SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn thi: MƠN TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi 02 tháng năm 2019 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I ( 2,0 điểm ) � 15 x � x 1 B � � �x 25 �: x với x �0; x �25 x � � 25 x 1) Tìm giá trị biểu thức A x 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât Bài II (2,5 điểm) Cho hai biểu thức A x 1 1) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình : Hai đội cơng nhân làm chung cơng việc sau 15 ngày làm xong Nếu đội thứ làm riêng ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp cơng việc ngày hai đội hồn thành 25% cơng việc Hỏi đội làm riêng ngày hồn thành xong cơng việc trên? 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao 1,75 m diện tích đáy 0,32 m Hỏi bồn nước đựng đầy mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày bồn nước) Bài III (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 18 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y 2mx m parabol ( P ) : y x a) Chứng minh (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 1 2 1 thỏa mãn x1 x2 x1 x2 Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn O Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F thuộc đường tròn 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF 3) Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm I , đường thẳng EF cắt đường thẳng AH điểm P Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB đường thẳng KH song song với đường thẳng IP Bài V ( 0,5 điểm) Cho biểu thức P a b ab với a, b số thực thỏa mãn a b ab Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P -HẾT - HƯỚNG DẪN GIẢI Bài I ( 2,0 điểm ) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ � 15 x � x 1 B � � �x 25 �: x với x �0; x �25 x � � 25 x 1) Tìm giá trị biểu thức A x 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât Cho hai biểu thức A x 1 Lời giải 1) Với x Thay vào A ta có : A 4 x 1 25 x 4. 1 1 25 16 2) Rút gọn biểu thức B � 15 x � x 1 B� � �x 25 �: x x � � � � 15 x � x 1 � B : � x 5 x 5� x x 5 � � Với x �0 , x �25 , ta có B B B 15 x x 5 x 5 x 5 15 x x 10 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 : : � x 1 x 5 x 1 x 5 x 5 x 1 x 1 3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P A.B đạt giá giá trị nguyên lớn B Ta có P A.B �1 x 1 25 x x 1 25 x Để P nhận giá trị nguyên x �Z 4M 25 x hay 25 x �U 4 4; 2; 1;1; 2; 4 Khi đó, ta có bảng giá trị sau: 25 x 4 2 1 x 29 27 26 24 23 21 P A.B 1 2 4 Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Do P đạt giá trị nguyên lớn nên ta có P Khi giá trị cần tìm x x 24 Bài II (2,5 điểm) 1) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình : Hai đội công nhân làm chung công việc sau 15 ngày làm xong Nếu đội thứ làm riêng ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp cơng việc ngày hai đội hồn thành 25% cơng việc Hỏi đội làm riêng ngày hồn thành xong cơng việc NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao 1,75 m diện tích đáy 0,32 m Hỏi bồn nước đựng đầy mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày bồn nước) Lời giải 1) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình : - Gọi thời gian để đội thứ đội thứ hai làm riêng hồn thành xong công việc x y x 15, y 15 , đơn vị (ngày) Một ngày đội thứ làm Một ngày đội thứ hai làm - (công việc) x (cơng việc) y Vì hai đội làm 15 ngày hồn thành xong cơng việc Như ngày hai 1 1 (công việc) Suy ra, ta có phương trình : (1) x y 15 15 Ba ngày đội đội thứ làm (công việc) x Năm ngày đội thứ hai làm (cơng việc) y Vì đội thứ làm ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp ngày hai đội đội làm - 1 (công việc) Suy ra, ta có phương trình : (2) x y 4 �1 1 �1 �x y 15 �x 24 �x 24 � � � (TMĐK) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình : � �1 � � �y 40 �3 � � � �y 40 �x y hoàn thành xong 25% - Vậy thời gian để đội thứ làm riêng hồn thành xong cơng việc 24 (ngày) thời gian để đội thứ hai làm riêng hồn thành xong cơng việc 40 (ngày) 2) Số mét khối nước đựng bồn thể tích bồn chứa Như số mét khối đựng bồn : V 0,32.1,75 0,56 m Bài III (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 18 