Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Giải PT-BPT-HPT phương pháp hàm số A LÝ THUYẾT Định lí 1: Nếu hàm số ln đb (hoặc ln ngb) liên tục D số nghiệm pt D : không nhiều và với Chứng minh: Giả sử phương trình có nghiệm , tức Do f đồng biến nên * suy nên pt vô nghiệm * suy nên pt vơ nghiệm Vậy pt có nhiều nghiệm Chú ý: * Từ định lí trên, ta áp dụng vào giải phương trình sau: Bài tốn u cầu giải pt: Ta thực phép biến đổi tương đương đưa phương trình dạng ( ) ta chứng minh hàm đồng biến (nghịch biến) Nếu pt: ta tìm nghiệm, chứng minh nghiệm Nếu pt: ta có giải phương trình ta tìm nghiệm * Ta áp dụng định lí cho tốn chứng minh phương trình có nghiệm Định lí 2: Nếu hàm số ln đb (hoặc ngb) hàm số ngb (hoặc đb)và liên tục D số nghiệm D pt: không nhiều Chứng minh: Giả sử nghiệm pt: , tức Ta giả sử f đồng biến g nghịch biến *Nếu suy dẫn đến pt vô nghiệm *Nếu suy dẫn đến pt vô nghiệm Vậy pt có nhiều nghiệm Chú ý: Khi gặp pt ta biến đổi dạng , f g khác tính đơn điệu Khi ta tìm nghiệm pt chứng minh nghiệm Định lí 3: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp n pt có m nghiệm, pt có nhiều m+1 nghiệm Định lí 4: Nếu hàm số ln đồng biến ( ln nghịch biến)và liên tục D ( ) B CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: 1) Với tốn giải theo cách bình thường bình phương hay đặt ẩn phụ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, tinh ý chút em thấy VT hàm đồng biến nghiệm phương trình nên theo định lí ta có nghiệm Vậy ta có cách giải sau ĐK: Xét hàm số , ta có f(x) hàm liên tục D nên hàm số f(x) đồng biến Mặt khác, ta thấy f(1)=4 *Nếu suy nên pt vô nghiệm *Nếu suy nên pt vô nghiệm Vậy nghiệm phương trình cho Chú ý: * hàm số với hàm đồng biến f(x) hàm đồng biến hàm ( với điều kiện thức tồn tại) hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận VT pt hàm đồng biến * Khi dự đoán nghiệm ta ưu tiên giá trị x cho biểu thức dấu nhận giá trị số phương 2) Với tốn dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ gặp khó khăn theo ý ta dễ dàng nhận thấy VT pt hàm đồng biến pt có nghiệm Do pt có nghiệm ( Các giải tương tự 1) 3) Với đường lối hai ta khó khăn để giải tốn Tuy nhiên nhìn kĩ ta thấy biểu thức dấu hai vế có chung mối liên hệ , đặt phương trình cho trở thành: , hàm liên tục có : nên f(t) ln đồng biến Do đó: Vậy phương trình có nghiệm x=1, x=-1/2 4) Nhận xét biểu thức tham gia phương trình ta thấy: , đặt , phương trình trở thành: , với t>0 Ta thấy f(t) hàm liên tục đồng biến, Ví dụ 2: Giải phương trình sau: Giải: 1) Ta thấy pt có hai nghiệm Ta chứng minh phương trình cho có khơng hai nghiệm Để có điều ta cần chứng minh hàm số có có nhiều nghiệm dẫn đến g(x) có nhiều hai nghiệm), điều ln (vì theo đ/l suy Vậy phương trình cho có hai nghiệm 2) Đk: , hàm liên tục đồng biến Do đó: Xét hàm số đến pt , ta có: , suy pt có nhiều hai nghiệm, mà ta thấy có nhiều nghiệm dẫn hai nghiệm pt nên phương trình cho có hai nghiệm Ví dụ 3: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm Giải: Để chứng minh phương trình có nghiệm D ta tiến hành theo cách sau * Chứng minh phương trình ln có nghiệm: Để chứng minh điều này, ta cần chứng chứng minh liên tục D tồn hai số cho * Tiếp theo ta chứng minh hàm đồng biến ln nghịch biến Trở lại tốn: Xét hàm số Ta có hàm liên tục R , dẫn đến pt ln có nghiệm Giả sử nghiệm phương trình , Từ ta suy Do ta cần khảo sát với Ta có nên hàm đồng biến Vậy phương trình cho ln có nghiệm Chú ý:* Nếu khảo sát hàm khơng thể có hàm đồng biến, ta