1. KHÁI NIỆM LÃI KÉP Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kỳ sau. Thuật ngữ tính lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn hoặc lãi nhập vốn. 2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HỒ CHÍ MINH ThS NGUYỄN NGỌC MAI GIÁO TRÌNH TỐN TÀI CHÍNH Tp Hồ Chí Minh, năm 2017 CHƯƠNG 2: LÃI KÉP KHÁI NIỆM LÃI KÉP Lãi kép phương pháp tính lãi mà lãi kỳ nhập vào vốn để tính lãi kỳ sau Thuật ngữ tính lãi kép đồng nghĩa với thuật ngữ lãi gộp vốn, lãi ghép vốn lãi nhập vốn PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP Trong khái niệm lãi kép, khoản lợi tức phát sinh từ hoạt động đầu tư kỳ tính gộp vào vốn ban đầu thân lại tiếp tục phát sinh lợi tức suốt thời gian đầu tư Giả sử có khoản vốn ban đầu V0 đầu tư n kỳ với lãi suất i hàng kỳ, lãi nhập vốn kỳ lần Ở cuối kỳ thứ ta có: V1 = V0 + V0.i = V0(1+i) Do lãi nhập vào vốn nên đến cuối kỳ thứ hai ta có: V2 = V1 + V1.i = V1(1+i) = V0(1+i)2 Cuối kỳ thứ ba ta có: V3 = C2+ C2.i = V2(1+i) = V0(1+i)3 …………………………………… Một cách tổng quát, sau n kỳ, giá trị đạt từ trình đầu tư là: Vn = V0(1+ i)n Vn số tiền bao gồm vốn gốc V0 toàn tiền lãi I vào cuối thời hạn I = Vn – V0 = V0(1+i)n – V0 I = V0 (1 i ) n 1 Để tính Vn sử dụng máy tính thơng thường sử dụng bảng tra tài Ví dụ 1: Một người vay 100 triệu đồng với thời hạn năm Lãi suất vay vốn 8%/năm Việc ghép lãi thực theo năm Tính số tiền lãi mà người phải trả Bài giải: Ta có V0 = 100 triệu đồng, i=8%/năm, n=3 năm Gọi I số tiền lãi mà người phải trả I = V0 (1 i)3 1 = 100 (1 8%)3 1 = 25,971200 triệu đồng Vậy số tiền lãi mà người phải trả 25,971200 triệu đồng Ví dụ 2: Ơng A gửi ngân hàng 300 triệu đồng năm tháng, lãi suất 6%/năm, lãi gộp vốn tháng lần Xác định giá trị đạt (vốn lợi tức) rút tiền Bài giải: Ta có V0 = 300 triệu đồng, i=6%/4=1,5% quý, n=10 Gọi Vn giá trị đạt (vốn lợi tức) rút tiền Vn = V0 (1 i)10 = 300 (1 1.5%)10 = 348,16225 triệu đồng Vậy giá trị đạt 348,16225 triệu đồng Ví dụ 3: Ơng A đầu tư khoản vốn 1.500 triệu đồng, sau năm ông A muốn thu 2500 triệu đồng Hỏi tỷ suất lợi tức năm ông A yêu cầu (Lãi gộp năm lần) Bài giải: Ta có: Vn = 2500 triệu đồng, V0=1500 triệu đồng, n = năm Từ công thức: Vn = V0(1+i)n Ta có: (1+i)n = Vn /V0 (1+i) = Thay vào cơng thức ta tính i = n Vn V0 i= n Vn -1 V0 2500 -1=10,7566%/năm 1500 Vậy i = 10,7566%/năm Ví dụ 4: Doanh nghiệp C muốn thu số tiền 350 triệu đồng cách đầu tư 180 triệu đồng Tỷ suất sinh lợi hàng năm 12% Hỏi doanh nghiệp C phải đầu tư thời gian để đạt số tiền Biết lãi ghép năm lần Bài giải: Ta có: Vn = 350 triệu, Vn = 180 triệu, i = 12%/năm Ta có: Vn = V0(1+i)n (1+i)n = Vn /V0 Ln(1+i)n=Ln(Vn /V0) n.Ln(1+i)= Ln(Vn/V0) Suy ra: n = Ln(Vn / V0 ) Ln(1 i) Ln(350 / 180) = 5,867679 Ln(1 12%) n= n = năm 10 tháng 12 ngày LÃI SUẤT TỶ LỆ VÀ LÃI SUẤT TƯƠNG ĐƯƠNG 3.1 Lãi suất tỉ lệ Trong nhiều trường hợp, lãi suất ngân hàng công bố lãi suất năm tần số ghép lãi nhiều lần năm, chẳng hạn ghép lãi tháng, q, nửa năm hay năm Khi đó: để tính lợi tức đạt được, ta phải quy đổi lãi suất công bố sang lãi suất tỷ lệ i t it i f Với f số lần ghép lãi lần Do tần suất ghép lãi nhiều lần năm nên tổng giá trị vốn sau thời hạn định lớn so với trường hợp ghép lãi năm Cuối cùng, ta rút cơng thức xác định giá trị vốn thu hồi sau n i f kì với tần suất ghép lãi kì f, lãi suất i%/kỳ: Vn V0 (1 )f n Ví dụ 1: Chích Chòe gửi ngân hàng số tiền 100 triệu đồng, lãi suất 6%/năm, lãi gộp vốn