Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho làCâu 24: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên?. Số điểm thuộc đồ thị C cách đều hai t
Trang 1CHUYÊN ĐỀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
DẠNG 1: CÂU HỎI LÍ THUYẾT
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Đồ thị hàm số không có tiệm cận B.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1
C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y2
Câu 2: Trong các phát biểu sau đây, đâu là phát biểu đúng?
A Các đường tiệm cận không bao giờ cắt đồ thị của nó
B Nếu hàm số y f x( ) có tập xác định là thì đồ thị của nó không có tiệm cận đứng
C Đồ thị của hàm số dạng phân thức luôn có tiệm cận đứng
D.Đồ thị hàm số y ax b
cx d
với c0, adcb0 luôn có hai đường tiệm cận
Câu 3: Cho hàm số y f x có tập xác định D \2;1, liên tục trên các khoảng xác định và có
Phát biểu nào sau đây sai?
A x1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x
B Đồ thị hàm số y f x có đường tiệm cận ngang là y1
C Đồ thị hàm số y f x có đường tiệm cận ngang là y 3
D x 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x
DẠNG 2: TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT HÀM SỐ
Câu 4: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2
1
x y x
2
5 4
x x y
Trang 2A yx325x28 B yx48x299 C. 32 1
2
x y x
x y x
x x y
4
3 4
x y
x là:
DẠNG 3: TÌM TIỆM CẬN KHI BIẾT ĐỒ THỊ HAY BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 20: Cho đồ thị hàm số y f x như hình bên Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trang 3A.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x0, tiệm cận ngang y1
B Hàm số có hai cực trị
C Hàm số đồng biến trong khoảng ; 0 và 0;
D Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận
Câu 21: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x là
Câu 22: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang y 1,y 1
B Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang y 1
C Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang y 1,y 1 và 1 đường tiệm cận đứng x 1
D Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang y 1 và 1 đường tiệm cận đứng x 1
Câu 23: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Trang 4Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
Câu 24: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận
B Đồ thị hàm số không có tiệm cận
C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và có giá trị nhỏ nhất bằng 0
D Hàm số nghịch biến trên các khoảng;0 và 0;
Câu 25: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
Trang 6Câu 32: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có bảng biến thiên như hình vẽ
Tìm số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số
DẠNG 4: TÌM TIỆM CẬN KHI HÀM SỐ CÓ THAM SỐ
Câu 33: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2 1
x y
có đúng hai đường tiệm cận?
Trang 7x y
6
x y
Trang 8A. 1
; 03
x có đồ thị C Số điểm thuộc đồ thị C cách đều hai tiệm cận của đồ thị
x cắt hai trục tọa độ tại các điểm A B Bán kính , R
của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là
có đồ thị C Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của C Tiếp
tuyến của C cắt hai đường tiệm cận của C tại hai điểm A, B Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng
Câu 50: Cho hàm số 2 2
2
x y x
có đồ thị là C , M là điểm thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại
M cắt hai đường tiệm cận của C tại hai điểm A, B thỏa mãn AB2 5 Gọi S là tổng các
hoành độ của tất cả các điểm M thỏa mãn bài toán Tìm giá trị của S
Câu 51: Cho hàm số 1
2
x y x
x
có đồ thị C Điểm M có hoành độ dương nằm trên C sao cho
khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của
C Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của C bằng
Trang 9Câu 53: Cho hàm số 2
2
x y x
có đồ thị C Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ
thị C đến một tiếp tuyến của C Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là
A 3 3 B. 2 C 3 D 2 2
Câu 55: Cho hàm số 2 1
1
x y x
x có đồ thị C Biết đồ thị C có hai điểm M N, thỏa mãn tổng khoảng cách từ M hoặc N đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất Khi đó MN có giá trị bằng
A MN4 2 B MN6 C MN4 3 D. MN6 2
Câu 57: Cho hàm số 2 1
1
x y x
có đồ thị là C , I là giao điểm các đường tiệm cận của C Gọi M
là điểm thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B thỏa mãn chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất Khi đó có mấy điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán?
