Bài tập toán cao cấp tập 3

I NGUYEN Đì -TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN Hổ buYMH - ^ - ĩ _- - - ô ^ : - iỡ n Tập ba p ừnh , • TT TT- TV*ĐHQGHN 510.76 NG-T(3) 2013 V-GO r nh iềb i ỉ X U Ấ t Tb Ẳ N G I Ậ O D l C v ỵ t T ^ 'ilPlBpn n a m * V ’ t-'- NGUYỄN ĐÌNH TRÌ (Chủ bién) TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN Hổ QUỲNH BÀI TẬP to An cao cấp TẬP BA PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN (Tái lẩn thứ mười bổn) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM số Chương I HÀM SỐ NHIỀU BIẾN s ố A - ĐỂ BÀI Tim miền xác định hàm số sau a) f(x, y) = ỉnxy ; c) f(x, y) = -y/4 - b) f(x, y) = - y2 + ^ x ^ + y _ l ; y —1 đ) f(x, y) = arcsin - ; f(x, y) = h) f(x, y) = e) f(x, y) = y Ị x ì n y g) f(x, y) = Inx + Insiny ; y -x X i) f(x, y) = Vy “ X In(y + x) cos^ y Tim giới hạn (x, y) —> (0 ,0 ) hàm số sau 2 X -y a) f(x, y) = b) f(x, y) = = 2 X + y +y X V c)f(x, y )= x a r ctg f ; X d ) f ( x ,y ) = X + y e) f(x, y) = -" - f) f(x, y) = ^ (1 - cos y) ; x - ú y ^ 2’ X - xy + y (ot, P) € h) f(x, y) = sin X - shy shx - sin y ’ Tính đạo hàm riêng cấp mól hàm số sau 3'j a)f(x,y ) = x‘ -t y ~2 X + y ? b) f(x, y) = ln(x + c) f(x ,y )= y ^ sin - ; d) f(x,y) = arctgX - e) f(x, y) = arcsin(x - 2y) ; f(x, y) = In - y ^ g) f(x, y )= arctg X h) f(x, y) = e’^^cosxsiny i i) f(x, y) = In(x + Iny) ; j) f(x, y) = k) f(x, y, z) = Ị) f(x, y, z) = e’^y^sin — (x > , y > ); (x > 0) n) f(x, y, z) = zsin m )f(x ,y ,z ) = " X+ z - Khảo sát liẻn tục hàm số sau đạo, hàm riêng cấp chúng (x + y )sin I (X y) ^ (0,0) a) f(x, y) = ncu(x,y) = (0,0) ,3 X -y • b) f(x, y) = - nếu(x,y)9t (0,0) -% (x, y) = (0,0) (x ^ 0) c) f(x, y) = xarctgỊ (x = 0) xsiny - ysinx nếu(x,y)5t (0,0) đ) f(x, y) = (X, y) = (0,0) Tính đạo hàm hàm số hợp sau a) z= , u = cosx, V = b) z = ln(u^ + v^), u r= xy, V = — y ; ; c) z = x^lny, X = —, y = 3u - 2v; _ _v _“ U d) z = ue + ve _x u = e , V= yx ; X e) z = xe^ X= cost» y = f)z =x Ậ + X = te^\ y = e *; Chứng minh 2 a) Hàm số z = yln (x - y ) thoả mân phương trình I ^ _ z —Zjj + ~-Zỳ - — X * y y y2 sin— thoả mãn phương trình y b) Hàm số z = + xyZy = yz hàm số = z(x, y) thoả mãn phưcmg trình a) 2z'j^ - Zy = 0, phép đổi biến số u = x + y v = x + 2y b) zx*x - yz'y = bẳng phép biến đổi số u = X + y, V = xy Tim vi phân toàn phẩn hàm số 2 a) z = sin(x + y ); V X+ y c )z = ln tg “ ; ^ e) z = X b) z = e (cosy + xsiny) d) z = arctg-—- ^ y +c * ; fy f) X = ,2 c dt X g )z = yt^cos2tdt; h) u - - yỉĩ^ ~ y ĩ f ỹ Jxy i) u = xe^ + ye^ + 2£^ ; ■ j) u = Dùng vi phần, tính gần đúne sổ' sau (x > 0) a) Ậ \ , Ỷ + ( 0 ^ ; b) ln(^/TÕ3 + ilÕ M - c) V9.