Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 124 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
124
Dung lượng
1,79 MB
Nội dung
TÍCH PHÂN CỦA HÀM ẨN BÀI TẬP DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM f = 2017 f ( ) = 2018 \ {1} f x thỏa mãn f ′ ( x ) = , ( ) , Câu 1: Cho hàm số ( ) xác định x −1 S= f ( 3) − f ( −1) Tính B S = ln C S = ln 4035 D S = A S = 1 Câu 2: Cho hàm số f ( x ) xác định \ thỏa mãn f ′ ( x ) = f ( ) = Giá trị 2x −1 2 biểu thức f ( −1) + f ( 3) A + ln15 Câu 3: Câu 4: B + ln15 C + ln15 D ln15 1 Cho hàm số f ( x) xác định \ thỏa mãn f ′( x) = , f (0) = f (1) = Giá 2x −1 2 trị biểu thức f (−1) + f (3) A + ln B + ln15 C + ln15 D ln15 Cho hàm số f ( x ) xác định thỏa mãn f ′ ( x= ) x + f (1) = Phương trình = S log x1 + log x2 f ( x ) = có hai nghiệm x1 , x2 Tính tổng A S = Câu 5: B S = C S = D S = 1 2 Cho hàm số f ( x) xác định \ thỏa = mãn f ′ ( x ) = , f ( ) f = 3x − 3 3 Giá trị biểu thức f ( −1) + f ( 3) B −2 + 5ln C + 5ln f x \ {−2; 2} Cho hàm số ( ) xác định thỏa mãn = f ′( x) A + 5ln Câu 6: f ( 3) = P = f ( −4 ) + f ( −1) + f ( ) Tính giá trị biểu thức A P= + ln B P= + ln C P= + ln 25 Câu 7: Cho hàm số f ( x ) xác định \ {−2;1} thỏa mãn f ′ ( x ) = x −4 D + 5ln f ( 0) = ;= f ( −3) ; D P= − ln ; f ( −3) − f ( 3) = x + x−2 Giá trị biểu thức f ( −4 ) + f ( −1) − f ( ) 1 A + ln B + ln 80 C + ln + ln 3 f ( ) = Câu 8: Cho hàm số f ( x ) xác định \ {−1;1} thỏa mãn f ′ ( x ) = 1 f − + 2 Câu 9: D + ln ; f ( −3) + f ( 3) = x −1 1 = P f ( 0) + f ( 4) f = Tính giá trị biểu thức 2 3 3 A P= + ln B P = + ln C P = + ln D P = ln 5 5 Cho hàm số f ( x ) xác định \ {±1} thỏa mãn f ′ ( x ) = Biết f ( −3) + f ( 3) = x −1 1 1 f − + f = Giá trị T = f ( −2 ) + f ( ) + f ( ) bằng: 2 2 https://toanmath.com/ A T= + ln 9 B T = + ln C T = + ln D T = ln Câu 10: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( ) = f ′ ( x ) + ( x + ) f ( x ) = Tính f (1) + f ( ) + f ( 3) 15 11 11 B C D 15 30 15 30 Câu 11: Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục Biết f ( x ) f ′ (= x ) 12 x + 13 f ( ) = A Khi phương trình f ( x ) = có nghiệm? A B C Câu 12: Cho hàm số f ( x ) xác định thỏa mãn f ′ ( x ) = D e x + e − x − , f ( ) = 1 f ( − ln16 ) + f ( ln ) f ln = Giá trị biểu thức S = 4 31 A S = B S = C S = D f ( ) f ( ) = 2 π Câu 13: Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm đoạn 0; , thỏa mãn f ( ) = 2 π f ( x )= f ′ ( x ) cos x + f ( x ) , ∀x ∈ 0; Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M 2 π π hàm số f ( x ) đoạn ; 6 2 21 A m = , M = 2 B m = , M = 2 , M = D m = , M = 2 C m = Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( x ) > , ∀x ∈ Biết f ( ) = f '( x) = − x Tìm giá trị thực tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai f ( x) nghiệm thực phân biệt B < m ≤ C < m < e D < m < e A m > e Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( x ) ≠ với x ∈ f ′ (= x ) ( x + 1) f ( x ) và a a f (1) = −0,5 Biết tổng f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) = ; ( a ∈ , b ∈ ) với b b tối giản Mệnh đề đúng? a 4035 A a + b =−1 B a ∈ ( −2017; 2017 ) C < −1 D b − a = b −1 Câu 16: Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ' (= Biết tổng x ) ( x + 3) f ( x ) f ( ) = a a phân số tối giản Mệnh f (1) + f ( ) + + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với a ∈ , b ∈ * b b đề sau đúng? a a A < −1 B > b b 1010 3029 C a + b = D b − a = https://toanmath.com/ f ′′ ( x ) f ( x ) − f ′ ( x ) + xf ( x ) = Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) , ∀x ≥ , thỏa mãn Tính f ′ ( ) 0;= f ( 0) = f (1) A B C D Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương ; thỏa mãn f ( ) = ) ( f ′( x) x Khi = f ( x) x +1 hiệu T f 2 − f (1) thuộc khoảng = A ( 2;3) π Câu 19: Khi ∫ ( 0; +∞ ) ; D ( 9;12 ) C ( 0;1) B ( 7;9 ) f ( tan t ) dt = ∫ f ( x ) dx Vậy cos 2t ∫ f ( x ) dx = Cho hàm số y = f ( x ) đồng biến y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( 3) = f ' ( x ) = ( x + 1) f ( x ) Mệnh đề đúng? B 2614 < f ( ) < 2615 A 2613 < f ( ) < 2614 C 2618 < f ( ) < 2619 D 2616 < f ( ) < 2617 Câu 20: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0;+ ∞ ) thỏa mãn f (1) = , f ( x) = f ′ ( x ) x + , với x > Mệnh đề sau đúng? A < f ( ) < B < f ( ) < C < f ( ) < D < f ( ) < f ( x) 15 x + 12 x , f ′ ( x ) + f ( x ) f ′′ ( x ) = ′ ( ) Giá trị f (1) = f ( ) f= Câu 21: Cho hàm số A thỏa mãn B ∀x ∈ C 10 Câu 22: Cho hàm số f ( x ) liên tục thỏa mãn hàm hàm số f ( x ) tập là: ∫ ( D ) f x +1 = dx x +1 ( x +1 + x+5 ) + C Nguyên + A x+3 +C ( x2 + 4) B x+3 +C x2 + C 2x + +C ( x + 