Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỀ 1 Thi vào lớp 10 THPT: thành phố Hà Nội Năm học 2015 – 2016 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm). Cho hai biểu: và + với x > 0, x ≠ 4 1)Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9. 2) Rút gọn biểu thức Q. 3) Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Ngày soạn: Ngày dạy: Buổi 20 I Mục tiêu - Nắm kiến thức chương trình toán THCS - Rèn kỹ vận dụng kiến thức học chương trình để giải tốn đề ơn luyện - Phát huy tính tích cực, chủ động học sinh II Luyện đề Đề 15 M= x+2 x +1 + − x x −1 x + x + x −1 x ≥ 0, x ≠ Câu I Cho với Rút gọn biểu thức M; Tính giá trị M x = Câu II Giải phương trình hệ phương trình sau: x − 3x + = 1 (1) x + y = 3 − = (2) x y Câu III Cho parabol (P): y = - x2 đường thẳng y = mx – Chứng minh với giá trị m, d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B; x12 x2 + x22 x1 = 2014 Gọi x1, x2 hoành độ A B Tìm m cho Câu IV Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB Gọi C điểm cung MH ⊥ AB AB Điểm M thuộc cung AC Hạ H, AC cắt MH K; MB cắt AC EI ⊥ AB E Hạ I Chứng minh BHKC AMEI tứ giác nội tiếp; Chứng minh AK.AC = AM2; Cho R = 5cm, tính giá trị tổng S = AE.AC + BE.BM; Chứng minh M chuyển động cung AC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC thuộc đường thẳng cố định Câu V Cho a, b > 0, a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S= 1+ ÷ 1+ ÷ a b Đáp án M= Câu I M= x x + x +1 13 { } x ∈ −1;1; − 2; Câu II (x = 1; y = 1) − x = mx − ⇔ x + mx − = (1) Câu III Xét phương trình: ∆ = m2 + > Ta có với m nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Do với giá trị m, d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B x1 + x2 = − m x1.x2 = −2 Theo hệ thức Vi-ét: x12 x2 + x22 x1 = 2014 ⇔ x1 x2 ( x1 + x2 ) = 2014 ⇔ −2(− m) = 2014 Do Suy m = 1007 Câu IV · · ACB = BHK = 90o suy tứ giác BHKC nội tiếp · · AMB = AIE = 90o suy tứ giác AMEI nội tiếp AH AK ⇒ = ∆AHK ｓ ∆ACB AC AB (g-g) Suy AK.AC = AH.AB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông MAB ta có AH.AB = AM2 Vậy AK.AC = AM2 BI BE ⇒ ∆BIE ｓ ∆BMA (g-g) BM = BA ⇒ BE.BM = BI.BA Có AI AE ∆AIE ｓ ∆ACB(g-g) ⇒ = ⇒ AE.AC=AI.AB AC AB Vậy AE.AC + BE.BM = BI.BA + AI.AB = AB(AI + IB) = AB = 100 (cm2) · · MIE = MAE Vì tứ giác AMEI nội tiếp nên Tứ giác BCEI nội tiếp nên điểm M, C, I, O thuộc đường tròn Như đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC qua hai điểm cố định O C Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC thuộc đường trung trực OC cố định 1 a+b+1 S=1+ + + =1+ =1+ a b ab ab ab Câu V a + b ≥ ab ⇒ ≥ ab Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương: ≥ 4⇒ ≥ ab ab ≥ 4ab Do mà ab > suy 1 S≥9 2 Suy Dấu đẳng thức xảy a = b = Vậy S = a = b = III Bài tập nhà Đề 16 x x P= + ÷: ÷ x x + x + x Câu I Cho với x > Rút gọn P; 13 Tìm x để P = Câu II.Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung cơng việc sau 16 xong việc Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm cơng việc Tính thời gian người làm xong tồn cơng việc −1 +1 Câu III Lập phương trình bậc có nghiệm x + m( x − 2) − = (1) Cho phương trình: a) Giải phương trình m = - 4; b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt Câu IV Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định ngồi đường tròn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B, C (AB < AC) Gọi I trung điểm BC Chứng minh: điểm A, M, O, N, I thuộc đường tròn Chứng minh: AM2 = AB.AC; Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chứng minh IE //MC; Chứng minh rằng: Khi đường thẳng d quay quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC thuộc đường tròn cố định Câu V Cho đường thẳng d: y = (m + 1)x + Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng d lớn Đáp án x + x +1 P= x Câu I 13 x + x + 13 P= ⇔ = ⇔ x − 10 x + = ⇔ x − 3 x − = 3 x x1 = 9; x2 = Suy Câu II.Gọi thời gian người thứ làm xong tồn công việc x (giờ), thời gian người thứ hai làm xong cơng việc y (giờ), (x, y > 16) 1 1 x + y = 16 3+6=1 x y Ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình (x = 24; y = 48) thỏa mãn điều kiện ẩn S = − + + = 2; P = − + = Câu III Có x − 2 x + = Phương trình cần lập x3 + m( x − 2) − = ⇔ ( x − 2)( x + x + + m) = (1) 2.Xét phương trình: ( x − ) ( x + x ) = ⇔ x ∈ { 2;0; − 2} a) Khi m = - 4, phương trình (1) có dạng: x − = ⇔ x + x + + m = 0(*) b) Phương trình (1) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt khác ( Điều có ∆ ' = − − m < m < −3 ⇔ 4 + + + m ≠ m ≠ −12 · · · AMO = ANO = AIO = 90o Câu IV Có Suy A, M, O, I, N thuộc đường tròn ( )( )( ) ) Có · · AMB = MCB ¼ MB · MAC (cùng sđ ), chung nên AM AB = ⇒ AM =AB.AC ∆AMB ｓ ∆ACM (g-g) AC AM suy · · MNI = MAI Vì điểm A, M, O, I, N thuộc đường tròn nên Do BE // AM nên · · · · · · IBE = MAI INE = IBE BIE = BNE Do suy BINE tứ giác nội tiếp nên ·BNE = BCM · · · ¼ BIE = BCM ⇒ IE // MC MB Mà (cùng chắn ) suy IK = OA Gọi K trung điểm AO suy K cố định; không đổi G thuộc MI, MH HG MG GI = MI = = = (H ∈ MK) MK IK MI Kẻ GH // IK Theo định lí Ta-lét suy HG= IK= AO 3 H cố định không đổi H; OA ÷ Vậy G thuộc đường tròn ∀m Câu V Ta có m2 + > Cho x = 0, ta có y = 4, d cắt Oy B(0; 4) ( m +1) x + 4=0, x = m−4+1 2 Cho y = suy , d cắt Ox −4 OA = ,OB = ;0 ÷ m +1 m +1 ⊥ A Do Hạ OH AB ta có: m + 1) ( 1 1 m + 2m + = + = + = OH OA OB2 16 16 16 OH = 16 m + 2m + m + 2m + ≥ OH ≤ 8, Suy Mà nên Dấu đẳng thức xảy m = Vậy m = giá trị cần tìm Ngày soạn: Ngày dạy: Buổi 21 suy OH ≤ I Mục tiêu - Nắm kiến thức chương trình tốn THCS - Rèn kỹ vận dụng kiến thức học chương trình để giải tốn đề ơn luyện - Phát huy tính tích cực, chủ động học sinh II Luyện đề Đề 17 x+3 x x +2 M= + ÷: x 25 x + x ≥ 0, x ≠ 25 x -5 Câu I Cho với Rút gọn biểu thức M; 1 x= − −1 +1 Tính giá trị M Câu II.Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Qng đường AB dài 100km Hai tơ khởi hành lúc từ A để đến B Vận tốc xe thứ lớn vận tốc xe thứ hai 10km/h nên xe thứ đến B sớm xe thứ hai 30 phút Tính vận tốc xe Câu III (1) ( x + 1)( y − 1) = xy − ( x − 3)( y − 3) = xy − (2) Giải hệ phương trình x − 2x + m − = (1) Cho phương trình: a) Giải phương trình m = – 1; b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt Câu IV Cho tam giác ABC vuông A Điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC E Nối BM cắt đường tròn (O) N Nối AN cắt đường tròn (O) D Lấy I đối xứng với M qua A; lấy K đối xứng với M qua E Chứng minh BANC tứ giác nội tiếp Chứng minh CA phân giác góc BCD Chứng