DS c4 bat dang thuc

Chương 44 BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH § BẤT ĐẲNG THỨC  Điều kiện Nội dung Cợng hai vế với số bất ki a  b � a c  b c (1) một số dương: c  a  b � ac  bc (2a) một số âm: c  a  b � ac  bc (2b) Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều � a b � a c  b d � c � d (3) Nhân từng vế BĐT biết nó dương � a b � ac  bd � c d � (4) Mũ le a  b � a2n1  b2n (5a) Mũ chẵn  a  b � a2n  b2n (5b) a a b� a  b (6a) a bất ky a b� a  b (6b) Nhân hai vế Nâng lũy thừa với n�� Lấy hai vế Nếu a, b cùng dấu: Nghịch đảo ab Nếu a, b trái dấu: ab a b� 1  a b (7a) a b� 1  a b (7b) BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM) a b � ab Dấu "  " xảy a  b a b c a �0; b �0; c �0 ta có: � abc Dấu "  " xảy a  b  c  a �0; b �0 ta có:  BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ)  � (ax  by )2 �(a2  b2 )(x2  y2 ) x y � x; y; a; b�� thì: � �Dấu "  " xảy  , (a; b �0) 2 2 a b  by � (a  b )(x  y ) � �ax � (ax  by  cz )2 �(a2  b2  c2 )(x2  y2  z2 ) � �  x; y; z; a; b; c�� thì: � 2 2 2  by  cz � (a  b  c )(x  y  z ) � �ax Dấu "  " xảy x y z   (a; b; c �0) a b c x y x2 y2 (x  y)2  x; y �� a  0, b   � �Dấu "  " xảy  � a a b b a b x y z y x z (x  y  z)  x; y; z �� a  0, b  0, c    � �Dấu "  " �   � 2 a b c a b c a b c Câu Cho bất đẳng thức a  b �a  b Dấu đẳng thức xảy nào? Trang 1/9 A a  b B ab �0 C ab �0 Hướng dẫn giải D ab  Chọn B Tính chất bất đẳng thức Câu Giá trị nhỏ nhất biểu thức x  x với x ��là: A  B  C Hướng dẫn giải D Chọn C � x �0 � Ta có: �� x  x �0 x �0 � Câu Cho biểu thức f  x    x Kết luận sau đúng? A.Hàm số f  x  có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất B.Hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất C Hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất D Hàm số f  x  không có giá trị nhỏ nhất không có giá trị lớn nhất Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f  x  �0 f  1  ; f  x  �1 f    Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhấtbằng Câu Cho hàm số f  x   Mệnh đề sau đúng? x2  A f  x  có giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất B f  x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất C f  x  có giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất D f  x  không có giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất Hướng dẫn giải Chọn B Ta có:  f  x  �1; x �� f    Vậy f  x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất Câu Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai sớ a b 9 A có giá trị nhỏ nhất B có giá trị lớn nhất 4 C có giá trị lớn nhất D không có giá trị lớn nhất Hướng dẫn giải Chọn D Vi a b hai số bất ki nên không xác định giá trị lớn nhất tích ab Câu Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a  b  c  ; b  c  a  ; c  a  b  Để ba số a ; b ; c ba cạnh một tam giác thi cần thêm đều kiện gi ? A Cần có cả a, b, c �0 B Cần có cả a, b, c  C Chỉ cần một ba số a, b, c dươngD Không cần thêm điều kiện gi Hướng dẫn giải Chọn B Câu Trong các hinh chữ nhật có cùng chi vi thi Trang 2/9 A Hinh vng có diện tích nhỏ nhất B Hinh vng có diện tích lớn nhất C Khơng xác định hinh có diện tích lớn