βδ γΩ Ω Ω Ω∂ ∂+ Γ − = − + +∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫, trong đó 0( ) ( ( ) )vv v v fv dvγΓ = +∫. Tương tự nhân phương trỡnh thứ ba của (1.1) với wt∂∂ và lấy tớch phõn trờn miền Ω ta được 2 2 2| | ( )2 2d d d w ww dx w dx v dx dxdt dt t xΩ Ω Ω Ω∂ ∂∇ + − = −∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫βα. Từ hai đẳng thức trên cho ta http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN KILOBOOKS.COM 922 2 22 2[ | | ( ) ( ) ]2 2 2[ { ( ) }( ) ( ) ] 0, 0 .d df fw h v w f vw dxdtv wv f h f dx tt tα βδ β δϕ α αβδα γ βδΩΩ+ ∇ + Γ + −∂ ∂= − + + + ≤ < < ∞∂ ∂∫∫ Chứng tỏ, hàm số 22 2 2( ) [ ( ) | | ( ) ( ) ]2 2 2df fU fu hv w h v w f uv dxα βδ β δα αβδΩΨ = − + ∇ + Γ + −∫ là hàm Lyapunov của (1.1). 1.7. Sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất Giải sử ( , , )u v w là nghiệm dừng, thuần nhất và khơng âm của (1.1). Khi đó 0u≥, 0v≥ và 0w≥ thỏa món hệ phương trỡnh ( ) 0,0,0.βδw γ v u fufu hvβw αv− − =− =− + = (1.6) Ta chứng minh được rằng: • Nếu 20fαδhab c f< ≤+ + thỡ (1.6) cú hai nghiệm (0,0,0)O = và ( ), , ( )h αP b D b D b Df β+ = + + +  , trong đó ( ),fαδ c f hDah− += và cả hai nghiệm đó đều ổn định. • Nếu 2fαδ fαδhc fab c f< <++ + thỡ (1.6) cú ba nghiệm (0,0,0)O = và ( ), , ( )h αP b D b D b Df β± = ± ± ±  . Trong đó hai nghiệm O và P+ ổn định cũn nghiệm P− khơng ổn định. • Nếu fαδhc f=+ thỡ (1.6) cú hai nghiệm (0,0,0)O = và , ,hbαbP bfβ =  . http://kilobooks.comTHƯ VIỆN ĐIỆN TƯÛ TRỰC TUYẾN [...]... ry Để giải (2.11) thỡ độ phức tạp có cỡ là 5 3 KJ Như vậy thời gian tính tốn 3 sẽ rất lớn Vỡ thế ta cần xây dựng phương pháp tốt hơn 21 http://kilobooks.com THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN Ta sẽ xét phương pháp ADI (alternating direction implicit) Phương pháp ADI là một lược đồ dự đốn - hiệu chỉnh Trong đó tốn tử sai phân là ẩn trong cả bước dự đốn và bước hiệu chỉnh Với phương pháp này thỡ sai số do... rất phức tạp, nhiều bài tốn khơng có nghiệm theo nghĩa cổ M điển, tuy nhiên trong một số trường hợp lại có thể tỡm được nghiệm một cách khá hiệu quả Trong số những phương pháp giải gần đúng phương trỡnh đạo hàm riêng thỡ phương pháp lưới (hay phương pháp sai phân) được sử dụng khá CO rộng rói nhất 2.1.2 Phân loại phương trỡnh tuyến tớnh cấp 2 Xột bài toỏn tuyến tớnh cấp 2 δ 2u δ 2u δ 2u δ 2u δ 2u δu... và nghiệm c+ f OBO OKS CO M này ổn định KIL Chương 2 GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP ADI VÀ MỘT SỐ THUẬT TỐN LIÊN QUAN 2.1 Giới thiệu về sai phân và phương pháp ADI 2.1.1 Giới thiệu 10 http://kilobooks.com THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN Các phương trỡnh đạo hàm riêng thường xuất hiện trong các biểu thức ứng dụng vật lý, thuyết thuỷ động học, cơ học lượng tử… Và hầu như các bài tốn này thường rất phức tạp, nhiều... = 0 và Cỏc dạng phổ biến OBO Hyperbolic nếu D < 0 ● Phương trỡnh Laplace: ∆u = δ 2u δ 2u + = 0 δ x2 δ y 2 ● Phương trỡnh truyền nhiệt: δu δ 2u = a2 2 δt δx KIL ● Phương trỡnh dõy rung: δu δ 2u = a2 2 δt2 δx 2.1.3 Các bước chính của