Câu [2H3-6.4-3] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz x y z 1 : P : 2x y z 3 12 Hỏi có bao cho mặt phẳng đường thẳng A 3;5;12 P nhiêu mặt cầu qua điểm , tiếp xúc mặt phẳng đường thẳng A B C Vô số D Lời giải Tác giả: Nguyễn Chí Thìn; Fb: Nguyễn Chí Thìn Chọn B Cách 1: S P S , theo giả thiết mặt cầu qua A tiếp xúc với mặt phẳng nên P S tiếp xúc với A Suy tâm I thuộc đường thẳng d qua A vng góc P với mặt phẳng r r r r n P 2; 2; 1 , u 3;5;12 � n P u 8 �0 P nên cắt Ta có Gọi A � P M � P , M cố định S , ta có MA MB nên B thuộc mặt cầu S ' tâm M Giả sử B điểm tiếp xúc S' bán kính MA cắt điểm thứ hai C nên có khơng q mặt cầu thỏa mãn Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cắt d I , mặt cầu tâm I bán kính IA IB thỏa mãn toán Tương tự, mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AC cắt d J , mặt cầu tâm J bán kính JA IC thỏa mãn tốn Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn Cách 2: Anh Tú +) Nhận thấy A � P A 3;5;12 P tiếp xúc +) Gọi I tâm mặt cầu qua , tiếp xúc với mặt phẳng đường thẳng P +) Gọi d đường thẳng qua A d vng góc với mặt phẳng �x 3 2t � d : �y 2t �z 12 t Ta có � � I 2t 3; 2t 5; t 12 +) Khi I �d , với t �� M 2; 3;1 uur u 3;5;12 +) Ta có qua có vécto phương uuu r uu r uuu r � 29t 41; 21t 27;16t 1 MI , u MI 2t 5; 2t 8; t 11 � � +) , � uuu r uu r � MI , u � � � d I , P d I , d � d I , P uu r u +) Theo giả thiết ta có � 2t 3 2t t 12 � 9t 21t 27 16t 1 1 2 178 1538t 1212t 2411 � 64t 1212t 2411 178 Phương trình Câu 29t 41 1 có nghiệm phân biệt suy có mặt cầu thỏa mãn yêu cầu toán [2H3-6.4-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , S : x y z x y z điểm M 0;1;0 Mặt phẳng P qua cho mặt cầu M cắt S theo đường tròn C có diện tích nhỏ Gọi N x0 ; y0 ; z0 thuộc đường C cho ON Khi y0 tròn A 2 B C 1 D Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Thắng ; Fb: Nguyễn Thắng Phản biện: Nguyễn Minh Đức, Fb: Duc Minh Chọn B Mặt cầu S có tâm I 1; 2;1 bán kính R uuur IM 1; 1; 1 � IM R M nằm bên mặt cầu C H hình chiếu I P H tâm Gọi r bán kính đường tròn C theo định lí Pytago ta có: r IH R đường tròn C có diện tích nhỏ r đạt GTNN IH đạt GTLN Mà IH �IM IM không đổi ( I M cố định) C có diện tích nhỏ H �M � P IM uur P qua M nhận uIM P là: x y z VTPT nên phương trình Suy ra: Hình tròn C P S nên phương trình C là: giao tuyến �x y z x y z � �x y z �x0 y0 z0 x0 y0 z0 (1) � (2) �x0 y0 z0 �2 x y0 z (3) Vậy ta có hệ phương trình xác định điểm N : �0 Lấy (1) trừ (3) theo vế ta được: x0 y0 z0 6 � x0 y0 z0 3 (4) Lấy (2) trừ (4) theo vế ta được: y0 Câu [2H3-6.4-3] (Kim Liên 2016-2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z m mặt cầu S : x2 y z x y Tìm tất giá trị P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường tròn có bán tham số thực m để mặt phẳng kính m � 4;16 m � 1; 4 m � 3; 6 m � 1;3 A B C D Lời giải Tác giả: Hồng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng Chọn A S có tâm I 2;3; bán kính R 13 Mặt cầu P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường tròn là: Điều kiện để mặt phẳng m 10 13 * d I, P R � Đường tròn giao tuyến có bán kính tức m 16 � m 10 2 � � 13 � R d I, P � m 10 36 m4 � * ta có m , m 16 thỏa mãn Kiểm tra với điều kiện Câu [2H3-6.4-3] (Nguyễn Đình Chiểu Tiền Giang) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu �x 2t � d : �y 1 t 2 P mặt phẳng chứa d S : x 3 y 1 z đường thẳng � �z t Gọi S theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất, phương trình P cắt A x y z B 3x y z C x y D y z Lời giải Tác giả: Phạm Thu Thuận; Fb:Bon Bin Chọn D Mặt cầu S : x 3 y 1 z có tâm I (3;1;0) bán kính R K hình chiếu vng góc I lên P Gọi H hình chiếu vng góc I lên duu ;u r H 2t ; t ; t IH 2 2t ; t ; t Ta có H �d nên gọi ; r ; u 2;1; 1 d Đường thẳng uuu r r có vectơ phương IH d � IH u � 2 2t 2 t t 1 � t � H 3;0; 1 uuu r IH 0; 1; 1 � IH R P Nên Do d cắt mặt cầu (S) hai điểm Mặt phẳng r R2 d I ; P d I ; P S cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính d I ; P Để r nhỏ lớn d I ; P IK �IH Ta có (tính chất đường vng góc đường xiên) d I ; P IK IH K H Do lớn � uuu r P H IH Khi mặt phẳng qua nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x 3 y z 1 hay y z Vậy phương trình mặt phẳng Câu P : y z 1 [2H3-6.4-3] (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu �x 2t � d : �y 1 t 2 P mặt phẳng chứa d S : x 3 y 1 z đường thẳng � �z t Gọi S theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất, phương trình P cắt A x y z B 3x y z C x y D y z Lời giải Tác giả: Phạm Thu Thuận; Fb:Bon Bin Chọn D Mặt cầu S : x 3 y 1 z có tâm I (3;1;0) bán kính R P K I Gọi H hình chiếu vng góc I lên duu ;u r hình chiếu vng góc lên H 2t ; t ; t IH 2 2t ; t ; t Ta có H �d nên gọi ; r ; u 2;1; 1 d Đường thẳng uuu r r có vectơ phương IH d � IH u � 2 2t 2 t t 1 � t � H 3;0; 1 uuu r IH 0; 1; 1 � IH R P Nên Do d cắt mặt cầu (S) hai điểm Mặt phẳng r R2 d I ; P d I ; P S cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính d I ; P Để r nhỏ lớn d I ; P IK �IH Ta có (tính chất đường vng góc đường xiên) d I ; P IK IH K H Do lớn � uu r P qua H nhận uIH Khi mặt phẳng làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x 3 y z 1 hay y z Vậy phương trình mặt phẳng P : y z 1