Giáo trinh TOÁN TÀI CHÍNH CHƯƠNG 2 LÃI KÉP (LÃI GỘP)

1. KHÁI NIỆM LÃI KÉP Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kỳ sau. Thuật ngữ tính lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn hoặc lãi nhập vốn. 2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HỒ CHÍ MINH

ThS NGUYỄN NGỌC MAI

GIÁO TRÌNH

TOÁN TÀI CHÍNH

Tp Hồ Chí Minh, năm 2017

CHƯƠNG 2: LÃI KÉP

1 KHÁI NIỆM LÃI KÉP

Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kỳ sau

Thuật ngữ tính lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn hoặc lãi nhập vốn

2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP

Trong khái niệm lãi kép, các khoản lợi tức phát sinh từ hoạt động đầu tư ở mỗi kỳ được tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lợi tức trong suốt thời gian đầu tư

Giả sử có 1 khoản vốn ban đầu V0 được đầu tư trong n kỳ với lãi suất i hàng

kỳ, lãi nhập vốn mỗi kỳ một lần Ở cuối kỳ thứ nhất ta có:

V1 = V0 + V0.i = V0(1+i)

Do lãi được nhập vào vốn nên đến cuối kỳ thứ hai ta có:

V2 = V1 + V1.i = V1(1+i) = V0(1+i)2

Cuối kỳ thứ ba ta có:

V3 = C2+ C2.i = V2(1+i) = V0(1+i)3

………

Một cách tổng quát, sau n kỳ, giá trị đạt được từ quá trình đầu tư sẽ là:

V n = V 0 (1+ i) n

Vn là số tiền bao gồm vốn gốc V0 và toàn bộ tiền lãi I vào cuối thời hạn

I = Vn – V0 = V0(1+i)n – V0

I = V0(1 )n 1

i

Để tính Vn có thể sử dụng máy tính thông thường hoặc sử dụng bảng tra tài chính

Ví dụ 1: Một người vay 100 triệu đồng với thời hạn 3 năm Lãi suất vay vốn

8%/năm Việc ghép lãi được thực hiện theo năm Tính số tiền lãi mà người đó phải trả

Bài giải:

Ta có V0 = 100 triệu đồng, i=8%/năm, n=3 năm Gọi I là số tiền lãi mà người

đó phải trả

I = V0 (1 i) 31 = 100 3

(1 8%) 1

  = 25,971200 triệu đồng Vậy số tiền lãi mà người đó phải trả là 25,971200 triệu đồng

Ví dụ 2: Ông A gửi ngân hàng 300 triệu đồng trong 2 năm 6 tháng, lãi suất

6%/năm, lãi gộp vốn 3 tháng 1 lần Xác định giá trị đạt được (vốn và lợi tức) khi rút tiền

Bài giải:

Ta có V0 = 300 triệu đồng, i=6%/4=1,5% quý, n=10 Gọi Vn là giá trị đạt được (vốn và lợi tức) khi rút tiền

Vn = V0 (1 i) 10 = 300(1 1.5%) 10 = 348,16225 triệu đồng

Vậy giá trị đạt được là 348,16225 triệu đồng

Ví dụ 3: Ông A đầu tư khoản vốn là 1.500 triệu đồng, sau 3 năm ông A

muốn thu được 2500 triệu đồng Hỏi tỷ suất lợi tức hằng năm ông A yêu cầu là bao nhiêu (Lãi gộp 1 năm 1 lần)

Bài giải:

Ta có: Vn = 2500 triệu đồng, V0=1500 triệu đồng, n = 3 năm

Từ công thức: Vn = V0(1+i)n

Ta có: (1+i)n = Vn /V0  (1+i) = n

n 0

V

V  i = n

n 0

V

V - 1

Thay vào công thức ta tính được i = 3 2500

1500 -1=10,7566%/năm Vậy i = 10,7566%/năm

Ví dụ 4: Doanh nghiệp C muốn thu được số tiền 350 triệu đồng bằng cách

đầu tư ở hiện tại 180 triệu đồng Tỷ suất sinh lợi hàng năm 12% Hỏi doanh nghiệp

C phải đầu tư trong thời gian bao lâu để đạt được số tiền trên Biết lãi ghép 1 năm 1 lần

Bài giải:

Ta có: Vn = 350 triệu, Vn = 180 triệu, i = 12%/năm

Ta có: Vn = V0(1+i)n  (1+i)n = Vn /V0  Ln(1+i)n=Ln(Vn /V0) 

n.Ln(1+i)= Ln(Vn/V0)

Suy ra: n = Ln(V / V )n 0

Ln(1 i)

n = Ln(350 / 180)

