1. HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH ta cã b2 = a. b’ c2 = a. c’ b2 + c2 = a2 h2 = b’. c’ a. h = b. c
Buổi 3: HÌNH HỌC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG -*** A Hệ thức lợng tam giác vuông a) Mộtcsố hệ thứcbvề cạnh đờng cao tam giác vuông h B Choc'tam giác vuông A, đờng cao AH ta cã b' ABC C H a b’ b2 = a c2 = a c’ b2 + c = a h2 = b’ c’ a h = b c 1 h2 b2 c2 b) Tỉ số lợng giác góc nhọn - Các tỉ số lợng giác góc nhọn đợc định nghĩa nh sau: cạnh đối c nh i c nh k� n cos = c� nh huy� n sin = c�nh huy� c¹nh kỊ c� nh � � i c� nh k� tg = c�nh k� cotg = c�nh ��i - Víi hai gãc vµ phơ ta cã sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg - Một số góc đặc biÖt sin300 cos600 cos300 sin600 2 sin450 cos450 tg450 cotg450 2 tg300 cotg600 3 cotg300 tg600 c) Mét sè hÖ thøc cạnh góc tam giác vuông Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với côsin góc kề Mỗi cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân tang góc đối nhân với côtang góc kề d) Một số công thức tính diện tích tam giác a.h S= (h đờng cao ứng với cạnh a) S = a.b.sinC b.c.sinA c.a.sinB 2 S = p.r (p lµ nưa chu vi, r bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác) a.b.c S = 4R (R bán kính đờng tròn ngoại tiÕp tam gi¸c) S= p p a p b p c (p lµ nưa chu vi cđa tam giác) II GểC V NG TRềN Đờng tròn: 1,Định nghĩa: Tập hợp điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi đờng tròn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R) 2, Vị trí tơng đối: * Của điểm với đờng tròn : xét (0 ; R ) điểm M Vị trí tơng đối Hệ thức M nằm ( O ; R ) OM> R M n»m trªn( O ; R ) hay M thuéc( O ; R) M n»m ( O ; R ) OM = R OM< R * V trớ ca đờng thẳng với đờng tròn : xét ( O; R) đờng thẳng a (với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a) vị trí tơng đối Số điểm chung HƯ thøc a c¾t ( O ; R ) dR a tiÕp xóc ( O ; R ) a vµ ( O ; R ) không giao * Của hai đờng tròn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O ) vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức Hai đờng tròn cắt R r < d < R- r Hai đờng tròn tiếp xóc : + tiÕp xóc ngoµi : d=R+r + tiếp xúc : Haiđờng tròn không giao : d=Rr +hai đờng tròn : +đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ : d>R+r d < R -r Tiếp tuyến đờng tròn : a Định nghĩa : đờng thẳng d đợc gọi tiếp tuyến đờng tròn có mét ®iĨm chung víi ®êng ®ã b, TÝnh chÊt : + Tính chất : Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn vuông góc với bán kính qua tiếp điểm + TÝnh chÊt : NÕu hai tiÕp tuyÕn cña đờng tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng tròn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến c, C¸ch chøng minh : C¸ch : chøng minh đờng thẳng có điểm chung với đờng tròn Cách : chứng minh đờng thẳng vuông góc với bán kính đờng tròn điểm điểm thuộc đờng tròn Quan hệ đờng kính dây cung : * Định lí : Trong đờng tròn ®êng kÝnh ®i qua ®iĨm chÝnh gi÷a cđa mét cung vuông góc với dây căng cung ngợc lại * Định lí : Trong đờng tròn, ®êng kÝnh ®i qua trung ®iĨm cđa mét d©y cung (không phải đờng kính) chia hai cung căng dây thành hai cung ngợc lại Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm : * Định lí : Trong đờng tròn hai dây cung chúng cách tâm * Định lí : Trong hai dây cung không đờng tròn, dây cung lớn gần tâm Góc đờng tròn: 1, Các loại góc đờng tròn: - Góc tâm - Góc nội tiếp - Góc có đỉnh bên hay bên đờng tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung * Định lý: Trong đờng tròn: - Các góc nội tiếp c¸c cung b»ng - C¸c gãc néi tiÕp cïng chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 90 có số đo nửa số đo góc tâm cïng ch¾n mét cung - Gãc néi tiÕp ch¾n nưa đờng tròn góc vuông ngợc lại, góc vuông nội tiếp chắn nửa đờng tròn - Góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến chắn cung 2, Mối quan hệ cung dây cung: * Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * §Þnh lÝ 2: §èi víi hai cung nhá mét đờng tròn: a, Cung lớn căng dây lớn b, Dây lớn trơng cung lớn 3, Tứ giác nội tiếp: a, Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đờng tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn Đơng tròn đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b, Cách chứng minh : * Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 180 * C¸ch 3: chøng minh tø gi¸c cã hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc * Cách 4: Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định đợc) Điểm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác III CC DNG TON Dạng 1: Chứng minh hai gãc b»ng C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c - Hai gãc b»ng tỉng hc hiƯu cđa hai gãc theo thứ tự đôi - Hai góc phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai góc nhọn tù có cạnh đôi song song vuông góc - Hai góc so le trong, so le đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc mộ tam giác cân - Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh tam giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây trơng ứng hai cung đờng tròn hai đờng Tính chất tiếp tuyến cắt Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét cát tuyến hai góc nhau: vị trí so le trong; vị trí so le ngoài; vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc Cách chứng minh: thẳng vuông góc khác - Chúng song song với hai đờng - Chứng minh chúng chân đờng cao tam giác - Đờng kính qua trung điểm dây dây không qua tâm - Chúng phân gi¸c cđa hai gãc kỊ bï - TÝnh chÊt đờng chéo hình thoi, hình vuông Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy Cách chứng minh: 1800 - Dựa vào tổng hai gãc kỊ bï cã tỉng - Dùa vµo hai góc đối đỉnh - Dựa vào hai đờng thẳng qua điểm song song với đờng thẳng khác - Dựa vào hai góc có cạnh trùng - Chứng minh chúng ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 6: Chứng minh hai tam giác * Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có cạnh góc nhọn - Có cạnh huyền cạnh góc vuông - Cạnh góc vuông đôi Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam gi¸c thêng: - Cã hai gãc b»ng ®«i mét (g- g) - Cã mét gãc b»ng xen hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c) - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có góc nhọn - Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ - Có cạnh huyền cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiÕp C¸ch chøng minh: - Tø gi¸c cã tỉng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách ®iĨm - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kỊ cïng nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc - Dựa vào phơng tích đờng tròn B BÀI TẬP LUYỆN Bài 1: Cho ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N Chứng minh:BEDC nội tiếp � � Chứng minh: DEA ACB Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OA phân � giác góc MAN y A x Chứng tỏ: AM =AE AB N D E M O Gợi ý: B C Hình 1.C/m BEDC nội tiếp: � BDE � C/m: BEC = 1v Hai điểm D E nhìn đoạn thẳng BC góc vng � ACB � 2.C/m: DEA Ta cần chứng minh DE // CA' � � Do ABDE nội tiếp nên góc EDC = BAE (Cùng bù với góc BDE) � � � � Mà BAE = BCA� (cùng chắn cung BA’) suy EDC = BCA� Suy DE//A’C Mà A'C AC nên DE AC C/m: MD = ME = MF - Gọi N trung điểm AB Nên N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Do M;N trung điểm BC AB MN // AC (Tính chất đường trung bình) Do DE AC MN DE (Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm) MN đường trung trực DEME = MD - Gọi I trung điểm EC nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EPCF MI // EB (Tính chất đường trung bình) Mà BE AA' MI EF MI đường trung trực EF ME = MF Vậy MD = ME = MF Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M M điểm cung nhỏ AC Gọi E F chân đường vng góc kẻ A từ M đến BC AC P trung điểm AB;Q trung điểm FE C/m MFEC nội tiếp P F O C/m BM EF=BA EM Q B E H× nh C C/M AMP : FMQ � C/m PQM = 90o Gợi ý C/m MFEC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cung nhìn đoạn thẳng CM…) C/m BM.EF = BA.EM C/m:EFM : ABM: � � Ta có góc ABM = ACM (Vì chắn cung AM) � � Do MFEC nội tiếp nên ACM = FEM (Cùng chắn cung FM) � � ABM = FEM (1) � � Ta lại có góc AMB = ACB (Cùng chắn cung AB) � FCM � � FME � Do MFEC nội tiếp nên góc FME (Cùng chắn cung FE) AMB (2) Từ (1) (2) suy :EFM : ABM (g - g) đpcm C/m AMP : FMQ Ta có EFM : ABM (theo c/m trên) mà AM=2AP;FE=2FQ (gt) � MFQ � PAM (suy từ EFM : ABM) Vậy:AMP : FMQ (c - g - c) � C/m PQM = 90o � � � � � � Do AMP FMQ PMQ AMF PQM : AFM MQP = AFM � � Mà góc AFM = 1v MQP =1v (đpcm) Bài 7: Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm cung BC Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G C/m BGDC nội tiếp Xác định tâm I đường tròn C/m BFC vuông cân F tâm đường tròn ngoại tiếp BCD C/m GEFB nội tiếp Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng G nằm đường tròn ngoại tiếp BCD Có nhận xét I F A Gợi ý B O C C/m BGDC nội tiếp: D Sử dụng tổng hai góc đối 1800 F I trung điểm GC E G C/m: BFC vuông cân: � FBA � BCF (Cùng chắn cung BF) � mà FBA = 45o (T/C đường chéo hình vng) � � BCF = 45o BFC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) đpcm * C/m: F tâm đường tròn ngoại tiếp BDC Ta C/m F cách đỉnh B;C;D Do BFC vuông cân nên BC = FC Xét hai tam giác FEB FED có:E F chung; � F FED Góc BE = � = 45o; BE=ED (hai cạnh hình vng ABED) H× nh BFE = E FD (c - g - c) BF = FD BF = FC = FD đpcm C/m: GEFB nội tiếp: � � � � Do BFC vuông cân F s�BF = sđ FC = 90o sđ GBF =sđ BF =.90o = 450 (Góc tiếp tuyến BG dây BF) � � GBF � � FEG � Mà FED = 45o (tính chất hình vng) FED = 45o Ta lại có FED = 2v � FEG � GBF = 2v GEFB nội tiếp C/m: C;F;G thẳng hàng: � BEG � � � Do GEFB nội tiếp BFG mà BEG = 1v BFG = 1v � � CFB � Do BFG vuông cân BFC = 1v BFG = 2v G;F;C thẳng hàng � � GDC C/m: G nằm đường tròn tròn ngoại tiếp BCD Do GBC = 1v tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC F G nằm đường tròn ngoại tiếp BCD * Dễ dàng c/m I F Buổi 10: Hình học: tập tổng hợp Bài 8: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(E nằm cung nhỏ BC) C/m: BDCO nội tiếp A C/m: DC2 = DE DF F C/m: DOIC nội tiếp Chứng tỏ I trung điểm FE O I Gợi ý C B E C/m: BDCO nội tiếp (Dùng tổng hai góc đối) D H× nh C/m: DC2 = DE.DF � Xét hai tam giác:DEC DCF có CDE chung � CFD � s�EC � ECD (Góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung) DCE : DFC đpcm C/m: DOIC nội tiếp: � COB � COD (T\C hai tiếp tuyến cắt nhau) � BOC � BAC � � BAC (Góc nội tiếp góc tâm chắn cung).Nên COD � � � � BAC CID CID (So le DF//AB) Do COD Hai điểm O I nhìn đoạn thẳng DC góc nhau đpcm Chứng tỏ I trung điểm EF: � � OCD Do DOIC nội tiếp OID (cùng chắn cung OD) � � Mà Góc OCD = 1v (tính chất tiếp tuyến) OID = 1v hay OI ID OI FE Bán kính OI vng góc với dây cung EF I trung điểm EF Bài 9: Cho (O),dây cung AB Từ điểm M cung AB(MA MB),kẻ dây cung MN vng góc với AB H Gọi MQ đường cao tam giác MAN C/m điểm A;M;H;Q nằm đường tròn C/m:NQ NA=NH NM C/m MN phân giác góc BMQ Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN;xác định vị trí M cung AB để MQ AN+MP BN có giác trị lớn Gợi ý Có hình vẽ,cáchMc/m tương tự Sau C/m trênNhình 9-a Q P A I H B A I H B P Q O O M N H× nh a H× nh b C/m: A,Q,H,M nằm đường tròn (Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng phương pháp sau: -Cùng nhìn đoạn thẳng góc vng -Tổng hai góc đối C/m: NQ NA = NH NM Chứng minh: NQM : NAH C/m MN phân giác góc BMQ Có hai cách: Cách 1:Gọi giao điểm MQ ABlàI C/m tam giác MIB cân M � � � Cách 2: QMN NAH (Cùng phụ với góc ANH ) � NMB � NAH (Cùng chắn cung NB) đpcm xác định vị trí M cung AB để MQ AN+MP.BN có giác trị lớn Ta có 2SMAN=MQ AN 2SMBN=MP BN 2SMAN + 2SMBN = MQ AN+MP BN Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2 =AB MN Vậy: MQ AN+MP BN=AB MN MàAB khơng đổi nên tích AB MN lớn MN lớn MN đường kính M điểm cung AB Bài 10: Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm trên đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E Chứng minh tam giác ABC vuông A O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A nằm đường tròn Chứng tỏ : BC2= Rr Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r Gợi ý B E C C/m ABC vuông: Do BE AE N F hai tiếp tuyến cắt nên AE=BE; O A Tương tự AE=ECAE=EB=EC=BC ABC vuông A H× nh 10 CM: N;E;F;A nằm đường tròn Chứng minh tứ giác ANEF hình chữ nhật đpcm C/m: BC2 = 4R.r Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông có: AH2 = OA AI (Bình phương đường cao tích hai hình chiêu) Mà AH=và OA = R; AI = r Rr BC2= 4R.r SBCIO = ? OB IC OB IC �BC � 4R.r 2 Ta có BCIO hình thang vng SBCIO = I S = (r R) rR Bài 11: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đường vng góc với AM H,cắt AO kéo dài I C/m OMHI nội tiếp Tính góc OMI Từ O vẽ đường vng góc với BI K C/m OK=KH Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Gợi ý C/m OMHI nội tiếp: (Sử dụng tổng hai góc đối) y Tính góc OMI A Do OB AI; AH AB (gt) OB AH = M Nên M trực tâm tam giác ABI IM đường E cao thứ IMAB nên tam giác MEB vuông E � � Mà OAB vuông cân t ại O nên B = 450 EMB = 450; M O B H I K H× nh 11 x � � � EMB = OMI (Đối đỉnh) OMI = 450 C/m: OK = KH � � OMI = OHI (hai góc nội tiếp chắn cung OI) � Mà OMI = 450 (Chứng minh câu 2) nên OKH vuông cân K KO = KH Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Do OK KB OKB = 1v; OB không đổi M di động K nằm đường tròn đường kính OB Khi M ≡ O K ≡ O Khi M ≡ B K điểm cung AB Vậy quỹ tích điểm K đường tròn đường kính OB Bài 12: Cho (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E C/m: MA phân giác góc CMD C/m: EFBM nội tiếp Chứng tỏ: AC2 = AE AM Gọi giao điểm CB với AM N;MD với ABlàI C/m NI//CD Chứng minh N tâm đường tròn nội tiếp CIM Gợi ý C/m AM phân giác góc CMD Do AB CD BA phân giác tam giác CBD C � � � � Cân B CBA DBA � AC AD M N � � DMA Do CMA V ậy MA phân giác góc CMD E A C/m EFBM nội tiếp F O I D (Sử dụng tổng hai góc đối 1800) H× nh 12 C/m: AC2=AE AM (Ch ứng minh: ACE : AMC (g - g)) C/m: NI // CD � � � AMD � ABC � � NMI � NBI � � � AC AD NIM MNIB nội tiếp NMB = 2v Mà � � NMB =1v (cmt) NIB =1v hay NI AB Mà CD AB (gt) NI // CD Chứng tỏ N tâm đường tròn nội tiếp ICM Ta phải C/m N giao điểm đường phân giác CIM B Bài 13: Cho (O) điểm A nằm đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE C/m A;B;H;O;C nằm đường tròn C/m HA phân giác góc BHC Gọi I giao điểm BC DE C/m AB2=AI AH B BH cắt (O) P C/m AE//CP E H I D Gợi ý O C/m:A;B;O;C;H nằm đường tròn: K P C H× nh 13 Gọi K trung điểm AO Dẽ dàng chứng minh KO = KH = KB = KA = KC A;B;O;H;C nằm đường tròn tâm K đường kính OA C/m: HA phân giác góc BHC Do AB;AC tiếp tuyến cắt AB = AC mà A;B;O;C;H nằm � � CHA đường tròn tâm K (chứng minh trên) nên BHA đpcm A 3.C/m AB2=AI AH Ta cần chứng minh: ABH : AIB đpcm C/m: AE // CP � BCA � s�BDC � BPC ; � BCA � s�BA � BHA � � BPC BHA CP//AE ... giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây trơng ứng hai cung đờng tròn hai đờng Tính... 4ab 1 69 2 2 a b 13 � � a b 132 � � a b 13 � *) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x 4 � x 13x 36 � �1 x2 9 � Vậy a = 4 b = 9 *) Với a... giải phương trình, tính: 1 x x2 1 9 � �� �8 � 2 x1 x2 (65) c) Cho phương trình : x 14 x 29 Khơng giải phương trình, tính: 1 x x2 1 �14 � � � � 29 � 2 x1 x2 (138) d) Cho phương trình