Trần Sĩ Tùng TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP HÀ NỘI Đề số 18 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số x y x 21 1 - = - . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB. Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: xx xx xx sincos 2tan2cos20 sincos + ++= - 2) Giải hệ phương trình: ï î ï í ì =-++++ =-++++ 011)1( 030)2()1( 22 3223 yyyxyx xyyyxyyx Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = ò + + 1 0 1 1 dx x x Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA¢ = a 2 . M là điểm trên AA¢ sao cho AMAA 1 ' 3 = uuuruuur . Tính thể tích của khối tứ diện MA¢BC¢. Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn abc 1 ++= . Chứng minh rằng: .2 222 ³ + + + + + + + + b a ac a c cb c b ba II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) và đường tròn (C): xyxy 22 –8–4–160 += . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): xyz 250 +-+= . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng 5 6 . Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần? 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là: xy 2–50 += và xy 3–70 += . Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F (1;3) - . 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D: xyz 11 212 +- == - . Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho DMAB có diện tích nhỏ nhất. Câu VII.b (1 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: x ax 55 log(25–log) = ============================ Trn S Tựng Hng dn: I. PHN CHUNG Cõu I: 2) Gi s tip tuyn d ca (C) ti Mxy 00 (;) ct Ox ti A v Oy ti B sao cho OA = 4OB. Do DOAB vuụng ti O nờn: OB A OA 1 tan 4 == ị H s gúc ca d bng 1 4 hoc 1 4 - . H s gúc ca d ti M l: yx x 0 2 0 1 ()0 (1) Â =-< - ị yx 0 1 () 4 Â =- x 2 0 11 4 (1) -=- - xy xy 00 00 3 1 2 5 3 2 ộ ổử =-= ỗữ ờ ốứ ờ ổử ờ == ỗữ ờ ốứ ở Vy cú hai tip tuyn tho món l: yx 13 (1) 42 =-++ hoc yx 15 (3) 42 = + Cõu II: 1) iu kin: x cos20 ạ . PT xxxx 22 (sincos)2sin2cos20 -+++= xx 2 sin2sin20 -= x xloaùi sin20 sin21() ộ = ờ = ở xk 2 p = . 2) H PT xyxyxyxy xyxyxyxy 222 ()()30 ()11 ỡ +++= ớ ++++= ợ xyxyxyxy xyxyxyxy ()()30 ()11 ỡ +++= ớ ++++= ợ t xyu xyv ỡ += ớ = ợ . H tr thnh uvuv uvuv ()30 11 ỡ += ớ ++= ợ uvuv uvuv (11)30(1) 11(2) ỡ -= ớ ++= ợ . T (1) ị uv uv 5 6 ộ = ờ = ở ã Vi uv = 5 ị uv 6 += . Gii ra ta c cỏc nghim (x; y) l: 521521 ; 22 ổử -+ ỗữ ốứ v 521521 ; 22 ổử +- ỗữ ốứ ã Vi uv = 6 ị uv 5 += . Gii ra ta c cỏc nghim (x; y) l: (1;2) v (2;1) Kt lun: H PT cú 4 nghim: (1;2) , (2;1) , 521521 ; 22 ổử -+ ỗữ ốứ , 521521 ; 22 ổử +- ỗữ ốứ . Cõu III: t tx = ị dxtdt 2. = . I = tt dt t 1 3 0 2 1 + + ũ = ttdt t 1 2 0 2 22 1 ổử -+- ỗữ + ốứ ũ = 11 4ln2 3 - . Cõu IV: T gi thit suy ra DABC vuụng cõn ti B. Gi H l trung im ca AC thỡ BH ^ AC v BH ^ (ACCÂAÂ). Do ú BH l ng cao ca hỡnh chúp B.MAÂCÂ ị BH = a 2 2 . T gi thit ị MAÂ = a 22 3 , AÂCÂ = a 2 . Do ú: BMACMAC a VBHSBHMAAC 3 .'''' 112 369 ÂÂÂ ===. Cõu V: Ta cú: ababcbab a bcbcbc 2 (1)+ ++ ==- +++ . Tng t, BT trt thnh: abbcca abc bccaab 2 +++ -+-+- +++ abbcca bccaab 3 +++ ++ +++ Theo BT Cụsi ta cú: abbccaabbcca bccaabbccaab 3 3 3 ++++++ ++= ++++++ . Du "=" xy ra abc 1 3 === . II. PHN T CHN 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: 1) (C) cú tõm I(4; 2) v bỏn kớnh R = 6. Ta cú IE = 29 < 6 = R ị E nm trong hỡnh trũn (C). Gi s ng thng D i qua E ct (C) ti M v N. K IH ^ D. Ta cú IH = d(I, D) IE. Nh vy MN ngn nht thỡ IH di nht H E D i qua E v vuụng gúc vi IE Khi ú phng trỡnh ng thng D l: xy 5(1)20 ++= xy 5250 ++= . 2) Gi s (S): xyzaxbyczd 222 2220 ++ += . ã T O, A, B ẻ (S) suy ra: a c d 1 2 0 ỡ = ù = ớ ù = ợ ị Ib (1;;2) . ã dIP 5 (,()) 6 = b 55 66 + = b b 0 10 ộ = ờ =- ở Vy (S): xyzxz 222 240 ++ = hoc (S): xyzxyz 222 22040 ++-+-= Cõu VII.a: Gi s cn tỡm l: 1234567 = xaaaaaaa (a 1 ạ 0). Trn S Tựng ã Gi s 1 a cú th bng 0: + S cỏch xp v trớ cho hai ch s 2 l: 2 7 C + S cỏch xp v trớ cho ba ch s 3 l: 3 5 C + S cỏch xp cho 2 v trớ cũn li l: 2! 2 8 C ã Bõy gi ta xột 1 a = 0: + S cỏch xp v trớ cho hai ch s 2 l: 2 6 C + S cỏch xp v trớ cho ba ch s 3 l: 3 4 C + S cỏch xp cho 1 v trớ cũn li l: 7 Vy s cỏc s cn tỡm l: 23223 75864 2! 711340 -=CCCCC (s). 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b: 1) Gi VTPT ca AB l n 1 (1;2) = r , ca BC l n 2 (3;1) =- r , ca AC l nab 3 (;) = r vi ab 22 0 +ạ . Do DABC cõn ti A nờn cỏc gúc B v C u nhn v bng nhau. Suy ra: BC coscos = ị nnnn nnnn 1232 1232 = rrrr rrrr ab ab 22 13 5 - = + abab 22 222150 +-= ab ab 2 112 ộ = ờ = ở ã Vi ab 2 = , ta cú th chn ab 1,2 == ị n 3 (1;2) = r ị AC // AB ị khụng tho món. ã Vi ab 112 = , ta cú th chn ab 2,11 == ị n 3 (2;11) = r Khi ú phng trỡnh AC l: xy 2(1)11(3)0 -++= xy 211310 ++= . 2) PTTS ca D: xt yt zt 12 1 2 ỡ =-+ ù =- ớ ù = ợ . Gi Mttt (12;1;2) -+- ẻ D. Din tớch DMAB l SAMABtt 2 1 ,1836216 2 ộự ==-+ ởỷ uuuruuur = t 2 18(1)198 -+ 198 Vy Min S = 198 khi t 1 = hay M(1; 0; 2). Cõu VII.b: PT xx a 5 25log5 -= xx a 2 5 55log0 = x tt tta 2 5 5,0 log0(*) ỡ =>ù ớ = ù ợ PT ó cho cú nghim duy nht (*) cú ỳng 1 nghim dng tta 2 5 log -= cú ỳng 1 nghim dng. Xột hm s fttt 2 () =- vi t ẻ [0; +). Ta cú: ftt ()21 Â =- ị ftt 1 ()0 2 Â == . f 11 24 ổử =- ỗữ ốứ , f (0)0 = . Da vo BBT ta suy ra phng trỡnh fta 5 ()log = cú ỳng 1 nghim dng a a 5 5 log0 1 log 4 ộ ờ ờ =- ở a a 4 1 1 5 ộ ờ = ờ ờ ở . ===================== . ĐHSP HÀ NỘI Đề số 18 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số x y x 21 1 - = - bằng 5 6 . Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần? 2. Theo. MA¢BC¢. Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn abc 1 ++= . Chứng minh rằng: .2 222 ³ + + + + + + + + b a ac a c cb c b ba II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương