Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 140 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
140
Dung lượng
7,21 MB
Nội dung
BÙI ĐÌNH THƠNG Tóm tắt lý thuyết cần nhớ Ví dụ minh họa dễ hiểu Bài tập phân dạng dễ - khó Bài tập rèn luyện đa dạng, bám sát đề thi THPT QG LƯU HÀNH NỘI BỘ Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thơng Đình Đình – 09411-02468 CHƯƠNG III NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN- nguyên hàm mở rộng A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ Nguyên hàm Cho hàm số f x xác định K Hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số f x ( ) ( ) K nếu: F ( x ) = f ( x ) , x K • Khi F ( x ) + C gọi họ nguyên hàm f ( x ) • Kí hiệu: f ( x )dx = F ( x ) + C F ( x ) = f ( x ) • Lưu ý: f ( x )dx gọi nguyên hàm f ( x ) theo biến x • Cơng thức biến đổi vi phân: d u ( x ) = u ( x ) dx ( ) Tính chất ngun hàm: • Tính chất 1: f x dx = f x ( () ) ( ) f ( x )dx = f ( x ) + C Tính chất 2: kf ( x )dx = k f ( x )dx với k số khác Tính chất 3: f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx g ( x ) dx • • Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm Hàm số sơ cấp ( ) adx = ax + C ( a ) dx = x + C x +1 x dx = + C −1 +1 ( ) ( ( ) +1 ax + b ax + b dx = a +1 ) 1 du = u + C ax + bdx = a ln ax + b + C e dx = e e x a dx = x +C ( ax +C 0 a 1 ln a ) ax + b ( + C −1 dx = u a x + +C a 1 ln a ( ) cos ( ax + b) dx = a sin ( ax + b ) + C sin xdx = − cos x + C sin ( ax + b)dx = − a cos ( ax + b ) + C cos xdx = tan x + C sin x dx = − cot x + C 1 cos ( ax + b ) dx = tan ax + b + C a ( ) sin ( ax + b )dx = − a cot ( ax + b ) + C “Thành đến bạn thực lao động chăm chỉ” ( e du = e cos xdx = sin x + C u +1 + C −1 +1 ) udu = ln u + C ax +b e +C a x+ a dx = ) u dx = 1 xdx = ln x + C x Hàm số hợp Hàm số mở rộng u a du = u +C ( au +C 0 a 1 ln a cos udu = sin u + C sin udu = − cos u + C cos udu = tan u + C sin du = − cot u + C u 1|Page ) Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thơng Đình Đình – 09411-02468 B: MỘT SỐ VÍ DỤ Dạng 1: Các tốn sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm bảng nguyên hàm sơ cấp Bài tốn 1: Tìm ngun hàm hàm số bảng nguyên hàm Phương pháp: Cần nẵm vững bảng nguyên hàm sơ cấp Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số khơng tích (thương) nguyên hàm hàm thành phần Muốn tìm nguyên hàm hàm số, ta phải biến đổi hàm số thành tổng hiệu hàm số tìm nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm) ➢ Tìm nguyên hàm hàm đa thức, phân thức Sử dụng công thức sau để tính: dx = x + C x dx = x +1 + C −1 +1 ( ) xdx = ln x + C Chú ý: Biểu diễn lũy thừa dạng tắc: ❖ ❖ n =x − m x = xn n ❖ n ❖ x n xm = x n n xm =x − ❖ xn = x −n m n Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: ( ) a f x = x − 12 x + x − ( ) ( )( b f x = x − x x + ) ( ) c f x = x − ( ) d f x = x + + x x2 x −1 x2 Lời giải: a Ta có: () ( ) F x = x − 12x + x − dx b Ta có: F x = x − x x + dx ( ) ( x 5+1 x 3+1 x 2+1 − 12 + − 8x + C +1 +1 +1 x3 = x6 − 3x4 + − 8x + C x3 − 8x + C Vậy F x = x − x + c Ta có: x 3+1 x 2+1 x1+1 − − +C +1 +1 +1 x 2x 3 x = − − +C = = ( ) ( ) Vậy F x = x 2x 3 x − − +C d Ta có: ( ) F x = “Thành đến bạn thực lao động chăm chỉ” ) = x dx − 2 x 2dx − 3 xdx = 6 x dx − 12 x dx + x dx − dx ( ) = x − 2x − x dx = x5 dx − 12x3 dx + x 2dx − 8dx )( x −1 dx x2 2|Page Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thơng Đình Đình – 09411-02468 1 = − dx x x = dx − x −2dx x x −2+1 = ln x − +C −2 + F x = 2 x − + + dx x x x ( ) − = 2 x dx − x −2 + 3 dx + x dx x − +1 +1 x2 x −2+1 x =2 − + ln x + +C −2 + +1 − +1 = ln x + x −1 + C = ln x + = x + x −1 + ln x + x + C = x + + ln x + 3 x + C x x + + ln x + 3 x + C Vậy F x = x ➢ Tìm ngun hàm hàm mũ Sử