1) D 2x + +C ( x + 1) DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN Câu 23: Cho 2 ∫ f ( x ) dx = 10 Kết ∫ 2 − f ( x ) dx A 34 Câu 24: Cho hàm số F ( 0) = f ( x) Tính A F ( ) = −6 https://toanmath.com/ B 36 liên tục F (9) F ( x) bằng: C 40 nguyên hàm f ( x) D 32 , biết ∫ f ( x ) dx = B F ( ) = C F ( ) = 12 D F ( ) = −12 2 f ( x ) dx ∫= I = Câu 25: Cho A ∫ f ( x ) dx = 10 Câu 26: Cho A I = B I = 15 ∫ g ( x ) dx = 16 Câu 27: Giả sử A I = 26 ∫ Câu 28: Nếu A −2 , ∫ Tính B I = 58 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = C I = −5 D I = 10 = I ∫ f ( x ) + g ( x) dx Khi đó, bằng: C I = 143 D I = 122 ∫ f ( x ) dx B Câu 29: Cho A f ( x ) dx = −1 D ∫ g ( x ) dx = =I ∫ 3 f ( x ) − g ( x ) dx ∫ f ( x ) dx = 37 f ( x ) dx = bằng: C ∫ 4 f ( x ) − 3 dx = J Khi B C D −2 B −3 ∫ f ( x ) dx Giá trị C −1 Câu 30: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 0;10] D 10 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = ∫ = P 10 f ( x ) d x + ∫ f ( x ) dx A P = B P = −4 C P = Câu 31: Cho Tính ∫ f ( x ) dx = D P = 10 2 , ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ( x ) dx = ? A B Câu 32: Cho hàm số f ( x ) liên tục có ∫ f ( x ) dx = ; ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx Câu 33: Cho ∫ −1 A I = 11 B I = ∫ f ( x ) dx = −2 ; C I = ; B ∫ f ( x ) dx = Mệnh đề sau sai? D 10 ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = −5 f ( x) −2 ∫ 4 f ( x ) − g ( x ) dx = có f ′( x) liên tục đoạn 3 [ −1;3] , f ( −1) = https://toanmath.com/ ∫ f ′( x) dx = 10 giá trị −1 f ( 3) A −13 17 D I = ∫ f ( x ) dx = Câu 35: Cho hàm số −1 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = C Tính I= ∫ x + f ( x ) + 3g ( x ) dx A Câu 34: Biết −1 D I = 2 ∫ g ( x ) dx = −1 C I = 36 B I = 12 f ( x ) dx = 3 A I = D C B −7 C 13 D ∫ f ( x ) dx = Câu 36: Cho A Tính ∫ ( f ( x ) + 1) dx ? B C D Câu 37: Cho y = f ( x ) , y = g ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục [ 0; 2] 2 0 ∫0 g ( x ) f ′ ( x ) dx = ′ Tính tích phân I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx ∫ g ′ ( x ) f ( x ) dx = , B I = A I = −1 C I = Câu 38: Cho hai tích phân ∫ f ( x ) dx = −2 ∫ g ( x ) dx = B I = 13 A I = −11 D I = −2 5 Tính I = C I = 27 ∫ f ( x ) − g ( x ) − 1 dx −2 D I = Câu 39: Cho hàm số f ( x ) = x − x3 + x − x + , ∀x ∈ Tính ∫ f ( x ) f ′ ( x ) dx A C − B Câu 40: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn D −2 f ( x ) dx = 10 ∫ ∫ f ( x ) dx = Tính 2 giá trị biểu= thức P ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx A P = ` B P = 16 C P = Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [0; 1] có D P = 10 1 Tính ∫ f ( x ) dx ∫ 3 − f ( x ) dx = 0 A −1 B D −2 C Câu 42: Cho hai hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục đoạn [0; 1], có ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân = I ∫ g ( x ) dx = −2 ∫ f ( x ) − 3g ( x ) dx A −10 B 10 D −2 C Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = ln x + x + Tính tích phân I = ∫ f ' ( x ) dx ( ) B.= I ln + A I = ln C I = ln D I = ln Câu 44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [1; ln3] thỏa mãn f (1) = e , ln ∫ f ' ( x ) dx= − e Tính I = f ( ln 3) A I = − 2e B I = C I = −9 D.= I 2e − Câu 45: Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn 1 0 ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx = , ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = A I = −2 https://toanmath.com/ B I = −1 Tính I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx / C I = D I = x2 ∫ f ( t ) dt = x.cos π x Tính f ( ) Câu 46: Cho hàm số f ( x ) liên tục ( 0; +∞ ) thỏa B f ( ) = A f ( ) = 123 Câu 47: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x) ∫ C f ( ) = D f ( ) = t dt = x.cos π x Tính f ( ) A f ( ) = C f ( ) = B f ( ) = −1 D f ( ) = 12 π x Câu 48: Cho hàm số = G ( x) ∫ t.cos ( x − t ) dt Tính G ' π B G ' = 2 π A G ' = −1 2 π C G ' = 2 π D G ' = 2 x2 Câu 49: Cho hàm số G ( x ) = ∫ cos t dt ( x > ) Tính G ' ( x ) A G ' ( x ) = x cos x x Câu 50: Cho hàm số G (= x) ∫ D G = ' ( x ) cos x − B G ' ( x ) = x.cos x C G ' ( x ) = cos x + t dt Tính G ' ( x ) A x 1+ x B + x Câu 51: Cho hàm số F ( x ) = x ∫ sin t dt C 1+ x D ( x + 1) x + ( x > ) Tính F ' ( x ) A sin x B sin x x C 2sin x x D sin x x Câu 52: Tính đạo hàm f ( x ) , biết f ( x ) thỏa ∫ t.e f (t ) dt = e f ( x ) A f ' ( x ) = x Câu 53: Cho hàm số C f ' ( x ) = B f ' ( x= ) x2 + y = f ( x) 0; + ∞ ) liên tục [ x D f ' ( x ) = x2 ∫ f ( t ) dt = x.sin (π x ) Tính 1− x f ( 4) A f (π ) = π −1 Câu 54: Cho hàm số B f (π ) = f ( x) π liên tục khoảng C f (π ) = ( −2; 3) Gọi F ( x) π