phương pháp sai phân ● Rời rạc hoỏ miền Ω ● Thay toỏn tử vi phõn bằng toỏn tử sai phõn ● Giải hệ phương trỡnh đại số tuyến tính thu được 11 http://kilobooks.com THƯ VIỆN... kiện biên cho nú u n,+1 = γ ( j ∆x, k ∆y, (n + 1)∆t ) , (j = 0…J, k = 0…K) jk rx + ry ≤ OBO Với phương pháp sai phân trên ta thấy điều kiện ổn định thoả món khi 1 σ∆t 1 Nếu ∆x = ∆y thỡ yờu cầu ổn định là 2 ≤ Vỡ vậy với phương pháp 2 ∆x 4 này ta cần chọn ∆t rất nhỏ Ta xét phương pháp Crank – Nicolson đối với phương trỡnh (2.9) Lược đồ sai phân là ∆t hay  δ x2  u n,+1 − u n,k jk j =σ  2   2  ∆x... thỡ CO nghiệm của (2.7) hội tụ (bậc k) tới nghiệm của (2.6) Ta đi xét một phương pháp khảo sát sự ổn định của lược đồ sai phân sau: Phương pháp phổ Newmann Phương pháp này cho điều kiện cần để lược đồ sai phân ổn định theo giá OKS trị ban đầu Ta gọi phổ của bài tốn sai phân là tập hợp cỏc giỏ trị λ = λ (α , h) sao cho nghiệm của phương trỡnh sai phõn thuần nhất tương ứng có dạng u j ,k [λ (α , h)]k u... tốn Thomas cho cả hai bước ta sẽ M tính được độ phức tạp của phương pháp này là khoảng 5JK, nhỏ hơn nhiều so 5 3 với con số ( KJ 3 ) của phương pháp Crank – Nicolson .CO 2.2 Một số thuật toỏn liờn quan 2.2.1 Thuật toỏn Thomas Thuật tốn Thomas được sử dụng để giải hệ phương trỡnh đại số trong đó vế trái là một ma trận chéo, thưa Với việc áp dụng thuật tốn này cho trường OKS hợp đặc biệt trong bài của... Newton giải hệ phương trỡnh đại số tuyến tính Xét phương trỡnh sau y = f(x) = 0 Phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) nằm trên đường thẳng y = f ( x) là y = f '( x0 )( x − x0 ), KIL có giao điểm với trục hồnh tại x1 = x0 − f ( x0 ) / f '( x0 ) Ta xây dựng được cơng thức truy hồi như sau xn+1 = xn − 26 f ( xn ) f ' ( xn ) http://kilobooks.com CO M THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN Hỡnh 2.8 Phương pháp. .. n−1,k j j j , ∆x 2 u n,k +1 − 2u n,k + u n,k −1 j j j ∆y 2 c) Sau khi được biểu diễn dưới dạng sai phân, các phương trỡnh đạo hàm riêng có dạng một hệ phương trỡnh đại số tuyến tính Ax = b, trong đó A thường Thomas KIL có dạng ma trận chéo, thưa Để giải hệ này ta sử dụng thuật tốn thuật tốn Xét phương trỡnh sau L(u ) := a ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +b 2 +c +d + gu = f , 2 ∂x ∂y ∂x ∂y trong đó a, b, c, d, g, f là... sai số Giả sử || f ''( x) ||≤ M 1 và | f '( x) |≥ M 2∀x ∈ [a, b], Sơ đồ khối thuật tốn Newton M1 | xn +1 − xn |2 2M 2 OKS | xn +1 − ε |≤ Start OBO Function f(x), Df(x) input x0 , ε x1 := x0 − f ( x0 ) / Df ( x0 ) x0:=x1 KIL err := ( x1 − x0 ) 2 M 1 / (2 M 2 ) err < ε End Hỡnh 2.9 Sơ đồ khối thuật tốn Newton 27 http://kilobooks.com THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN Chương 3 M GIẢI SỐ Mễ HèNH CO 3.1 Giải số . Chương 2. Phương pháp ADI và một số thuật tốn liên quan 2.1 Giới thiệu về sai phân và phương pháp ADI 2.1.1 Giới thiệu 2.1.2 Phân loại phương. phương pháp giải đúng. Phương pháp giải gần đúng được sử dụng trong luận văn là phương pháp sai phân, kết hợp với phương pháp ADI (Alternating Direction