Lý thuyết tăng trưởng

Đại sổ tuyển tính CHƯƠNG TẬP HỢP - QUAN HỆ - ÁNH XẠ - SỐ PHỨC * MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 1.1 TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm chung Chúng ta trình bày lý thuyết tập hợp theo quan điểm "ngây thơ" nhà toán học B Bolzano, G Cantor R Dedekind đưa vào cuối kỷ XIX Cụ thể, tập hợp khái niệm toán học xem khái niệm gốc xuất phát (nguyên thuỷ), không định nghĩa mà chi mơ tả ví dụ cụ thể Chẳng hạn, tập họp điểm; tập hợp đường thẳng; tập hợp số; tập hợp bốn mùa xuân, hạ, thu, đông năm Trong thực tế, ta thường dùng từ đồng nghĩa với từ tập: lớp, họ, bộ, toàn thể Tập hợp thường gọi ngán gọn tập: tập A, tập đóng, tập số Để biểu thị tập hợp ta dùng chữ viết in hoa A, B, c, „ X, Y, z Các đối tượng hợp thành tập hợp gọi phần tử Nếu X phần tử A ta viết XE A nói X thuộc A Nếu phần tử y không phần tử A ta viết y Ể A nói y không thuộc A Các phần tử tập hợp đối tượng cụ thể trừu tượng người, vật thể hàm số, số tự n hiên, Một tập hợp coi hồn tồn xác định ta phân biệt đối tượng thuộc đối tượng khơng thuộc Í1Ĩ Thơng thường đưa tập hợp hai cách sau: a) Liệt kê phần tử tập, ví dụ A = {av a2,o3,a4\ b) Chỉ số tính chất chung cho phần tử thuộc tập, ví dụ [ - a o ; 1] = | x e l | X < l j ; ( - ; l ) = |jc G K | - < X < l| Tập X phần tử X có tính chất P(x) ký hiệu là: X = {x| P(x)} Một tập gồm số hữu hạn phần từ gồm vô hạn phần tử, tương ứng gọi tập hữu hạn tập vó hạn Nếu X tập hợp hữu hạn số phần tử X thường ký hiệu # X Đại số tuyến tính Ví dụ: # { ứ 1,ứ 2,ứ 3, a 4} = Tập hợp rỗng, ký hiệu , tập hợp khơng chứa phần tử Tập có phần từ gọi tập đơn tử Ví dụ: ị(2ị tập đơn tử 1.1.2 Tập con, tập, họ tập Ta nói tập A tập tập B phần tử A phần tử B nghĩa x e A x e B , ký hiệu,4 c B B A Ta gọi A c B bao hàm thức Ta quy ước tập rỗng tập tập: c A Với quy ước này, ta có tập hợp rỗng (bạn đọc tự giải thích) Nếu đồng thời A q B \ ầ B c A , ta nói A B ký hiệu: A = B Như vậy, ta có: A = B(x€ẢxeB) Ta nói tập A tập thực tập B A tập B A B , ký hiệu A a B Chẳng hạn: {*,>>} c { x ,y ,z } ; { * ,-» ,© } c= { * ,-> , ® , □} Tập hợp mà phần từ tập tập hợp A gọi họ tập hợp A, ký hiệu Ta ký hiệu { x t Ỵ hay 2Ả họ phần tử X tập A đảnh số tập số I Nếu phần tử X A tập tập X ta gọi ( JC ) I họ tập cùa tập X đảnh sổ tập sổ I Nhộn xét Nếu tập A gồm n phần tử tập Ẩ) gồm 2" phần tử (chứng minh nhận xét dành cho bạn đọc tập) 1.1.3 Sơ đồ Venn Để thể tập hợp A cách trực quan, người ta vẽ đường cong phẳng đơn kín (cỏ thể đường tròn hay elip) coi tập A miền phăng giới hạn đường cong Các điểm bên ngồi biểu diễn cho phần tử không thuộc tập A Tập B A biểu thị miền A Tập hợp N số tự nhiên: N = Ị ,1 ,2 , Ị Tập hợp N*các số tự nhiên khác 0: N* = {1,2, } Đại số tuyến tính Tập hợp z số nguyên: z = |0 ,± ,± , Ị Tập hợp z* số nguyên khác 0: 7L' = { ± l , ± , j Tập hợp Q số hữu tỉ: Q = Ị — I