dụng cơng thức sau để tính: +C x ( ) Vậy F x = ln x + ( ) e dx = e x x x a dx = +C +C x ( ax +C 0 a 1 ln a ) Ví dụ 2: Tìm ngun hàm hàm số sau: ( ) ( ) ( ) Lời giải: a Ta có: F x = x dx = ( ) Vậy F x = 7x +C ln7 ( ) ( ( c f x = e x − e − x a f x = x ) 7x +C ln ) ( ) b Ta có: F x = e x − e − x dx = 2e x − dx = 2 e x dx − dx = 2e x − x + C ( ) Vậy F x = 2e x − x + C ➢ Tìm nguyên hàm hàm lượng giác Sử dụng cơng thức sau để tính: cos xdx = sin x + C sin xdx = − cos x + C 1 sin cos x dx = tan x + C 2 x dx = − cot x + C Chú ý: − cos2 x + cos2 x ❖ cos2 x = ❖ sin x = ❖ tan x = ❖ cot2 x = “Thành đến bạn thực lao động chăm chỉ” cos2 x sin2 x −1 ❖ sin2 x + cos2 x = −1 ❖ cos 2x = cos2 x − sin2 x 3|Page Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thơng Đình Đình – 09411-02468 Ví dụ 3: Tìm ngun hàm hàm số sau: a f x = sin x − cos x ( ) ( ) ( ) c f x = ( ) ( b f x = tan x cos2 x ( ) d f x = sin x.cos x 2 sin2 x.cos2 x ) Lời giải: a F x = sin x − cos x dx = − cos x − 2sin x + C − dx = tan x − x + C b F x = tan xdx = cos x ( ) ( ) c F x = ( ) d F x = sin2 x.cos2 x dx = cos2x sin x.cos x 2 dx = 1 = + dx dx = tan x − cot x + C 2 sin2 x.cos2 x cos x sin x sin2 x + cos2 x 1 − dx = − cot x − tan x + C dx = 2 sin x.cos x sin x cos x cos2 x − sin2 x 2 ( ) ( ) f ( x ) K Bài toán 2: Chứng minh F x nguyên hàm f x ( ) chứng minh: F ( x ) = f ( x ) , x K Phương pháp: Để F x là một nguyên hàm của hàm sớ Ví dụ 4: ( ) ta cần ( ) Chứng minh F x nguyên hàm hàm số f x biết: ( ) ( ) ( ( ) a F x = x + x − x + 120 f x = 15 x + x − ) ( ) b F x = ln x + x + f x = ( ) ( ) x +3 Lời giải: a Ta có: F x = 5x + x − 7x + 120 = 15x + x − = f x ( ) ( ) ( ) Vậy F x nguyên hàm hàm số f x ( ) ( ) x + x2 + b Ta có: F x = ln x + x + = x + x2 + ( ) 1+ = 2x x + x2 + x2 + = = x + x2 + x + x2 + x2 + ( ) x2 + ( ) ( ) = f x ( ) Vậy F x nguyên hàm hàm số f x Ví dụ 5: ( ) F ( x ) = ( x − ) e f ( x ) = ( x − ) e ( ) Chứng minh F x nguyên hàm hàm số f x biết: x x Lời giải: Ta có F x = x − e x = 4e x + e x x − = xe x − e x = x − e x = f x Vậy F x nguyên hàm hàm số f x ( ) ( ( ) ) “Thành đến bạn thực lao động chăm chỉ” ( ) ( ) ( ) ( ) 4|Page Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thơng Đình Đình – 09411-02468 Ví dụ 6: ( ) ( ) Chứng minh F x nguyên hàm hàm số f x biết: ( ) ( ) F x = tan x + x − f x = tan x + tan x + ( ) ( ( ) ) x (1 + tan x ) + = tan Lời giải: Ta có: F x = tan4 x + x − = tan3 x tan x + = tan3 x + = tan3 cos2 x Vậy F x nguyên hàm hàm số f x ( ) ( ) x + tan x + = f x ( ) Ví dụ 7: ( ) ( ) Chứng minh hàm số F x nguyên hàm f x biết ex ex x x F x = f x = x + x + x 2x + x ( ) ( ) ( ) Lời giải: Để tính đạo hàm hàm số F x ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Với x , ta có: ex x F x = 2x + x Trường hợp với x = , ta có: ( ) + Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = ( ) ( ) = lim x ( ) x ( ) F x −F ( ) F x −F + x + − e0 =1 x →0 x →0 − x −0 x + Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = F 0− = lim− F 0+ = lim+ x →0 x −0 ( ) = lim e ( ) x →0 + ( ) − e0 =1 x () Nhận xét F 0− = F 0+ = F = ex x = f x Tóm lại: F x = 2x + x Vậy F x nguyên hàm hàm số f x ( ) ( ) ( ) ( ) Bài toán 3: Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc Phương pháp: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ), tức tính f ( x ) dx = F ( x ) + C Rồi sau F ( xo ) + C = để tìm số C Ví dụ 8: Tìm ngun hàm hàm số sau: “Thành đến bạn thực lao động chăm chỉ” 5|Page Tài liệu Ơn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thơng Đình Đình – 09411-02468 ( ) a f x = x x + () , biết F = −2 x ( ) b f x = x2 + , biết F = x () − Lời giải: a Ta có F x = x x + dx = x + x dx = x +2 x +C x ( ) () Khi để F = −2 điều kiện : 22 x +2 x − 5 ( ) Vậy