D f (π ) = nguyên hàm = I −2; 3) khoảng ( Tính B I = 10 A I = Câu 55: Cho ∫ A I = 11 2 , biết f ( x ) dx = −1 ∫ f ( x ) + x dx −1 ∫ g ( x ) dx = −1 −1 B I = 2 F =4 F ( −1) = ( ) I = C D I = Tính I= ∫ x + f ( x ) − 3g ( x ) dx −1 C I = 17 −3 ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫1 3 f ( x ) + g ( x ) dx = Câu 56: Cho , Khi đó, https://toanmath.com/ D I = 2 ∫ f ( x ) dx f ( x) 16 11 B − C D 7 7 Câu 57: Cho f ( x ) , g ( x ) hai hàm số liên tục đoạn [ −1;1] f ( x ) hàm số chẵn, g ( x ) A hàm số lẻ Biết ∫ f ( x ) dx = ; ∫ g ( x ) dx = Mệnh đề sau sai? 0 A ∫ f ( x ) dx = 10 B C 10 ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = −1 −1 1 10 ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = D −1 ∫ g ( x ) dx = 14 −1 Câu 58: Cho f ( x ) , g ( x ) hai hàm số liên tục đoạn [ −1;1] f ( x ) hàm số chẵn, g ( x ) hàm số lẻ Biết ∫ f ( x ) dx = ; ∫ g ( x ) dx = Mệnh đề sau sai? 0 A ∫ f ( x ) dx = 10 B C 10 ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = −1 −1 1 10 ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = D 10 ∫ f ( z ) dz = 17 Câu 59: Nếu A −15 ∫ 10 f ( t ) dt = 12 ∫ −3 f ( x ) dx C 15 B 29 Câu 60: Cho −1 A 11 , −1 D 7 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ g ( x ) dx = 14 −1 −1 Giá trị ∫ f ( z ) dz B D C Câu 61: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, dương [ 0;3] thỏa mãn I = f ( x ) dx ∫= Khi ∫ (e giá trị tích= phân K 1+ ln ( f ( x ) ) ) + dx là: A + 12e B 12 + 4e C 3e + 14 Câu 62: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm thỏa D 14 + 3e ′ ( ) 1; f ( ) f= = ) f ( x ) + f ( y ) + 3xy ( x + y ) − 1, ∀x,y ∈ f ( x + y = Tính ∫ f ( x − 1)dx A B − Câu 63: Cho hàm số f ( x ) hàm bậc thỏa mãn C D 10 f (1) − f ( ) = ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = https://toanmath.com/ B I = C I = −12 D I = −8 Câu 64: Cho hàm số f ( x) xác định \ {0} , thỏa mãn f ′ ( x ) = f =a f −2 = b , ( ) ( ) x +x f −1 + f ( ) Tính ( ) A f ( −1) + f ( ) =−a − b B f ( −1) + f ( ) = a − b C f ( −1) + f ( ) = a + b D f ( −1) + f ( ) = b − a Câu 65: Cho hàm số f ( x) xác định \ {0} thỏa mãn f ′ ( x ) = f = a f ( −2 ) = b , ( ) , x +x f −1 − f ( ) Giá trị biểu thức ( ) A b − a B a + b C a − b D −a − b Câu 66: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục thỏa mãn đồng thời điều kiện f ( x ) > Tính giá trị f ( ln ) 2 C f ( ln ) = D f ( ln ) = 3 định liên tục thỏa mãn đồng thời , ∀x ∈ ; f ′ ( x ) = −e x f ( x ) , ∀x ∈ f ( ) = 2 B f ( ln ) = − 9 Câu 67: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) , xác A f ( ln ) = , f ′( x) điều kiện f ( x ) > ∀x ∈ = ( x f ( x ) ) , ∀x ∈ f ( ) = Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị ( C ) A = B y = C.= y x + 30 y 36 x − 30 −6 x + 30 Câu 68: Cho hàm số= y f ( x ) > xác định, có đạo hàm đoạn x g ( x ) = + 2018∫ f ( t ) dt , g ( x ) = f ( x ) Tính ∫ g ( x ) dx 2019 D 505 −1;1] y = f ( x) f x > 0, ∀x ∈ Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [ , thỏa mãn ( ) f ' x + f ( x) = f =1 f −1 ( ) Biết ( ) , tính ( ) A f ( −1) = B f ( −1) = C f ( −1) = D f ( −1) = e3 e −2 e4 A 1011 B 1009 D y = −36 x + 42 [0;1] thỏa mãn: C Câu 70: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ′ ( ) = = T f (1) − f ( ) f ′′ ( x ) + f ′ ( x ) − x = Tính D T= − ln + ln f ' x f x= x + x f ( 2) y = f ( x) f =2 Câu 71: Cho hàm số thỏa mãn ( ) ( ) Biết ( ) Tính 313 332 324 323 A f ( ) = B f ( ) = C f ( ) = D f ( ) = 15 15 15 15 Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến [1; 4] thỏa mãn A T= + ln B T = C T= x += xf ( x ) f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1; 4= ] , f (1) Giá trị f ( ) bằng: 361 381 371 391 B C D A 18 18 18 18 y = f ( x) f ′( x) 0; +∞ ) Câu 73: Cho hàm số có liên tục nửa khoảng [ thỏa mãn f ( x ) + f ′ ( x ) =+ 3.e −2 x https://toanmath.com/ Khi đó: A e3 f (1) − f ( )= C e f (1) − f ( ) e +3 ( e + 3) = − e2 + − B e3 f (1) − f ( 0= ) 1 − e +3 D e3 f (1) − f ( )= (e 2 + 3) e + − Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f ( x ) > −1 , f ( ) = thỏa f ′ ( x ) = x + x f ( x ) + Tính f ( 3) A B C D f ( ) = − Biết a a tổng f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với ( a ∈ , b ∈ * ) phân số b b tối giản Mệnh đề sau đúng? a a 1010 3029 A < −1 B > C a + b = D b − a = b b ax + b Câu 76: Biết có hai số a b để F ( x ) = ( 4a − b ≠ ) nguyên hàm hàm số f ( x ) x+4 thỏa mãn: f= ( x ) F ( x ) − 1 f ′ ( x ) Câu 75: Cho hàm số f ( x ) ≠ thỏa mãn điều kiện f ′ (= x) ( x + 3) f ( x ) Khẳng định đầy đủ nhất? A a = , b = B a = , b = −1 C a = , b ∈ \ {4} D a ∈ , b ∈ f (1) = y = f ( x) 1; Câu 