a,b € z ,b * o | Tập hợp Q+ số hữu tỉ dương: Q + = Ị — I a,b € z ,a b > o | Tập hợp R số thực Tập hợp R* số thực khác Tập hợp c số phức: c = ịa + bi a,b G M |, i2 = - Tập hợp c* số phức khác 0: c = Ịa+Ò/Ị a,ÒE R;a2 + b2 ^ o |, i2 = —1 1.1.5 Các phép toán liên kết tập hợp Từ tập hợp cho trước tạo nên tập hợp nhờ phép toán sau: 1.1.5.1 Phép hợp Hợp tập A B, ký hiệu A k j B , tập hợp gồm phần tử thuộc A thuộc B, tức là: A ^ j B = {x \ x s A x e B} Từ định nghĩa ta suy tính chẩt sau phép hợp: a) Ẩ( JA = A, A'U = ẩ ; b) A X € A ;X e c x e B ;x e c => X e ( ẩ n C ) x e ( B n C ) = > xe(AnC )u(BnC ) • X e ( A n C ) u ( B P tC ) = > x e Ẩ n C x e B n C => X e A ;x € c X e B ;x e c => X e ( Ắ U B y , X g c = > xe(^u5)nC ■ Có thể mở rộng định nghĩa phép giao từ hai sang họ tập tuỳ ý Giao cùa họ tập { A ị, i G / } tập hợp gồm phần tử chung họ Ạ , tức là: = Ị x | Jt € A ị,V i / Ị Nếu A n B = ta nồi tập A, B rời không giao Họ tập { , / e / } gọi rời đôi hai tập chúng rời Đại số tuyến tính 11 1.1.5.3 Phép trừ Ta gọi hiệu tập A tập B (theo thứ tự đó), ký hiệu A \ B , tập gồm phần tử thuộc A không thuộc B: A \ B = ỊxỊ X € A ,x ẹẼ i?Ị Nhận thấy, phép trừ khơng có tính chất giao hốn, nghĩa nói chung B \A *A \B Nếu B Q A hiệu A \ B gọi phần bù B A, ký hiệu C a ( B Ỵ Đặc biệt, tập xét tập tập cố định X ta viết thay cho C ỵ ( B Ỵ Ngoài ký hiệu tập B tập X ta dùng ký hiệu B để chi phần bù 1.1.5.4 Hiệu đối xứng Hiệu đối xúng tập A tập B, ký hiệu A + B , định nghĩa bởi: A +B = ( A \ B ) v ( B \A ) Ta cóB 4- A = A -r B lý để phép tốn có tên "hiệu đối xứng" Ngồi ra, hiệuđối xứng có tính chất kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C) 1.1.6 Công thức De Morgan Giữa phép tốn hợp, giao lấy phần bù có mối liên hệ sau đây, gọi công thức De Morgan Với tập nêu tập tập hợp cố định X cho trước, ta có: ứ) LM = ri4 ; iel iel b) r í - U ie/ iel Nói riêng A 2^ = ^ x — A { u A = Ax n hay X —ịAị Axn hay X —(Aị n ^ Ị = ( X — Aj ) ^ ( x — = Aị u ) Phép chứng minh công thức xem tập dành cho bạn đọc 1.1.7 Tích Descartes tập hợp Tích Đềcac (tích) tập A B, ký hiệu A X B , tập hợp cặp có thứ tự ( a,b), a e A, b e B : 12 Đại số tuyến tính A x B = { (ữ ,£ )| a G A ,b G Tương tự tích n tập Ạ , Ẩ 2, , Ạ Ì tập hợp n phần tử có thứ tự n (ữ1,ớ 2, ,ứ n) , ữị € Ạ , V i e {1,2, ,«} ký hiệu U A i=l Tích dãy tập Ạ , A 2, ,Ạ Ị, tập dãy phần tử có thứ tự ( a t,a 2, ,a n, ) , ứ ong a, E , V / g N* n Nếu Ạ = — = A" = A Ị - [ Ạ ký hiệu A" gọi lũy thừa bậc i=ì n A Nói riêng, A = A X A bình phương tập A Nhận xét Nếu A, B tập hữu hạn có sổ phần tử tương ứng m n tích A x B gồm mn phần tử Nhận xét thường gọi Nguyên lý nhân cùa lý thuyết tập hợp Ví dụ Cho \h B — = , ta có: A X B = Ị ( ứ , x ) , ( a , } - ) , ( ố , x ) , ( ố j ) )( c , x ) , ( c j ) } R = K X R tập hợp cặp có thứ tự { x , y ) với x,y số thực Nhu vậy, R biểu thị tập điểm mặt