SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀNỘIĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài I (2,0 điểm) x 2 20 x B với x �0, x �25 x 25 x 5 x 5 1) Tính giá trị biểu thức A x 2) Chứng minh B x 5 3) Tìm tất giá trị x để A B x Bài II (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình Một xe tơ xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn quãng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Bài III (2,0 điểm) � � x y 1 1) Giải hệ phương trình � x y 1 � 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y mx Cho hai biểu thức A a) Chứng minh đường thẳng d qua điểm A 0;5 với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt parabol P : y x hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 (với x1 x2 ) cho x1 x2 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K 1) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB NK NM 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi 4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn O Chứng minh ba điểm D, E , K thẳng hàng Bài V (0,5 điểm) Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn: a �1, b �1, c �1 ab bc ca Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P a b c Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: .SBD: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10THPT TẠO NĂM HỌC 2017 – 2018HÀNỘI Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Bài I (2,0 điểm) x 2 20 x B với x �0, x �25 x 25 x 5 x 5 1) Tính giá trị biểu thức A x 2) Chứng minh B x 5 Cho hai biểu thức A 3) Tìm tất giá trị x để A B x Giải 1) Tính giá trị biểu thức A x 3 5 35 2) Chứng minh B x 5 Khi x ta có A 20 x x 15 x 5 Với x �0, x �25 B x 20 x x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 20 x x 5 x 5 x 15 20 x x 5 x 5 (điều phải chứng minh) x 5 3) Tìm tất giá trị x để A B x Với x �0, x �25 Ta có: A B x � x 2 x 5 x4 � x 2 x4 x 5 Nếu x �4, x �25 (*) trở thành : x 2 x4 � x x 6 � Do x nên (*) x 2 0 x 2 0 x 3 x � x (thỏa mãn) Nếu �x (*) trở thành : x 2 4 x � x x 2 � x 1 x nên x � x (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị x x thỏa mãn yêu cầu toán Bài II (2,0 điểm) Do Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình Một xe tơ xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Giải Gọi vận tốc xe máy x (km/h) Điều kiện x Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10km/h nên vận tốc ô tô x 10 (km/h) 120 Thời gian xe máy từ A đến B (h) x 120 Thời gian ô tô từ A đến B (h) x 10 Xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút (h) nên ta có phương trình: 120 120 x x 10 � 120.5 x 10 120.5.x 3x x 10 � x 30 x 6000 � x 50 x 40 x 50 � �� Kết hợp với điều kiện đầu ta x 40 x 40 � Vậy vận tốc xe máy 40 (km/h), vận tốc ô tô 50 (km/h) Bài III (2,0 điểm) � � x y 1 1) Giải hệ phương trình � x y � 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y mx a) Chứng minh đường thẳng d qua điểm A 0;5 với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt parabol P : y x hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 (với x1 x2 ) cho x1 x2 Giải � � x y 1 1) Giải hệ phương trình � x y 1 � Điều kiện: x �0; y �1 � �a x Điều kiện a; b �0 Khi hệ phương trình ban đầu trở thành Đặt � b y 1 � a 2b a 2b a 2b a 2b a 1 � � � � � �� �� �� �� � 2b b 4a b 20 8b b 9b 18 b2 � � � � � � �x �x � x 1 �� �� Do � ( thỏa mãn) �y �y � y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;5 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y mx a) Chứng minh đường thẳng d qua điểm A 0;5 với giá trị m Thay tọa độ điểm A 0;5 vào phương trình đường thẳng d : y mx ta được: m.0 với giá trị tham số m nên đường thẳng d qua điểm A với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt parabol P : y x hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 (với x1 x2 ) cho x1 x2 Xét phương trình hoành độ giao điểm d P : x mx � x mx Ta có tích hệ số ac 5 nên phương trình hồnh độ giao điểm ln có nghiệm phân biệt với m hay thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt với m �x1 x2 m Theo hệ thức Vi-ét ta có � �x1 x2 5 2 2 Ta có x1 x2 � x1 x2 � x1 x2 � x1 x2 x1 x2 Theo giả thiết: x1 x2 � x1 x2 x1 x2 � m Vậy thỏa mãn yêu cầu tốn Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K 1) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB NK NM 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi 4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn O Chứng minh ba điểm D, E , K thẳng hàng Giải 1) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn � � MNA � MCB � Ta có M điểm cung � AM BM AB � � � ICK � Tứ giác CNKI có C N đỉnh kề nhìn cạnh � KNI KI góc nên CNKI nội tiếp ( dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) Do bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB NK NM � � BN � CN � � BMN � CMN � Ta có N điểm cung BC (góc nội tiếp chắn cung nhau) � CMN � (góc nội tiếp chắn chắn cung CN � ) Mà CBN � BMN � (cùng góc CMN � ) � KBN � BMN � CBN Xét KBN BMN có : � chung N � BMN � KBN KN BN � NB NK NM ( điều phải chứng minh) BN MN 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi Ta có � ABC � ANC (góc nội tiếp chắn cung � AC ) � KBN ∽ BMN � �) Mà � AMC � AHI (góc nội tiếp chắn cung IC � Mà góc vị trí đồng vị nên HB / / IK (1) �� ABC IKC + Chứng minh tương tự phần ta có tứ giác AMHI nội tiếp � � (góc nội tiếp chắn cung � ANC IKC AI ) Ta có � ABC � AMC (góc nội tiếp chắn cung � AC ) �� ABC � AHI Mà góc vị trí đồng vị nên BK / / HI (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BHIK hình bình hành Mặt khác AN , CM tia phân giác góc A C tam giác ABC nên I giao điêm đường phân giác, BI tia phân giác góc B Vậy tứ giác BHIK hình thoi ( dấu hiệu nhận biết hình thoi) 4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn O Chứng minh ba điểm D, E , K thẳng hàng Vì N điểm cung nhỏ BC nên DN trung trực BC nên � DN phân giác BDC � KMC � Ta có KQC (góc nọi tiếp nửa góc tâm dường tròn Q ) � KMC � (góc nội tiếp chắn cung NC � ) NDC � BDC � � NDC � � KQC Mà BDC Xét tam giác BDC KQC các tam giác vuông D Q có hai góc � BCQ � � BCD D, Q, C thẳng hàng nên KQ / / PD Chứng minh tương tự ta có ta có D, P, B thẳng hàng DQ / / PK Do tứ giác PDQK hình bình hành nên E trung điểm PQ trung điểm DK Vậy D, E , K thẳng hàng (điều phải chứng minh) Bài V (0,5 điểm) Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn: a �1, b �1, c �1 ab bc ca Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P a b c Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có: a b �2ab , b c �2bc , c a �2ca b c 2� Do đó: a 2(ab bc ca) 2.9 18 P 18 P Dấu xảy a b c Vậy MinP a b c Vì a �1 , b �1 , c �1 nên (a 1)(b 1) �0 � ab a b �0 � ab �a b Tương tự ta có bc �b c , ca �c a 93 6 Do ab bc ca �2(a b c) � a b c � Mà P a b c a b c ab bc ca a b c –18 �a 4; b c � b 4; a c P 36 18 18 Dấu xảy : � � c 4; a b � �a 4; b c � b 4; a c Vậy MaxP 18 : � � c 4; a b � Hết ...Họ tên thí sinh: .SBD: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TẠO NĂM HỌC 2017 – 2018 HÀ NỘI Mơn thi: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Bài I (2,0 điểm) x 2 20 x B với... D, Q, C thẳng hàng nên KQ / / PD Chứng minh tương tự ta có ta có D, P, B thẳng hàng DQ / / PK Do tứ giác PDQK hình bình hành nên E trung điểm PQ trung điểm DK Vậy D, E , K thẳng hàng (điều phải... tô đến B sớm xe máy 36 phút (h) nên ta có phương trình: 120 120 x x 10 � 120.5 x 10 120.5.x 3x x 10 � x 30 x 6000 � x 50 x 40 x 50 � �� Kết hợp với