Ln(1 12%) = 5,867679

n = 5 năm 10 tháng 12 ngày

3 LÃI SUẤT TỶ LỆ VÀ LÃI SUẤT TƯƠNG ĐƯƠNG

3.1 Lãi suất tỉ lệ

Trong nhiều trường hợp, lãi suất do ngân hàng công bố là lãi suất của năm nhưng tần số ghép lãi có thể là nhiều lần hơn trong 1 năm, chẳng hạn ghép lãi hằng tháng, hằng quí, nửa năm hay 1 năm Khi đó: để tính lợi tức đạt được, ta phải quy đổi lãi suất đã công bố sang lãi suất tỷ lệ it

t

i i f



Với f là số lần ghép lãi trong lần

Do tần suất ghép lãi nhiều hơn 1 lần trong năm nên tổng giá trị của vốn sau một thời hạn nhất định sẽ lớn hơn so với trường hợp ghép lãi hằng năm

Cuối cùng, ta có thể rút ra được công thức xác định giá trị vốn thu hồi sau n

kì với tần suất ghép lãi trong một kì f, lãi suất là i%/kỳ: f n

n 0

i

f

 

Ví dụ 1: Chích Chòe gửi ngân hàng số tiền 100 triệu đồng, lãi suất 6%/năm,

lãi gộp vốn 3 tháng một lần Xác định giá trị đạt được sau 2 năm 6 tháng

Bài giải:

t

n=2 năm 6 tháng =10 quý

Suy ra Vn = V0(1+ i)n=100(1+1,5%)10= 116,0541 triệu đồng

Ví dụ 2: Ngân hàng A cho vay với lãi suất 9%/năm ghép lãi hằng quý Trong

khi đó ngân hàng B cho vay với lãi suất 0,75%/tháng cũng ghép lãi hằng quý Trong điều kiện các yếu tố khác giống nhau, vay tại NH nào có lợi hơn?

Bài giải:

- Nếu vay tại NH A, số tiền khi đáo hạn:

9%

4

- Nếu vay tại NH B, số tiền khi đáo hạn: B 4.n

n 0

V V (1 2,25%)

Kết luận: Vay tại NH A hay B đều như nhau

3.2 Lãi suất tương đương

a Khái niệm: Hai lãi suất có kỳ ghép lãi khác nhau được gọi là tương đương

nhau khi và chỉ khi với cùng một số tiền đầu tư ban đầu được đầu tư trong cùng một khoảng thời gian thì tổng số tiền thu được cuối cùng là như nhau

Nếu gọi m là số kỳ ghép lãi trong năm, i là lãi suất năm, ta có công thức tính lãi suất tương đương trong lãi kép như sau:

t m

i  1 i 1 

t

i )

Ghép lãi 06 tháng 01 lần: i năm = (1+i6tháng)2 – 1

Ghép lãi 03 tháng 01 lần i năm = (1+i3tháng)4 – 1

Ghép lãi 01 tháng 01 lần i năm = (1+i tháng)12 - 1

b Ví dụ: Chị Chanh vừa trúng xổ số 1.500 triệu đồng và hiện chưa có kế

hoạch sử dụng số tiền này trong 12 tháng tới Do đó, anh Tom quyết định gởi vào ngân hàng với mức lãi suất cao nhất để tối đa hóa lợi nhuận Có 3 ngân hàng AAB,

BBB, CCB đang cần huy động vốn với mức lãi suất như sau:

- Ngân hàng AAB: Lãi suất 0,99%/tháng

- Ngân hàng BBB: Lãi suất 3%/quý

- Ngân hàng CCB: Lãi suất 12,55%/năm

Hãy giúp Chị Chanh lựa chọn ngân hàng mang lại số tiền khi đáo hạn nhiều nhất

4 LÃI SUẤT TRUNG BÌNH

Về ý nghĩa, lãi suất trung bình tính theo phương pháp lãi gộp hoàn toàn giống như khi tính theo phương pháp lãi đơn

Một người đầu tư một khoản vốn V0 với các mức lãi suất biến đổi như sau:

- /kỳ trong thời gian kỳ

- /kỳ trong thời gian kỳ

-

Tổng quát /kỳ trong thời gian kỳ

Lãi ghép mỗi kỳ một lần Xác định:

- Giá trị đạt được vào cuối kỳ

- Lãi suất trung bình của khoản vốn đầu tư trên

Khi đó, áp dụng công thức tính lãi kép, tính được giá trị đạt vào cuối kỳ như sau:

  n 1  n 2 n 3  n k

V  V 1 i 1 i 1 i 1 i

Ta gọi là lãi suất trung bình trong lãi kép Khi đó, do:

 n

n 0

V  V 1 i

Và   n 1  n 2 n 3  n k

V  V 1 i 1 i 1 i 1 i

Nên:  n   n1  n2 n3  nk

V  V 1 i   V 1 i  1 i  1 i  1 i 

Suy ra:   n 1  n 2 n 3  n k

n

Ví dụ: Một người vay một khoản vốn thời hạn 5 năm Năm thứ nhất lãi suất

8%/năm, hai năm tiếp theo lãi suất là 12%/năm, hai năm cuối cùng lãi suất 11%/năm Việc ghép lãi thực hiện mỗi năm một lần Tính lãi suất trung bình của khoản vay trên

STT ( i k ) ( n k )  n k

k

1 i

2 0,12 2 1,254

  n 1  n 2 n 3

1 i 1 i 1 i 1,661462

i = 51,661462 - 1 = 10,6874% năm

5 TÍNH LÃI TRONG MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT

5.1 Trường hợp 1: n không nguyên

Tính Cn = C0(1+i)n với n là 1 số không nguyên

Có thể biểu diễn n = k + u/v với k, u, v là số nguyên và u < v

Để tính Cn có 3 phương pháp:

- Phương pháp thương mại

Cn = C0(1+i)n = C0(1+i) k +u/v = C0(1+i)k(1+i)u/v = Co(1+i)k(1+(u/v).i)

- Phương pháp hợp lý

Cn = C0(1+i)n = C0(1+i) k +u/v = C0(1+i) (k.v+u) / v

- Phương pháp điều chỉnh kì hạn để sao cho n là số nguyên

Ví dụ: C0 = 100 triệu, thời hạn đầu tư là 3 năm 9 tháng Lãi suất 8%năm (kỳ ghép lãi theo năm) Tính Cn theo các phương pháp trên

Bài giải:

Chọn kì hạn năm n = 3.9/12= 15/4

- Phương pháp thương mại: Cn = 100(1,08)3(1+9/12*0,08) = 133,5295 triệu đồng

- Phương pháp hợp lí: Cn = 100(1,08)15/4 = 133,4563 triệu đồng

- Phương pháp điều chỉnh kì hạn để sao cho n là số nguyên:

Chọn lại kì hạn 3 tháng suy ra n = 15 Điều chỉnh lãi suất: i tháng = 41,08 - 1 = 0,0194265 Vậy, Cn = 100(1,0194265)15 = 133,4563 triệu đồng

5.2 Trường hợp 2: i không có trong bảng tra tài chính

Dùng phương pháp nội suy như sau:

Giả sử có một hàm số y = f(i) liên tục trong (i1,i2)

Gọi i thuộc (i1,i2), i1<i<i2

Ta có công thức nội suy tính i như sau:

1

1 2 1

f (i) f (i )

i i (i i )

f (i ) f (i )





BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài 1 Bác Ba Phi cần đầu tư số vốn 120 triệu đồng với lãi suất hàng năm

9% Tính giá trị đạt được và số lãi thu được sau 2 năm

Gợi ý:

Áp dụng công thức tính lãi kép: n

n 0

V V (1 i) Trong đó: V0 120triệu đồng, i = 9%/năm, n= 2 năm

Số tiền thu được sau 2 năm là:

n 0

V V (1 i) 120(1 9%) =142,5720 triệu đồng

Tiền lãi thu được I = VnV0= 142,5720 – 120 =2,5720 triệu đồng

Bài 2 Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng trong 3 năm, lãi suất 1,8%

kỳ 3 tháng, lãi nhập vốn 3 tháng 1 lần Xác định lợi tức người đó đạt được

Bài 3 Một người gửi ngân hàng 250 triệu đồng trong 5 năm, lãi suất

6%/năm, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần Tính số tiền người đó nhận được khi đáo hạn

Bài 4 Một doanh nghiệp đầu tư 1.200 triệu đồng trong 6 năm Giá trị đạt

được sau quá trình đầu tư sẽ gia tăng gấp đôi so với số vốn bỏ ra ban đầu Xác định lãi suất hoạt động đầu tư trên (lãi suất kép)

Bài 5 Ngân hàng cho vay một khoản vốn 800 triệu đồng trong 4 năm, lãi

gộp vốn 3 tháng 1 lần Khi đáo hạn, ngân hàng thu được cả vốn lẫn lãi là 1.200 triệu đồng Xác định lãi suất cho vay

Bài 6 Nam đầu tư một số tiền ban đầu là 50.000.000 và muốn đạt giá trị tích

luỹ là 70.000.000 VND sau 5 năm Hỏi tỷ suất sinh lời (lãi nhập vốn hàng năm) mà Nam đạt được là bao nhiêu ?

