TRƯỜNG THPT CHUN PHAN NGỌC HIỂN - MƠN TỐN 11 (NÂNG CAO) ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng P : d P có điểm chung d P d P khơng có điểm chung d // P d P có điểm chung d P cắt Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng d / / a d P d P (*) a P Hai đường thẳng a b chéo khơng gian tồn mặt phẳng P qua a P // b d / / P d / / Chú ý: Từ (*) ta có tính chất d / / Q Q P Các ví dụ tập điển hình Ví dụ Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác ABD Lấy điểm M đoạn BC cho MB 2MC Lấy điểm K đoạn BD cho BK 3KD Chứng minh rằng: a) MG // ACD b) CK // AMG Lời giải: a) Lấy điểm N trung điểm đoạn AD Do G trọng tâm tam giác ABD nên B , G N thẳng hàng Ta có: BG BN BG BM BN BC Theo định lý Thales ta MG // CN (1) Ta nhận thấy CN ACD (2) MG ACD (3) Từ (1), (2) (3) suy MG // ACD b) Lấy điểm L trung điểm đoạn BD Do Do G trọng tâm tam giác ABD nên A , G L thẳng hàng hay điểm L nằm mặt phẳng AMG Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Trang ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN - MÔN TỐN 11 (NÂNG CAO) Từ suy ML AMG (1) Dễ thấy: CK AMG (2) BL BM , từ theo định lý Thales BK BC ta ML // KC (3) Từ (1), (2) (3) suy KC // AMG Ví dụ Cho hình chóp S ABC có G trọng tâm tam giác ABC Gọi M , N nằm đoạn SA cho SM MN NA A ' điểm đối xứng A qua G Chứng minh rằng: a) MG // SBC b) NG // CA ' M Lời giải: a) Lấy điểm D trung điểm đoạn BC Dễ thấy D BC SBC SD SBC (1) Do G trọng tâm tam giác ABC nên A , G , D thẳng hàng AN AG AG Suy AM AD AD Theo định lý Thales ta MG // SD (2) Dễ thấy MG SBC (3) Từ (1), (2) (3) suy MG // SBC b) Vì A ' điểm đối xứng A qua G nên AN AG (2) NG SBC (1) Dễ thấy AM AA ' (3) Từ (1), (2) (3) suy NG // CA ' M Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N , P trung điểm AB CD SA Gọi G1 , G2 trọng tâm tam giác ABC tam giác SBC Chứng minh rằng: a) SB // MNP SC // MNP b) G1G2 // SAC Lời giải: a) Gọi O tâm hình bình hành ABCD Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Trang TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN - MƠN TỐN 11 (NÂNG CAO) ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 Ta có MP // SB MP MNP Suy SB // MNP Ta có OP // SC OP MNP Suy SC // MNP b) Gọi I trung điểm BC Do G1 , G2 trọng tâm nên IG1 IA IG2 IS Suy IG1 IG2 hay G1G2 // SA IA IS Mà SA nằm mặt phẳng SAC nên G1G2 // SAC Ví dụ Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khong nằm mặt phẳng có tâm O O ' a) Chứng minh OO ' song song với mặt phẳng ADF mặt phẳng BCE b) Lấy hai điểm M , N cạnh AE BD cho AM 1 AE BN BD Chứng minh 3 MN // CDPE Lời giải: a) Ta có: OO ' đường trung bình tam giác ACE nên OO ' // EC Mà EC nằm mặt phẳng BCE nên OO ' // BCE Tương tự, OO ' // DF nên OO ' // ADF b) Trong mặt phẳng ABCD , AN cắt CD G Ta có: AB // DG Mặt khác NB NA (1) ND NG AM (giả thiết) (2) ME Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Trang ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN - MÔN TOÁN 11 (NÂNG CAO) Từ (1) (2) suy NA AM nên MN // EG NE ME Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang Đáy lớn AD 2BC Gọi G trọng tâm tam giác SCD , O giao điểm AC BD M trung điểm SD Lấy I đoạn SC cho SI SC Chứng minh: a) OG // SBC b) MC // SAB c) SA // BID Lời giải: a) Gọi H điểm SC Ta có: Do BC // AD nên DG (1) DH OD AD OD (2) OD 2OB OB BC BD Từ (1) (2) suy DG OD DH BD Theo định lý Thales ta OG // BH , mà BH SBC nên OG // SBC b) Gọi N trung điểm SA Ta có: NM BC AD Vậy NMCB hình bình hành Suy CM // BN Mà BN SAB nên CM // SAB c) Ta có: SI BC // AD CI (3) SC CS 3 CO BC CO (4) OA AD CA Từ (3) (4) suy CO CI CA CS Theo định lý Thales ta OI // SA Mà OI BID nên SA // BID Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng SAD SBC b) Tim giao điểm SB mặt phẳng MDC Lời giải: a) Hai mặt phẳng SAD SBC có chung điểm S Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Trang ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 TRƯỜNG THPT CHUN PHAN NGỌC HIỂN - MƠN TỐN 11 (NÂNG CAO) Ta có: BC // AD mà AD SAD Suy BC // SAD Mặt phẳng SBC chứa BC Vậy mặt phẳng SAD cắt mặt phẳng SBC theo giao tuyến St // AD // BC b) Ta có: AB // CD Suy AB // MDC Mặt phẳng SAB chứa AB cắt mặt phẳng MDC theo giao tuyến Mx // AB // CD Trong mặt phẳng SAB gọi N giao điểm Mx SB N giao điểm SB mặt phẳng MDC Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Lấy điểm M SD Tìm giao điểm N SC ABM Gọi K giao điểm AM BN Chứng minh M thay đổi SD SK ln ln song song với mặt phẳng cố định Lời giải: a) Ta có CD // AB mà AB ABM Suy CD // ABM Mặt phẳng SCD chứa CD Mặt phẳng SCD mặt phẳng MAB có điểm chung M Vậy SCD MAB Mt // AB Trong mặt phẳng SCD , N Mt SC N SC ABM b) Hiển nhiên S SAD SBC (1) Mặt khác: K AM K SAD (2) Và K BN K SBC (3) Từ (1), (2) (3) suy SK SAD SBC Hai mặt phẳng SAD SBC chứa hai đường thẳng AD // BC nên giao tuyến SK // AD // BC Do SK // AD mà AD ABCD nên SK song song mặt phẳng cố định ABCD Vậy điểm K di động đường thẳng cố định qua S song song với mặt phẳng ABCD - Còn Nguyễn Đức Thắng trình bày – link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Trang ... Trang ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 TRƯỜNG THPT CHUN PHAN NGỌC HIỂN - MƠN TỐN 11 (NÂNG CAO) Ta có: BC // AD mà AD SAD Suy BC // SAD Mặt phẳng SBC chứa BC Vậy mặt phẳng. .. MƠN TỐN 11 (NÂNG CAO) ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 Ta có MP // SB MP MNP Suy SB // MNP Ta có OP // SC OP MNP Suy SC // MNP b) Gọi I trung điểm BC Do G1 , G2... https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Trang ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG – P1 TRƯỜNG THPT CHUN PHAN NGỌC HIỂN - MƠN TỐN 11 (NÂNG CAO) Từ (1) (2) suy NA AM nên MN // EG NE ME Ví dụ