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y 2mx m parabol ( P ) : y x a) Chứng minh (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 1 2 1 thỏa mãn x1 x2 x1 x2 Lời giải 1) Giải phương trình: x x 18 1 Cách : Đặt t x t �0 * *Phương trình 1 trở thành : t 7t 18 Ta có : 7 4.1 18 121 112 � 11 Suy :Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: NHĨM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 11 11 t / m t2 2 ktm 2 Thay t vào * ta có : x � x �3 Vậy nghiệm phương trình : x �3 Cách : Ta có : x x 18 � x x x 18 t1 � x2 x2 x2 � x2 x2 � x vôli �� x2 � � x2 � x �3 Vậy nghiệm phương trình : x �3 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y 2mx m parabol ( P ) : y x 2 a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm x 2mx m 1 Để (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt với m a �0 � � Ta có : � ' b' ac m � ' 2 2 Xét m m 1 m m 0, m Vậy (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để (d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn 1 2 1 x1 x2 x1 x2 2 0�m �2 Ta có x1 x2 �� m Hai nghiệm phương trình : x1 m 1; x2 m 1 2 x x 2 x1 x2 1 � � x1 x2 2 x1x2 Biến đổi biểu thức ta có : x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Thay x1 m 1; x2 m vào biểu thức x1 x2 2 x1 x2 ta có : m -1 m -2 m -1 m 1 � m -1- 2m � m 2m � m 3 m 1 m3 � m3 � �� �� m 1 L m 1 � � Kết Luận : Với m thỏa mãn yêu cầu toán Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn O Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F thuộc đường tròn NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF 3) Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm I , đường thẳng EF cắt đường thẳng AH điểm P Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB đường thẳng KH song song với đường thẳng IP Lời giải 1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F thuộc đường tròn Xét tứ giác BCEF ta có : � 90�( BE đường cao) BEC � 90�( CF đường cao) BFC � BCEF tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F nhìn cạnh BC góc vng) 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF � � Vẽ tiếp tuyến Ax hình vẽ � BAF ACB (tính chất đường tiếp tuyến dây cung) Do tứ giác BCEF nội tiếp � � AFE � ACB � � Ta suy BAF AFE � EF //Ax (do hai góc so le trong) Lại có Ax OA � OA EF (đpcm) 3) Chứng minh APE ∽ ABI � � � 180�) Ta có : � AEB EFC ABI EFC AEB � ABI ( Vì � � 90�(vì AI PE ) Mặt khác � APE PAI � � 90�( Vì AH BC ) � � APE � AIB AIB PAI NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Vậy APE ∽ ABI ( g-g) * Chứng minh KH //PI Gọi M giao điểm AO EF , dung đường kính AS Ta có BE / /CS vng góc AC BS / /CF vng góc AB � BHCS hình bình hành nên H , K , S thẳng hàng Ta có AE AC AH AD AE AC AM AS � AH AD AM AS � AH AM � � AHM : ASD � � AHM ASD AS AD � HMSD Nội tiếp đường tròn � PDM � � � HS //PI Kết hợp PMID nội tiếp đường tròn � PIM HSM Bài V ( 0,5 điểm) Cho biểu thức P a b ab với a, b số thực thỏa mãn a b ab Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Lời giải Ta có a b ab � a b2 ab thay vào P ta P a b ab a b2 2a 2b ab ab 2a 2b ab 6ab a 2b 2a 2b ab 2 49 � 49 � � � 85 ab ab � ab � 7ab a b � 4� � � � 2� 2 b 0�� a 2� b2۳ 2ab Vì a b ab , mà a �� ��� b 0��� a b Và a 2 2ab ab 2ab suy ab 2ab ab 1 ab 7 + ��� ab ��+ �ab 2 2 Từ 1 ۣ ۣ � 81 81 85 85 � � 81 � 7� � � 85 ab � � � ab �� � � � ab � � � � 4 4 4 � 2� � 2� � 2� 2 ab 2 � � 85 ۣ ۣ 1� � ab � � 2� 21 � ab 3 a � b � � � � v� Vậy Max P 21 Dấu = xảy � � a b b � a � � ab a 1 � � �a 1 Min P Dấu = xảy � �� � b 1 b 1 a b � � � NHÓM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ... phương trình hệ phương trình : Hai đội công nhân làm chung công việc sau 15 ngày làm xong Nếu đội thứ làm riêng ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp cơng việc ngày hai đội hồn thành 25% cơng việc... để đội thứ đội thứ hai làm riêng hồn thành xong công việc x y x 15, y 15 , đơn vị (ngày) Một ngày đội thứ làm Một ngày đội thứ hai làm - (công việc) x (cơng việc) y Vì hai đội làm 15 ngày... ngày hai 1 1 (cơng việc) Suy ra, ta có phương trình : (1) x y 15 15 Ba ngày đội đội thứ làm (công việc) x Năm ngày đội thứ hai làm (cơng việc) y Vì đội thứ làm ngày dừng lại đội thứ hai làm