phăng toạ độ; R = R X E X R tập ba có thứ tự số thực, tức điểm không gian chiều thông thường; = R x R x R x M tập bốn có thứ tự số thực, tức điểm không gian vật lý chiều, chiều chi khơng gian chiều chi thời gian Nếu A = = [c,c/] đoạn thẳng, tích A x B biểu thị tập điểm hình chữ nhật Cho A tập điểm hình tròn tâm o thuộc mặt phẳng Oxy, B tập điểm đoạn thẳng [ ,/z ] cùa trục Oz hệ toạ độ vng góc Oxyz A X B biểu thị tập hợp điểm hình trụ có chiều cao h, đáy hình tròn A 1.2 QUAN HỆ 2-NGƠI 1.2.1 Quan hệ hai ngơi tập họp Cho tập X khác rỗng Ta gọi quan hệ - tập X tập s X x X Nếu cặp phần tử (a, b) thuộc s ta nói a có quan hệ s tập với b viết a S b ■ Đại sơ tun tính 13 Ví dụ Trên tập R , quan hệ "a - b " quan hệ "ci < b " quan hệ 2ngôi Trên tập đường thẳng mặt phăng cho, quan hệ vng góc quan hệ song song hai đường thẳng quan hệ 2- Trên tập họp N‘, quan hệ chia hết quan hệ 2- Trên tập X = p ( À ) tất tập tập A, quan hệ bao hàm CỊ quan hệ 2- 1.2.2 Đầ thị quan hệ 2-ngôi Cho s quan hệ 2-ngôi tập X Nếu a b hai phần tử X cho aSb có cặp thứ tự phần tử tập tích X X X Ta ký hiệu G CỊ X X X tập hợp cặp (ữ,ồ) thỏa mãn quan hệ s gọi G đồ thị quan hệ 2-ngơi s : G = {(a,b)\a,beX;aSb) Ví dụ Đồ thị quan hệ "a = b" tập R sổ thực đường phân giác góc phần tư thứ I III mặt phăng tọa độ Đồ thị quan hệ "a < b " tập R nửa mặt phẳng kể biên nằm đường thẳng phân giác góc phần tư thứ I mặt phăng tọa độ Đồ thị quan hệ ”a + b = 1" đường tròn bán kính 1, tâm gốc o mặt phẳng tọa độ 1.2.3 Các tỉnh chất có quan hệ 2-ngơi tập hợp Một quan hệ 2- s tập X có tính chất sau: - Tính phản xạ: a S a , với V a e X - Tính đối xứng: Với \ f a , b e X , aSb b S a - Tính phản đối xứng: Với V a ỉ e X , aSbvầ b S a a = ò - Tính bắc cầu: Với Vứ,Ế,c e X , aSb bSc aSc Ví dụ 1) Trên tập hợp p( A) tập tập hợp A quan hệ bao hàm c có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu khơng có tính đối xứng 2) Trên tập hợp RỊx] đa thức hệ số thực biến X, quan hệ có tính chất nêu Chủ ỷ Đối với quan hệ 2-ngôi s tập X, tính chất nói khơng thiết thỏa mãn cặp phần tử X 14 Đại số tuyến tính Các quan hệ định nghĩa mục có vai trò đặc biệt quan trọng nhiều lĩnh vực toán học 1.2.4 Quan hệ tương đương Quan hệ 2-ngôi s tập X gọi quan hệ tương đương có đủ ba tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu Trong trường hợp này, ta viết a ~ b thay cho cách viết a s b • Ví dụ 1) Quan hệ song song đường thẳng tập đường thẳng không gian (quy ước coi hai đường thẳng trùng song song); quan hệ đồng dạng tam giác; quan hệ đồng hương tỉnh tập hợp dân cư sinh sống thành phố ví dụ trực quan quan hệ tương đương 2) Cho p số nguyên lớn Ta xác định quan hệ - tập z số nguyên bời: a ~ b hiệu a - b chia hết cho p, tức a b có số dư với phép chia cho p ký hiệu: a = Z?