F x = ( ) b Ta có: F x = () Khi để F = ( ) 22 + + C = −2 C = − 5 Vậy F x = x2 + 1 x2 dx = x + dx = + ln x + C x x 12 3 C = − = điều kiện là: + ln1 + C = 2 2 x2 + ln x + Ví dụ 9: e− x Tìm ngun hàm hàm số f x = e x − x ( ) e− x Lời giải: a Ta có: F x = e x − x ( ) () x x dx = e − dx = e + + C x x 1 + C = e C = −1 Vậy F x = e x + − 1 x ( ) () Mặt khác F = e e1 + Ví dụ 10: F = e ( ) ( ) ( ) Tìm hàm số f x thỏa mãn f x = − cos x f = Lời giải: Theo tính chất ta có f ( x )dx = f ( x ) + C ( ) ( ) ( ) f x = − 5cos x dx = x − sin x + C ( ) Mặt khác f = 3.0 − sin + C = C = Vậy f x = x − sin x + ( ) ( ) F(x) = f (x) Bài tốn 4: Tìm giá trị tham số để F x nguyên hàm f x ( ) ( ) Phương pháp: Để F x là một nguyên hàm của hàm số f x K , x K Từ đó, ta sử dụng đồng thức, điều kiện cần đủ, điều kiện tồn nguyên hàm để tìm tham số cần tìm Ví dụ 11: ( ) ( ) Tìm m để F x nguyên hàm f x ( ) ( ) ( ) F x = mx + 3m + x − x + f x = x + 10 x − ( ) ( ) Lời giải: Ta có: F x = 3mx + 3m + x − “Thành đến bạn thực lao động chăm chỉ” 6|Page Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thơng Đình Đình – 09411-02468 ( ) ( ) ( ) ( ) Để F x là một nguyên hàm của hàm số f x F x = f x , x ( 3m = m =1 3m + = 10 ) 3mx + 3m + x − = x + 10 x − , x Ví dụ 12: ( ) ( ) ( ) Tìm a, b, c để F x nguyên hàm f x ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) F x = 2a + sin x + 3b − sin x + 5c − sin x f x = cos 2x ( ) ( ) ( ) ( ) Lời giải: Ta có F x = 2a + cos x + 3b − cos x + 5c − cos x = cos x , x Điều kiện cần: F = 2a + + 6b − + 15c − 21 = 2a + 6b + 15c − 24 = x = F = −6b + = −1 Cho x = 2 x = F = a + − + − 15c + 21 = − 2 () b = b = 2a + + 15c − 24 = a = − 2a − − 30c + 47 = −1 c = 5 Điều kiện đủ: F x = −1 + cos x + − cos x + − cos x = cos x 2 ( ) ( ) ( Ví dụ 13: ) ( ) ( ) Xác định a, b để hàm số F x nguyên hàm hàm số f x biết x2 2 x x x F x = f x = ax + b x x ( ) ( ) ( ) Lời giải: Để tính đạo hàm hàm số F x ta xét hai trường hợp: a Với x , ta có: 2 x x F x = a x ( ) b Với x = ( ) ( ) Để hàm số F x có đạo hàm điểm x = , trước hết F x phải liên tục x = , đó: “Thành đến bạn thực lao động chăm chỉ” 7|Page ( ) ( ) Tài liệu Ơn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thơng Đình Đình – 09411-02468 () lim− F x = lim+ F x = f a + b = b = a − x →1 x →1 (1) Đạo hàm hàm số điểm x = , ta xác định: ( ) + Đạo hàm bên trái hàm số y = F x điểm x = ( ) ( ) = lim x F x −F −1 =2 x −1 x −1 + Đạo hàm bên phải hàm số y = F x điểm x = ( ) F 1− = lim− x →1 x →1− ( ) ( ) F 1+ = lim+ ( ) ( ) = lim ax + − a − = a F x −F x →1+ x −1 x −1 Hàm số y = F x có đạo hàm điểm x = điều kiện F 1− = F 1+ a = (2) x →1 ( ) ( ) ( ) a = Từ (1) (2) ta Khi : F = = f b = −1 () () a = Vậy với F x nguyên hàm hàm số f x b = −1 ( ) ( ) Dạng 2: Tìm ngun hàm cơng thức mở rộng PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Sử dụng công thức d ax + b = a.dx dx = d( ax + b) a Bài tốn 1: Tìm ngun hàm hàm đa thức Sử dụng cơng thức sau để tính 1 ax + b dx = ax + b d ax + b = ax + b + C a a ( ( Lưu ý: x = ( ) ( ) ( ax + b dx = ax + b a ) ( ( ax + b ) − b a ) ( ) ( ) +1 ax + b d ax + b = a +1 ) ( ) ) +C cách đổi biến thường dùng Ví dụ 1: Tìm ngun hàm: ( ) a x − dx b ( x + 1) xdx ( x − 9) = ( x + 1) xdx c ( Lời giải: a ( x − 9)4 dx = ( x − 9)4 d x − ( ) ( ) +C ) ( ) ( ) ( 6 b ( x + 1)6 xdx = x + x + − 1 d( x + 1) = x + − x + d x + ( x + 1) − ( x + 1) = 8 c ) 7 +C 1 x (2x − 1) dx = (2x − 1) + 1 (2x − 1) d (2x − 1) = (2x − 1) + (2x − 1) d (2x − 1) “Thành đến bạn thực lao động chăm chỉ” 8|Page Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thơng Đình Đình – 09411-02468 ( ) ( ) 2x − 1 2x − = + + C Bài toán 3: Tìm nguyên hàm hàm phân thức Sử dụng công thức : ( ) ln ax + b d ax + b = +C ax + b a