minh ABED hình thang Tìm vị trí M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ 2013 2013 x−3 + x−2 = Câu V Tìm x cho Đáp án x −1 M= x +2 Câu I +1 −1 x= − = 2 Khi M = Câu II Gọi vận tốc xe thứ x (km/h) với x > 20, vận tốc xe thứ hai x – 10 (km/h) 100 100 − = x1 = 50, x = −40 x − 10 x Ta có phương trình: Giải phương trình (loại) Vậy vận tốc xe thứ 50 km/h, vận tốc xe thứ hai 40 km/h Câu III (x = 2; y = 2) x = ± a) ( t ≥ 0) t − 2t + m - = (2) b) Đặt t = x2 Ta có Để (1) có nghiệm phân biệt (2) phải có nghiệm phân biệt t1> 0, t2> ∆ ' = − m + > 3 − m > ⇔ ⇔ < m < t1 + t = > m − > t t = m − > 1 Muốn Câu IV Có · MNC = 90o nên · · BAC = BNC = 90o Suy BANC tứ giác nội tiếp · · · · ¼ BCA = BNA BNA = ACD MD Tứ giác BANC nội tiếp suy mà (cùng chắn · · ACB = ACD đường tròn (O)) Suy · · · CBA = CED CND Các tứ giác CBAN CEDN nội tiếp nên (cùng bù với ) Do ED // AB, suy ABED hình thang · · BIC = BMI I M đối xứng với qua A nên ∆BMI cân B suy Có ·MEC = 90o;ME = EK nên BC trung trực MK Do ∆BMC = ∆BKC, suy · · BMC = BKC · · BIC + BKC = 180o Do ; suy IBKC tứ giác nội tiếp Đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK qua hai điểm cố định B C Gọi r bán kính đường BC 2r ≥ BC tròn ta có (quan hệ dây đường kính) r nhỏ · BIC = 90o ≡ BC đường kình đường tròn Khi nên I trùng A M A a n − a m = a m (a n −m − 1) ∈ N* Câu V Với n, m , n > m Xét số a: < a < Ta có: n −m ⇒ a < 1; a m > ⇒ a m (a n −m − 1) < Mà < a < a n < a m (*) Do 2013 2013 x −3 + x−2 = (1) Xét Dễ thấy x = x = thỏa mãn (1) 2013 2013 ⇒ x−2 >1 x −3 >0 Nếu x > x – > Vế trái > 2013 2013 x − >1 x −3 >1 x−2 >0 Nếu x < nên Vế trái > < - x < < x – < nên theo (*) ta có: 2013 x−3 = (3 − x) 2013 < − x 2013 2013 x−2 = ( x − 2) < x − 2013 2013 x −3 + x−2 < − x + x − = Do x ∈ { 3;2} Vậy III Bài tập nhà Đề 18 x +1 M = + ÷: x ≥ 0; x ≠ x − x + x −3 Câu I Cho với Rút gọn biểu thức M; x M= Tìm x cho Câu II.Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một đội xe định dùng số xe loại để chở hết 60 hàng Lúc khởi hành có xe phải điều làm việc khác Vì vậy, xe phải chở thêm hàng hết số hàng Tính số xe lúc đầu đội biết khối lượng hàng xe chở x + y = 2 x + y = Câu III Giải hệ phương trình: Cho parabol (P): y = x đường thẳng d: y = mx – m + Tìm m cho đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung Câu IV Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định (AB không qua O) Điểm M thuộc cung lớn AB đường tròn Gọi I trung điểm dây AB Vẽ đường tròn (O’) qua M, tiếp xúc với AB A Tia MI cắt đường tròn (O’) N, cắt đường tròn (O; R) C Chứng minh AN // BC; ｓ Chứng minh ∆INB ∆IBM; Chứng minh BI tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MBN; AB = R Chứng minh rằng: bốn điểm A, B, N, O thuộc đường tròn Câu V Cho a + b + c + ab + ac + bc = a, b, c > a b3 c3 P= + + b c a Tìm giá trị nhỏ biểu thức Đáp án M= x +3 Câu I x x ⇔ = ⇔ x + x − 18 x +1 M = =0 ⇔ ( x − 3)( x + 6) = ⇔ x = −6 phương trình vơ nghiệm x =3 suy x = (loại) x Vậy khơng có giá trị x để M = x ∈ N *, x > Câu II Gọi số xe lúc đầu đội x ( ) 60 60 x x−3 Lúc đầu xe phải chở: (tấn) Lúc sau, xe phải chở (tấn) Ta có 60 60 − = ⇔ x − 3x − 180 = x−3 x phương trình: Giải phương trình Số xe lúc đầu là: 15 x1 = 15; x2 = −12 (loại) y = − x(3) 2 x + (3 − x) = 5(4) Câu III Hệ phương trình tương đương với x1 = 1; x2 = Giải (4) ( x = 1; y = 2);( x = 2; y = 1) Hệ phương trình có hai nghiệm x = mx − m + ⇔ x − mx + m − = Xét phương trình: (1) Để d cắt (P) 2điểm c BNC ∆ABM ｓ ∆AMC Ta có ; chung nên , suy AM AB = ⇒ AM = AB AC = 1.4 = AC AM Do AM = III Bài tập nhà Đề 20 x + ÷: x −2 x −2 x ≥ 0; x ≠ 4) x−4 Câu I Cho M = (với Rút gọn biểu thức M Tìm x để M = So sánh M M2 (1) x + 2y = m (2) 2 x + y = Câu II Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình m = 0; Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x, y) mà y = |x| y = − x2 Câu III Cho hàm số có đồ thị parabol (P), đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm (0; - 2) Viết phương trình đường thẳng d; Chứng minh k thay đổi, đường thẳng d cắt parabol (P) điểm phân biệt Câu IV.Cho đường tròn (O; R) đường kính AB điểm C thuộc đường tròn Gọi M ⊥ N điểm cung nhỏ AC BC Nối MN cắt AC I Hạ ND AC Gọi E trung điểm BC Dựng hình bình hành ADEF · MIC Tính ; Chứng minh DN tiếp tuyền đường tròn (O; R); Chứng minh F thuộc đường tròn (O; R); · CAB = 30o ∆ABC Cho , R = 10cm Tính thể tích hình tạo thành cho quay vòng quanh AB Câu V Cho a > 0, b > a2 + b2 = Tìm giá trị lớn biểu thức: S = ab + 2(a + b) Đáp án x +1 M= x +2 Câu I x = x +1 1− = > ⇒ M < x +2 x +2 Ta có: M > Xét – M = ⇒ M > M ⇒ < M < Do đó: M – M2 = M(1 – M) > Câu II x = - 2, y = 3 1 ∈ ; 7 3 m Câu III Phương trình đường thẳng d: y = kx + b Vì d qua H(0; - 2) nên: −2 = k + b ⇒ b = −2 Vậy d: y = kx – − x = kx − ⇔ x + 2kx − = (1) 2 Xét phương trình ∆' = k2 + > Phương trình (1) có với k Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt d ln cắt (P) hai điểm phân biệt Câu IV 1 · MIA = » MA » CN »AB · 45o ⇒ MIC = 135o (sđ + sđ ) = sđ = » = NB » ⇒ ON ⊥ BC ·ACB = 90o ⇒ DCE · NC = 90o Có E Lại có: Mà NC ⊥ CD ( gt ) ⇒ ⇒ DN ⊥ ON ⇒ CEND hình chữ nhật N DN tiếp tuyến (O) · · EDC = NCD Theo tính chất hình chữ nhật có: Mà · µ ⇒F µ = DCN · µ + ·ACN = 180o EDC =F ⇒F ON // AC (cùng vng góc với CB) ⇒ ⇒ ∈ N, E, O, F thẳng hàng Suy ACNF tứ giác nội tiếp F (O) o o µ = 30 C µ = 90 µ = 60o A B ∆OBC ⊥ Hạ CK AB Tam giác ABC có nên Do tam R R BK = KO = ,BC = R,CK = 2 giác đều, suy Khi quay ∆ABC vòng quanh AB có hai hình nón tạo thành: hình nón đỉnh A hình nón đỉnh B có tâm hình tròn đáy K, bán kính CK Gọi thể tích hình tạo thành V, ta có: 1 V = π CK AK + π CK BK = π CK (AK + BK) 3 1 3R π R3 = π CK AB = π 2R = = 500π (cm ) 3 a + b2 (a − b) ≥ ⇒ a + b ≥ 2ab ⇒ ab ≤ = 2 Câu V Vì Mặt khác S≤ Do 2 2a + 2b2 ≥ a + b + 2ab ⇒ (a + b) ≤ 2(a + b ) = ⇒ a + b ≤ + 2 Dấu “=” xảy 1 a=b= +2 2 Vậy maxS= a=b= ... −m − 1) < Mà < a < a n < a m (*) Do 201 3 201 3 x −3 + x−2 = (1) Xét Dễ thấy x = x = thỏa mãn (1) 201 3 201 3 ⇒ x−2 >1 x −3 >0 Nếu x > x – > Vế trái > 201 3 201 3 x − >1 x −3 >1 x−2 >0 Nếu x < nên... >0 Nếu x < nên Vế trái > < - x < < x – < nên theo (*) ta có: 201 3 x−3 = (3 − x) 201 3 < − x 201 3 201 3 x−2 = ( x − 2) < x − 201 3 201 3 x −3 + x−2 < − x + x − = Do x ∈ { 3;2} Vậy III Bài tập nhà... biệt A, B x1 + x2 = − m x1.x2 = −2 Theo hệ thức Vi-ét: x12 x2 + x22 x1 = 201 4 ⇔ x1 x2 ( x1 + x2 ) = 201 4 ⇔ −2(− m) = 201 4 Do Suy m = 1007 Câu IV · · ACB = BHK = 90o suy tứ giác BHKC nội tiếp