(mod p ) Nghiệm thấy rằng, quan hệ có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên quan hệ tương đương z gọi quan hệ đồng dư theo mơđun p Ta gọi a = ò ( m o d p ) đồng dư thức 1.2.5 Phân hoạch tập Để nghiên cứu sâu quan hệ tương đương ta cần khải niệm phân hoạch tập hợp định nghĩa sau: Cho tập X khác rỗng Ta gọi phân hoạch X họ tập khác rỗng X, đôi không giao cho hợp tập họ X Số phần tử (tập X) thuộc họ hữu hạn hay vô hạn miễn không giao cặp vả tồn hệ phải “lát kín” tập hợp X Như thấy mục đây, quan hệ tương đương tập X định phân hoạch X 1.2.6 Các lớp tương đương, tập thương Giả sử - quan hệ tương đương tập X Với mồi phần tử a e X , ta ký hiệu c ( ữ ) tập hợp phần tử thuộc X mà tương đương với a Ta gọi c ( a ) lớp tương đương chứa phần tử a: c(ứ ) = 1*6^1 X ~ a | Do tính phản xạ nên ữ~C l, tập c ( ữ ) khác rỗng Ta có tính chất sau lớp tương đương: V a , i e X , a ~ b o c ( a ) = c (b) Đại số tuyến tính Hơn nữa, ceC(a) nC (è), C (a)nC (ỏ)ĩt thì: c e C ( ữ ) c(ữ) = c(ò) 15 Thật vậy, giả sử c e C ( ố ) Tức c ~ a c~b hay b ~ c ~ a Từ đó, tính chất bắc cầu suy b ~ a, b e C ( ứ ) Lập luận tương tự có a G c [ b ) , tức c [ a ) = c ( b ) Mặt khác, ta có: X = Ị^J C { a ) , nghĩa lóp tương đương c ( a ) “ lát kín” tậpX aeX Họ lớp tương đương gọi tập thương tập X theo quan hệ tương đương ~ cho, ký hiệu X I ~ Ta gọi phần tử a G X phần tử đại diện lớp tương đương c ( ứ ) e X I ~ Nói khác đi, ta thu định lý sau: 1.2.7 Định lý Một quan hệ tương đương tập hợp X xác định phân hoạch cùa X, phần tử phân hoạch lớp tương đương Để hình dung rõ hom tập thương, ta xét ví dụ tập thương gồm lớp đồng dư tập 7L số nguyên theo quan hệ đồng dư modp Ví dụ 1) Ta xét quan hệ đồng dư môđun p tập z số nguyên: = ố ( m o d p ) Theo quan hệ này, cho p lớp tương đương sau đây: c ( ) , c ( l ) , c ( ) , , c ( / ? —l) c ( r ) , < r < / —1, lớp tương đương gồm số nguyên mà chia cho p có số dư r Các lớp tương đương gọi lớp đồng dư theo modp Trong trường hợp này, tập thương lLp = z / ~ tập hữu hạn có p phần tử Chẳng hạn, tập z tập có phần tử, phần tử thứ lớp c ( o ) hay gồm số nguyên chẵn phần tử thứ lớp c ( l ) hay ĩ gồm số nguyên lẻ 2) Đối với quan hệ song song, lớp tương đương tập hợp đường thẳng phương, đường thẳng thuộc lởp đại diện cho phương lớp Như vậy, khái niệm phương thực chất lớp tương đương đường thẳng song song với Trong ví dụ tập thương X / ~ tập vô hạn 1.2.8 Quan hệ thứ tự Quan hệ 2- < tập X gọi quan hệ thứ tự có đủ ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu Nếu với phần tử x e X , y e X có X < y y < x quan hệ thứ tự < gọi quan hệ thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tỉnh) Ngược lại, ta gọi < quan hệ thứ tự phận Nếu X < y ta nói " X bé Khi đó, ta viết y > X nói “y lớn x” Nếu X < y X * y ta viết X < y (hay y > X ) 16 Đại số tuyến tính Tập X xác định quan hệ thứ tự < gọi tập thứ tự thường ký hiệu ( x , < ) Ví dụ 1) Quan hệ < thông thường tập hợp M số thực quan hệ thứ tự tồn