dx ax + b = a Bài tốn tổng qt: Tính ngun hàm I = ( )dx , với P x Q x đa thức không ( ) ( ) Q(x) P x chứa Phương pháp giải: - ( ) ( ) ⎯⎯→ Chia đa thức Nếu deg P ( x ) deg Q ( x ) ⎯⎯→ Xem xét mẫu số đó: Nếu deg P x deg Q x PP PP ✓ Nếu mẫu số phân tích thành tích số, ta sử dụng đồng thức để đưa dạng tổng phân số Một số trường hợp đồng thức thường gặp: • ( ax + m) (bx + n) mx + n • ( x − a )( x − b ) = • ( x −a )( x −b = ( ) ( ( )( A + B x − Ab + Ba A B + = x −a x −b x −a x −b A = ) ( a b − an − bm ax + m bx + n x −a + ) ( B x −a + ) ( C x −b ) + ) ( ) A + B = m Ab + Ba = −n D x −b ) ✓ Nếu mẫu số khơng phân tích thành tích số (biến đổi đưa dạng lượng giác) Ví dụ 1: Tìm ngun hàm: x +5 a dx x +1 b x +5 2x − 1dx c x − 2x + 3x − dx ( x + 1) + 4 dx = + dx = x + ln x + + C x +1 x +1 x +5 x + 10 (2 x − 1) + 11 11 1 11 dx = dx = = 1 + b dx = x + ln x − + C 2x − 2x − 2x − 2x − 2 c Nhận xét deg x − 2x + deg x − nên ta thực phép chia đa thức được: Lời giải: a x +5 x + 1dx = ( ) ( ) x − 2x + 1 =x+ 3x − 3x − 2 Vậy x − 2x + 1 x2 dx = x + dx = + ln x − + C 3x − 3x − Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm: “Thành đến bạn thực lao động chăm chỉ” 9|Page Toán | Thầy Thơng Đình Đình ( ) Lời giải: Ta có diện tích thiết diện vật thể cắt mặt phẳng P là: S( x ) = x + x nên thể tích cần tính là: V= x + x dx = + x d(1 + x ) = (1 + x ) + x 3 = (đvtt) Ví dụ 11: Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x = x = , biết thiết diện vật thể ( ) cắt mặt phẳng P vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 x 1) đường tròn có độ dài bán kính R = x x + ( ) Lời giải: Ta có diện tích thiết diện vật thể cắt mặt phẳng P là: S( x ) = R2 = x ( x + 1) = ( x + x ) 1 x4 x3 + Nên thể tích cần tính là: V = ( x + x )dx = = 7 (đvtt) 12 Ví dụ 12: Cho hình phẳng H giới hạn đường: y = x ln x, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay H quanh trục Ox ? Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = x ln x trục Ox ( ) ( ) x = L x ln x = x = N Do thể tích khối tròn xoay e V = ( e x3 2x x ln x dx = ln x − x ln x + = e − 27 27 27 ) ( ) quay ( D ) quanh trục Ox ( ) Ví dụ 13: Gọi D miền giới hạn y = −3 x, y = 1, y = x x Tính thể tích vật thể tròn xoay x = Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm y = −3 x y = x x = −3 x x = −3 x = Phương trình hồnh độ giao điểm y = y = x x = x = −1 “Học tập điên giữ nguyên cũ ” ( L) (N ) ( L ) (hình vẽ) (N ) Page | 125 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình −1 ( Từ đó, thể tích khối tròn xoay V = −3 x −3 ) 148 − x dx = Ví dụ 14: Tính thể tích khối tròn xoay ta quay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = − x, y = quanh trục Oy Lời giải: Ta có y = x x = y , y = − x x = − y Tung độ giao điểm hai đường nghiệm phương trình y = − y y = (vì y ) ( Khi vật thể tròn xoay tạo thành V = − y ( ) Ví dụ 15: Cho H hình phẳng giới hạn ) 32 − y dy = 15 cung tròn y có bán kính R = 2, đường cong y = − x trục hoành (miền tơ đậm hình vẽ) Tính thể tích V khối tạo thành cho hình H quay quanh trục Ox f ( x) = x ( ) O -2 ( ) Lời giải: Ta có C : x + y2 = y = − x ; V = −2 ( − x2 ) dx + ( 4−x x ) dx = 403 Ví dụ 16: Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = sin x , hai trục tọa độ x = quanh trục hoành Đường thẳng x = k k cắt đồ thị hàm số điểm M trục ( ) hồnh điểm N (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMN quanh trục Ox 12 V , tìm giá trị k Biết V = k Lời giải: Ta có V = sin xdx = 2 Khi quay tam giác OMN quanh trục Ox ta khối nón tròn xoay có bán kính đáy ( ) sin k chiều cao k ( Vì điểm M k; sin k ) Do V1 = Theo giả thiết V = k.sin k 12 12 1 V1 2 = k.sin k sin k = k = k k “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Page | 126 Toán | Thầy