Chương 44 BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Câu Cho bất đẳng thức a − b ≤ a + b Dấu đẳng thức xảy nào? A a = b B ab ≤ C ab ≥ Hướng dẫn giải D ab = Chọn B Tính chất bất đẳng thức Câu Giá trị nhỏ biểu thức x + x với x ∈¡ là: A − B − C Hướng dẫn giải D Chọn C x ≥ Ta có: ⇒ x +3 x ≥ x ≥ Câu Cho biểu thức f ( x ) = − x Kết luận sau đúng? A.Hàm số f ( x ) có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ B.Hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn C Hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ giá trị lớn D Hàm số f ( x ) khơng có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f ( x ) ≥ f ( 1) = ; f ( x ) ≤ f ( ) = Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ giá trị lớn nhấtbằng Câu Cho hàm số f ( x ) = Mệnh đề sau đúng? x2 + A f ( x ) có giá trị nhỏ , giá trị lớn B f ( x ) khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C f ( x ) có giá trị nhỏ , giá trị lớn D f ( x ) giá trị nhỏ giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: < f ( x ) ≤ 1; ∀x ∈ ¡ f ( ) = Vậy f ( x ) khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Câu Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai số a b 9 A có giá trị nhỏ B có giá trị lớn 4 C có giá trị lớn D khơng có giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn D Trang 1/9 Vì a b hai số nên khơng xác định giá trị lớn tích ab Câu Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a + b − c > ; b + c − a > ; c + a − b > Để ba số a ; b ; c ba cạnh tam giác cần thêm kiện ? A Cần có a, b, c ≥ B Cần có a, b, c > C Chỉ cần ba số a, b, c dươngD Khơng cần thêm điều kiện Hướng dẫn giải Chọn B Câu Trong hình chữ nhật có chi vi A Hình vng có diện tích nhỏ B Hình vng có diện tích lớn C Khơng xác định hình có diện tích lớn D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải Chọn B Ý nghĩa hình học bất đẳng thức Cơ si Câu Tìm mệnh đề đúng? 1 A a < b ⇒ ac < bc B a < b ⇒ > a b C a < b c < d ⇒ ac < bd D a < b ⇒ ac < bc, ( c > ) Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu Suy luận sau đúng? a > b a > b a b ⇒ > A ⇒ ac > bd B c d c > d c > d a > b a > b > C ⇒ a−c > b−d D ⇒ ac > bd c > d c > d > Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 10 Trong tính chất sau, tính chất sai? a < b 0 < a < b a b ⇒ < ⇒ a+c B a < b ⇒ ac < bc C ⇒ ac < bd D Cả A, B, C a b c < d sai Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 12 Mệnh đề sau sai? a < b a ≤ b ⇒ a+c < b+d ⇒ ac < bd A B c < d c ≤ d Trang 2/9 a ≤ b C ⇒ a−c < b−d c > d D ac ≤ bc ⇒ a ≤ b ( c > ) Hướng dẫn giải Chọn B Tính chất bất đẳng thức Câu 13 Cho biểu thức P = −a + a với a ≥ Mệnh đề sau mệnh đề đúng? C.Giá trị lớn P A.Giá trị nhỏ P B.Giá trị lớn P D P đạt giá trị lớn a = Hướng dẫn giải Chọn B ( ) 1 Ta có: P = − a + a = − a + a = − a − ÷ ≤ 2 Câu 14 Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x − 5x + 11 11 A B C 11 Hướng dẫn giải Chọn D D 11 11 11 Ta có: x − x + = x − ÷ + ≥ ; ∀x ∈ ¡ 2 4 8 ≤ Vậy giá trị lớn hàm số Suy ra: f ( x ) = x − x + 11 11 Câu 15 Cho f ( x ) = x − x Kết luận sau đúng? A f ( x ) có giá trị nhỏ B f ( x ) có giá trị lớn C f ( x ) có giá trị nhỏ − D f ( x ) có giá trị lớn Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 1 2 f ( x ) = x − x = − x − x + ÷+ = − x − ÷ ≤ f ÷ = 2 4 4 2 Câu 16 Bất đẳng thức ( m + n ) ≥ 4mn tương đương với bất đẳng thức sau đây? A n ( m − 1) − m ( n − 1) ≥ 2 B m + n ≥ 2mn C ( m + n ) + m − n ≥ D ( m − n ) ≥ 2mn Hướng dẫn giải 2 Chọn B ( m + n) ≥ 4mn ⇔ m + 2mn + n ≥ 4mn ⇔ m + n ≥ 2mn Câu 17 Với a, b ≠ , ta có bất đẳng thức sau đúng? A a − b < B a − ab + b2 < C a + ab + b > Hướng dẫn giải D a − b > Chọn C 2 b b 3b b 3b a + ab + b = a + 2a + ÷ + = a + ÷ + > 0; ∀b ≠ 2 2 Câu 18 Với hai số x , y dương thoả xy = 36 , bất đẳng thức sau đúng? 2 Trang 3/9 A x + y ≥ xy = 12 B x + y ≥ xy = 72 C 4xy ≤ x + y 2 Hướng dẫn giải x+ y D ÷ ≥ xy = 36 Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có: x + y ≥ xy = 36 = 12 Câu 19 Cho hai số x , y dương thoả x + y = 12 , bất đẳng thức sau đúng? x+ y B xy < ÷ = 36 D xy ≥ Hướng dẫn giải A xy ≤ C 2xy < x + y Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số khơng âm x , y Ta có: x+ y xy ≤ =6 Câu 20 Cho x , y hai số thực thỏavà xy = Giá trị nhỏ A = x + y A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x y Ta có: A = x2 + y ≥ x2 y = Câu 21 Cho a > b > và x = A x > y C x = y ( xy ) = Đẳng thức xảy x = y = 1+ a 1+ b y= Mệnh đề nào sau đúng? , 1+ a + a + b + b2 B x < y D Không so sánh Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 Ta có: = a + = b + y b +1 x a +1 1 Suy ra: − = ( a − b ) 1 − x y ( a + 1) ( b + 1) Do a > b > nên a + > b + > suy ra: ( a + 1) ( b + 1) < ⇒ 1− ( a + 1) ( b + 1) >0 1 1 1 − > ⇔ > x > y > nên > ⇔ x < y x y x y x y Câu 22 Với a, b, c, d > Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? a a a+c a a a+c A < ⇒ < B > ⇒ > b b b+c b b b+c a c a a+c c < C < ⇒ < D Có ít nhất hai ba mệnh đề b d b b+d d sai Hướng dẫn giải Chọn D a a + c ( a − b) c = Ta có: − suy A, B b b + c b ( b + c) Vậy Trang 4/9 a + b2 a + b Câu 23 Hai số a, b thoả bất đẳng thức ≤ ÷ thì A a < b B a > b C a = b D a ≠ b Hướng dẫn giải Chọn C 2 a + b2 a + b 2 ≤ ÷ ⇔ 2a + 2b ≤ ( a + b ) ⇔ ( a − b ) ≤ ⇔ a = b a b Câu 24 Cho a, b > Chứng minh + ≥ Một học sinh làm sau: b a 2 a b a +b I) + ≥ ⇔ ≥ ( 1) b a ab II) ( 1) ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ a + b − 2ab ≥ ⇔ (a − b) ≥ a b III) ( a − b ) ≥ ∀a, b > nên + ≥ b a Cách làm : A Sai từ I) B Sai từ II) C Sai III) D Cả I), II), III) Hướng dẫn giải Chọn D Câu 25 Cho a, b, c > Xét bất đẳng thức sau: a b a b c 1 1 + ≥2 II) + + ≥ III) ( a + b ) + ÷ ≥ b a b c a a b Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ III) D Cả ba Hướng dẫn giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có: + ≥ = ⇒ ( I ) đúng; + + ≥ 3 = ⇒ ( II ) đúng; b a b a b c a b c a a + b ≥ ab 1 1 1 ⇒ ( a + b ) a + b ÷ ≥ ⇒ ( III ) + ≥2 a b ab a b a b c 1 + ≥ ( I) , + + ≥ ( II ) , + + ≥ Câu 26 Cho bất đẳng thức: ( III ) b a b c a a b c a+b+c (với a, b, c > ) Bất đẳng thức nào các bất đẳng thức đúng? A chỉ I đúng B chỉ II đúng C chỉ III đúng D I , II , III đều đúng Hướng dẫn giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có: + ≥ = ⇒ ( I ) đúng; + + ≥ 3 = ⇒ ( II ) đúng; b a b a b c a b c a 1 1 1 1 + + ≥ 33 1 1 ⇒ ( III ) abc ⇒ ( a + b + c ) + + ÷ ≥ ⇒ + + ≥ a b c a b c a b c a + b + c a + b + c ≥ 3 abc Câu 27 Cho a, b, c > Xét bất đẳng thức: I) Trang 5/9 1 1 II) ( a + b + c ) + + ÷ ≥ III) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a b c Bất đẳng thức đúng: A Chỉ I) II) B Chỉ I) III) C Chỉ I) D Cả ba Hướng dẫn giải Chọn A • a + b + c ≥ 3 abc ⇒ ( I ) đúng; I) a + b + c ≥ 3 abc • 1 1 1 1 + + ≥ 33 1 1 abc ⇒ ( a + b + c ) + + ÷ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ ( II ) đúng; a b c a b c a b c a + b + c a + b + c ≥ 3 abc a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; c + a ≥ ca ⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc ⇒ ( III ) sai Câu 28 Cho a, b, c > Xét bất đẳng thức: • a b c 2 I) 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ II) + b + c ÷ + c + a ÷ + a + b ÷ ≥ 64 b c a a b c III) a + b + c ≤ abc Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ I) II) D Cả ba Hướng dẫn giải Chọn C abc a a b b c c a b c ⇒ + ÷ + ÷ + ÷ ≥ =8⇒( I) ; ; 1+ ≥ 1+ ≥ 1+ ≥ bca b b c c a a b c a b c bc bc ; +c ≥ +b ≥ ⇒ + b + c ≥ = 44 a a a a a a a ac ab + c + a ≥ 44 ; + a + b ≥ 44 b b c c 2 Suy ra: + b + c ÷ + c + a ÷ + a + b ÷ ≥ 64 ⇒ ( II ) a b c Tương tự: Ta có: 3 abc ≤ a + b + c ≤ abc ⇔ ( abc ) ≥ ⇔ abc ≥ 3 ⇒ ( III ) sai Câu 29 Cho x, y, z > và xét ba bất đẳng thức(I) x + y + z ≥ 3xyz ; (II) x y z + + ≥ Bất đẳng thức nào đúng? y z x A Chỉ I đúng B Chỉ I và III đúng D Cả ba đều đúng Hướng dẫn giải Chọn B 1 + + ≤ ; x y z x+ y+ z (III) C Chỉ III đúng x + y + z ≥ 3 x y z = 3xyz ⇒ ( I ) đúng; 1 1 + + ≥ 33 1 1 1 xyz ⇒ + + ÷( x + y + z ) ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ ( II ) sai; x y z x y z x+ y+z x y z x + y + z ≥ xyz x y z x y z + + ≥ 3 = ⇒ ( III ) y z x y z x Trang 6/9 Câu 30 Cho a, b > và ab > a + b Mệnh đề nào sau đúng? A a + b = B a + b > C a + b < Hướng dẫn giải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: Do đó: ab > a + b ⇔ ( a + b) ( a + b) ab ≤ D a + b ≤ > a + b ⇔ ( a + b) − ( a + b) > ⇔ ( a + b ) ( a + b − 4) > ⇔ a + b − > (vì a + b > ) ⇔ a + b > Câu 31 Cho a < b < c < d và x = ( a + b ) ( c + d ) , y = ( a + c ) ( b + d ) , z = ( a + d ) ( b + c ) Mệnh đê nào sau đúng? A x < y < z B y < x < z C z < x < y D x < z < y Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: x − y = ( a + b ) ( c + d ) − ( a + c ) ( b + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) − a ( b + d ) − c ( b + d ) = a ( c − b ) + bd − cd = ( d − a ) ( b − c ) < Suy ra: x < y Tương tự: x − z = ( a − c ) ( d − b ) < ⇒ x < z ; y − z = ( a − b ) ( d − c ) < ⇒ y < z 3 Câu 32 Với m , n > , bất đẳng thức: mn ( m + n ) < m + n tương đương với bất đẳng thức 2 A ( m + n ) ( m + n ) ≥ 2 B ( m + n ) ( m + n + mn ) ≥ C ( m + n ) ( m − n ) > D Tất sai Hướng dẫn giải Chọn C mn ( m + n ) < m3 + n3 ⇔ m n − m3 + mn − n < ⇔ −m2 ( m − n ) + n2 ( m − n ) < ⇔ ( m − n ) Câu 33 Bất đẳng thức: ( m + n) > a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) , ∀ a , b , c, d tương đương với bất đẳng thức sau đây? 2 2 2 2 2 2 b c d e A a − ÷ + a − ÷ + a − ÷ + a − ÷ ≥ 2 2 2 2 a a a a B b − ÷ + c − ÷ + d − ÷ + e − ÷ ≥ 2 2 2 2 a a a a C b + ÷ + c + ÷ + d + ÷ + e + ÷ ≥ 2 2 2 2 2 2 D ( a − b ) + ( a − c ) + ( a − d ) + ( a − d ) ≥ Hướng dẫn giải Chọn B a + b2 + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) a2 a2 a2 a2 ⇔ − ab + b ÷+ − ac + c ÷+ − ad + d ÷+ − ae + e ÷ ≥ 2 2 a a a a ⇔ b − ÷ + c − ÷ + d − ÷ + e − ÷ ≥ 2 2 2 2 Câu 34 Cho x, y > Tìm bất đẳng thức sai? Trang 7/9 A ( x + y ) ≥ xy 1 B + < x y x+ y C xy ≥ 2 D ( x + y ) ≤ x + y ( x + y) ( ) Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 1 ( x + y ) + ÷≥ ⇒ + ≥ đẳng thức xảy ⇔ x = y x y x+ y x y Câu 35 Cho x + y = , gọi S = x + y Khi ta có A S ≤ B S ≥ C − ≤ S ≤ Hướng dẫn giải D −1 ≤ S ≤ Chọn C Ta có: = x + y ≥ xy ⇒ xy ≤ Mặt khác: S = ( x + y ) = x + xy + y ≤ ⇒ − ≤ S ≤ Câu 36 Cho x, y hai số thực thay đổi cho x + y = Gọi m = x + y Khi ta có: A giá trị nhỏ m B.giá trị nhỏ m m C giá trị lớn D.giá trị lớn m Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: x + y = ⇒ y = − x Do đó: m = x + y = x + ( − x ) = x − x + = ( x − 1) + ≥ 2; ∀x ∈ ¡ Vậy giá trị nhỏ m 2 x +1 x Câu 37 Với x > , biểu thức: , , , , giá trị biểu thức x x +1 x −1 2 nhỏ nhất? 2 x A B C D x x +1 x −1 Hướng dẫn giải Chọn B 2 x x +1 < < Ta có: < x +1 x x −1 2 x x2 + x − ( x − 2) ( x + 2) + x x − = = > 0; ∀x > ⇒ > Mặt khác: x + ( x + 1) ( x + 1) x +1 x Câu 38 Giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = + với x >1 x −1 A 2 B C 2 D Hướng dẫn giải Chọn B x x −1 x −1 Ta có: f ( x ) = + = + + ≥2 + = x −1 x −1 2 x −1 2 Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ x−2 Câu 39 Cho x ≥ Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x 2 Trang 8/9 A 2 B 2 Hướng dẫn giải C D Chọn A x−2 1 1 1 Ta có f ( x ) ≥ f ( x ) = = − = − − ÷ ≤ ⇒ ≤ f ( x ) ≤ x x x 2 x 4 Vậy giá trị lớn hàm số 2 Câu 40 Giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x + với x > 0 x A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có: f ( x ) = x + ≥ 2 x = 2 x x Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ 2 a b c + + Câu 41 Với a, b, c > Biểu thức P = Mệnh đề nào sau đúng? b+c c+a a+b 3 A < P ≤ B < P C ≤ P D ≤ P 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 + + Ta có: P + = ( a + b + c ) ÷ b+c c+a a +b 1 + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức suy x y z x+ y+z 1 + + ≥ b + c c + a a + b 2( a + b + c) Do P + ≥ ⇒ P ≥ ; đẳng thức xảy a = b = c 2 ra: Trang 9/9