77: Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ ] thỏa mãn f ( x= ) xf ′ ( x ) − x − 3x Tính f ( ) B 20 C 10 D 15 A x π π Câu 78: Cho f ( x ) = − ; F ( x ) nguyên hàm xf ′ ( x ) thỏa mãn cos x 2 π π F ( ) = Biết a ∈ − ; thỏa mãn tan a = Tính F ( a ) − 10a + 3a 2 1 A − ln10 B − ln10 C ln10 D ln10 2 Câu 79: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f ( x ) > , ∀x ∈ , f ′ ( x ) = −e x f ( x ) ∀x ∈ f ( ) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 = ln A x + y − ln − = B x − y − ln + = 0 C x − y + ln − = D x + y + ln − = 0 Câu 80: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] , f ( x ) f ′ ( x ) nhận giá trị 1 dương đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = , ∫ f ′ ( x ) f ( x ) + 1 dx = ∫ f ′ ( x ) f ( x ) dx 0 Tính ∫ f ( x ) dx A 15 https://toanmath.com/ B 15 C 17 D 19 Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f = ( x) f '( x) x f ( x) + f (0) = Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x) [1;3] A 22 B 11 + C 20 + Câu 82: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đồng biến ( x )) ( f ′= e f ( x ) , ∀x ∈ Tính tích phân x D 11 + thỏa mãn f ( ) = ∫ f ( x ) dx B e − C e − D e − y = f ( x) \ {0} Câu 83: Cho hàm số xác định liên tục thỏa 2 x f ( x ) + ( x − 1) f ( x= ) xf ′ ( x ) − với ∀x ∈ \ {0} f (1) = −2 Tính f ( x ) dx ∫ A e − mãn 1 A − − ln Câu 84: Cho hàm số ln B − − ln C −1 − 2 y = f ( x ) Có đạo hàm liên tục ln D − − 2 Biết f (1) = e ( x + ) f ( x ) =xf ′ ( x ) − x3 , ∀x ∈ Tính f ( ) A 4e − 4e + B 4e − 2e + C 2e3 − 2e + D 4e + 4e − Câu 85: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = Biết ∫ f ( x ) dx = A π ∫ f ′ ( x ) cos πx B π dx = 3π Tích phân C π ∫ f ( x ) dx D Câu 86: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ 0; 1] , thỏa mãn ∫= f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx = Giá trị tích phân ∫ f ( x ) π xf ( x ) dx ∫= dx B C 10 D 80 A Câu 87: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn f ( x ) > x ∈ [1, 2] Biết ∫ f ' ( x ) dx = 10 A f ( ) = −10 ( ) ∫ f ( x ) dx = ln Tính f ( ) f' x B f ( ) = 20 C f ( ) = 10 D f ( ) = −20 Câu 88: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 4;8] f ( ) ≠ với ∀x ∈ [ 4;8] Biết f ′ ( x ) 1 ∫ Tính f ( ) f ( 4) = , f (8) dx = và= 4 f x ( ) 2 B C D 8 Câu 89: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn điều A kiện f ′ ( ) = −1 f ′ ( x ) = f ′′ ( x ) Đặt= T f (1) − f ( ) , chọn khẳng định đúng? A −2 ≤ T < −1 B −1 ≤ T < C ≤ T < D ≤ T < https://toanmath.com/ Đặt u= f ( x ) ⇒ du= f ' ( x ) dx , dv = e x dx chọn v = e x ⇒ = A1 e x f ( x ) − ∫ e x f ' ( x ) dx 0 A2 Vậy A =e x f ( x ) − A2 + A2 =e x f ( x ) =e f (1) − f ( ) =e − 1 0 a = ⇒ ⇒ a 2018 + b 2018 = + = b = − Chọn D Câu 197 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 e 2018 x với x ∈ f ( ) = 2018 Tính giá trị f (1) A f (1) = 2019e 2018 B f (1) = 2018.e −2018 C f (1) = 2018.e 2018 D f (1) = 2017.e 2018 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 e 2018 x ⇔ ⇔∫ f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = 2018.x 2017 2018 x e f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) 2017 d x = ∫0 2018.x dx (1) e 2018 x Xets I = ∫ f ′ ( x ) − 2018 f ( x ) = dx e 2018 x ∫ f ′ ( x ) e −2018 x dx − ∫ 2018 f ( x ) e −2018 x dx = u f ( x ) = du f ′ ( x ) dx ⇒ Xét I1 = ∫ 2018 f ( x ) e −2018 x dx Đặt −2018 x −2018 x d 2018.e d e v x v = = − Do đó= I1 f ( x ) ( −e −2018 x ) 1 + ∫ f ′ ( x ) e −2018 x dx ⇒ = I f (1) e −2018 x − 2018 Khi (1) ⇔ f (1) e −2018 x 2019.e 2018 − 2018 = x 2018 10 ⇒ f (1) = Câu 198 Cho hàm số y = f ( x ) với f= ae + b Tính ( ) f= (1) Biết rằng: ∫ e x f ( x ) + f ′ ( x ) dx = = Q a +b Q 22017 + A.= 2017 2017 B Q = C Q = Hướng dẫn giải Q 22017 − D.= Chọn C = u f ( x ) = du f ′ ( x ) dx ⇒ Đặt x = dx v e x dv e= 1 0 x x x x dx ef (1) − f ( )= e − ∫ e f ( x ) + f ′ ( x ) dx =e f ( x ) − ∫ e f ′ ( x ) dx + ∫ e f ′ ( x )= Do a = , b = −1 2017 Q a 2017 + b 2017 Suy ra= = 12017 + ( −1) = Vậy Q = https://toanmath.com/ Câu 199 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;5] f ( ) = 10 , 45T T T 45T ∫ xf ′ ( x ) dx = 30 ∫ f ( x ) dx Tính B −30 A 20 45T T T 45T C −20 Hướng dẫn giải 45T T D 70 T T T Chọn A u =x ⇒ du =dx Đặt = ⇒ v f ( x) dv f ′ ( x ) dx= 5 0 ( x f ( x ) ) − ∫ f ( x ) dx ⇔ 30= f ( 5) − ∫ f ( x ) dx f ′ ( x ) dx ∫ x= 0 ⇔ ∫ f ( x ) d= x f ( ) − 30 = 20 Câu 200 Cho hai hàm số liên tục f g có nguyên hàm F G đoạn [1; 2] Biết 67 F (1) = , F ( ) = , G (1) = , G ( ) = ∫ f ( x ) G ( x ) dx = Tính 12 11 11 145 A B − C − 12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A u = F ( x ) du = f ( x ) dx Đặt ⇒ dv = g ( x ) dx v = G ( x ) ( x ) g ( x ) dx ∫ F= ∫ F ( x ) g ( x ) dx D 2 1 145 12 ( F ( x ) G ( x ) ) − ∫ f ( x ) G ( x ) dx = F ( ) G ( ) − F (1) G (1) − ∫ f ( x ) G ( x ) dx 67 11 = 4.2 − − = 12 12 Câu 201 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn f (1) Giá ∫ x f ′ ( x ) − 2 dx = trị I = ∫ f ( x ) dx A −2 C −1 Hướng dẫn giải B Chọn C Ta có x ) − dx ∫ x f ′ (= = ∫ xd f ( x ) − x Theo đề 1 ∫ x f ′ ( x ) dx − ∫ xdx 0 1 0 = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx −= f (1) − I − f (1) ⇒ I =−1 ∫ x f ′ ( x ) − 2 dx = https://toanmath.com/ D Câu 202 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [1; 2] theo a b = f ( ) A b − a B a − b 2 1 a Tính ∫ f ( x ) dx ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = D −a − b C a + b Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u = x − ⇒ du = dx ; dv = f ′ ( x ) dx chọn v = f ( x ) 2 ( x − 1) f ( x ) − ∫ f ( x= ) dx ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = 1 Ta có 2 1 b a f ( ) − ∫ f ( x ) dx= b − ∫ f ( x ) a ⇔ b − ∫ f ( x ) dx = a ⇔ ∫ f ( x ) dx = b−a ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = Câu 203 Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( ) = 16 , ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( x ) dx A I = 13 B I = 12 C I = 20 Hướng dẫn giải D I = Chọn D du = dx u = x Đặt ⇒ dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) 1 1 1 1 Khi đó, I = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( ) − ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx 20 20 20 Đặt t = x ⇒ dt = 2dx Với x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = Suy I = − ∫ f ( t ) dt = − = 40 Câu 204 Cho y = f ( x ) hàm số chẵn, liên tục biết đồ thị hàm số y = f ( x ) qua điểm M − ; ∫ f ( t ) dt = , tính I = 0 ∫π sin x f ′ ( sin x ) dx − A I = 10 B I = −2 C I = Hướng dẫn giải Chọn B Xét tích phân I = sin x f ′ ( sin x ) dx ∫= − π ∫π 2sin x f ′ ( sin x ) cos xdx − π x =− ⇒ t =− Đặt: t= sin x ⇒ dt= cos xdx Đổi cận: x = ⇒ t = 0 ⇒I= ∫ t f ′ ( t ) dt − https://toanmath.com/ D I = −1 = t u 2= du 2dt ⇒ Đăt: ′ ( t ) dt v f ( t ) = dv f= 1 − ∫ f ( t ) d t = f − − ∫ f ( t ) dt − −1 −2 Đồ thị hàm số y = f ( x ) qua điểm M − ; ⇒ ⇒ I = 2t f ( t ) 0 Hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn, liên tục ⇒ 1 f − = 2 f ( t ) dt ∫= f ( t ) dt ∫ = f ( x ) dx ∫= − − 2.3 = −2 Vậy I = π π 2 Câu 205 Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn ∫ sin x f ( x ) dx = f ( ) = Tính I = ∫ cos x f ′ ( x ) dx 0 B I = A I = C I = Hướng dẫn giải D I = −1 Chọn C u= f ( x ) ⇒ du= f ′( x)dx Đặt dv =sin xdx ⇒ v =− cos x π π π 2 ⇒ ∫ sin x f ( x ) dx = ( − cos x f ( x ) ) + ∫ cos x f ′ ( x ) dx 0 π π 2 = x f ′ ( x ) dx ⇒I= ∫ cos π ∫ sin x f ( x ) dx + cos x f ( x ) 02 = − = Câu 206 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = x sin x Tính π I= ∫π f ( x ) dx ? − A 2019 B 2018 1009 Hướng dẫn giải C D 2019 Chọn D Ta có π π 2 ∫ ( f ( − x ) + 2018 f ( x ) )dx =∫ x sin xdx − ⇔ π − π π π π 2 ∫π f ( − x ) dx + 2018 ∫π f ( x ) dx = ∫π x sin xdx − − π + Xét P = ∫π x sin xdx − https://toanmath.com/ − π π ⇔ 2019 ∫ f ( x ) dx = ∫ x sin xdx (1) − π − π u = x du = 2dx ⇒ Đặt dv = sin xdx v = − cos x P= x ( − cos x ) π + sin x − π π − π = π Từ (1) suy I = ∫π f ( x ) dx = 2019 − Câu 207 Cho hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục, có đạo hàm thỏa mãn f ′ ( ) f ′ ( ) ≠ g ( x ) f ′ (= x ) x ( x − ) e x Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) dx ? B e − A −4 D − e C Hướng dẫn giải Chọn C x ) x ( x − ) e x ⇒ g ( ) = g ( ) = (vì f ′ ( ) f ′ ( ) ≠ ) Ta có g ( x ) f ′ (= 2 0 2 0 − ∫ ( x − x ) e x dx = I = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( x ) dg ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) − ∫ g ( x ) f ′ ( x ) d x = π π Câu 208 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn f = , 4 4 π f ( x) ∫ cos x dx = π π 4 ∫ sin x.tan x f ( x ) dx = Tích phân A 2+3 B ∫ sin x f ′ ( x ) dx bằng: 1+ Hướng dẫn giải D C Chọn B π x = = u sin du cos xdx ⇒ Ta có: I = ∫ sin x f ′ ( x ) dx Đặt ′ ( x ) dx v f ( x ) = dv f= π π I sin x f ( x ) − ∫ cos x f ( x = = ) dx − I1 π π π 4 ∫ (1 − cos x ) cos x dx f ( x) = ∫ sin x.tan x f ( x ) dx = ∫ sin x dx = cos x 0 π f ( x) π f ( x) d x − ∫0 cos x ∫0 cos x f ( x ) dx = − I1 2+2 ⇒ I1 = −1 ⇒ = I +1 = 2 = Câu 209 Cho hàm số f ( x ) liên tục f ( ) = 16 , A I = 12 Chọn B https://toanmath.com/ B I = 112 0 x ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ xf ′ dx C I = 28 Hướng dẫn giải D I = 144 du = dx u = x Đặt x x ⇒ ′ = v f d d v f x = 2 2 Khi 4 x x x ′ dx xf − ∫ f d= I = ∫ xf = x 128 − 2I1 với I1 = ∫ 2 2 2 0 x Đặt u = ⇒ dx =2du , I1 = ∫ x f dx 2 x f ( u ) du 2= f ( x ) dx f dx = ∫= ∫ 2 0 2 I 128 − I1 = 128 − 16 = 112 Vậy= Câu 210 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai f ′′ ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thoả mãn = f (1) f= ( ) , f ′ ( ) = 2018 Mệnh đề đúng? 1 −2018 A ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = B ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = −1 2018 C ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = D ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = 1 0 Hướng dẫn giải Chọn A = Xét I 1 0 ∫ f ′′ ( x )(1 − x ) dx = ∫ (1 − x ) d ( f ′ ( x ) ) u = − x du = −dx ⇔ Đặt v = f ′ ( x ) dv = d ( f ′ ( x ) ) ⇔I= − f ′ ( ) + f (1) − f ( ) (1 1) f ′ (1) − f ′ ( ) + f ( x ) = (1 − x ) f ′ ( x ) + ∫ f ′ ( x ) dx =− 1 = −2018 + (1 − 1) = −2018 π Câu 211 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f = , 2 π ∫ f ′ ( x ) π dx = π π ∫π cos x f ( x ) dx = Tính f ( 2018π ) A −1 Hướng dẫn giải B C D Chọn D Bằng cơng thức tích phân phần ta có π π π π cos xf ( x ) dx sin xf ( x ) π − ∫ sin xf ′ ( x ) dx Suy ∫ sin xf ′ ( x ) dx = − ∫π = π π π 2 π π − cos x π x − sin x dx = ∫π= π 2 2 Hơn ta tính = ∫ sin xdx https://toanmath.com/ π π π π Do đó: π π π 2 0 ⇔ ∫ f ′ ( x ) + sin x dx = ∫ f ′ ( x ) dx + 2∫ sin xf ′ ( x ) dx + ∫ sin xdx = 2 π Suy f ′ ( x ) = − sin x Do f = ( x ) cos x + C Vì f = nên C = 2 Ta f ( x ) = cos x ⇒ f ( 2018π ) = cos ( 2018π ) = Câu 212 Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;2] Biết f ( ) = e f ( x ) f ( − x ) = x2 − x , với x ∈ [ 0;2] Tính tích phân I = ∫ (x − 3x ) f ′ ( x ) 16 A I = − B I = − 16 C I = − Hướng dẫn giải f ( x) 14 dx D I = − 32 Chọn B e2 x Cách 1: Theo giả thiết, ta có f ( x ) f ( − x ) = ln f ( x ) f ( − x ) = ln e x +4 x −4 x f ( x ) nhận giá trị dương nên ⇔ ln f ( x ) + ln f ( − x ) = x − x Mặt khác, với x = , ta có f ( ) f ( ) = f ( ) = nên f ( ) = Xét I = ∫ (x − 3x ) f ′ ( x ) f ( x) dx , ta có = I ∫(x − 3x ) f ′( x) dx f ( x) u= x − x = du ( x − x ) dx ⇒ Đặt f ′( x) v = ln f ( x ) dv = f x dx ( ) 2 0 − ∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx (1) Suy I =( x − x ) ln f ( x ) − ∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx = −dt Khi x = → t = x = → t = Đến đây, đổi biến x= − t ⇒ dx = ( ) ) ( − ∫ 3t − 6t ln f ( − t )( −dt ) = − ∫ 3t − 6t ln f ( − t ) dt Ta có I = 2 ( ) ( ) − ∫ x − x ln f ( − x ) dx ( ) Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên I = − ∫ x − x ln f ( x ) + ln f ( − x ) dx Từ (1) ( ) ta cộng vế theo vế, ta I = ( )( ) 16 − ∫ x − x x − x dx = − Hay I = 20 Cách (Trắc nghiệm) Chọn hàm số f ( x ) = e x − x , đó: I =∫ (x − x ) e x −2 x x2 − x ( x − 2) dx = ∫ ( x3 − x ) ( x − ) dx = −16 e Câu 213 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = e2 − x ′ Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx ∫0 f ( x ) dx = ∫0 ( x + 1) e f ( x ) dx = 1 https://toanmath.com/ B I = e − A I= − e C I = Hướng dẫn giải Chọn B e x e −1 du = f ′ ( x ) dx u = f ( x ) ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx Đặt d=v ( x + 1) e dx ⇒ v = xe A Xét= D I = x x 1 − e2 = Suy A xe x f ( x ) − ∫ xe x f ′ ( x ) dx = − ∫ xe x f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ xe x f ′ ( x ) dx = 0 1 1 1 e2 − 1 Xét ∫ x e = dx e x − x + = 40 2 2x 2x Ta có 1 0 x 2x ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) + xe x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx + 2∫ xe f ′ ( x ) dx + ∫ x e dx = 2 Suy f ′ ( x ) + xe x = ∀x ∈ [ 0;1] (do ( f ′ ( x ) + xe ) ≥ ∀x ∈ [ 0;1] ) x ⇒ f ′( x) = − xe x ⇒ f ( x ) =− (1 x ) e x + C Do f (1) = nên f ( x )= 1 0 (1 − x ) e x x e−2 Vậy I = ( − x ) ex = ∫ f ( x ) dx = ∫ (1 − x ) e dx = Câu 214 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [1; 2] thỏa mãn − , ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = f ( ) = ∫ f ′ ( x ) A I = dx = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx B I = − C I = − Hướng dẫn giải 20 D I = 20 Chọn B Đặt u= f ( x ) ⇒ du= f ′ ( x ) dx , dv = Ta có − = − 1) f ( x ) dx ∫ ( x= ( x − 1) ( x − 1) 3 dx ⇒ v = 2 f ( x) − ∫ 1 ( x − 1) 3 ( x − 1) 3 f ′ ( x ) dx 1 3 ⇔ − = − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx ⇔ ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = ⇒ − ∫ 2.7 ( x − 1) f ′ ( x ) dx = −14 31 1 2 2 ⇒ ∫ f ′ ( x ) dx − ∫ 2.7 ( x − 1) f ′ ( x ) dx + ∫ 49 ( x − 1) dx = Tính ∫ 49 ( x − 1) dx = 2 ( x − 1) − Do f ( ) = ⇒ f ( x= ) 4 2 ( x − 1) f x d x Vậy I == ( ) ∫1 ∫1 − dx = − https://toanmath.com/ 1 3 ⇒ ∫ 7 ( x − 1) − f ′ ( x ) dx = ⇒ f ′( x) = ( x − 1) ⇒ f ( x= ) ( x − 1) +C 4 Câu 215 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = , ∫ f ′ ( x ) dx = A ∫ x f ( x ) dx = B Tích phân ∫ f ( x ) dx Hướng dẫn giải C D Chọn B Ta có: ∫ f ′ ( x ) dx = (1) - Tính ∫ x f ( x ) dx = du = f ′ ( x ) dx u =f ( x ) ⇒ Đặt x4 d v x d x = v = 1 1 x4 1 1 ′ x f ′ ( x ) dx = − x f x d x ⇒ = − x f x d x = f x ( ) ( ) ( ) ∫ 4 ∫0 ∫0 0 1 ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ 18∫ x f ′ ( x ) dx = −18 ( ) 0 1 1 x dx = - Lại có: ∫ x= ⇒ 81∫ x8dx = ( 3) 9 0 - Cộng vế với vế đẳng thức (1) , ( ) ( 3) ta được: 1 ⇔ π ∫ f ′ ( x ) + x dx = ⇔ ∫ f ′ ( x ) + x dx = ∫0 f ′ ( x ) + 18 x f ′ ( x ) + 81x dx = 0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm = số y f ′ ( x ) + x , trục hoành Ox , đường thẳng x = , x = quay quanh Ox −9 x ⇒ f ( x ) = ⇒ f ′ ( x ) + 9x4 = ⇒ f ′( x) = − x4 + C ∫ f ′ ( x ) dx = 14 14 Lại f (1) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = − x + 5 1 14 14 ⇒ ∫ f ( x ) dx = − x + dx = − x + x = ∫ 5 0 10 0 π π Câu 216 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 0; f = Biết 4 4 π π π π ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ′ ( x ) sin 2xdx = − A I = Chọn D https://toanmath.com/ π B I = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx C I = Hướng dẫn giải D I = π = π sin x u= 2 cos xdx du ⇒ , − Đặt = v f ( x ) v f ′ ( x ) dx d= Tính 17T T ∫ f ′ ( x ) sin 2xdx = π ∫ π π π f ′= ( x ) sin 2xdx sin 2x f ( x ) 04 − ∫ f ( x ) cos2xdx= sin π π f − sin f ( ) − ∫ f ( x ) cos2xdx 4 π = −2 ∫ f ( x ) cos2xdx π Theo đề ta có π ∫ f ′ ( x ) sin 2xdx = − π π ∫ f ( x ) cos2xdx = ⇒ π Mặt khác ta lại có ∫ cos 2 xdx = π π π 4 2 ∫ f ( x ) − cos2x dx =∫ f ( x ) − 2f ( x ) cos2x + cos x dx Do 0 f ( x ) = cos x π π π π = −2 + =0 8 8 π 8 1 Ta có I ∫= cos xdx = sin x = 4 0 Câu 217 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] f ( ) + f (1) = Biết ∫ f ( x ) dx = , 2 ∫ f ′ ( x ) cos (π x ) dx = A π B π π Tính ∫ f ( x ) dx C π D Hướng dẫn giải 3π Chọn C u = cos (π x ) du = −π sin (π x ) dx Đặt ⇒ dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) 17T Khi đó: ∫ f ′ (= x ) cos (π x ) dx cos (π x ) f ( x ) + π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx 1 0 = − ( f (1) + f ( ) ) + π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx 1 ⇒ ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = Cách 1: Ta có Tìm k cho ∫ f ( x ) − k sin (π x ) dx = 0 Ta có: 1 0 2 ∫ f ( x ) − k sin (π x ) dx = ∫ f ( x ) dx − 2k ∫ f ( x ) sin (π x ) dx + k ∫ sin (π x ) dx https://toanmath.com/ nên = k2 −k + = ⇔ k = 2 ⇒ f ( x) = sin (π x ) (do f ( x ) − sin (π x ) ≥ ∀x ∈ ) ∫ f ( x ) − sin (π x ) dx = Do 2 Vậy= ∫ f ( x ) dx sin (π x ) dx ∫= π Cách 2: Sử dụng BĐT Holder b b b ≤ f x g x x f x x g ( x ) dx d d ) ) ( ( ( ) ∫ ∫ ∫ a a a Dấu “ = ” xảy ⇔ f ( x ) = k g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] 1 Áp dụng vào ta có = ≤ f x sin π x d x f x d x sin (π x ) dx =, ) ( ) ) ( ( ∫ ∫ ∫ 0 0 suy f ( x ) = k sin (π x ) , k ∈ Mà ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = Vậy= ∫ f ( x ) dx 1 ⇔ k ∫ sin (π x ) dx = ⇔ k = ⇒ f ( x ) = sin (π x ) 2 sin (π x ) dx ∫= π Câu 218 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa f (1) = , ∫ ( f ′ ( x )) π2 π dx = ∫ cos x f ( x ) dx = Tính 2 π A B π ∫ f ( x ) dx C π Hướng dẫn giải D π Chọn D du = f ′ ( x ) dx u = f ( x ) πx Đặt πx ⇒ v sin = d v cos d x = π 2 1 π Do ∫ cos x f ( x ) dx = 2 π π π ⇔ ∫ sin x f ′ ( x ) dx = − f ( x ) − ∫ sin x f ′ ( x ) dx = ⇔ sin 2 π π 2 2 0 πx π Lại có: ∫ sin 2 1 1 x dx = 2 π π ⇒ I = ∫ − f ′ ( x ) dx − − ∫ sin x f ′ ( x ) dx + ∫ sin x dx π π 0 2 2 0 2 π = ∫ − f ′ ( x ) − sin π 2 0 π2 π − + = x dx = π π 2 π Vì − f ′ ( x ) − sin 2 π x ≥ đoạn [ 0;1] nên https://toanmath.com/ 2 2 π π π π ⇔ − f ′ ( x ) =sin x ⇔ f ′ ( x ) = − sin ∫0 − π f ′ ( x ) − sin x dx = π 2 2 π π Suy f ( x ) =cos x + C mà f (1) = f ( x ) =cos x 2 2 1 = Vậy ∫ f ( x ) dx π cos x dx ∫= 2 π x Câu 219 Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn điều kiện f (1) = f ( ) == Tính J f ′( x) + f ( x) +1 ∫1 x − x dx B J= − ln A J = + ln C.