Thơng Đình Đình C Câu 1: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ( ) ( ) Diện tích hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số y = f x , trục hoành hai ( ) đường thẳng x = a , x = b a b (phần tơ đậm hình vẽ) tính theo cơng thức: b c ( ) Ⓐ S = f x dx a b Câu 2: c f x dx a ( ) a ( ) Ⓒ S= b ( ) Ⓑ S = − f x dx + f x dx c ( ) b ( ) Ⓓ S = f x dx + f x dx ( ) Cho hàm số y = f x liên tục ( ) a c có đồ thị C đường cong hình vẽ bên ( ) Diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị C hai đường thẳng x = , x = (phần tô đen) () () Ⓐ S = f x dx − f x dx 1 () Ⓑ S= () Câu 3: 2 Ⓒ S = − f x dx + f x dx f ( x ) dx () Ⓓ S = f x dx Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = xe x , trục hoành hai đường thẳng x = −2 ; x = có cơng thức tính Ⓐ S= x xe dx Ⓑ S= −2 Câu 4: xe x dx Ⓒ S= −2 xe x dx Ⓓ S = xe x dx −2 −2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + , trục hoành đường thẳng x = , x = Ⓐ Câu 5: Ⓑ 23 Ⓓ 32 Ⓒ 25 3 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành Ox , đường thẳng x = , x = “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Page | 127 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình Ⓐ S=7 Ⓑ S=8 Câu 6: Ⓑ Ⓐ Ⓒ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số Ⓐ 34 Câu 8: Ⓓ S =8 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos x , trục tung, trục hoành đường thẳng x = Câu 7: Ⓒ S =7 Ⓑ 18 Ⓓ y = x − 2x y = − x + x Ⓒ 17 Ⓓ9 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + y = x Xác định mệnh đề 3 Ⓐ S = x − x + dx ( Câu 9: ) ) Ⓒ S = x + − x dx ( Ⓑ S = x − x + dx Ⓓ S = x + x + dx ( ) ( ) Cắt vật thể bới hai mặt phẳng P Q vng góc với trục Ox x =a ( a b ) Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox điểm x ( a x b ) cắt theo thiết diện có diện tích S ( x ) Giả sử S ( x ) liên tục đoạn a; b Khi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) tích x =b b ( ) Ⓐ V = S x dx a b ( ) Ⓑ V = π S x dx a b b ( ) Ⓒ V = S x dx ( ) Ⓓ V = π S x dx a a ( ) ( ) Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho vật thể giới hạn hai mặt phẳng P , Q vng góc với trục Ox hồnh độ x, x = a, ( ) x = b a b Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox điểm có ( a x b ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S ( x ) với ( ) y = S x hàm số liên tục a; b Thể tích V thể tích tính theo cơng thức z S(x) y O x a b ( ) Ⓐ V = S x dx a b ( ) Ⓑ V = π S x dx a x b b b ( ) Ⓒ V = π S x dx ( ) Ⓓ V = S x dx a a y = − x + x − , trục hoành hai đường thẳng ( ) x = 1, x = Quay ( H ) xung quanh trục hoành khối tròn xoay tích Câu 11: Cho hình phẳng H giới hạn đồ thị hàm số Ⓐ V = x − x + dx “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Ⓑ V = x − x + dx Page | 128 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình ( ) Ⓒ V = x − x + dx Ⓓ V = x − x + dx ( ) Câu 12: Cho hình phẳng H giới hạn đường y = x , x = , x = trục hồnh Tính thể tích V khối tròn xoay sinh hình ( H ) quay quanh trục Ox Ⓐ π Ⓑ π Ⓒ π ( ) Ⓓ π Câu 13: Cho hàm số y = f x liên tục đoạn a; b Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị ( ) hàm số y = f x , trục hoành hai đường thẳng x = a, x =b ( a b ) Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b b ( ) Ⓐ V = f x dx a b ( ) ( ) Ⓑ V = f x dx Ⓒ V = f x dx a ( ) a b ( ) Ⓓ V = 2 f x dx a Câu 14: Cho hàm số y = f x có đồ thị hình vẽ y −3 O x Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành là: Ⓐ S= ( ) f x dx Ⓑ S= −3 Ⓒ S= ( ) ( ) f x dx + f x dx Ⓓ S= Ⓐ S = 31 Ⓑ S = 49 ( ) ( ) −3 Câu 15: Diện tích S hình phẳng giới hạn đường Câu 16: Diện tích S ( ) −3 −3 ( ) f x dx − f x dx ( ) f x dx + f x dx y = x + 2x + , trục hoành, x = x = là: Ⓒ S = 21 Ⓓ S = 39 4 hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − , đường