Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Huỳnh Như ; Fb: Nhu Nguyen Chọn A Không mất tính tổng quát, ta giả sử các cạnh của hình lập phương bằng 6, góc α là góc giữa hai mặt phẳng MC D ′ ′ và MAB.
Trang 1Câu 1 [2H1-4.0-3] (GIỮA-HKII-2019-VIỆT-ĐỨC-HÀ-NỘI) Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có tâm O Gọi I là tâm hình vuông A B C D ′ ′ ′ ′ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho
1 2
OM = MI Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D ′ ′ ) và ( MAB )
bằng
A.
6 13
17 13
6 85
7 85
85
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Huỳnh Như ; Fb: Nhu Nguyen
Chọn A
Không mất tính tổng quát, ta giả sử các cạnh của hình lập phương bằng 6, góc α là góc giữa hai mặt phẳng ( MC D ′ ′ ) và ( MAB ) .
Gọi P N , lần lượt là trung điểm của D C ′ ′
Xét ( MAB ) và ( MC D ′ ′ ) có AB C D / / ′ ′,
M ∈ MAB ∩ MC D ′ ′
/ / / /
M d MAB MC D d
d AB C D
∈
′ ′
Mà
MN AB d MN
MP C D d MP
Vậy : α = ( · , MN MP ).
Ta có MP = IM2+ IP2 = 13, MN = 5, NP = 6 2.
Áp dụng định lí côsin vào tam giác MNP ta được:
cos
MP MN PN PMN
MP MN
⇒
2
Cách 2:
Trang 2Ta giả sử các cạnh của hình lập phương bằng 6, góc α là góc giữa hai mặt phẳng ( MC D ′ ′ ) và ( MAB ) .Gọi P N , lần lượt là trung điểm của D C ′ ′ và AB
Gọi P N , lần lượt là trung điểm của D C ′ ′ và AB
Xét ( MAB ) và ( MC D ′ ′ ) có AB C D / / ′ ′, M ∈ ( MAB ) ( ∩ MC D ′ ′ )
/ / / /
M d MAB MC D d
d AB C D
∈
′ ′
Mà
MN AB d MN
MP C D d MP
Vậy : α = ( · , MN MP ).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, với I làgốc tọa độ
Từ điều kiện của giả thiết, ta được : M ( ) 0;2 , N ( − 3;6 ) , P ( ) 3;0 .
( 3;4 , ) ( 3; 2 , ) 17, 5, 13
uuuur uuur uuuuruuur uuuur uuur
Khi đó:
cos
65
5 13
MN MP
MN MP
uuuuruuur uuuur uuur
α
.
2 6 13
65