SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM (Hướng dẫn chấm có 07 trang) KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 Hướng dẫn chấm môn: Mơn Tốn – Lớp 12 Câu ý TXĐ: D = ¡ Câu 1 (2,5đ) y ' =- x + 6mx + - m 5,0đ ( Điểm Nội dung 0,25 ) x = m −1 y' = ⇔ Hàm số ln có hai điểm cực trị x = m +1 x = m − ⇒ y = − m + 3m − Điểm cực tiểu đồ thị (m − 1; − m + 3m − 2) 0,25 0,25 x = m + ⇒ y = − m + 3m + 0,25 0,25 Điểm cực đại đồ thị (m + 1; − m + 3m + 2) 0,25 Quỹ tích điểm cực tiểu đồ thị (P): y = − x + x Quỹ tích điểm cực đại đồ thị (P’): y = − x + x − 0,25 0,25 Điểm M vừa điểm cực đại ứng với giá trị m, vừa điểm cực tiểu ứng với giá trị khác m nên tọa độ điểm M nghiệm hệ x = y = − x + x ⇔ y = − x + x − y = 1 Vậy M ( ; ) 2 2,5đ 0,25 0,25 TXĐ: D = ¡ \ { - 1} Phương trình hồnh độ giao điểm : 2x + = −x + m x +1 ⇔ x + (3 − m) x + − m = ∆ = m − 2m + > 0∀m Đường thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B 0,25 0,25 0,25 Gọi A( x1; − x1 + m), B ( x2 ; − x2 + m) Theo Vi-ét x1 + x2 = m − 3; x1 x2 = − m ⇒ AB = 2( x2 − x1 ) = 2[( x1 + x2 )2 − x1x2 ] = 2(m − 2m + 5) OI = 0,25 0,25 0,25 Tứ giác OAIB có OI ⊥ AB 0,25 1 SOAIB = OI AB = 2( m − 2m + 5) 2 0,25 0,25 = m − 2m + Þ SD OAIB = Û 2,0đ ĐK: x ≥ − m - 2m + = Û m = 0,25 16( x + x + 13) ≤ 3x + − x + x + BPT ⇔ x + + log 2 3x + + x + x + x +13 + log ( x + x +13) £ x + + x + + log (2 x + + x + 9) Xét hàm số f ( t ) = log t + t , với t > có f '( t ) = Câu 4,0đ +1 > 0, " t > t ln 0,25 0,25 Do hàm số f ( t ) đồng biến ( 0;+¥ ) 0,25 BPT có dạng f ( x + x +13) £ f (2 3x + + x + 9) 0,25 0,25 Û x + x +13 £ x + + x + Û x + x + 2( x + - 3x + 4) + 3( x + - x + 9) £ 2( x + x) 3( x + x) ⇔ ( x + x) + + ≤0 x + + 3x + x + + x + ⇔ ( x + x)(1 + + )≤0 x + + 3x + x + + x + ⇔ x + x ≤ ⇔ x ∈ [ − 1;0] 0,25 2 2,0đ 0,25 0,25 ìï ïï 2.4 y +1 = 2 x +1 + 2log ( x ) (1) ïï y ïí 2 ïï x x y + ïï x +1 = (2) x +1 - ùùợ ùỡ < x 13 ĐK: ïí ïïỵ y > (1) ⇔ y + = 2 2x + log x − log y ⇔ + log 2 + log y = y ⇔ + log 2 y = 2y x 2 x + log 2 x x ) + log ( f (t ) = 22t + log ( 2.t ) ⇒ f '(t ) = 2.2 2t.ln + 0,25 > 0∀t > t ln 0,25 Hàm số f(t) đồng biến với t>0 PT ⇔ f ( y ) = f ( x x )⇔ y= ⇔ y2 = x 2 0,25 Với y = x thay vào PT(2) ta có: x +1 = x - x - x +1 Û x +1 - x2 - x - x +1 + = x +1 - 0,25 ⇔ x +1 + = ⇔1= ( x − 3)( x + 2) ( x + + 2)( x + − 2)( x + 2) = 3 2x + − 2x + − ( x + − 2)( x + 2) 2x + − ⇔ x + − = ( x + − 2)( x + 2) ⇔ x + + x + = ( x + 1)3 + x + 0,25 Xét hàm số g (u ) = u + u ⇒ g '(u ) = 3u + > 0∀u Hàm số g (u ) đồng biến, phương trình trở thành g ( x + 1) = g ( x + 1) ⇔ 2x + = x + ⇔ x3 − x − x = x = 0(l ) 1− ⇔ x = (l ) x = + (t / m) x= 0,25 0,25 1+ + Hệ phương trình có nghiệm + + ⇒y= ( ; ) 2 2 p I =ò p x2 ( x cos x - sin x) 0,25 dx 0,25 π Câu 2,0đ x x sin xdx π sin x ( x cos x − sin x) =∫ 0,25 ìï x ïï u = ïï sin x Đặt í x sin x ïï dx ïï dv = ( x cos x sin x ) ïỵ 0,25 ìï x ïï u = ïï sin x í - d ( x cos x - sin x) ïï ïï dv = ( x cos x - sin x) ïỵ 0,25 sin x − x cos x du = dx sin x ⇒ v = x cos x − sin x ⇒I= 0,25 π π x dx +∫ sin x x cos x − sin x π π sin x 4 0,25 p p 2p I =- - cot x