cần hạn chế miền xác định x Điều ta có nhờ vào thân phương trình *Để chứng minh phương trình có nghiệm D ta cịn có cách khác khảo sát hàm D, lập bảng biên thiên từ bảng biến thiên ta suy đồ thị hàm cắt Ox điểm Qua toán ta thấy việc ứng dụng tính đơn điệu vào giải số dạng tốn phương trình tỏ hiệu cho lời giải ngắn gọn Thơng qua ví dụ hi vong em có thêm kĩ giải phương trình nhận dạng dạng phương trình dùng đồng biến, nghịch biến Bây ta xét số toán Bất Phương trình Ví dụ : Giải bất phương trình sau: Giải: 1) ĐK: Xét hàm số nghịch biến Do 2) ĐK: Xét hàm số Ta dễ dàng chứng minh hàm Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bpt là: , ta có suy hàm đồng biến Mặt khác: Do Bpt Kết hợp điều kiện ta có nghiệm Bpt B Nội dung phương pháp I Phương pháp lượng giác hoá Nếu th“ ta đặt Ví dụ : Lời giải : ĐK : )( Đặt Phương tr“nh cho trở thành : )=0 Kết hợp với điều kiện t suy : Vậy phương tr“nh có nghiệm : Ví dụ : Lời giải : ĐK : Khi VP > Nếu Nếu Đặt , với )( ta có : )=0 Vậy nghiệm phương tr“nh Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt phương tr“nh cho trở thành : Vậy phương tr“nh có nghiệm Ví dụ (TC THTT): HD : Nếu : phương tr“nh không xác định Chú ý với ta có : để giải phương tr“nh (1) ta cần xét với Đặt phương tr“nh cho trở thành : Nếu th“ ta đặt : Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh cho trở thành : kết hợp với điều kiện t suy Vậy phương tr“nh có nghiệm : TQ : Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt phương tr“nh cho trở thành : (thỏa mãn) TQ : với a,b số cho trước3 Đặt lượng giác đơn giản : Ví dụ : Lời giải : Do (1) để đưa phương tr“nh (1) không nghiệm phương tr“nh nên : (2) Đặt Khi (2) trở thành : Suy (1) có nghiệm : Ví dụ : Lời giải : ĐK : Đặt phương tr“nh cho trở thành : Kết hợp với điều kiện suy : Vậy phương tr“nh có nghiệm : Mặc định điều kiện : đa phương tr“nh kết luận : sau t“m số nghiệm số nghiệm tối Ví dụ : Lời giải : phương tr“nh cho tương đương với : (1) Đặt (1) trở thành : : :Leftrightarrow Suy (1) có tập nghiệm : Vậy nghiệm phương tr“nh cho có tập nghiệm S II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình cho phương tr“nh bậc hai với ẩn ẩn phụ ẩn phương tr“nh cho : Đưa phương tr“nh dạng sau : : Đặt Phương trình viết thành : Đến giải t theo x Cuối giải phương tr“nh đơn giản hóa kết luận : Ví dụ 10 : (1) lời giải : ĐK : Đặt Lúc : (1) Phương tr“nh trở thành : Giải phương tr“nh với ẩn t , ta t“m : Do nên không thỏa điều kiện sau Với th“ : ( thỏa mãn điều kiên Ví dụ 11 : Lời giải : ĐK : Đặt phương trình cho trở thành : * Với , ta có : (vô nghiệm v“ : * Với Do ) , ta có : khơng nghiệm phương tr“nh nên : Bình phương hai vế rút gọn ta : TQ : (thỏa mãn) Ví dụ 12 : Lời giải : Đặt Phương tr“nh cho viết thành : Từ ta tìm Giải : * Nhận xét : Cái khéo léo việc đặt ẩn phụ thể rõ phương pháp cụ thể ví dụ Ở dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải trọn vẹn Vấn đề việc kheo léo biến đổi phần lại để làm biến hệ số tự , việc gải t theo x thực dễ dàng ví dụ 13 : Lời giải : ĐK : Đặt phương trình cho trở thành : Giải : * ta có : Vậy (loại) nghiệm phương tr“nh cho ví dụ 14 : Lời giải : ĐK : Đặt Phương tr“nh cho trở thành : Phương tr“nh đơn giản !!!!!!! III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa dạng tích Dùng ẩn phụ Ví dụ 15 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt phương tr“nh (1) trở thành : (2) giải đựoc cách áp dụng phương pháp I : Đặt để đưa dạng : TQ : Với a hắng số cho trước Ví dụ 16 : Lời giải : ĐK : Viết lại (1) dạng : (1) (2) Đặt Khi (2) trở thành : Do * Ta có : * Ta có : Vậy phương tr“nh cho có nghiệm : Ví dụ 17 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt (2) phương tr“nh cho trở thành : (3) Đối chiếu với hai điều kiện (1) (2) thay vào giải : Ví dụ 18 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt Khi : phương tr“nh cho trở thành : V“ nên : t^2 + t - 1003 < Do phương tr“nh tương đương với : Do (thỏa (1)) Dùng ẩn phụ Ví dụ : Lời giải : Đặt * * Ví dụ 20 : Lời giải : ĐK : Đặt (1) (*) ta có : (1) trở thành : (Do T“m x ta giải : ) (Thỏa (*)) Vậy (1) có nghiệm : Ví dụ 21 : Lời giải : ĐK : Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh : (2) Đặt Th“ : (2) * ta có : * ta có : Giải ta nghiệm thỏa mãn : Ví dụ 22 : lời giải : ĐK : Đặt : Từ phương tr“nh ta : ( Do ) từ ta giải nghiệm : Dùng ẩn phụ Ví dụ 23 : Lời giải : Đặt ta có : (1) Mặt khác : Từ (1) (2) ta có : (2) Nên : :Leftrightarrow từ dễ dàng t“m nghiệm phương tr“nh : Ví dụ 24 : Lời giải : (1) Đặt Suy : từ (1) ta có : :Leftrightarrow Giải ví dụ 23 suy nghiệm phương tr“nh : III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa hệ Dùng ẩn phụ đưa hệ đơn giản giải phép rút gọn theo vế a Dùng ẩn phụ Ví dụ 25 : Lời giải :ĐK : Đặt Ta có : TQ : b Dùng ẩn phụ * ND : * Cách giải : Đặt : Như ta có hệ : Ví dụ 26 : Lời giải : ĐK : (1) Đặt Khi : (1) :Leftrightarrow (Do hệ : : vô nghiệm ) Đến việc thay vào để t“m nghiệm phương tr“nh ban đầu Ví dụ 27 : Lời giải : ĐK : Đặt : Với : (*) Như ta hệ : Giải (1) : (1) ( Vậy ) thỏa (*) nghiệm phương tr“nh cho Ví dụ 28 : Lời giải : Đặt : (2) (1) Dùng ẩn phụ đưa hệ đối xứng Dạng : CG : Đặt ta có hệ : Ví dụ 29 : Lời giải : Đặt : :Rightarrow :Leftrightarrow :Leftrightarrow :Leftrightarrow ta có : (1) :Leftrightarrow :Leftrightarrow (2) :Leftrightarrow Vậy tập nghiệm phương tr“nh : : Vô nghiệm Dạng : CG : ĐẶt PT :Leftrightarrow Ví dụ 30 : Lời giải : ĐK : Đặt : (1) PT :Leftrightarrow Lấy (3) trừ (2) ta : :Leftrightarrow :Leftrightarrow (1) :Leftrightarrow :Leftrightarrow (Do Dạng : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : ) Ví dụ 31 : Lời giải : ĐK : Đặt Chọn a, b để hệ : ( hệ đối xứng Lấy ) (*) ta hệ : :Leftrightarrow Giải hệ ta : Đối chiếu với điều kiện hệ (*) ta nghiệm phương tr“nh : Dạng : Nội dung phương pháp : Cho phương tr“nh : Với hệ số thỏa mãn : Cách giải : Đặt Ví dụ 32 : Lời giải : ĐK : PT :Leftrightarrow - Kiểm tra : Đặt : :Leftrightarrow :Leftrightarrow :Leftrightarrow Mặt khác : Từ (1) (2) ta có hệ : (1) (2) Đây hệ đỗi xứng loại II biết cách giải Ví dụ 33 : Lời giải : PT :Leftrightarrow - Kiểm tra : Đặt : :Leftrightarrow :Leftrightarrow Mặt khác : Từ (1) (2) ta có hệ : (1) (2) Ví dụ 34 : Lời giải : PT :Leftrightarrow :Leftrightarrow - Kiểm tra : Đặt : :Leftrightarrow :Leftrightarrow :Leftrightarrow Mặt khác : Từ (1) (2) ta có hệ : Giải hệ thật đơn giản !!!!!!!!! (1) (2) ... dung phương pháp : Đưa phương trình cho phương tr“nh bậc hai với ẩn ẩn phụ ẩn phương tr“nh cho : Đưa phương tr“nh dạng sau : : Đặt Phương trình viết thành : Đến giải t theo x Cuối giải phương. .. b để hệ : ( hệ đối xứng Lấy ) (*) ta hệ : :Leftrightarrow Giải hệ ta : Đối chiếu với điều kiện hệ (*) ta nghiệm phương tr“nh : Dạng : Nội dung phương pháp : Cho phương tr“nh : Với hệ số thỏa... phương trình tỏ hiệu cho lời giải ngắn gọn Thông qua ví dụ hi vong em có thêm kĩ giải phương trình nhận dạng dạng phương trình dùng đồng biến, nghịch biến Bây ta xét số tốn Bất Phương trình Ví