BẢNG ĐÁP ÁN
1.B 2.D 3.B 4.D 5.D 6.C 7.A 8.C 9.A 10.D 11.D 12.D 13.A 14.B 15.B 16.B 17.C 18.D 19.C 20.A 21.A 22.A 23.C 24.A 25.C 26.A 27.B 28.A 29.B 30.B 31.D 32.C 33.A 34.B 35.A 36.C 37.B 38.C 39.D 40.A 41.A 42.D 43.A 44.A 45.A 46.A 47.C 48.C 49.A 50.C 51.C 52.B 53.C 54.B 55.B 56.D 57.C
Trang 10HƯỚNG DẪN GIẢI CHUYÊN ĐỀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
DẠNG 1: CÂU HỎI LÍ THUYẾT
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Đồ thị hàm số không có tiệm cận B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1
C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y2
Lời giải Chọn B
Vì
1
lim
nên đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x1
Câu 2: Trong các phát biểu sau đây, đâu là phát biểu đúng?
A Các đường tiệm cận không bao giờ cắt đồ thị của nó
B Nếu hàm số y f x( ) có tập xác định là thì đồ thị của nó không có tiệm cận đứng
C Đồ thị của hàm số dạng phân thức luôn có tiệm cận đứng
c ad cb luôn có hai đường tiệm cận
Câu 3: Cho hàm số y f x có tập xác định D \2;1, liên tục trên các khoảng xác định và có
Phát biểu nào sau đây sai?
A x1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x
B Đồ thị hàm số y f x có đường tiệm cận ngang là y1
C Đồ thị hàm số y f x có đường tiệm cận ngang là y 3
D x 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x
Trang 11DẠNG 2: TÌM TIỆM CẬN KHI BIẾT HÀM SỐ
Câu 4: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2
1
x y x
Ta có lim lim 2 lim 2 2
1
x y
1
x y
nên đường thẳng x1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Lại có lim lim1 3 3
1
x y
x
nên đường thẳng y 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị Do đó I(1; 3)
Tác giả: Hoàng Văn Lưu; Fb: Hoàng Lưu thsphanmanhtruong@gmail.com
Câu 6: Cho hàm số
2 2
2
5 4
x x y
, nên đường y2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận
Câu 7: Cho hàm số
2 2
Trang 12Tác giả: Phan Mạnh Trường; Fb:Phan Mạnh Trường
Chọn D
Ta có
2 2
x y x
x y x
x x y
Trang 13 , nên đồ thị hàm số nhận y0 làm tiệm cận ngang
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận
4
3 4
x y
4lim lim
3 4
x y
4lim lim
3 4
x y
Trang 141
x
x x
Trang 15Điều kiện xác định của hàm số là 3.
2
x x
x y
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận
D
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y 3
Trang 16Ta thấy với x 2 1 thì 3x2 2 0, do vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x 2 1
Câu 19: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x
đồ thị hàm số nhận x0 làm tiệm cận đứng
DẠNG 3: TÌM TIỆM CẬN KHI BIẾT BBT HAY ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Câu 20: Cho đồ thị hàm số y f x như hình bên Khẳng định nào sau đây là đúng?
A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x0, tiệm cận ngang y1
B Hàm số có hai cực trị
C Hàm số đồng biến trong khoảng ; 0 và 0;
D Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận
Lời giải Chọn A
Câu 21: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Trang 17Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x là
và lim
nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang
Vậy hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x 1
Anhltk85@gmail.com
Câu 22: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang y 1,y 1
B Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang y 1
C Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang y 1,y 1 và 1 đường tiệm cận đứng x 1
D Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang y 1 và 1 đường tiệm cận đứng x 1
Trang 18Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
Lời giải Chọn C
Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là 3
Câu 24: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên
Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 25: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
Trang 19A 1 B 2 C 3 D 0
Lời giải Chọn C
Vì
2 0
limlimlim 0
nên đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận
Câu 26: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y 1, hai tiệm cận đứng là x 2
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận
Trang 20Ta có g x là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc cảu mẫu nên lim 0
Vậy đồ thị hàm số g x có 9 đường tiệm cận
Câu 28: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm y f x như hình vẽ Hỏi đồ
( )
Trang 21Dựa vào BBT, phương trình 2f x 5 0 5
Điều kiện xác định:
2
01
4 3 0
f x x
x x x x
x x
Trang 22Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có bảng biến thiên như hình vẽ
Tìm số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số
Trang 23Tác giả: Nguyễn Thị Quỳnh; Fb: Quỳnh Nguyễn
m m
có đúng hai đường tiệm cận?
Trang 24x y
+ Nếu m0 thì hàm số trở thành hàm số bậc nhất nên không có tiệm cận
+ Nếu m0 thì mẫu số dương và tập xác định của hàm số là D
Ta có
2
12
11
x
m mx
Câu 37: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x 1
Trang 25Câu 38: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
3
x y
Ta có:
2
2
313
Do đó, đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang là y 1; y1
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì chỉ cần có thêm 1 tiệm cận đứng
Vậy có 2 giá trị của m thỏa ycbt
Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x
+ Với m0 thì y x 1
x
suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận
+ Với m0 ta có lim 1; lim 1
Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y 1
Do đó, để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình x m 0 có hai nghiệm khác 0 Suy ra 0
00
Trang 26Khi x ,y nx mx2 12x 3 , đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
Khi x ,y nx mx2 12x3, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi n m
Trang 27Câu 43: Tìm tập hợp các giá trị m để đồ thị hàm số
2 2
6
x y
6
x y
Từ bảng biến thiên ta có phương trình 2
5
+
-0 0
1 -1
f(x)
f '(x) x
Trang 28Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn
x có đồ thị C Số điểm thuộc đồ thị C cách đều hai tiệm cận của đồ thị
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn đề bài Vậy có 2 điểm thỏa mãn đề bài
Câu 46: Hai tiệm cận của đồ thị hàm số 3 1
x cắt hai trục tọa độ tại các điểm , A B Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là
Trang 29Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x4, đường tiệm cận ngang y3
Vậy khoảng cách giữa hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 21
có đồ thị C Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của C Tiếp
tuyến của C cắt hai đường tiệm cận của C tại hai điểm A, B Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng
A 4 2 B 8 C 2 D 4
Lời giải Chọn A
Tập xác định: D \ 2 ;
2
42
y x
Tiệm cận đứng là đường thẳng x2; tiệm cận ngang là đường thẳng y1, suy ra I 2;1
Phương trình tiếp tuyến d của C có dạng
2 0 0
0 0
24
22
x
x x
2
x A x
Trang 30Do tam giác IAB vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là
2
AB
R Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là PAB.
có đồ thị là C , M là điểm thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại
M cắt hai đường tiệm cận của C tại hai điểm A, B thỏa mãn AB2 5 Gọi S là tổng các
hoành độ của tất cả các điểm M thỏa mãn bài toán Tìm giá trị của S
y x
m
m m
m
và B2m2; 2 Theo giả thiết AB2 5
m m
m m m m
Vậy S8
Câu 50: Cho hàm số 1
2
x y x
Trang 31Tác giả: Nguyễn Văn Rin; Fb: Nguyễn Văn Rin
Chọn C
Ta có
2
32
y x
Đồ thị C có tiệm cận ngang y1 và tiệm cận đứng x 2
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 2
y m x
x
có đồ thị C Điểm M có hoành độ dương nằm trên C sao cho
khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của
C Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của C bằng
t
t t
Kết hợp điều kiện ta có t7
Với t 7 M 7;5 IM 4; 2 IM 2 5
Câu 52: Cho hàm số 2
2
x y x
Trang 32
có đồ thị C Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ
thị C đến một tiếp tuyến của C Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là
y x
a
a a
a
Dấu “=” xảy ra a0 hoặc a 2
Vậy giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là 2
Trang 33Câu 54: Cho hàm số 2 1
1
x y x
a
a a
Suy ra M là giao điểm của đường thẳng d đi qua Icó hệ số góc k 1 và đồ thị hàm số
Phương trình qua d có dạng: y 2 1x 1 y x 1
Hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
0
2 11
21
x x
x
x x
M M
x có đồ thị C Biết đồ thị C có hai điểm M N, thỏa mãn tổng khoảng cách từ M hoặc N đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất Khi đó MN có giá trị bằng
Trang 34Với m0 ta có M 0;1
Với m6 ta có N 6;7 MN 6 2
Bài này có nhiều cách hỏi nên ta phát triển thêm các câu khác từ đây Ví dụ:
Tìm điểm thuộc nhánh phải (nhánh trái) đồ thị mà tổng khoảng cách từ nó đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà tổng khoảng cách từ nó đến hai tiệm cận đạt giá tri nhỏ nhất sao cho hoành độ tiếp điểm có hoành độ dương
Biết đồ thị C có hai điểm M N, và tổng khoảng cách từ M hoặc N đến hai đường tiệm
cận là nhỏ nhất Khi đó,tìm tọa độ trung điểm của MN
Câu 56: Cho hàm số 2 1
1
x y x
có đồ thị là C , I là giao điểm các đường tiệm cận của C Gọi M
là điểm thuộc C sao cho tiếp tuyến của C tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B thỏa mãn chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất Khi đó có mấy điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán?
m m
Trang 35Như vậy tam giác IAB vuông tại I và có diện tích không đổi nên chu vi tam giác này nhỏ nhất
khi IAIB 6 2 1 1 3
m m