thẳng x = , trục tung trục hoành Ⓐ S=9 Ⓑ S =4 Câu 17: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số thẳng x = −2 , x = Ⓐ S = 22 Ⓑ S = 36 Ⓓ S=7 Ⓒ S = 2 y = x − x , trục hoành hai đường Ⓒ S = 44 Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x; Ⓓ S =8 y = x2 ; y = miền x 0; y Ⓐ 27 Ⓑ 11 12 Ⓒ 12 Câu 19: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Ⓓ 12 y = x − x y = x − x Page | 129 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình Ⓐ S=9 Ⓑ S=4 Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn đường 12 3 y = x y = x Ⓒ Ⓑ Ⓐ Ⓓ S = 37 Ⓒ S=7 Ⓓ Câu 21: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − 2x , đường thẳng y = x − x −1 đường thẳng x = m , x = 2m ( m ) Giá trị Ⓐ m =5 Ⓑ m = m cho S = ln3 Ⓒ m = Ⓓ m=3 Câu 22: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 3x2 , y = x + hai đường thẳng x = −1 x = Ⓑ S = 269 Ⓐ S = 27 27 Ⓓ S = 256 Ⓒ S = 27 Câu 23: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành đường thẳng y = x − Ⓐ S = 16 Ⓑ S = 10 3 Ⓓ S = 17 Ⓒ S = ( ) ( ) Câu 24: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị P : y = x − x + tiếp tuyến P ( ) ( ) A 1;2 B 4;5 Ⓐ Ⓑ 4 Ⓒ Ⓓ ( ) Câu 25: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f x trục hoành Ⓐ S= −2 f ( x ) dx − f ( x ) dx ( ) Ⓒ S = f x dx − f ( x ) dx −2 Ⓑ S= Ⓓ −2 f ( x ) dx + f ( x ) dx f ( x ) dx −2 Câu 26: Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x = x = Cắt phần vật x ta thiết 3 diện tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng 2x cos x Thể tích vật thể B bằng: thể B mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ “Học tập điên giữ nguyên cũ ” x Page | 130 Toán | Thầy Thơng Đình Đình 3 + Ⓐ 3 − Ⓑ ( ) Câu 27: Xét vật thể T 3 − Ⓒ 3 Ⓓ nằm hai mặt phẳng x = −1 x = Biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ ( ) có cạnh − x Thể tích vật thể T Ⓐ 16 ( −1 x 1) hình vng Ⓑ 16 x Ⓓ Ⓒ 3 x Câu 28: Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = xe , y = , x = , x = xung quanh trục Ox ( ) Ⓐ V = e−2 Ⓒ V = 9 Ⓑ V = e −2 Ⓓ V = 2e Câu 29: Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = sin x , trục hoành đường thẳng x = , x = xung quanh trục Ox Ⓐ V = 2 Ⓓ V = Ⓒ V = Ⓑ V = 2 2 Câu 30: Cho hình phẳng giới hạn đường y = x − , y = , x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành Ⓐ V = 2 Ⓑ V = 7 Ⓓ V =7 Ⓒ V = 5 6 Câu 31: Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x trục hoành quanh trục hoành Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 30 Câu 32: Thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng giới hạn 15 y = − x2 , y = quanh trục Ox V = aπ với a , b số nguyên Khi a + b Ⓐ 11 b Ⓑ 17 Ⓒ 31 Ⓓ 25 Câu 33: Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung tròn có phương trình y = − x (− ) x trục hồnh Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox Ⓐ V = 8 − 2 “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Ⓑ V = 8 + 22 Ⓒ V = 8 − 22 Ⓓ V = 4 + 22 Page | 131 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình ( ) Câu 34: Gọi H hình phẳng giới hạn parabol y = x đường thẳng y = x Tính thể tích khối ( ) tròn xoay tạo thành quay hình H xung quanh trục hoành Ⓐ 64 Ⓑ 16 15 Ⓒ 20 15 Ⓓ 4 3 Câu 35: Tìm cơng thức tính thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol P : y = x đường thẳng d : y = 2x quay xung quanh trục Ox ( ) ( Ⓐ x − 2x ( ) Câu 36: Cho H ) 2 2 2 0 0 ( ) Ⓑ 4x dx − x dx Ⓒ 4x dx + x dx Ⓓ 2x − x dx dx hình phẳng giới hạn Parabol y = 2x − nửa đường tròn có phương trình y = − x (với − x ) (phần tơ đậm hình vẽ) ( ) Diện tích H Ⓐ 3 − 6 Câu 37: Cho hàm số ( ) Ⓒ 3 + Ⓑ 3 + 10 Ⓓ 3 + 10 y = x − mx ( m ) có đồ thị ( C ) Gọi S1 + S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi C , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = (phần