phần Do đó, (M ,^ ) tập thứ tự 2) Quan hệ bao hàm c tập p ( Ả ) tập tập A quan hệ thứ tự phận Tuy nhiên khơng quan hệ thứ tự toàn phần 3) Quan hệ chia hết quan hệ thứ tự phận tập N’ 1.2.9 Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, phần tử cực đại, phần tử cực tiểu tập thứ tự * A c X Giả sử Ta gọi phần tử a € A phần tử lớn tập A X < a, V* e A Ta gọi phần tử b € A phần tử nhỏ tập A b < x , v X € A Tập thứ tự ( x , < ) gọi tập thứ tự tốt tập khác rỗng X có phần tử nhỏ Ta gọi phần từ c e A phần tử cực đại tập A với Vx e A từ c < X suy x = a Ta gọi phần tử d e A phần tử cực tiểu tập A với Vx e Ẩ từ X < d suy X = d 1.3 ÁNH XẠ 1.3.1 Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp tuỳ ý khác rồng Ảnh xa f từ tập hơp X vào tập hợp Y, ký hiệu / : X Y , quy tắc đặt tương ứng phần tủ X G X với phần tử xác định y e Y ■Phần từ y gọi ảnh phần từ X, ký hiệu y = f ( x ) X t-> y Tập hợp X gọi tập xác định hay tập nguồn, tập hợp Y gọi tập giá trị hay tập đích ánh xạ / Nỏi riêng, X Y tập hợp số khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số biết Ví dụ Mỗi tương ứng sau tập hợp xác định ánh xạ: 1) Tương ứng / : {1,2} - » { a ,b ,c } cho /( ) = ứ , / ( 2) = c 2) Tương ứng / : {1 , , } - + { a ,b ) cho /( ) = / ( ) = a , f { 3) = c 3) Tương ứng / : N -> N cho n h-> f { ỵ ì ) - n 4) Tương ứng / : R -* R cho x \-> / ( * ) = s in x 5) Tương ứng / : R -» R cho X h-» f ( x ) = e x 30 Đại số tuyến tính xác định công thức sau đây: co = Vr r cos ọ +2kn \ is in ọ +2kn x n n ) , k = ,1 , ,« - Chứng minh Ta viết a = r(co sọ + i sin (Ọ), Cờ = s(co s6 + isin ) Ta có: co" = a < 5sn (cos(n0 ) + isin (n ỡ )) = r (cos(p + /■sin ọ ) sn = r ,) V/=I / VÍ=1 ) Í=1 16 Tìm tập X thỏa mãn à) A - X - B A r s X - B, b) A u X = C với A,B,C cho thỏa mãn B CỊ A Q c 40 Đại số tuyến tính A \ X = B, c) X \ A = C với A,B,c cho thỏa mãn B cz A',A n c = 17 Cho A = [ ; l ] u [2;3] ,B MI \ữ ,b ị ký hiệu 0; - u _ 2_ đoạn có mút a, b Biểu diễn hình học tập Ẩ x B 18 Chứng minh tính chất: à) (A n B ) x ( C n D ) = ( A x C ) n ( B x D ) ũ * ũ ' = ũ (4 c) (/4 x )u (C x D )c (^ u C )x (ổ u D ) d) ( A \ B ) x C = ( A x C ) \ ( B x C ) e) A x ( B \ C ) = ( A x B ) \ ( A x C ) 19 Trên tập R , ta định nghĩa hai quan hệ sau: a S b a < b 2, a S b o c o s a = cosb, frong ký hiệu = < hiểu theo nghĩa thông thường Các quan hệ có quan hệ tương đương khơng? có quan hệ thứ tự khơng? 20 Trên tập R , quan hệ s xác định aSb o a - ồ3 = a - b có quan hệ tương đương khơng? Nếu phải, chi lớp tưcmg đương chứa a e K 21 Trên tập N quan hệ s xác định ( a , ò ) s ( c , d ) a + d = b + c có quan hệ tương đương khơng? 