tháng lần Xác định giá trị đạt sau năm tháng Bài giải: it i 6% 1,5% /quý f n=2 năm tháng =10 quý Suy Vn = V0(1+ i)n=100(1+1,5%)10= 116,0541 triệu đồng Ví dụ 2: Ngân hàng A cho vay với lãi suất 9%/năm ghép lãi quý Trong ngân hàng B cho vay với lãi suất 0,75%/tháng ghép lãi quý Trong điều kiện yếu tố khác giống nhau, vay NH có lợi hơn? Bài giải: - Nếu VnA V0 (1 - vay NH A, số tiền đáo hạn: 9% 4.n ) V0 (1 2,25%) 4.n Nếu vay NH B, số tiền đáo hạn: VnB V0 (1 2,25%)4.n Kết luận: Vay NH A hay B 3.2 Lãi suất tương đương a Khái niệm: Hai lãi suất có kỳ ghép lãi khác gọi tương đương với số tiền đầu tư ban đầu đầu tư khoảng thời gian tổng số tiền thu cuối Nếu gọi m số kỳ ghép lãi năm, i lãi suất năm, ta có cơng thức tính lãi suất tương đương lãi kép sau: it m i Ngược lại: i (1 i t )m Ghép lãi 06 tháng 01 lần: i năm = (1+i6tháng)2 – Ghép lãi 03 tháng 01 lần i năm = (1+i3tháng)4 – Ghép lãi 01 tháng 01 lần i năm = (1+i tháng)12 - b Ví dụ: Chị Chanh vừa trúng xổ số 1.500 triệu đồng chưa có kế hoạch sử dụng số tiền 12 tháng tới Do đó, anh Tom định gởi vào ngân hàng với mức lãi suất cao để tối đa hóa lợi nhuận Có ngân hàng AAB, BBB, CCB cần huy động vốn với mức lãi suất sau: - Ngân hàng AAB: Lãi suất 0,99%/tháng - Ngân hàng BBB: Lãi suất 3%/quý - Ngân hàng CCB: Lãi suất 12,55%/năm Hãy giúp Chị Chanh lựa chọn ngân hàng mang lại số tiền đáo hạn nhiều LÃI SUẤT TRUNG BÌNH Về ý nghĩa, lãi suất trung bình tính theo phương pháp lãi gộp hồn tồn giống tính theo phương pháp lãi đơn Một người đầu tư khoản vốn V0 với mức lãi suất biến đổi sau: - /kỳ thời gian kỳ - /kỳ thời gian kỳ Tổng quát /kỳ thời gian kỳ Lãi ghép kỳ lần Xác định: - Giá trị đạt vào cuối kỳ - Lãi suất trung bình khoản vốn đầu tư Khi đó, áp dụng cơng thức tính lãi kép, tính giá trị đạt vào cuối kỳ sau: Vn V0 1 i1 n1 1 i2 1 i3 n2 n3 1 i k nk Ta gọi lãi suất trung bình lãi kép Khi đó, do: Vn V0 i n Và Vn V0 1 i1 1 i2 n n2 1 i3 n3 1 i k nk Nên: Vn V0 1 i V0 1 i1 1 i 1 i 1 i k n Suy ra: i n i1 n1 n1 n2 1 i2 1 i3 n2 n3 n3 i k nk nk 1 Ví dụ: Một người vay khoản vốn thời hạn năm Năm thứ lãi suất 8%/năm, hai năm lãi suất 12%/năm, hai năm cuối lãi suất 11%/năm Việc ghép lãi thực năm lần Tính lãi suất trung bình khoản vay STT ( ik ) ( nk ) 0,08 1 ik nk 1,075 0,12 1,254 0,11 1,232 i1 i i n1 n2 n3 1,661462 i = 1,661462 - = 10,6874% năm TÍNH LÃI TRONG MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 5.1 Trường hợp 1: n khơng ngun Tính Cn = C0(1+i)n với n số không nguyên Có thể biểu diễn n = k + u/v với k, u, v số nguyên u < v Để tính Cn có phương pháp: - Phương pháp thương mại Cn = C0(1+i)n = C0(1+i) k +u/v = C0(1+i)k(1+i)u/v = Co(1+i)k(1+(u/v).i) - Phương pháp hợp lý Cn = C0(1+i)n = C0(1+i) k +u/v = C0(1+i) (k.v+u) / v - Phương pháp điều chỉnh kì hạn để cho n số nguyên Ví dụ: C0 = 100 triệu, thời hạn đầu tư năm tháng Lãi suất 8%năm (kỳ ghép lãi theo năm) Tính Cn theo phương pháp Bài giải: Chọn kì hạn năm n = 3.9/12= 15/4 - Phương pháp thương mại: Cn = 100(1,08)3(1+9/12*0,08) = 133,5295 triệu đồng - Phương pháp hợp lí: Cn = 100(1,08)15/4 = 133,4563 triệu đồng - Phương pháp điều chỉnh kì hạn để cho n số nguyên: Chọn lại kì hạn tháng suy n = 15 Điều chỉnh lãi suất: i tháng = 1,08 - = 0,0194265 Vậy, Cn = 100(1,0194265)15 = 133,4563 triệu đồng 5.2 Trường hợp 2: i khơng có bảng tra tài Dùng phương pháp nội suy sau: Giả sử có hàm số y = f(i) liên tục (i1,i2) Gọi i thuộc (i1,i2), i1