nhất D Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải Chọn B Ý nghĩa hinh học bất đẳng thức Cô si Câu Tim mệnh đề đúng? 1 A  a  b � ac  bc B a  b �  a b C a  b c  d � ac  bd D  a  b � ac  bc,  c   Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu Suy luận sau đúng? ab ab � � a b �  A � � ac  bd B � cd cd c d � � ab ab0 � � C � � a c  bd D � � ac  bd cd cd 0 � � Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 10 Trong các tính chất sau, tính chất sai? ab 0ab � � a b �  �ac bd A � B � cd 0cd d c � � �0  a  b �a  b � ac  bd �ac bd C � D � 0cd cd � � Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 11 Tim mệnh đề các mệnh đề sau? ab � 1 A a  b �  B a  b � ac  bc C � � ac  bd D Cả A, B, C đều cd a b � sai Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 12 Mệnh đề sau sai? ab a �b � � �ac bd � ac  bd A � B � cd c �d � � a �b � �ac  bd C � D ac �bc  a b  c   cd � Hướng dẫn giải Chọn B Tính chất bất đẳng thức Câu 13 Cho biểu thức P  a  a với a �0 Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A.Giá trị nhỏ nhất P B.Giá trị lớn nhất P Trang 3/9 C.Giá trị lớn nhất P D P đạt giá trị lớn nhất a  Hướng dẫn giải Chọn B   � 1� a  a   � a  �� � 2� Câu 14 Giá trị lớn nhất hàm số f  x   x  5x  11 11 A B C 11 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: P   a  a   D 11 � � 11 11 Ta có: x  x   �x  � � ; x �� � 2� 4 8 � Vậy giá trị lớn nhất hàm số Suy ra: f  x   x  x  11 11 Câu 15 Cho f  x   x  x Kết luận sau đúng? A f  x  có giá trị nhỏ nhất B f  x  có giá trị lớn nhất C f  x  có giá trị nhỏ nhất  D f  x  có giá trị lớn nhất Hướng dẫn giải Chọn D �1 � 1� 1 � 1� �2 f  x   x  x   �x  x  �   �x  �� f � � �2 � 4� 4 � 2� � Câu 16 Bất đẳng thức  m  n  �4mn tương đương với bất đẳng thức sau đây? A n  m  1  m  n  1 �0 2 B m  n �2mn C  m  n   m  n �0 D  m  n  �2mn Hướng dẫn giải 2 Chọn B  m  n �4mn � m  2mn  n �4mn � m  n �2mn Câu 17 Với a, b �0 , ta có bất đẳng thức sau đúng? A a  b  B a  ab  b  C a  ab  b  Hướng dẫn giải D a  b  Chọn C 2 b �b � 3b � b � 3b a  ab  b  a  2a  � � � a  �  0; b �0 �2 � � � Câu 18 Với hai số x , y dương thoả xy  36 , bất đẳng thức sau đúng? A x  y �2 xy  12 B x  y �2 xy  72 C 4xy �x  y �x  y � D � ��xy  36 �2 � Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có: x  y �2 xy  36  12 Câu 19 Cho hai số x , y dương thoả x  y  12 , bất đẳng thức sau đúng? Trang 4/9 �x  y � B xy  � � 36 �2 � D xy �6 Hướng dẫn giải A xy �6 C 2xy  x  y Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có: x y xy � 6 Câu 20 Cho x , y hai số thực bất ky thỏavà xy  Giá trị nhỏ nhất A  x  y A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x y Ta có: A  x  y �2 x y  Câu 21 Cho a  b  và x  A x  y C x  y  xy   Đẳng thức xảy x  y  1 a 1 b y Mệnh đề nào sau đúng? , 1 a  a  b  b2 B x  y D Không so sánh Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 Ta có:  a   b  y b 1 x a 1 � � 1 1 Suy ra:    a  b  � � x y �  a  1  b  1 � Do a  b  nên a   b   suy ra:  a  1  b  1  �1  a  1  b  1 0 1 1 1   �  x  y  nên  � x  y x y x y x y Câu 22 Với a, b, c, d  Trong các mệnh đề sau mệnh đề sai? a a ac a a ac A  �  B  �  b b bc b b bc a c a ac