Thông tin tài liệu
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 11, SỞ VĨNH PHÚC NĂM 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu 1: π cos x − sin − x ÷ − = Giải phương trình 2 Câu 2: Cho khai triển nhị thức Newton ( x − x)n = a0 + a1 x + a2 x + + a2n x n , (n ∈ N * ) Tìm hệ số a10 Cnn− + Cnn− = 21 Biết Câu 3: Một vải hình chữ nhật 100 vòng (theo chiều dài vải) quanh lõi hình trụ có bán kính đáy 5cm cho mép vải ln song song với trục hình trụ Biết bề dày vải 0,3 cm Tính chiều dài vải Câu 4: Chứng minh phương trình Câu 5: Từ 2018 x5 + 2018x + 2019 = số nguyên dương lấy có nghiệm thực số xếp thành dãy số có dạng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 Hỏi có dãy số dạng biết a1 , a2 , a3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Câu 6: Cho dãy số ( un ) u1 = 2019 un3 + 20182 * u = n +1 u − u + 4036 , ∀ n ∈ ¥ xác định n n n Đặt Câu 7: ,∀n ∈ ¥* Tính lim k =1 uk + 2018 = ∑ Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Gọi M điểm đường thẳng BD ', P AM = AD, N điểm cạnh AD cho là điểm đường thẳng CC ' cho điểm M , N, P MN thẳng hàng Tính tỉ số MP Câu 8: · = 600 , SA = SB = SC = b S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD M trung điểm BC , điểm P cạnh SD cho SD = 4SP Mặt phẳng Cho hình chóp SD = 2b Gọi Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 ( α ) qua M , P song song với AC Tính theo a, b diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( α ) hình chóp Câu 9: S ABCD Trong mặt phẳng với hệ tọa độ AB , AC Oxy , cho tam giác ABC cân 5x − y − = , x − y + 14 = Gọi D 8 M ; ÷ điểm AD , 5 hình chiếu vng góc D A , phương trình đường thẳng trung điểm BC , E trung BE Tìm tọa độ điểm A , B , C Câu 10: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( b + c − a) P= a + ( b + c) 2 ( c + a − b) + b + ( a + c) 2 2 ( a + b − c) + c + ( a + b) 2 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 11, SỞ VĨNH PHÚC NĂM 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT Câu 1: π cos x − sin − x ÷ − = Giải phương trình 2 Lời giải π cos x − sin − x ÷ − = ⇔ cos2 x − cos x − = 2 ⇔ 2cos x − cos x − = cos x = − ⇔ cos x = ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢ ( ) Câu 2: Cho khai triển nhị thức Newton Biết ( x − x)n = a0 + a1 x + a2 x + + a2n x n , (n ∈ N * ) Tìm hệ số a10 Cnn− + Cnn− = 21 Lời giải Tác giả:Võ Văn Trung; Fb: Van Trung Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 Giải phương trình tìm n: Cnn −1 + Cnn −2 = 21(n ∈ N * , n ≥ 2) ⇔ n = 6(nh) n! n! n(n − 1) + = 21 ⇔ n + = 21 ⇔ n + n − 42 = ⇔ (n − 1)! 2!(n − 2)! n = −7(l) Ta có: Mà 6 k=0 k=0 ( x − x) = ∑ C6k ( x ) 6− k ( − x) k = ∑ C6k ( − 1) k x12− k ( x − x)6 = a0 + a1 x + a2 x + + a12 x12 Suy ra: a10 nên hệ số x10 x10 = x12 − k ⇒ k = Vậy hệ số a10 2 C ( − 1) = 15 là: nguyennhuhunggh@gmail.com Câu 3: Một vải hình chữ nhật 100 vòng (theo chiều dài vải) quanh lõi hình trụ có bán kính đáy 5cm cho mép vải song song với trục hình trụ Biết bề dày vải 0,3 cm Tính chiều dài vải Lời giải Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung Chiều dài vòng thứ 2π 5 ( cm ) Chiều dày vòng thứ 2π ( + 0,3) ( cm ) Chiều dày vòng thứ 2π ( + 2.0,3) ( cm ) … Chiều dày vòng thứ 100 2π ( + 99.0,3) ( cm ) Suy chiều dài vải 99.100 2π ( 5.100 + 0,3 ( + + + … + 99 ) ) = 2π 500 + 0,3 ÷ = 3970π ( cm ) vantrung38@gmail.com chucnguyen29796@gmail.com Câu 4: Chứng minh phương trình x5 + 2018x + 2019 = có nghiệm thực Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Chúc; Fb:Chuc Nguyen Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 Cách 1: (sử dụng kiến thức lớp 12) f ( x ) = x5 + 2018 x + 2019 Xét hàm số Ta có y ' = 20 x + 2018 > ∀ x ∈ ¡ Suy phương trình Ta có x∈ ¡ ( 1) có tối đa nghiệm f ( ) = 2019; f ( − 1) = − ⇒ f ( ) f ( − 1) < Suy phương trình Từ f ( x) = ¡ liên tục ( 1) ; ( ) f ( x) = a ∈ ( − 1;0 ) ( ) có nghiệm suy phương trình f ( x) = có nghiệm a ∈ ( − 1;0 ) Do vậy, phương trình cho có nghiệm thực Cách 2: (sử dụng kiến thức lớp 11) f ( x ) = x5 + 2018 x + 2019 Xét hàm số Ta có liên tục f ( x) = có nghiệm Giả sử phương trình f ( x) = có nghiệm Nếu a ∈ ( − 1;0 ) b≠ a f ( b ) − f ( a ) = ( b5 − a ) + 2018 ( b − a ) 5 b < a b5 < a5 Suy ( b − a ) + 2018 ( b − a ) < Do Nếu f ( ) = 2019; f ( − 1) = − ⇒ f ( ) f ( − 1) < Suy phương trình Ta có ¡ f ( b) − f ( a) < ⇒ f ( b) < f ( a) = (vơ lí) 5 b > a ⇒ b5 > a5 Suy ( b − a ) + 2018 ( b − a ) > Do f ( b ) − f ( a ) > ⇒ f ( b ) > f ( a ) = (vơ lí) Vậy điều giả sử sai Do vậy, phương trình Câu 5: Từ 2018 f ( x) = có nghiệm số nguyên dương lấy x = a (đpcm) số xếp thành dãy số có dạng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 Hỏi có dãy số dạng biết a1 , a2 , a3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 Lời giải Tác giả: Võ Quang Anh; Fb:Anh Võ Quang a1 , a2 , a3 cấp số cộng nên a2 = a1 + a3 Suy a1 , a3 tính chẵn lẻ TH1: a1 , a3 a1 , a3 chọn số 1,3,5, ,2017 nên số cách a2 = lẻ A1009 a1 + a3 nên a2 có cách a4 , a5 , a6 chọn Do số cách TH2: a1 , a3 2018 số loại ba số a1 , a2 , a3 nên số cách A2015 A1009 A2015 chẵn Làm tương tự TH1 có A1009 A2015 cách Vậy có A1009 A2015 cách lập thành dãy số thỏa mãn yêu cầu toán Thuanchy@gmail.com Câu 6: Cho dãy số ( un ) u1 = 2019 un3 + 20182 * un +1 = u − u + 4036 , ∀ n ∈ ¥ xác định n n n Đặt ,∀n ∈ ¥* Tính lim k =1 uk + 2018 = ∑ Lời giải Tác giả:Vũ Thị Thuần; Fb:Xu Xu Ta chứng minh quy nạp Thật vậy, với Với n = un = 2019, ∀ n ∈ ¥ * n = u1 = 2019 u2 = u13 + 20182 20193 + 20182 = = 2019 u12 − u1 + 4036 20192 − 2019 + 4036 Giả sử khẳng định với n = k( k ≥ 2,k ∈ ¥ ) tức uk = 2019 Khi Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 uk3 + 20182 20193 + 20182 uk +1 = = = 2019 uk − uk + 4036 20192 − 2019 + 4036 Vậy un = 2019, ∀ n ∈ ¥ * n Khi Vậy n = ,∀n ∈ ¥* 2 2019 + 2018 k =1 uk + 2018 = ∑ lim = lim n 1 = +∞ lim n = +∞ ;lim = , 20192 + 2018 20192 + 2018 20192 + 2018 vietanhhda1983@gmail.com Câu 7: Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' Gọi M điểm đường thẳng BD ', P AM = AD, N điểm cạnh AD cho là điểm đường thẳng CC ' cho điểm M , N, P MN thẳng hàng Tính tỉ số MP Lời giải Vì đường thẳng Xét mặt phẳng BD ', MP cắt điểm N nên điểm B, M , D ', P đồng phẳng ( ABCD ) , ( CDD'C') , ( BMD 'P ) đôi cắt theo giao tuyến DC , BM , D ' P Mà BM cắt DC Do đường thẳng DC , BM , D ' P Trong mặt phẳng đồng quy ( ABCD ) : BM ∩ CD = I Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 Trong mặt phẳng ( CDD' C ') : ID '∩ CC ' = P Trong mặt phẳng ( IBP ) : BD '∩ MP = N Trong mặt phẳng ( IBP ) : ME // IP ( E ∈ BD ') BM D ' I NP ME D ' I D ' P = = ( 1) Ta có BI D ' P NM ID ' D ' P ME IM MD BM = = ⇒ = Mặt khác IB BC BI (2) ID ' ID MD D ' I = = = ⇒ = ( 3) IP IC BC D ' P NP MN = ⇒ = Từ (1), (2), (3) ta có NM MP Câu 8: · = 600 , SA = SB = SC = b S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD M trung điểm BC , điểm P cạnh SD cho SD = 4SP Mặt phẳng Cho hình chóp SD = 2b Gọi ( α ) qua M , P song song với AC Tính theo a, b diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( α ) hình chóp S ABCD Lời giải Fb: Nguyenduytinh Xét hình thoi ABCD cạnh a · = 600 ⇒ BD = a, AC = a BAD Gọi giao điểm (α ) với SC , AB, SA lần Gọi I, J giao điểm MR với AD Thiết diện ngũ giác Ta có lượ N R, Q CD MNPQR S MNPQR = S PIJ − S IQR − S MNJ Mặt khác, ∆ IQR = ∆ JNM ⇒ S IQR = S JNM Ta có, tam giác IJ ta có PIJ cân, gọi K trung điểm PK ⊥ IJ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, MR / / AC ⇒ MR đường trung bình tam giác ABC K trung điểm ⇒ OD = 2OK ⇒ OB OD a = MR = AC = DK ; 2 Xét tam giác DIJ ta có AC / / IJ ⇒ DA DO AC 3 2a = = = ⇒ IJ = AC = a = DI DK IJ 2 2a a a ⇒ MJ = − ÷÷ : = OD BK SP BK SP DP DH = ⇒ = , = ⇒ = ⇒ = Mặt khác, DK BD SD BD SD DS DB DP DK PK = = = ⇒ PK = b Xét tam giác SBD có DS DB SB 1 3a 3 9ab ⇒ S PIJ = PK IJ = b= 2 16 Xét tam giác DPJ Gọi E trung điểm SD Khi ta có EC / / PJ Xét tam giác SCE có NP / / EC , P trung điểm SE ⇒ NP đường trung bình tam giác SEC ⇒ N trung điểm SC ⇒ b ⇒ MN = SB = MN đường trung bình tam giác SBC 2 Ta có: MN / / SB / / PK nên MN ⊥ IJ 1 b a ab ⇒ S MNJ = MN MJ = = 2 16 S MNPQR = 9ab 2ab 7ab − = 16 16 16 Nguyenduymanh2@gmail.com Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ AB , AC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 Oxy , cho tam giác ABC cân 5x − y − = , x − y + 14 = Gọi D 8 M ; ÷ điểm AD , 5 hình chiếu vng góc D A , phương trình đường thẳng trung điểm BC , E trung BE Tìm tọa độ điểm A , B , C Lời giải Tác giả: Nguyễn Duy Mạnh; Fb: Nguyễn Mạnh Toán Tọa độ điểm Gọi A 5 x − y − = ⇔ nghiệm hệ x − y + 14 = x = y = Vậy A ( 1;3) B ( a;5a − ) , C ( 5b − 14; b ) Vì tam giác TH1: Với ABC cân A nên AB = AC a = b − ⇔ ⇔ ( a − 1) = ( b − 3) a = − b 2 a = b − Ta có B ( a;5a − ) , C ( 5a − 4; a + ) nên D ( 3a − 2;3a ) uuur uuuur ⇔ 18a − 28a + 63 = Ta có MB.MD = ( vơ nghiệm) TH2: Với a = − b Ta có B ( a;5a − ) , C ( − 5a;4 − a ) uuur uuuur Ta có MB.MD = *Với D ( − 2a;1 + 2a ) a = ⇔ 27 27 ⇔ 8a − a = a = 40 a = có b = Kiểm tra có nên M ,E,B B ( 0; − ) , C ( 6;4 ) nên D ( 3;1) , E ( 2;2 ) thẳng hàng( thỏa mãn) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC *Với a= Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 27 11 21 133 33 47 53 107 27 133 B ; ÷ C ; ÷ D ; ÷ E ; b= ÷ 40 có 40 40 , 40 nên 20 20 , 40 40 Kiểm tra có M , E , B khơng thẳng hàng( không thỏa mãn) Kết luận: Vậy A ( 1;3) , B ( 0; − ) , C ( 6;4 ) Câu 10: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( b + c − a) P= a + ( b + c) 2 ( c + a − b) + b + ( a + c) 2 ( a + b − c) + c + ( a + b) 2 2 Lời giải Tác giả: Võ Quang Anh; Fb:Anh Võ Quang ( b + c − a) a + ( b + c) Ta có: 2 ( − 2a ) − 1= a + ( 1− a ) 2 2a ( a − 1) 2a − 2a − = = 2a − 2a + 1 − 2a ( 1− a ) (*) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số 2a ( − a ) 2a;1− a ta được: ( 2a + 1− a ) = ( a + 1) ≤ 4 (**) =− 8a 24 = −8+ 3+ a ( 3+ a) Từ (*) (**) suy ra: ( b + c −a) a + ( b + c) 2 − 1≥ 2a ( a − 1) 1− ( a +1) = 8a ( a − 1) ( + a ) ( 1− a ) Chứng minh tương tự, ta suy ra: 1 P − ≥ − 24 + 24 + + ÷ 3+ a 3+ b 3+ c 1 9 + + ≥ = Áp dụng bất đẳng thức AM – HM ta suy ra: + a + b + c + a + b + c 10 Do đó, P≥ 2a = − a a = b = c ⇔ a = b = c = Dấu xảy a + b + c = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG 11 VĨNH PHÚC Năm 2019 a= b= c= Vậy giá trị nhỏ P đạt Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11 Mã đề X
Ngày đăng: 30/03/2020, 17:57
Xem thêm:
