Đang tải... (xem toàn văn)
Buổi 5: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VIÉT TRONG GIẢI TOÁN Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a0) () Có hai nghiệm ; Suy ra: Vậy đặt : Tổng nghiệm là S : S = Tích nghiệm là P : P = Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình () có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VIÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán.
Buổi 5: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN Cho phương trình bậc hai: b ; 2a b b 2b b x1 x2 2a 2a a (b )( b ) b 4ac c x1 x2 2 4a 4a 4a a b - Tổng nghiệm S : S = x1 x2 a c - Tích nghiệm P : P = x1 x2 a Có hai nghiệm Suy ra: Vậy đặt : ax2 + bx + c = (a0) x1 (*) x2 b 2a Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c = a + b + c = Như vây phương trình có nghiệm x1 nghiệm lại x2 c a b) Nếu cho x = ta có (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = a b + c = Như phương trình có nghiệm x1 1 nghiệm lại x2 c a Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x x (1) 2) 3x x 11 (2) Ta thấy : 3 Phương trình (1) có dạng a b + c = nên có nghiệm x1 1 x2 11 Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1 x2 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: 35 x 37 x x 500 x 507 x 49 x 50 4321x 21x 4300 Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm lại hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x px Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x x q có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x x q , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x qx 50 , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 44p 5 � p 5 T x1 x2 suy x2 x x b) Thay v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25 25 q � q 50 50 50 T x1 x2 50 suy x2 x 10 c) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 x2 11 theo VI-ÉT ta có �x x 11 �x1 x1 x2 , ta giải hệ sau: �1 �� �x1 x2 �x2 2 Suy q x1 x2 18 d) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 x2 theo VI-ÉT ta có x1 x2 50 Suy x 5 � x22 50 � x22 52 � �2 x2 � Với x2 5 th ì x1 10 Với x2 th ì x1 10 II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 ; x2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm �S x1 x2 x1 ; x2 nghiệm phương trình có dạng: �P x1 x2 Theo hệ thức VI-ÉT ta có � x Sx P � x x Bài tập áp dụng: x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = -104 x1 = vµ x2 = 2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x x có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương 1 trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 x2 x y2 x1 x Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: �1 � 1 x x x1 ( x1 x2 ) � � ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 2 �x1 x2 � 1 1 P y1 y2 ( x2 )( x1 ) x1 x2 11 x1 x2 x1 x2 2 S y1 y2 x2 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y Sy P 9 y2 y � y2 y 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x x có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình, 1 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 x1 x y2 x2 x (Đáp số: y y hay y y ) 2/ Cho phương trình : x x có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 x14 y2 x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y 727 y ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x x m có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1; y2 cho : a) y1 x1 y2 x2 (Đáp số a) y y m b) y1 x1 y2 x2 b) y y (4m 3) ) III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : x Sx P (điều kiện để có hai số S2 4P ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = Vì a + b = ab = n ên a, b nghiệm phương trình : x 3x giải phương trình ta x x2 4 Vậy a = b = a = b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 S = P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b T a b � a b 81 � a 2ab b 81 � ab 81 a b 20 x 4 � x2 � Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x x 20 � � Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36 x 4 � x2 � Suy a,c nghiệm phương trình : x x 36 � � Do a = c = nên b = a = c = nên b = 2 2 Cách 2: Từ a b a b 4ab � a b a b 4ab 169 a b 13 � � a b 132 � � a b 13 � *) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x 4 � x 13x 36 � �1 x2 9 � Vậy a = 4 b = 9 x 4 � x2 � *) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x 13 x 36 � � Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: a b 11 � a b 11 � T ừ: a2 + b2 = 61 � a b a b 2ab 61 2.30 121 112 � � *) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x 5 � x 11x 30 � �1 x2 6 � Vậy a = 5 b = 6 ; a = 6 b = 5 *) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x 5 � x 11x 30 � �1 x2 � Vậy a = b = ; a = b = IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 x2 ) x1 x2 Ví dụ a) x12 x22 ( x12 x1 x2 x22 ) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 3 2 x1 x2 3x1 x2 � b) x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x2 � � � 2 ( x1 x2 ) x1 x2 � c) x14 x24 ( x12 )2 ( x22 )2 x12 x22 x12 x22 � � � x1 x2 1 x x d) x x x x 2 x1 x2 ? Ví dụ Ta biết x1 x2 x1 x2 x1 x2 � x1 x2 � x1 x2 x1 x2 Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: x12 x22 ( x1 x2 x1 x2 =…….) 2 x13 x23 x14 x24 2 2 x1 x2 x1 x2 � ( = x1 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x2 � � �=…… ) 2 2 ( = x1 x2 x1 x2 =…… ) 3 2 2 4 x16 x26 ( = ( x1 ) ( x2 ) x1 x2 x1 x1 x2 x2 = …… ) Bài tập áp dụng x16 x26 x15 x25 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x x 15 Không giải phương trình, tính x12 x22 x x x x 1 �8 � � � 15 � � (34) x x �34 � � � �15 � x1 x2 (46) b) Cho phương trình : x 72 x 64 Khơng giải phương trình, tính: 1 x x �9 � �� �8 � x12 x22 (65) c) Cho phương trình : x 14 x 29 Khơng giải phương trình, tính: 1 x x �14 � � � �29 � x12 x22 (138) d) Cho phương trình : x 3x Khơng giải phương trình, tính: 1 x x (3) 1 x 1 x 2 x x x x 1 x17 x27 (1) x12 x22 (1) x1 x2 x x �5 � �� �6 � e) Cho phương trình x 3x có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q x12 10 x1 x2 x22 x1 x23 x13 x2 x12 10 x1 x2 x22 6( x1 x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 HD: Q x x3 x3 x 80 5.8 � (4 3) 2.8� x1 x2 � 2 x1 x2 x1 x2 � � � � � V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương trình : m 1 x 2mx m có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m �1 � m �1 m �0 m �1 � � � � ��2 �� �� � V' �0 5m �0 m� m (m 1)( m 4) �0 � � � � � Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m � � x1 x2 x1 x2 (1) � � � � m 1 m 1 � � � �x x m �x x (2) 2 m 1 m 1 � � Rút m từ (1) ta có : 2 x1 x2 � m m 1 x1 x2 (3) Rút m từ (2) ta có : 3 x1 x2 � m m 1 x1 x2 Đồng vế (3) (4) ta có: (4) � x1 x2 x1 x2 � x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : m 1 x 2mx m Chứng minh biểu thức A x1 x2 x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m �1 � m �1 m �0 m �1 � � � � ��2 �� �� � V' �0 m � m� m ( m 1)( m 4) � � � � � � Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m � x1 x2 � � m 1 � �x x m m 1 � thay v A ta c ó: A x1 x2 x1 x2 2m m4 6m 2m 8( m 1) 8 0 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy A = với m �1 m � Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x m x 2m 1 có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy m 2m 1 m 4m m 2 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có �m x1 x2 2(1) �x1 x2 m � � � x1 x2 � m (2) �x1.x2 2m � � Từ (1) (2) ta có: x1 x2 x1 x2 � x1 x2 x1 x2 2 Cho phương trình : x 4m 1 x m Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1)2 4.2(m 4) 16m 33 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có 4m ( x1 x2 ) 1(1) �x1 x2 (4m 1) � �� � 4m x1 x2 16(2) �x1.x2 2(m 4) � Từ (1) (2) ta có: ( x1 x2 ) x1 x2 16 � x1 x2 ( x1 x2 ) 17 �B x1 x2 x1 x2 2(m 1) 2m 2 x x2 x1 x2 1 ( x1 x2 ) m2 m 2 ... x1 x1 x2 x2 = …… ) Bài tập áp dụng x16 x26 x15 x25 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x x 15 Không giải phương trình, tính x12 x22 x... Vì a + b = ab = n ên a, b nghiệm phương trình : x 3x giải phương trình ta x x2 4 Vậy a = b = a = b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 S = P=6 S = P =... dạng: hay y Sy P 9 y2 y � y2 y 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x x có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình, 1 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm