SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM (Hướng dẫn chấm có 06 trang) KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 Hướng dẫn chấm môn: Mơn Tốn – Lớp 11 Lưu ý: 1) Các cách giải khác đáp án cho điểm tương ứng biểu điểm 2) Điểm tổng tồn khơng làm tròn Câu (5,0 đ) ý Nội dung 5π Điều kiện: cos x ≠ − ⇔x≠± + m 2π , m ∈ ¢ PT ⇒ 2sin x − cos x − 5sin x + 2cos x − = ⇔ 2cos x ( 2sin x + 1) + 2sin x − 5sin x − = Điểm ⇔ ( 2sin x + 1) ( 2cos x + sin x − ) = 0,25 ⇔ 2cos x ( 2sin x + 1) + ( 2sin x + 1) ( sin x − ) = sin x = − ⇔ 2cos x + sin x − = π x = − + k 2π , k ∈ ¢ +) sin x = − ⇔ x = 7π + k 2π (2,5 đ) +) 2cos x + sin x − = (Phương trình vơ nghiệm) π Đối chiếu với điều kiện ⇒ x = − + k 2π , k ∈ ¢ π 1 ≤ k ≤ 50 0 ≤ − + k 2π ≤ 100π ⇔ Vì x ∈ [ 0;100π ] ⇔ k ∈ ¢ k ∈ ¢ Suy có 50 nghiệm [ 0;100π ] lập thành cấp số cộng với 11π x1 = ; d = 2π 50 11π 7625π + 49.2π = Tổng nghiệm S50 = 2 Vì 2sin x cos x + 2cos x − = sin x + cos x − < 0, ∀x ∈ ¡ (2,5 đ) Nên hàm số xác định ∀x ∈ ¡ ⇔ ( sin x + cos x ) − cos x − m ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ − sin 2 x ÷− ( + cos x ) − m ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 2cos 2 x − cos x − 2m + ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 2cos 2 x − cos x ≤ 2m − 1, ∀x ∈ ¡ (1) Đặt t = cos x, t ∈ [ −1;1] Khi ( 1) ⇔ 2t − t ≤ 2m − 1, ∀t ∈ [ −1; 1] (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 Xét hàm số f ( t ) = 2t − t , t ∈ [ −1; 1] Bảng biến thiên 0,5 Khi ( ) ⇔ 2m − ≥ f ( t ) , ∀t ∈ [ −1; 1] Từ bảng biến thiên ⇒ 2m − ≥ ⇔m≥2 Kết luận m ≥ Ckn +1 k! Xét k − k = k − k n + ! k − n + ! (k ≥ n + 1) ( ) ( ) ( ) ( ) (4,0 đ) = Suy VT = (2,0đ) ( k − 2) ! 1 = Ckn−−21 n ( n + 1) ( n − 1) ! k − − ( n − 1) ! n ( n + 1) 1 Cnn−−11 + Cnn −1 + Cnn+−11 + + Cnn+−2016 n ( n + 1) Áp dụng công thức Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 ⇒ Cnk = Cnk++11 − Cnk +1 n Cnn−−11 + ( Cnn+1 − Cnn ) + ( Cnn+2 − Cnn+1 ) + + ( Cnn+ 2017 − C2016 ) Có VT = n ( n + 1) = C9 Cnn+ 2017 = 9+ 2017 ⇒ n = n ( n + 1) 9.10 1 18 k k k 18 + x = ( ) ∑ C18 x ⇒ k = 26 26 k =0 Hệ số số hạng chứa x 23 C189 = 8C189 Ta có P ( x ) = (2,0đ) Gọi số có chữ số khác abcdef Mà tổng chữ số 18 nên tập { a, b, c, d , e, f } tập hợp sau: { 0,1, 2,3, 4,8} ; { 0,1, 2,3,5,7} ; { 0,1, 2, 4,5,6} Ứng với trường hợp có cách chọn chữ số a , chữ số lại có 5! cách chọn ⇒ có 3.5.5! = 1800 số tự nhiên có chữ số khác mà tổng 18 ⇒ n ( Ω ) = 1800 Gọi A: " Số tự nhiên chọn số chẵn" ⇒ A : " Số tự nhiên chọn số lẻ" TH1: a, b, c, d , e, f ∈ { 0,1, 2,3, 4,8} ⇒ có 2.4.4! = 192 (số) TH2: a, b, c, d , e, f ∈ { 0,1, 2,3,5,7} ⇒ có 4.4.4! = 384 (số) TH3: a, b, c, d , e, f ∈ { 0,1, 2, 4,5,6} ⇒ có 2.4.4! = 192 (số) ( ) Suy n A = 768 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ( ) ⇒P A = n ( A ) 32 = n ( Ω ) 75 0,25 ( ) 43 75 Ta có un > 0, ∀n ∈ ¥ * 9un +1 = un + + + 2un Vậy P ( A ) = − P A = ⇔ 18un +1 = 2un + + + 2un ⇔ ( + 2un +1 ) = ( + 2un + ) 0,25 0,25 0,25 ⇔ + 2un +1 = + 2un + ⇔3 ( ) 0,25 + 2un +1 − = + 2un − * Đặt = + 2un − 2, ∀n ∈ ¥ (2,0đ) v1 = * Ta có , ∀n ∈ ¥ vn +1 = 0,25 ⇒ dãy số ( ) cấp số nhân có công bội q = , số hạng đầu v1 = n −1 1 ⇒ = ÷ 3 ( v + 2) = n −1 1 = n −2 + n −1 + ÷ 23 1 * Kết luận un = n −2 + n −1 + ÷, ∀n ∈ ¥ 23 ⇒ un (2,0đ) 0,25 0,25 0,25 uuur uuur Ta có AG = AO ⇒ G trọng tâm ∆ABC uuu r uuu r uuur r ⇒ GA + GB + GC = uu r uur uur uur ⇒ IA + IB + IC = 3IG (1) M, Iuu rlần ulượt ur ulà ur trung uur điểm r AD OM ⇒ IA + IB + IC + ID = (2) uur uur r Từ (1) (2) ⇒ 3IG + ID = uur uuur ⇔ GI = GD 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 V Mà D ∈ ( C ) ⇒ I ∈ ( C ') ảnh đường tròn ( C ) qua G ; 14 ÷ ⇒ I ảnh điểm D qua phép vị tự tâm G tỉ số k = 0,25 0,25 0,25 (5,0đ) (3,5đ) Dựng thiết diện mp ( α ) cắt hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' +) Trong mp ( ABCD ) , vẽ đường thẳng qua M song song với BD cắt CD, AB, AD N, J K +) Trong mp ( ADD ' A ') , vẽ đường thẳng qua K song song với A ' D cắt D ' D, D ' A ', AA ' P, Q I +) Trong mp ( ABB ' A ') , đường thẳng IJ cắt A ' B ', BB ' R S Thiết diện lục giác MNPQRS Do mặt đối diện hình hộp song song MN P RQ P BD; NP P RS P A ' B; SM P PQ P A ' D ⇒ Các tam giác IJK, A'BD, IRQ, SJM, PNK đồng dạng * Chứng minh: ∆MJS = ∆NKP = ∆QRI MJ MB ND NK = = = ⇒ MJ = NK Ta có: +) MN MC NC MN +) SPNJ hình bình hành ⇒ SJ = PN +) SPKM hình bình hành ⇒ SM = PK Suy ∆MJS = ∆NKP ( c.c.c ) Tương tự có ∆NKP = ∆QRI ( c.c.c ) ⇒ ∆MJS = ∆NKP = ∆QRI · · · * Có AB = AD = AA ' = a BAD ' = 900 , BAA ' = 1200 = 600 , DAA 0,5 0,25 0,25 nên ⇒ A ' B = a, A ' D = a 2, BD = a ⇒ ∆A ' BD vuông A Đặt S1 = S ∆IRQ = S ∆JMS = S ∆NPK , S = S ∆IJK , S = S ∆A ' BD = a 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2 BM = m, ( < m < 1) BC 2 S1 JM BM BM 2 Có = ÷ = ÷ = ÷ = m ⇒ S1 = m S S BD AD BC Đặt 2 0,25 S JK JM + MK JM MK 2 = + ÷ = ÷ = ÷ = ( m + 1) ⇒ S = ( m + 1) S S BD BD BD BD 2 ⇒ Diện tích thiết diện S = S − 3S1 = ( −2m + 2m + 1) a = 3a ⇒ m = Vậy M trung điểm BC 0,25 0,25 0,25 Gọi O, O ' trung điểm A ' C ', BD ⇒ G trung điểm OO ' ⇒ G trọng tâm tứ diện C ' A ' BD uuuur uuuuu r uuuur uuuur ⇒ C ' G = C ' A ' + C ' B + C ' D (1) uuuuu r uuuuu r Vì A1 nằm đoạn C ' A ' C ' A ' = x.C ' A1 ⇒ C ' A ' = x.C ' A1 uuuur uuuuu r uuuur uuuuu r Tương tự ta có C ' B = y.C ' B1 ; C ' D = z.C ' D1 uuuur uuuuu r uuuuu r uuuuur Nên ( 1) ⇔ C ' G = x.C ' A1 + y.C ' B1 + z.C ' D1 Lại có A1 , B1 , D1 , G đồng phẳng nên ( x + y + z ) = ⇔ x + y + z = 4 Mặt khác 16 = ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + zx ) ( (1,5đ) ) ( Suy P = xy + yz + zx ≤ ) 16 0,25 0,25 0,25 0,25 16 ⇒ max P = x = y = z = 3 Khi ∆A1 B1D1 có 3 3 3 A ' B = a, B1D1 = BD = a, A1D1 = A ' D = a 4 4 4 Vậy chu vi tam giác ∆A1 B1 D1 + + a π Đặt x = tan A, y = tan B , z = tan C , < A, B , C < ÷ 2 y−z tan B − tan C ⇔ tan A = = tan ( B − C ) ⇔ A = B − C + kπ Có x = + yz + tan B tan C A1 B1 = ( (2,0đ) 0,25 0,25 ) π < A − B + C < π ⇒ k = ⇒ A = B − C ⇔ A − B = −C 1 tan C 3tan C P = 2 − + ÷− 2 2 + tan A + tan B + tan C ( + tan C ) + tan C 0,25 Do − = ( cos A − cos B ) − 4sin C + 3sin C cos C 2 0,25 = cos A − cos B − 4sin C + 3sinCcos C 0,25 = −2sin ( A + B ) sin ( A − B ) − 4sin C + 3sinCcos C = 2sin C sin ( A + B ) − 4sin C + 3sinCcos C ≤ 2sin C − 4sin C + 3sinCcos C 0,25 ≤ sin C ( 3cos C − ) = sin C ( − 3sin C ) ⇒P P ≤ sin C ( − 3sin C ) = 2 0,25 6sin C ( − 3sin C ) ( − 3sin C ) 6sin C + − 3sin C + − 3sin C ÷ ≤ = 0,25 Đẳng thức xảy 2 ⇔ tan C = , tan A = , tan B = 2 ⇔ x = 2, y = ,z = 2 Vậy giá trị lớn P x = 2, y = ,z = sin C = -HẾT - 0,25 0,25 ... ∆A1 B1 D1 + + a π Đặt x = tan A, y = tan B , z = tan C , < A, B , C < ÷ 2 y−z tan B − tan C ⇔ tan A = = tan ( B − C ) ⇔ A = B − C + kπ Có x = + yz + tan B tan C A1 B1 = ( (2,0đ) 0,25 0,25... 0,25 ) π < A − B + C < π ⇒ k = ⇒ A = B − C ⇔ A − B = −C 1 tan C 3tan C P = 2 − + ÷− 2 2 + tan A + tan B + tan C ( + tan C ) + tan C 0,25 Do − = ( cos A − cos B ) − 4sin C + 3sin C cos... 3sin C ÷ ≤ = 0,25 Đẳng thức xảy 2 ⇔ tan C = , tan A = , tan B = 2 ⇔ x = 2, y = ,z = 2 Vậy giá trị lớn P x = 2, y = ,z = sin C = -HẾT - 0,25 0,25