Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Tỉnh Thái Bình Bài tập về tiệm cận của đờng cong A lí thuyết I - Tiệm cận của hàm phân thức Xét hàm số : ( ) ( ) ( ) u x y f x v x = = 1. Tiệm cận đứng : Bớc 1 : Giải phơng trình u(x) = 0 { } 1 2 , , , n x x x x Bớc 2 : Nếu ( ) 0 ( ) lim ( ) 0 ( ) k k k x x k u x u x x x v x v x = = = là tiệm cận đứng 2. Tiệm cận ngang Bớc 1: Dấu hiệu nhận biết MXD : Chứa Deg(u(x)) Deg(v(x)) Bớc 2 : Xét giới hạn ( ) lim ( ) x u x b y b v x = = là tiệm cận ngang 3. Tiệm cận xiên Bớc 1: Dấu hiệu nhận biết MXD:chứa Deg(u(x)) = Deg(v(x))+1 Bớc 2 : Tìm tiệm cận Cách 1 : Phơng pháp tổng quát ( ) lim x f x a x = và lim( ( ) ) x b f x ax = suy ra y = ax + b là TCX Cách 2 : Bớc 1 :Thực hiện phép chia đa thức ( ) z(x) ( ) voi Bac z(x)< Bac v(x) ( ) v(x) u x f x ax b v x = = + + Bớc 2 : Xét ( ) lim( ( ) ( )) lim 0 ( ) x x z x f x ax b v x + = = suy ra y = ax +b là TCX II Tiệm cận của hàm vô tỷ chứa căn bậc hai 1. Xét hàm số 2 ( 0)y ax bx c a= + + > Xét 2 lim( ) 2 x b ax bx c a x a + + + = 0 nên 2 b y a x a = + là TCX Với x + ta có TCX bên phải ( ) 2 b y a x a = + Với x ta có TCX bên trái ( ) 2 b y a x a = + Chú ý : Với a < 0 thì hàm số không có tiệm cận 2. Tiệm cận hàm số 2 ( 0)y mx n p ax bx c a= + + + + > là 2 b y mx n p a x a = + + + Với x + Ta có TCX bên phải ( ) 2 b y mx n p a x a = + + + Với x ta có TCX bên trái ( ) 2 b y mx n p a x a = + + Chú ý : với a< 0 hàm số không có tiệm cận 1 Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Tỉnh Thái Bình Hàm số y = a 0 x n +a 1 x n -1 + + a 1 x + a 0 không có tiệm cận B Bài tập Bài 1 : Tìm tiệm cận các hàm số sau a) 4 3 2 5 x y x = + b) 2 3x 6 15 y= 1 x x + c) 3 2 2 x 4 2 y = 4 x x x + d) 2 2 8 2 3 9 x y x x = + + Bài 2 : Tìm tiệm cận hàm số a) 2 5 2 1 mx x y x + = + b) 2 x+2 y= 4x x m + c) 3 2 m x 1 y = 3 2x x + Bài 3: ( ĐHSP TPHCM ) Cho ( C m ) : 2 2 2 ( ) 1 x mx y f x x + = = Tìm m để đờng TCX tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4 Bài 4 : (ĐHQGTPHCM) Cho (C m ) : 2 1 ( ) 1 x mx y f x x + = = Tìm m để đờng TCX tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 Bài 5 : Cho ( C ) : 2 2 3 2 ( ) 1 x x y f x x + = = 1) CMR : Tích khoảng cách từ M Thuộc (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi 2) Tìm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt nhỏ nhất Bài 6 : Tìm tiệm cận các hàm số sau a) 2 3 2y x x= + b) 2 y = x+2 -3 x 4 c) 2 x+1 y= 4x d) x+1 y= x x-1 Bài 7 (ĐHTN 98 ) Cho (C) : 2 x sin 2x cos 1 y f(x) x 2 + + = = + 1) Xác định tiêm cận xiên của đồ thị hàm số 2) Tìm để khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên đạt giá trị Max HD : 2 x sin 2x cos 1 4sin 4cos 1 y f(x) xsin 2(cos sin ) x 2 x 2 + + + = = = + + + + Đồ thị có TCX sin 0 sin 0 1 cos( ) 4sin 4cos 1 0 4 4 2 + + Với điều kiện đó TCX y = xsin 2(cos sin ) + KQ 1 tg 2 = Bài 8 : Tìm m để hàm số : 2 x 3 y x mx 1 = + + a) Có đúng một tiệm cận đứng b) Có hai TCĐ x= x 1 và x = x 2 sao cho 2 2 1 2 2 2 2 1 x x 7 x x + > Bài 9 : (ĐH YD TPHCM 97 ) Cho (C) : 2 ax (2a 1)x a 3 y f(x) x 2 + + + = = với a #0 và a# 1 CMR Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Bài 10 :(ĐHAN 97 ) Cho (C) : 2 2 (m 1)x m y f(x) (m 0) x m + = = CMR : Tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định 2 §ç §×nh Qu©n – GV To¸n Trêng THPT Nam TiÒn H¶i – TØnh Th¸i B×nh KQ : y = 2 1 1 1 (P) : y x x 4 2 4 − = + − 3 . Deg(u(x)) Deg(v(x)) Bớc 2 : Xét giới hạn ( ) lim ( ) x u x b y b v x = = là tiệm cận ngang 3. Tiệm cận xiên Bớc 1: Dấu hiệu nhận biết MXD:chứa Deg(u(x)). tiệm cận ngang 3. Tiệm cận xiên Bớc 1: Dấu hiệu nhận biết MXD:chứa Deg(u(x)) = Deg(v(x))+1 Bớc 2 : Tìm tiệm cận Cách 1 : Phơng pháp tổng quát ( ) lim x