c  C  �  D Có ít nhất hai ba mệnh đề b d b bd d sai Hướng dẫn giải Chọn D a a  c  a  b c  Ta có:  suy A, B b b  c b  b  c Vậy a  b �a  b � Câu 23 Hai số a, b thoả bất đẳng thức �� � thì �2 � A a  b B a  b C a  b Hướng dẫn giải Chọn C D a �b 2 a  b2 �a  b � 2 �� �� 2a  2b � a  b  �  a  b  �0 � a  b �2 � Trang 5/9 Câu 24 Cho a, b  Chứng minh a b  �2 Một học sinh làm sau: b a a b a  b2  �2 ۳  1 b a ab II)  1 � a  b �2ab � a  b  2ab �0 � (a  b) �0 a b III)  a  b  �0 a, b  nên  �2 b a Cách làm : A Sai từ I) B Sai từ II) C Sai III) D Cả I), II), III) đều Hướng dẫn giải Chọn D Câu 25 Cho a, b, c  Xét các bất đẳng thức sau: I) a b a b c �1 �  �2 II)   �3 III)  a  b  �  ��4 b a b c a �a b � Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ III) D Cả ba đều Hướng dẫn giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có:  �2  �  I  đúng;   �3  �  II  đúng; b a b a b c a b c a a  b �2 ab � � �1 � 1 ��  a  b  �a  b ��4 � ( III ) � �  �2 � a b ab � a b a b c 1  �2  I  ,   �3  II  ,   � Câu 26 Cho các bất đẳng thức:  III  b a b c a a b c abc (với a, b, c  ) Bất đẳng thức nào các bất đẳng thức đúng? A chỉ I đúng B chỉ II đúng C chỉ III đúng D I , II , III đều đúng Hướng dẫn giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có:  �2  �  I  đúng;   �3  �  II  đúng; b a b a b c a b c a �1 1 1 1 �   �3 �1 1 � �  III  abc �  a  b  c  �   ��9 �   � �a b c a b c a b c a  b  c � � � a  b  c �3 abc � Câu 27 Cho a, b, c  Xét các bất đẳng thức: I) �1 1 � II)  a  b  c  �   ��9 III)  a  b   b  c   c  a  �9 �a b c � Bất đẳng thức đúng: A Chỉ I) II) B Chỉ I) III) C Chỉ I) D Cả ba đều Hướng dẫn giải Chọn A  a  b  c �3 abc �  I  đúng; I) a  b  c �3 abc Trang 6/9  �1 1 1 1 �   �3 �1 1 � abc �  a  b  c  �   ��9 �   � �  II  đúng; �a b c a b c a b c a  b  c � � � a  b  c �3 abc � a  b �2 ab ; b  c �2 bc ; c  a �2 ca �  a  b   b  c   c  a  �8abc �  III  sai Câu 28 Cho a, b, c  Xét các bất đẳng thức:  � a� � b� � c� �2 � �2 � �2 � 1 � 1 �  ��8 I) � II) �  b  c � � � � c a� �  a  b ��64 � b� � c� � a� �a � �b � �c � a  b  c � abc III) Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ I) II) D Cả ba đều Hướng dẫn giải Chọn C abc a a b b c c � a� � b� � c� �� 1 � 1 �  ��8 8 � I ; ;  �2  �2  �2 � � bca b b c c a a � b� � c� � a� b c bc bc ;  c �2  b �2 �  b  c �2  4 a a a a a a a ac ab  c  a �4 ;  a  b �4 b b c c �2 � �2 � �2 � Suy ra: �  b  c � �  c  a� �  a  b ��64 �  II  �a � �b � �c � Tương tự: Ta có: 3 abc �a�۳� b c abc  abc  abc �3 �  III  sai Câu 29 Cho x, y, z  và xét ba bất đẳng thức(I) x  y  z �3xyz ; (II) x y z   �3 Bất đẳng thức nào đúng? y z x A Chỉ I đúng B Chỉ I và III đúng D Cả ba đều đúng Hướng dẫn giải Chọn B 1   � ; x y z x y z (III) C Chỉ III đúng x  y  z �3 x3 y z  xyz �  I  đúng; �1 1 �   �3 1 �1 1 � xyz � �   �  x  y  z  �9 � x  y  z �x  y  z �  II  sai; �x y z �x y z � � xyz x  y  z � � x y z x y z   �3  �  III  y z x y z x Câu 30 Cho a, b  và ab  a  b Mệnh đề nào sau đúng? A a  b  B a  b  C a  b  D a  b �4 Hướng dẫn giải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: ab � Do đó: ab  a  b �  a  b a  b  a  b �  a  b   a  b  �  a  b  a  b  4  