Bài 7 Một công ty đầu tư 700 triệu đồng, lãi suất đầu tư 12%/năm (lãi nhập

vốn hàng năm) Giá trị đạt được ở cuối đợt đầu tư là 1.350 triệu đồng Xác định thời gian đầu tư

Bài 8 Một người gửi ngân hàng một số tiền, lãi suất 1,6%/quý, lãi nhập vốn

mỗi quý 1 lần, với mong muốn sẽ đạt được giá trị trong tương lai gấp 1,2 lần số vốn đầu tư ban đầu Xác định thời gian gửi tiền

Bài 9 Tìm số vốn đầu tư ban đầu biết rằng giá trị đạt được sau 5 năm là

367.322.000 đồng với lãi suất là 8%

Bài 10 Một doanh nghiệp đầu tư một số vốn 1.500 triệu đồng, lãi suất

11%/năm Tính giá trị đạt được theo lãi kép trong những trường hợp sau:

- Thời gian đầu tư là 6 năm

- Thời gian đầu tư là 2 năm 6 tháng

Bài 11 Ngân hàng cho công ty A vay 800 triệu đồng, thời hạn vay là 4 năm,

lãi suất là 8%/năm Tính;

- Lợi tức công ty phải trả theo lãi đơn

- Lợi tức công ty phải trả theo lãi kép

- Nếu ngân hàng muốn cho vay theo phương pháp lãi đơn nhưng lại muốn thu được lợi tức bằng với lợi tức cho vay theo phương pháp tính lãi kép như trên thì lãi suất ngân hàng phải là bao nhiêu

Bài 12 Tính lãi suất tương đương với các lãi suất sau:

- Lãi suất 6 tháng tương đương với lãi suất năm 12%

- Lãi suất 3 tháng tương đương với lãi suất năm 13%

- Lãi suất 3 tháng tương đương với lãi suất 6 tháng là 6%

- Lãi suất 6 tháng tương đương với lãi suất năm là12%

- Lãi suất năm tương đương với lãi suất 6 tháng là 5%

- Lãi suất năm tương đương với lãi suất 3 tháng là 3%

Bài 13 Ngân hàng cho vay một khoản vốn 360 triệu đồng, tính lãi kép với lãi suất thay đổi như sau:

- 7%/năm trong 3 năm đầu tiên

- 7,4%/năm trong 3 năm tiếp theo

- 7,7%/năm trong 2 năm tiếp theo

- 8%/năm trong 2 năm cuối cùng

Yêu cầu:

a Tính giá trị đạt được vào cuối năm thứ 10

b Tính lãi suất trung bình để giá trị đạt được không đổi

Bài 14 Một ngân hàng cho vay 1.200 triệu đồng với các mức lãi suất sau:

- 1%/tháng trong 6 tháng đầu tiên

- 1,1%/tháng trong 9 tháng tiếp theo

- 1,2%/tháng trong 12 tháng cuối cùng

Yêu cầu:

a Tính lợi tức ngân hàng đạt được theo phương pháp tính lãi đơn

b Tính lợi tức ngân hàng đạt được nếu lãi gộp vốn 3 tháng 1 lần

Bài 15 Ngân hàng cho vay một khoản vốn 1.500 triệu đồng với các mức lãi

suất như sau:

- 10%/năm trong 9 tháng đầu tiên

- 10,5/năm trong 15 tháng tiếp theo

- 11%/năm trong 12 tháng tiếp theo

- 10,8%/năm trong 18 tháng cuối cùng

Yêu cầu:

a Tính lợi tức ngân hàng đạt được theo phương pháp tính lãi đơn

b Tính lợi tức ngân hàng đạt được nếu lãi gộp vốn 3 tháng 1 lần

c Tính lãi suất trung bình trong trường hợp tính lãi kép

Bài 16 Một công ty vay ngân hàng một khoản vốn với các mức lãi suất biến

đổi như sau:

- 10%/năm trong 18 tháng đầu tiên

- 10,5%/năm trong 24 tháng tiếp theo

- 11% trong 15 tháng cuối cùng

Nếu lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần và khi đáo hạn công ty phải trả cả vốn lẫn lãi

là 893.200.000 đồng, hãy xác định:

a Lãi suất trung bình của khoản vay trên

b Số vốn ban đầu

Bài 17 Ông Hai có một số tiền 200 triệu đồng chia ra gửi ở 2 ngân hàng X

và Y Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2%/quý trong thời gian 15

tháng Nếu lãi gộp vốn mỗi quý một lần và tổng lợi tức đạt được ở cả hai ngân hàng

là 18.984.100 đồng, hãy xác định số tiền ông Hai gửi ở mỗi ngân hàng

Bài 18 Cô Ba gửi ngân hàng lần lượt các khoản tiền sau:

- Đầu năm 2011 gửi 50.000.000 đồng

- Đầu năm 2012 gửi 75.000.000 đồng

- Đầu năm 2013 gửi 90.000.000 đồng

Lãi suất là 8%/năm và lãi gộp 3 tháng 1 lần Xác định số tiền Cô Ba có được cuối năm 2014

Bài 19 Chú Tư gửi ngân hàng lần lượt các khoản tiền sau:

- Đầu năm 2010 gửi 50.000.000 đồng

- Đầu năm 2011 gửi 75.000.000 đồng

- Đầu năm 2012 gửi 90.000.000 đồng

Nếu lãi gộp vốn 3 tháng 1 lần và đến cuối năm 2013, Chú Tư rút ra được cả vốn lẫn lãi là 240.000.000 đồng, hãy xác định lãi suất tiền gửi (giả sử lãi suất tiền gửi là không đổi và như nhau trong cả 3 lần gửi tiền)

Bài 20 Một doanh nghiệp vay ngân hàng 1.500 triệu đồng, lãi suất

8,8%/năm, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần Lệ phí vay bằng 0,75% vốn gốc Hãy xác định lãi suất thực với thời gian vay là:

- 3 năm

- 3 năm 3 tháng

Bài 21 Một công ty vay ngân hàng 1.500 triệu đồng với các mức lãi suất sau:

- 10%/năm trong 2 năm đầu tiên

- 9,5%/năm trong 2 năm tiếp theo

- 9%/năm trong 3 năm cuối cùng

Nếu lệ phí vay là 0,5% vốn gốc, hãy xác định lãi suất thực trung bình của các

khoản vốn vay trên

Bài 22 Doanh nghiệp A vay 100 triệu đồng, thời hạn vay 1 năm, lãi suất vay

10%/năm, chi phí thủ tục 0,5% số tiền vay, tiền đặt cọc là 5% số vốn vay Tính lãi

suất thực tế?

Gợi ý:

Tổng chi phí thực tế bỏ ra = Tiền lãi phải nộp + Thủ tục phí

= 100.10%.100 + 0,5%.100

= 10,5 triệu

Tiền đặt cọc = 5%.100 = 5 triệu số tiền này không làm thay đổi chi phí thực

tế bỏ ra nhưng làm giảm tổng vốn thực tế sử dụng

Tổng vốn thực tế sử dụng = 100 triệu - Thủ tục phí - tiền đặt cọc = 100 – 0,5 – 5 = 94,5 triệu

Lãi suất thực tế = Tổng chi phí thực tế bỏ ra / Tổng số vốn thực tế sử dụng*100

= 10,5 triệu / 94,5 triệu *100 = 11,11%/năm

Bài 23 Bắc gửi vào ngân hàng một số tiền với muốn nhận được số tiền là

75.000.000 VND sau 5 năm theo lãi suất kép với điều kiện như sau :

- 2 năm đầu tiên : lãi suất kép là 7%

- 2 năm tiếp theo : lãi suất kép là 8%

- Năm cuối cùng : lãi suất kép là 9%

Bắc phải gửi vào ngân hàng số tiền ban đầu là bao nhiêu?

Bài 24 Ông A muốn mua một căn hộ với giá là 3 tỷ VND Người bán đề

nghị 2 lựa chọn: hoặc ông trả 3 tỷ sau 1 năm hoặc ông trả tiền ngay và được hưởng chiết khấu là 15% Nếu lãi suất hiệu dụng trên thị trường tài chính hiện nay là 12%/năm, phương thức thanh toán nào sẽ có lợi cho ông A hơn và lãi suất thị trường

là bao nhiêu để hai sự lựa chọn này giống nhau?

Gợi ý:

Nếu lãi suất hiệu dụng trên thị trường là 12%/năm, giá trị của khoản tiền 3 tỷ

VND trả sau 1 năm vào thời điểm bán là: 3.000.000.000 1 2.678.571.429

Nói cách khác, nếu ta gửi vào ngân hàng 2.678.571.429 VND với lãi suất là 12% thì sau một năm, ông A sẽ có đủ 3 tỷ VND để trả tiền cho người bán Do đó, giá trị của căn hộ vào thời điểm mua theo lựa chọn đầu tiên là 2.678.571.429 VND