tô đậm hình vẽ bên dưới) Giá trị của m cho S1 = S2 là Ⓑ m = 10 Ⓐ m =3 Ⓒ m = ( ) Ⓓ m=8 ( ) Câu 38: Cho parabol P : y = x hai điểm A , B thuộc P cho AB = Tìm giá trị lớn ( ) diện tích hình phẳng giới hạn parabol P đường thẳng AB “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Page | 132 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình Ⓑ Ⓐ Ⓒ 3 Ⓓ Câu 39: Cho hình phẳng D giới hạn parabol y = − x + x , cung tròn có phương trình y = 16 − x 2 , với ( x ), trục tung (phần tô đậm hình vẽ) Tính diện tích hình D Ⓐ 8 − 16 Ⓑ 2 − 16 3 Ⓒ 4 + 16 Ⓓ 4 − 16 Câu 40: Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng y = x , a Khi a + b b Ⓒ 33 Ⓓ 66 y = x đồ thị hàm số y = x phân số tối giản Ⓐ 62 Ⓑ 67 Câu 41: Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn (C ) : x + ( y − ) 2 = xung quanh trục hoành Ⓐ V = 6 ( ) Câu 42: Gọi H Ⓑ V = 6 Ⓒ V = 3 Ⓓ V = 6 hình giới hạn nhánh parabol y = 2x (với x ), đường thẳng y = − x + ( ) trục hồnh Thể tích khối tròn xoay tạo hình H quay quanh trục Ox ⒶV= 52 15 ⒷV= 17 ⒸV= 51 17 ⒹV= 53 17 Câu 43: Cho nửa hình tròn đường kính AB = cm Trên người ta vẽ parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn, trục đối xứng đường kính vng góc với AB Parabol cắt nửa đường tròn hai điểm cách cm khoảng cách từ hai điểm đến AB cm Sau người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn đường tròn parabol Đem phần lại quay xung quanh trục AB Thể tích khối tròn xoay thu (800 − 928) cm Ⓒ V = ( 800 − 928 ) cm ⒶV= 3 “Học tập điên giữ nguyên cũ ” (800 − 928 ) cm 15 ⒹV= (800 − 464 ) cm 15 ⒷV= 3 Page | 133 Toán | Thầy Thơng Đình Đình ( ) Câu 44: Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD có cạnh hình tròn C có tâm A , đường kính 12 (hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục đường thẳng AC B C A D ) ( Ⓒ V = 36 (6 + ) ) ( Ⓓ V = 36 ( − ) Ⓐ V = 36 12 + Ⓑ V = 36 + Câu 45: Gọi (H) hình phẳng giới hạn nhánh parabol y = 2x (với x ), đường thẳng y = − x + trục hoành Thể tích V khối tròn xoay tạo hình (H) quay quanh trục Ox ⒶV= 17 ⒷV= ( ) 52 15 ⒸV= 51 17 ⒹV= ( ) 53 17 Câu 46: Cho parabol P : y = x đường thẳng d thay đổi cắt P hai điểm A , B cho ( ) AB = 2018 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn P đường thẳng d Tìm giá trị lớn Smax S Ⓐ Smax = 20183 + Ⓑ Smax = 20183 Ⓒ Smax = 20183 − Ⓓ Smax = ( ) 20183 ( ) Câu 47: Cho hàm số y = x − x + m có đồ thị C m , với m tham số thực Giả sử C m cắt trục Ox bốn điểm phân biệt hình vẽ Gọi S1 , S2 , S3 diện tích miền gạch chéo cho hình vẽ Giá trị m để S1 + S3 = S2 Ⓐ − Ⓑ Ⓒ − Ⓓ Câu 48: Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x ( ) , y = x = quanh trục Ox Đường thẳng x = a a cắt đồ thị hàm số y = x M “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Page | 134 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V = 2V1 Giá trị a thỏa mãn ) ) Ⓐ a 3;4 Ⓑ a 2;3 ) Ⓒ a 1;2 ( ) (C ) : ( x + 2) + ( y − ) Ⓓ a 0;1 Câu 49: Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình tròn 1 quanh trục Ox Ⓐ V = 2π2 (đvtt) Ⓑ V = 6π2 (đvtt) ( Ⓒ V = π (đvtt) Ⓓ V = 6π (đvtt) ) ( ) đường tròn ( O ;3 ) Gọi ( D ) hình phẳng giới hạn hai đường tròn (ở ngồi đường tròn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay ( D ) quanh trục O O ta khối tròn Câu 50: Cho hai đường tròn O1 ;5 O2 ;3 cắt hai điểm A , B cho AB đường kính 2 xoay Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành Ⓐ V = 36 ⒷV= 68 ⒸV= 14 ⒹV= 40 ( ) Câu 51: Cho hàm số y = f x liên tục đoạn a; b và đồ thị của hàm ( ) số y = f x hình vẽ Khẳng định đúng là Ⓐ Ⓑ () ( ) f (b) − f (a ) f b + f a () b−a ( ) f (b) − f (a) + (a − b) f b + f a ( () b−a ( )) (b − a) ( f (b) − f ( a )) f (b) + f ( a) f (b) − f (a) + (a − b) Ⓒ f b + f a Ⓓ “Học