Trang 7/9 � a  b   (vi a  b  ) � a  b  Câu 31 Cho a  b  c  d và x   a  b   c  d  , y   a  c   b  d  , z   a  d   b  c  Mệnh đê nào sau đúng? A x  y  z B y  x  z C z  x  y D x  z  y Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: x  y   a  b   c  d    a  c   b  d   a  c  d   b  c  d   a  b  d   c  b  d   a  c  b   bd  cd   d  a   b  c   Suy ra: x  y Tương tự: x  z   a  c   d  b   � x  z ; y  z   a  b   d  c   � y  z 3 Câu 32 Với m , n  , bất đẳng thức: mn  m  n   m  n tương đương với bất đẳng thức 2 A  m  n   m  n  �0 2 B  m  n   m  n  mn  �0 C  m  n   m  n   D Tất cả đều sai Hướng dẫn giải Chọn C mn  m  n   m3  n3 � m2 n  m3  mn  n3  � m2  m  n   n2  m  n   �  m  n  Câu 33 Bất đẳng thức:  m  n  a  b2  c  d  e �a  b  c  d  e  ,  a , b , c, d tương đương với bất đẳng thức sau đây? 2 2 2 2 2 2 � b� � c� � d � � e� A � a  � � a  � � a  � � a  ��0 � 2� � 2� � � � 2� � a� � a� � a� � a� B � b  � � c  � � d  � � e  ��0 � 2� � 2� � 2� � 2� � a� � a� � a� � a� C � b  � � c  � � d  � � e  ��0 � 2� � 2� � 2� � 2� D  a  b    a  c    a  d    a  d  �0 Hướng dẫn giải Chọn B a  b2  c  d  e2 �a  b  c  d  e  2 2 �a � �a � �a � �a � � �  ab  b � �  ac  c � �  ad  d � �  ae  e ��0 �4 � �4 � �4 � �4 � 2 2 � a� � a� � a� � a� �� b  � � c  � � d  � � e  ��0 � 2� � 2� � 2� � 2� Câu 34 Cho x, y  Tim bất đẳng thức sai? A  x  y  �4 xy 1 B   x y x y C xy � D  x  y  �2 x  y  x  y   Hướng dẫn giải Chọn B �1 � 1  x  y  �  ��4 �  � đẳng thức xảy � x  y x y x y �x y � Trang 8/9 Câu 35 Cho x  y  , gọi S  x  y Khi đó ta có A S � B S � C  �S � Hướng dẫn giải D 1 �S �1 Chọn C Ta có:  x  y �2 xy  xy Mặt khác: S   x  y   x  xy  y �2 �  �S � Câu 36 Cho x, y hai số thực thay đổi cho x  y  Gọi m  x  y Khi đó ta có: A giá trị nhỏ nhất m B.giá trị nhỏ nhất m C giá trị lớn nhất m D.giá trị lớn nhất m Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: x  y  � y   x Do đó: m  x  y  x    x   x  x    x  1  �2; x �� Vậy giá trị nhỏ nhất m 2 x 1 x Câu 37 Với x  , các biểu thức: , , , , giá trị biểu thức x x 1 x 1 2 nhỏ nhất? 2 x A B C D x x 1 x 1 Hướng dẫn giải Chọn B 2 x x 1   Ta có:  x 1 x x 1 2 x x2  x   x  2  x  2  x x    0; x  �  Mặt khác:  x   x  1  x  1 x 1 x Câu 38 Giá trị nhỏ nhất hàm số f  x    với x  1  x 1 A  2 B C 2 D Hướng dẫn giải Chọn B x x 1 x 1 Ta có: f  x       �2   x 1 x 1 2 x 1 2 Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất x2 Câu 39 Cho x �2 Giá trị lớn nhất hàm số f  x   x 2 A B C D 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 2 x2 Ta có f  x  �0 �  2 �f  x  � � �� x x x 2 �1 � 2� � �x � Vậy giá trị lớn nhất hàm số 2 Câu 40 Giá trị nhỏ nhất hàm số f  x   x  với x    0 x f  x 2 Trang 9/9 A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 �2 x  2 x x Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất 2 a b c   Câu 41 Với a, b, c  Biểu thức P  Mệnh đề nào sau đúng? bc ca ab 3 A  P � B  P C �P D �P 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 � �1   Ta có: P    a  b  c  � � �b  c c  a a  b � 1   � Áp dụng bất đẳng thức suy x y z x yz 1   � b  c c  a a  b 2 a  b  c 3 P Do đó P  � ; đẳng thức xảy a  b  c 2 Ta có: f  x   x  Trang 10/9 ra: