2H3 6 04 3

Câu [2H3-6.4-3] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz x  y  z 1 :   P : 2x  y  z    3 12 Hỏi có bao cho mặt phẳng đường thẳng A 3;5;12  P nhiêu mặt cầu qua điểm  , tiếp xúc mặt phẳng   đường thẳng  A B C Vô số D Lời giải Tác giả: Nguyễn Chí Thìn; Fb: Nguyễn Chí Thìn Chọn B Cách 1: S P S , theo giả thiết mặt cầu   qua A tiếp xúc với mặt phẳng   nên   P S tiếp xúc với   A Suy tâm I   thuộc đường thẳng d qua A vng góc  P với mặt phẳng r r r r n P   2; 2;  1 , u    3;5;12  � n P u   8 �0 P nên  cắt   Ta có Gọi A � P  M   � P  , M cố định  S  , ta có MA  MB nên B thuộc mặt cầu  S ' tâm M Giả sử B điểm tiếp xúc  S' bán kính MA  cắt   điểm thứ hai C nên có khơng q mặt cầu thỏa mãn Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cắt d I , mặt cầu tâm I bán kính IA  IB thỏa mãn toán Tương tự, mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AC cắt d J , mặt cầu tâm J bán kính JA  IC thỏa mãn tốn Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn Cách 2: Anh Tú +) Nhận thấy A � P  A  3;5;12   P  tiếp xúc +) Gọi I tâm mặt cầu qua , tiếp xúc với mặt phẳng đường thẳng   P +) Gọi d đường thẳng qua A d vng góc với mặt phẳng �x  3  2t � d : �y   2t �z  12  t Ta có � � I  2t  3; 2t  5;  t  12  +) Khi I �d , với t �� M  2;  3;1 uur u   3;5;12  +) Ta có  qua có vécto phương uuu r uu r uuu r �  29t  41;  21t  27;16t  1 MI , u MI   2t  5; 2t  8;  t  11 �  � +) , � uuu r uu r � MI , u � � � d  I , P   d  I , d � d  I , P   uu r u +) Theo giả thiết ta có �  2t  3   2t     t  12   � 9t    21t  27    16t  1  1 2 178 1538t  1212t  2411 � 64t  1212t  2411  178 Phương trình Câu   29t  41  1 có nghiệm phân biệt suy có mặt cầu thỏa mãn yêu cầu toán [2H3-6.4-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,  S  : x  y  z  x  y  z  điểm M  0;1;0  Mặt phẳng  P  qua cho mặt cầu M cắt  S  theo đường tròn  C  có diện tích nhỏ Gọi N  x0 ; y0 ; z0  thuộc đường  C  cho ON  Khi y0 tròn A 2 B C 1 D Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Thắng ; Fb: Nguyễn Thắng Phản biện: Nguyễn Minh Đức, Fb: Duc Minh Chọn B Mặt cầu  S có tâm I  1; 2;1 bán kính R  uuur IM   1;  1;  1 � IM   R M nằm bên mặt cầu  C  H hình chiếu I  P  H tâm Gọi r bán kính đường tròn  C  theo định lí Pytago ta có: r  IH  R đường tròn  C có diện tích nhỏ r đạt GTNN IH đạt GTLN Mà IH �IM IM không đổi ( I M cố định)  C  có diện tích nhỏ H �M �  P   IM uur  P  qua M nhận uIM  P  là: x  y  z   VTPT nên phương trình Suy ra: Hình tròn  C  P   S  nên phương trình  C  là: giao tuyến �x  y  z  x  y  z  � �x  y  z   �x0  y0  z0  x0  y0  z0  (1) � (2) �x0  y0  z0   �2 x  y0  z  (3) Vậy ta có hệ phương trình xác định điểm N : �0 Lấy (1) trừ (3) theo vế ta được: x0  y0  z0  6 � x0  y0  z0  3 (4) Lấy (2) trừ (4) theo vế ta được: y0  Câu [2H3-6.4-3] (Kim Liên 2016-2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  m  mặt cầu  S  : x2  y  z  x  y  Tìm tất giá trị  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến đường tròn có bán tham số thực m để mặt phẳng kính m � 4;16 m � 1; 4 m � 3; 6 m � 1;3 A B C D Lời giải Tác giả: Hồng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng Chọn A  S  có tâm I  2;3;  bán kính R  13 Mặt cầu  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến đường tròn là: Điều kiện để mặt phẳng m  10  13  * d  I,  P   R � Đường tròn giao tuyến có bán kính tức m  16 � m  10   2 � �  13  � R  d  I, P   �  m  10   36 m4 �  * ta có m  , m  16 thỏa mãn Kiểm tra với điều kiện  Câu  [2H3-6.4-3] (Nguyễn Đình Chiểu Tiền Giang) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu �x   2t � d : �y  1  t 2  P  mặt phẳng chứa d  S  :  x  3   y  1  z  đường thẳng � �z  t Gọi  S  theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất, phương trình  P  cắt A x  y  z   B 3x  y  z   C x  y   D y  z   Lời giải Tác giả: Phạm Thu Thuận; Fb:Bon Bin Chọn D Mặt cầu  S  :  x  3   y  1  z  có tâm I (3;1;0) bán kính R  K hình chiếu vng góc I lên  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên duu ;u r H   2t ;   t ;  t  IH   2  2t ;   t ;  t  Ta có H �d nên gọi ; r ; u   2;1; 1 d Đường thẳng uuu r r có vectơ phương IH  d � IH u  �  2  2t    2  t    t   1  � t  � H  3;0;  1 uuu r IH   0;  1;  1 � IH   R  P Nên Do d cắt mặt cầu (S) hai điểm Mặt phẳng r  R2  d  I ;  P     d  I ;  P    S cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính d I ; P  Để r nhỏ  lớn d  I ;  P    IK �IH Ta có (tính chất đường vng góc đường xiên) d I ; P  IK IH K H Do  lớn  � uuu r P  H IH Khi mặt phẳng qua nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  x  3   y     z  1  hay y  z   Vậy phương trình mặt phẳng Câu  P : y  z 1  [2H3-6.4-3] (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu �x   2t � d : �y  1  t 2  P  mặt phẳng chứa d  S  :  x  3   y  1  z  đường thẳng � �z  t Gọi  S  theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất, phương trình  P  cắt A x  y  z   B 3x  y  z   C x  y   D y  z   Lời giải Tác giả: Phạm Thu Thuận; Fb:Bon Bin Chọn D Mặt cầu  S  :  x  3   y  1  z  có tâm I (3;1;0) bán kính R   P K I Gọi H hình chiếu vng góc I lên duu ;u r hình chiếu vng góc lên H   2t ;   t ;  t  IH   2  2t ;   t ;  t  Ta có H �d nên gọi ; r ; u   2;1; 1 d Đường thẳng uuu r r có vectơ phương IH  d � IH u  �  2  2t    2  t    t   1  � t  � H  3;0;  1 uuu r IH   0;  1;  1 � IH   R  P Nên Do d cắt mặt cầu (S) hai điểm Mặt phẳng r  R2  d  I ;  P     d  I ;  P    S cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính d I ; P  Để r nhỏ  lớn d I ;  P    IK �IH Ta có  (tính chất đường vng góc đường xiên) d I ; P  IK IH K H Do  lớn  � uu r  P  qua H nhận uIH Khi mặt phẳng làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  x  3   y     z  1  hay y  z   Vậy phương trình mặt phẳng  P : y  z 1 