22 Trên tập A gồm tam thức bậc hai A = { / ( * ) = a x + bx + c ,a * , x e e Ị cho quan hệ s xác định f(x) Sg(x)o ( / ( ) = g ( 1)) ( g ( ) = / ( ) ) Chứng minh rằng, s quan hệ tương đương A 23 Cho E tập khác rỗng, s quan hệ E có tính phản xạ bắc cầu Chứng tỏ rằng, quan hệ R E xác định x R y (xS_y) A (jaSx) quan hệ tương đương Đại số tuyến tính 41 24 Trong số ánh xạ từ X vào Y đây, ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Trường họp tồn chi ánh xạ ngược a ) X = [4 ;9 ] ; Y = [21;96] ; f ( x ) = x z + x + b ) X = Y = R - j ( x ) = 3x-2\x\ c )X = R;Y = °-ị +X + X * l +x\ 1- X 25 Cho ánh xạ / : R -> K Hãy xác định I m ( / ) trường hợp sau kiểm tra tính tồn ánh, đom ánh, song ánh ánh xạ / : a) f ( x ) = x2-3 x + 2; b) f ( x ) = x i - 2; c) / ( ^ ) = jc3 - x + jc+ ; d) f { x ) = yỊịsinxị 27 Chi cặp ánh xạ / g cho: a) g o f tồn / o g không tồn b) g o f / o g tồn khác 28 Chứng minh tính chất sau ảnh nghịch ảnh: a)f(AÍ>B) = f { Ẩ ) u f ( B ) b)f(A nB )c:f(Ả )nf(B ) c) c)f(A nB )* f{A )nf(B ) d ) f - ' ( A v B ) =r'(Á )K jf-'(B ) e)f-'(ẨnB) =/-'(A )n r'(B ) g) r ' ( A \ B ) = r ' ( A ) \ r ' ( B ) 29 Cho ánh xạ / : R -> R xác định f ( x ) = X2 - x + a) Xác định / ( K ) b) Cho A = [ - \ ; ị Xác định r \ À ) 42 Đại số tuyến tính 30 Cho z tập hợp số nguyên a , b , c , d e z cho a d - b c = Xét ánh xạ f ' ' L —» z xác định =[ ax + b y ,c x + d y ) Ký hiệu A" tập hợp tất ánh xạ Chứng minh rằng: a) / song ánh b) X đóng kín luật hợp thành ánh xạ, nghĩa / g € X go / X 31 Cho hai ánh xạ f : A C; g : B D Ta định nghĩa ánh xạ: h : A x B —* C x D h ( a , b ) = ( / ( a ) , g ( ố ) ) , ( a , b ) e A x B Chứng minh rằng: a) Nểu f , g đơn ánh h đơn ánh b) Nếu f , g tồn ánh h toàn ánh c) Các mệnh đề đảo a) b) có hay khơng? 32 Giả sử M n[x] tập đa thức có hệ số thực với bậc < n a , p số thực cho trước cho a * p Xét ánh xạ —> R 3[x] xác định bởi: / ( p ( x ) ) = / 7( x + a ) ~ / 7(x + ^ ) ’V/ 7( x ) e l R WKiểm tra tính tồn ánh, đcm ánh, song ánh ánh xạ / 33 Xét ánh xạ f ■M3[x ] —> M4[x ] xác định bởi: / : / > ( * ) » - > ( * + l ) p ( * ) + ( l - x 2)/? ( * ) , ứong p (jc) đạo hàm p(x) Chứng minh rằng, / đơn ánh 34 C h o X tập hợp co n phẩn tử (n N ,n > 1) / : X -» X ánh xạ Chứng minh phát biểu sau tương đương: 1) / đơn ánh 2) / toàn ánh 3) / song ánh 35 Ký hiệu X Y tập hợp tất ánh xạ từ tập hợp Y tới tập hợp X Chứng minh rằng, A , B , C , D tập hợp cho A ~ B , c ~ D A c ~ B D, ký hiệu ~ quan hệ tương đương tập hợp 36 Tính: COS^ Ẽ ~ c o sọ - i sin ọ 37 Tìm tất số phức a = X 4- iy cho a = a Đại số tuyến tính 43 38 Tìm tất số phức a = X + iy cho a ì = a 39 Tìm tất số phức * a = r(cosọ + / sin ọ) cho a n = a ,n € N 40 Cho ánh xạ / : c -> c xác đinh f(o c ) —cc’ + Kiểm tra tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh / 41 Chứng minh rằng, tổng tất nghiệm phương trình xn—1= 0, n € N, n > c bàng 42 Tìm tất số phức z = X + yi (x, y e R ) cho z = - + 12/ 43 Giải phương trình sau c : 1) \z\ - z = z + /; 2) |z| + z + i = 1; 3) z - z +1 = 0; 4) z - z + z - z +1 = 0; 5) z + z + z + z +1 = 0; ) z4- = 0; 7) z +1 = 44 Cho a = r(cos