p2 p- 0,25 p 2p +1 p- 0,25 Vậy I =- Câu 5,0đ 3,0đ AC ⊥ ( SBD) ⇒ ( SBD) ⊥ ( ABCD) 0,25 ( SBD) ∩ ( ABCD) = BD Kẻ SH ⊥ BD H ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) BD = AB + AD = 5a Tam giác SBD vuông S nên: SH = SB.SD 12a = BD 0,25 0,25 0,25 Gọi K giao điểm AC BD Ta có AK BD = AB AD ⇔ AK = AK AC = AB ⇔ AC = S ABCD AB AD 12a = BD AB 15a = AK 1 15a 75a = AC.BD = 5a = 2 VS ABCD 1 12a 75a 15a = SH S ABCD = = 3 0,25 0,25 0,25 0,25 Kẻ đường thẳng d qua A song song với BD Kẻ HE // KA, E thuộc d (SHE) ⊥ (SA,d); ( SHE ) ∩ ( SA, d ) = SE Kẻ HF vuông góc với SE F HF vng góc với (SA,d) BD//(SA,d) nên d(BD,SA)=d(BD,(SA,d))=d(H, (SA,d))=HF Trong tam giác SHF ta có HF = 2,0đ 1 25 25 25 = + = + = HF SH HE 144a 144a 72a 2a 2a ⇒ d ( BD, SA) = 5 0,25 0,25 0,25 0,25 Tam giác ABC đều, kẻ SO’ vng góc với (ABC) O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC O’ thuộc SO Giả sử SO’ cắt mặt cầu D tam giác SAD vuông A Gọi SA=SB=SC=l Trong tam giác SAD ta có SO '.SD = SA2 ⇒ SO ' = SA2 l = (1) SD R 0,25 Gọi E trung điểm BC ta có BC = BE = 2l sin α BC ⇒ AO ' = = 2l sin α α ⇒ SO ' = SA2 − O ' A2 = l − sin (2) Từ (1) (2) ta có l2 α α = l − sin ⇔ l = R − sin 2R 3 0,25 0,25 α α ⇒ S ABC = 3R (1 − sin )sin 2 0,25 α ⇒ SO ' = R(1 − sin ) 0,25 3 α α ⇒ VS ABC = SO '.S ABC = R (1 − sin ) sin 3 2 0,25 Đặt x = sin α ⇒ < x 1; y < −1; z > Câu 2,0đ 0,25 Mặt cầu có tâm I qua A nên a > 1; b < −1; c > a = R + Vậy R = a − = −b − = c − ⇒ b = − R − c = R + 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ I ( R + 1; − R − 1; R + 1) ⇒ IA = R ⇔ IA2 = R ⇔ ( R − 1) + ( − R + 1) + ( R − 4) = R ⇔ R − 12 R + 18 = ⇔ R = Vậy mặt cầu (S) có tâm I (4; −4;4) , bán kính R = 0,25 0,25 Phương trình mặt cầu : ( x − 4) + ( y + 4) + ( z − 4) = 2 a + b + 2c + a + b + 2c + + + 6ln(a + b + 2c) 1+ a 1+ b 1 = (a + b + 2c + 1)( + ) + 6ln( a + b + 2c) 1+ a 1+ b 0,25 P+2= Câu 2,0đ 0,25 Ta chứng minh BĐT sau 1 + ≥ (a, b > 0; ab ≥ 1) + a + b + ab Thật 1 + ≥ ⇔ ( a − b ) ( ab − 1) ≥ (ln ab ≥ ) + a + b + ab 0,25 Lại có ab + 1 4 16 + ≥ ≥ ≥ = ≥ + a + b + ab + ab c + ab + bc + ca (a + c)(b + c) (a + b + 2c ) ab ≤ ⇒ P+2≥ 16(a + b + 2c + 1) + 6ln(a + b + 2c) ( a + b + 2c ) Đặt t = a + b + 2c > ta có P + ≥ 16(t + 1) + 6ln t t2 0,25 0,25 0,25 Xét hàm số 16(t + 1) 6t − 16t − 32 f (t ) = + 6ln t ⇒ f '(t ) = ⇒ f '(t ) = ⇔ t = t2 t3 t +∞ f’(t) - 0,25 + f(t) f (4) = + 6ln 0,25 ⇒ P ≥ + 6ln ⇒ MinP = + 6ln a = b = c = 0,25 Lưu ý: Các cách giải khác, cho điểm tương đương theo phần hướng dẫn chấm HẾT ... ) = f ( x x )⇔ y= ⇔ y2 = x 2 0,25 Với y = x thay vào PT(2) ta có: x +1 = x - x - x +1 Û x +1 - x2 - x - x +1 + = x +1 - 0,25 ⇔ x +1 + = ⇔1= ( x − 3)( x + 2) ( x + + 2)( x + − 2)( x + 2) = 3 2x... cos x - sin x) ïï ïï dv = ( x cos x - sin x) ïỵ 0,25 sin x − x cos x du = dx sin x ⇒ v = x cos x − sin x ⇒I= 0,25 π π x dx +∫ sin x x cos x − sin x π π sin x 4 0,25 p p 2p I =- - cot... 0,25 π π x dx +∫ sin x x cos x − sin x π π sin x 4 0,25 p p 2p I =- - cot x p2 p- 0,25 p 2p +1 p- 0,25 Vậy I =- Câu 5,0đ 3,0đ AC ⊥ ( SBD) ⇒ ( SBD) ⊥ ( ABCD) 0,25 ( SBD) ∩ ( ABCD) = BD Kẻ SH ⊥