tập điên giữ nguyên cũ ” b−a Page | 135 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình Câu 52: ( ) ( ) Cho hàm số y = f x có đồ thị hàm số y = f x cắt trục Ox điểm có hồnh độ a b c hình vẽ Mệnh đề đúng? Câu 53: () () () f ( a) f (b) f (c ) () () () f ( c ) f ( a ) f (b ) Ⓐ f c f b f a Ⓑ f b f a f c Ⓒ Ⓓ ( ) g ( x ) = dx + ex + ( a, b, c, d, e ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt điểm có hồnh độ lần Cho hai hàm số f x = ax + bx + cx − lượt −3 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn đồ thị cho có diện tích Ⓐ Ⓑ8 Ⓒ Câu 54: ( ) g x = dx + ex + ( a , b , c , d , e ) Biết đồ thị Cho hai ( ) hàm f x = ax + bx + cx − số ( ) Ⓓ5 ( ) hàm số y = f x y = g x cắt ba điểm có hồnh độ −2 ; −1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích Ⓐ Câu 55: 37 Cho Ⓑ ( ) 13 Ⓒ hàm ( y = f x = ax + bx + cx + d , a, b, c, d , a ) Ⓓ 37 12 số có đồ thị (C ) Biết đồ thị (C ) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y = f ( x ) cho hình vẽ bên Tính diện tích S hình phẳng giới hạn ( ) đồ thị C trục hoành Ⓐ S =9 “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Ⓑ S= 27 Ⓒ S= 21 Ⓓ S= Page | 136 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình Câu 56: ( ) ( ) Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục ( ) đồ y thị f x đoạn −2;6 hình bên Khẳng định đúng? Câu 57: ( ) ( ) () () f ( −2 ) f ( ) f ( −1 ) f ( ) O x () ( ) ( ) () f ( ) f ( ) f ( −2 ) f ( −1 ) Ⓐ f −2 f −1 f f Ⓑ f f −2 f −1 f Ⓒ Ⓓ ( ) (C): y = f(x) ( ) Cho hàm số y = f x Đồ thị hàm số y = f x hình vẽ bên Đặt ( ) M = max f x , −2;6 ( ) m = f x , −2;6 T = M + m Mệnh đề () ( ) Ⓒ T = f (5 ) + f (6 ) Ⓐ T = f + f −2 Câu 58: () ( ) Ⓓ T = f (0 ) + f (2) Ⓑ T = f + f −2 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị y = f ( x ) hàm số hình ( ) ( ) Ⓐ g (1) g ( ) g ( −3 ) Ⓑ g (1) g ( −3 ) g ( ) Ⓒ g ( −3 ) g ( ) g ( −1) Ⓓ g ( ) g ( −3 ) g (1) bên Đặt g x = f x + x Mệnh đề đúng? Câu 59: ( ) ( ) Cho hàm số y = f x Đồ thị hàm số y = f x ( ) ( ) ( ) hình bên Đặt g x = f x − x + Mệnh đề đúng? () ( ) () Ⓒ g (1) g ( −3 ) g ( ) Ⓐ g g −3 g Câu 60: ( ) ( ) () () Ⓓ g (1) g ( ) g ( −3 ) Ⓑ g −3 g g () Cho hàm số y = f x Đồ thị hàm số y = f ' x hình vẽ ( ) ( ) Ⓐ h ( ) h ( ) h ( −2 ) Ⓒ h ( ) = h ( −2 ) h ( ) Đặt h x = f x − x Mệnh đề đúng? “Học tập điên giữ nguyên cũ ” () ( ) () Ⓓ h ( ) = h ( −2 ) h ( ) Ⓑ h h −2 h Page | 137 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình Câu 61: Cho hai hàm số ( ) ) Biết đồ thị hàm f x = ax + bx + cx − a, b, c, d, e số y = f ( x ) y = g( x ) cắt ba điểm có hồnh độ lần ( ( ) g x = dx + ex + lượt −3; −1;2 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích Ⓐ Câu 62: 253 12 Cho Ⓑ hai hàm 125 12 số 253 48 f x = ax + bx + cx + Ⓒ ( ) Ⓓ 125 48 Ⓓ 253 24 , ( a, b, c, d, e ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh ( ) g x = dx + ex − độ −2 ; ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 253 125 125 Ⓐ Ⓑ Ⓒ 48 24 48 D ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BẢNG ĐÁP ÁN 1B 2A 3B 4B 5A 6B 7D 8A 9C 10D 11C 12B 13A 14B 15A 16D 17C 18B 19D 20C 21C 22B 23B 24A 25A 26C 27B 28A 29D 30B 31C 32C 33D 34A 35B 36D 37D 38B 39D 40B 41D 42A 43B 44B 45B 46D 47B 48A 49B 50D 51C 52D 53C 54A 55B 56B 57B 58A 59D 60A 61C 62A “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Page | 138 Tốn | Thầy Thơng Đình Đình Note : Sản phẩm biên soạn theo chủ đề, dạng cụ thể Hi vọng đem đến cho bạn đọc bổ sung hứng thú ơn tập Trong q trình biên soạn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận thơng cảm phản hồi từ bạn đọc Nguồn : Có tham khảo đề thi thử nước mạng intenet Biên soạn : Thơng Đình Đình Face book : Thơng Đình Đình Phone : 09411.02468 “Học tập điên giữ nguyên cũ ” Page | 139