= J ln − Hướng dẫn giải Chọn D f ′( x) + f ( x) +1 = − Cách = 1: Ta có J ∫ dx x x2 1 1 u = du = − dx x x ⇒ Đặt dv f= ′ ( x ) dx v f ( x ) = ∫ D J= 2 1 = f ( ) − f (1) + ln x + =+ ln x 1 f ′( x) + f ( x) +1 xf ′ ( x ) − f ( x ) d x = −= + − dx Cách 2: J ∫ ∫1 x x2 x2 x x 1 2 f ( x ) ′ f ( x) 1 2 = ∫ + ln x + =+ ln dx + ∫ − dx = x x x x 1 x 1 1 Cách 3: ( Trắc nghiệm) a = f (1) = Chọn hàm số f ( x= , suy f ( x= ⇒ ) ax + b Vì ) 3x − f ( ) = b = −2 1 3x − Vậy J =∫ − dx = ln x − =ln + x x x 1 1 Câu 220 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn 2 e2 − x ′ f (1) = Tính ∫0 f ( x ) dx = ∫0 ( x + 1) e f ( x ) dx = 1 A e −1 2 B e ∫ f ( x ) dx C e − Hướng dẫn giải Chọn C 1 0 x x x J +K - Tính: I = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = ∫ xe f ( x ) dx + ∫ e f ( x ) dx = https://toanmath.com/ + ln 2 f ′( x) f ( x) 2 dx − ∫ dx + ∫ − dx x x x x 1 2 f ( x) f ( x) f ′( x) + f ( x) +1 2 − d x = f x + d x − d x + ( ) ∫ − dx 2 ∫1 x ∫ ∫ x x x x x x 1 1 = J D e Tính K = ∫ e x f ( x ) dx du e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) dx u = e x f ( x )= Đặt ⇒ v = x dv = dx 1 − ∫ xe f ( x ) dx − ∫ xe f ′ ( x ) dx ( f (1) = ) ( xe f ( x ) ) − ∫ xe f ( x ) + xe f ′ ( x ) dx = = ⇒K x x x x x 0 1 0 ⇒ K =− J − ∫ xe x f ′ ( x ) dx ⇒ I =J + K =− ∫ xe x f ′ ( x ) dx - Kết hợp giả thiết ta được: 1 1 2 e2 − e2 − ′ ′ = f x x d (1) = f x x d ∫ ( ) ∫ ( ) 4 0 0 ⇒ e2 − 2 xe x f ′ x dx = − e − (2) − xe x f ′ x dx = ) ( ) ( ∫ ∫ e2 − (3) - Mặt khác, ta tính được: ∫ x e x dx = - Cộng vế với vế đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ∫ ( f ′ ( x ) + xe f ′ ( x ) + x e 2x x 0 ⇔ π ∫ ( f ′ ( x ) + xe ) dx = ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) + xe ) dx = ) dx = 1 x x o o hay thể tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm = số y f ′ ( x ) + xe , trục Ox , đường thẳng x = x , x = quay quanh trục Ox − xe x ⇒ f ′ ( x ) + xe x = ⇔ f ′( x) = ⇒ f ( x) = − ∫ xe x dx = (1 − x ) e x + C - Lại f (1) =0 ⇒ C =0 ⇒ f ( x ) =(1 − x ) e x 1 0 x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ( (1 − x ) e x ) + ∫ e x dx =−1 + e x =e − ∫ (1 − x ) e dx = 1 0 Vậy ∫ f ( x ) dx= e−2 Câu 221 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f (1) = , 1 1 ∫0 f ′ ( x ) dx = ∫0 x f ( x ) dx = Tích phân ∫0 f ( x ) dx 7 A B C Hướng dẫn giải Chọn A du = f ′ ( x ) dx u =f ( x ) ⇒ Cách 1: Tính: ∫ x f ( x ) dx Đặt x3 dv = x dx v = 2 x3 f ( x ) Ta có: ∫ x = f ( x ) dx − ∫ x f ′ ( x ) dx 30 1 https://toanmath.com/ D 1 f (1) − f ( ) 1 = − ∫ x f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx 30 30 ∫ x f ( x ) dx = Mà Ta có ∫ f ′ ( x ) 1 1 ⇒ − ∫ x3 f ′ ( x ) dx = ⇒ ∫ x3 f ′ ( x ) dx = −1 30 3 dx = (1) 1 x7 1 = = x x d 49 x dx =.49 = (2) ⇒ ∫0 ∫ 7 1 0 3 ∫ x f ′ ( x ) dx =−1 ⇒ ∫ 14 x f ′ ( x ) dx =−14 (3) Cộng hai vế (1) (2) (3) suy ∫ f ′ ( x ) { } 1 dx + ∫ 49 x dx + ∫ 14 x3 f ′ ( x ) dx = + − 14 = 0 ⇒ ∫ f ′ ( x ) + 14 x f ′ ( x ) + 49 x dx = ⇒ ∫ f ′ ( x ) + x dx = 0 2 1 ⇒ f ′( x) = Do f ′ ( x ) + x ≥ ⇒ ∫ f ′ ( x ) + x dx ≥ Mà ∫ f ′ ( x ) + x dx = −7 x 2 0 7x 7 f ( x) = − + C Mà f (1) = ⇒ − + C = ⇒ C = 4 x4 − + Do f ( x ) = 4 Vậy ∫ x4 x5 f ( x ) dx = + x = − ∫0 − + dx = 20 1 Cách 2: Tương tự ta có: ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1 1 1 2 2 = ∫ x3 f ′ ( x ) dx ≤ ∫ ( x ) dx ⋅ ∫ f ′ ( x ) dx = ⋅ ⋅ ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx 0 0 0 0 Dấu xảy f ′ ( x ) = ax , với a ∈ 1 ax =−1 ⇒ a =−7 Ta có ∫ x f ′ ( x ) dx =−1 ⇒ ∫ x ax dx =−1 ⇒ 0 3 x4 −7 x3 ⇒ f ( x ) = − + C , mà f (1) = nên C = Suy f ′ ( x ) = 4 Do f ( x= ) (1 − x ) ∀x ∈ 1 x4 x5 + x = Vậy ∫ f ( x ) dx = − ∫0 − + dx = 20 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] https://toanmath.com/ b b b Khi đó, ta có ∫ f ( x ) g ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ⋅ ∫ g ( x ) dx a a a Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h ( x ) liên tục không âm đoạn [ a; b ] ∫ h ( x ) dx ≥ a Xét tam thức bậc hai λ f ( x ) + g ( x ) = λ f ( x ) + 2λ f ( x ) g ( x ) + g ( x ) ≥ , với λ ∈ Lấy tích phân hai vế đoạn [ a; b ] ta b b b a a a λ ∫ f ( x ) dx + 2λ ∫ f ( x ) g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ≥ , với λ ∈ (*) Coi (*) tam thức bậc hai theo biến λ nên ta có ∆′ ≤ b b b ⇔ ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) d x ∫ g ( x ) d x ≤ a a a b b b ⇔ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ∫ g ( x ) dx (đpcm) a a a https://toanmath.com/ ... ) hàm số có đạo hàm liên tục [ 0; 2] 2 0 ∫0 g ( x ) f ′ ( x ) dx = ′ Tính tích phân I = ∫ f ( x ) g ( x ) dx ∫ g ′ ( x ) f ( x ) dx = , B I = A I = −1 C I = Câu 38: Cho hai tích phân. .. Cho hàm số= y f ( x ) > xác định, có đạo hàm đoạn x g ( x ) = + 2018∫ f ( t ) dt , g ( x ) = f ( x ) Tính ∫ g ( x ) dx 2019 D 505 −1;1] y = f ( x) f x > 0, ∀x ∈ Câu 69: Cho hàm số có đạo hàm. .. (0) = Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số y = f ( x) [1;3] A 22 B 11 + C 20 + Câu 82: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đồng biến ( x )) ( f ′= e f ( x ) , ∀x ∈ Tính tích phân x D 11 + thỏa mãn f (