(l ,95)2 +(8,1)2 d ) V s i n l 5 + e ‘' ’« ' ’ N I-02 I) Ệ^lto^ính đạo hàm hàm số ẩn xác định phưomg trìnn sau: a) x^y - y^x = tính y' b) xe^ + ye’^- = 0» tírih y’ c) arctg^ ^ , tính y‘ 3 d) \ny[x^ + = arctg~,tính y’, y" ?c e) y*' + x y + 5x^ = 12, tính y’ f) 2y^ + ^ VỈ = 3x^ +17, tính y’ g) 3sin— - 2cos— + = o.tính y’ ; y y h) X + y + z = e , tính z \ y i) x‘\ ^ ; = 3xyz, tính z \ ,Zy j ) x y z + x y z = x + y + z, tính z’x ,Zy ; k) xe^ + yz + ze* = 0, tính z'x,2 y 1) xyz = cos(x + y + z) tính z'^,z x * ‘'y m) I _ l - sin(xyz) = 0, tính z \ , z y ; T n) arcsin^ X'^ + 11 I X* + y - 3x y - = a, tính y’ ; 3xy^ a) z = f(x, y) hàm sô' ẩn xác định hệ thức ' z - xeỹ = Tính gần f(0,02 ; 0,99) b) ƠIO hàm sồ' X+ z u= y + z’ Trong hàm số ẩn xác định bời hệ thức ze^ = xc’^+ye^ Tính Uj(,Uy c) z = z(x, y) hàm số ẩn xác định hệ thức Giứng minh z đ) F(u, v) hàm sỏ' khả vi = z(x, y) hàm số ẩn xác định hệ thức \ F(cx - az» cy - bz) = (c^O ) Chứng minh azl “ X +■ bz' “ ‘' y = c '' e) z = z(x, y) hàm số ẩn xác định bời hệ thức ' + y + ĩ / \ = yf - , [yj Trong f hàm số khả vi Chứng minh (x^ - - z^)z’x + 2xyz‘y = 2xz f) Tính đạo hàm cùa hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bời hệ phuỡng trình X + y + z = = l g) y = y(x) hàm sô' ẩn xác định hệ thức , X'^ + y‘^ - 3xy - = Tim khai triển hữu hạn đến cấp y(x) lân cận cùa điểm X = h) Tim khai triển hữu hạn đến cấp ò lân cận điểm X = cùa hàm số y = y(x) xác định hệ thức arctg(xy) + = 12.Tính đạo hàni rtcng câ'p hai hàm số sau a) f(x, y) = x^y + ; b) f(x, y) = sin(x + y) + cos(x ~ y) C ) f ( x , y ) = ^ , / Õ ^ r ^ e) f(x, y) = ln(x ; +y^) ; d) f(x, y) = x^ln(x + y) O f(x ,y )= a r c ig i h) f(x, y) = cos(ax + e^) g) f(x y) = x'"''; 13 Tính f" (0,0) f" (0,0) a) f(x, y) = xy X ^ - y X+ y X = - y x^y - b) f(x, y) = ứ y'^x (x,y) ^ (0,0) nếu(x,y) = (0,0) 14.a) Ỷim hàm sơ' u(x, y) thoả mãn phương trình u 'j [ y =0 b) Tim hàm sô' u(x, y) thoả mãn phương trình u"2 = X , c) Tim hàm số u(x, y, z) thoả mãn phưcmg trình u’^y2 = d) Tẳiti hàm số u(x, y) biết u" = 12x^y + u' = x’ - x y \ u (0 ,0 )= 1, u(l, 1) = - 10 c) Tim hàm số u(x, y), biết u’^ = X" - 2xy“ + 3, Uy = - 2x^y + Tim hàm sổ' u(x, y) biết (3x^ - y^)(x^ + y “ ) = 15 (3y^ - x")(x^ + y - ) u y y?y xy Ị _ a) Chứng minh hàm sô' u(x, y) = In thoả mân phưcmg trình Au : = ^ ^ =0 dy^ (phương trình Laplace khơng gian R') b) Chứng minh hàm số u(x, y, z) = thoả mãn phưcmg trình 3"U Au := ^ 3x^ 3^u dy^ ^ =0 dz^ (phương trình Laplace Irong khống gian R^) c) Cùng câu hỏi câu b) với hàm sô' u(x, y, z) = arctg— + arctg— + arctg — X y z d) Tim hàm số u(x, y, z) có dang u = f(r), r = cho ■ ^ A :^2 :ì2 _ a^u a"u a^u u = ^ + ^ + ^ 3x 16 dy _ ^ = + y~ + 7} , ' 3z íy ì Chứng minh' hàm -số z = xf — , f mơt hàm 'số có V X/ * dạo hàm cấp hai liên lục, Ihồ mãn phương irìiih ZX2Zy =(z" ' xy-'r 11 17 a) Chứng minh hàm số / \ / \ = f I~ + + xxg g -1 \ \XJ> \x j f, g hai hàm số khả vi liên tục hai lần, thoả mãn phương trình + x y z ’x y + y ^ z ’ý = (* ) b) Tim hàm sô' z = z(x, y) Ihồ mãn phương trình (*) cách đổi biến s ố u = X, V = — X 18 Tim hàm sô' 2= z(x, y) a) Thoả mãn phương trình z X2 - a z y •> = cách đổi biến số u = y + ax, V = y - ax b) Thoả mãn phưoong trình cách đổi biến số u = xy, V = — 19.a) Tính đạo hàm hàm số u = xy^z^ điểm M(j(U 2, -1> hướng xác định bời vectơ MọMị với M |(0 ,4, - ); b) Tính đạo hàm hàm sơ' z = hưómg cùa vectơ V theo điểm M (l, 1) theo - xy + = 6Ỉ + 8J ; c) Tính đạo hàm hàm số z = In(x^ + y^) điểm M(3, 4) theo hướng vectơ grạdz ® d) Tíriíi đao hàm hàm số z = arcsin - Ị - tai điểm Mq( 1, 1, Ị) theo hưóng vectơ MqM ịvói M|(3, 3); x2 y2 ^ ^ a b c e) Tính đạo hàm cùa hàmsố u = ^ ^ theo hưóng bán , kính vectơ r điểm M(x, y, z) Với điéu kiện số dương a, b, c dạo hàm gradu 12 Tại điểm Mq, ta } c ó r= »s = * , đo -, I = 9.4' - rt = 2.9^ ị —r = — j —:r < Vây hàm số đat cưc tiểu tai Mo- 4^ 9^ \9 ^ ^ r í l ■ - ’ I - lì 31104’ J Tại điểm'tdd hạn nằm hai trục loạ dộ, ta có - rt = Ta chưa kết ỉuận Ta xét dấu số gia củahàm số z điểm Ta có ■ • t » • ' A - z(h, y„ + k) - z(0 y„) = h^(y„ + k)’ [3h + 2(y„ + k) + I ] = h^(y„ + k)^y„ + k)(2y„ + + 3h + 2k) Khi h, k nhỏ, số gia A dấu với Vo(2yQ + 1), A > yọ(2yo + 1) > 0, tứ C 'là Yo > 0, Ạ < ~ Ar - < yo < ^ Zn^in(0 , Vo) = Yo = 2max(^’yo) = - ^ < Yo < Các điểm (0, 0)» Z hoảc \ 0, - ¿ J > 0, điểm cực trị z số gia A thay đổi dấti lân cận đủ bé điểm Cũng vậy, xét dấu số gia hàm số z điểm (Xq, 0) trôn trục Ox, ta thấy i-ằng số gia ùT = z(Xo, k) - z(Xo, 0) = xồk^(3Xo + 2k + 1) thay đổi dấu k đổi dấu có giá trị tuyệt đối bé Vậy điểm trục Ox không điểm cực trị ' Tóm lại z đạt cực điểm điểm ( \ -J 4y điểm (0, y^) ' vói y^j < - i yo> , đạt cực đại điểm (0 , Ỵq) với —ị < Yq < 80 Hàm số T - X - ỉ liên lục V(x, y) G R^ Ta có p = 2x, q = -2 y Vậy có điểm tới hạn gốc o , nằm miền D Ta có z (0 ,0) = Bây ta xét giá trị cùa z biên miền D, tức đường tròn X 2 + y = Trên đường tròn ta có y = - X , z = 2x^ - N4 Ta phải tìm giá trị lớn bé hàm số - < X < Dể thấy đạt giá trị lớn X = ±2, đạt giá trị nhỏ - X = So sánh với giá trị X điểm tới hạn (0 ,0 ), ta thấy hàm sô' đạt giá trị lớn hai điểm (-2, 0), (-2 , 0), đạt giá trị bé - hai điểm ( , - ), (0 , ) ^ H in sô' = liên tục V(x, y) e R^ Ta có p = x ,q = y Vậy chi có điểm tóđ hạn gốc 0, nằm miền D- Ta có z(0 , ) = Biên cùa miền D có phưcmg trình : (X - -h i + (y - -ỈÌỶ = Phương trình vỉết dạng tham số ' X = V2 + 3cost y = >/2 + 3sint Vậy biên miền D» ta có z = x ^ + y ^ = + + 6>/2(sint + cost), < t < 271 Nhưng sint + cost = >/2 sim B7TCCT3^ 8Ỉ Do ** < sint + cost < Vậy z = ^ 13+ 6V2(sint +cost) 1^ đạt giá Irị lớn 25 _ ệ - , đạt giá trị nhỏ l = = y- = ‘ t = *7 , tức tai X ' y/ĩ lức X *♦ = y = “ ■^ ^ giá trị lónnhất phải tìm 25, giá trị bé ^ Hàmsố z = x^y(4 p = 2xy(4 - q = x^(4 - X X X - y) liên tục V(x, y) G R^ Ta có - y) - x^y = xy (8 - 3x - 2y) - y) - x^y = x^(4 - X - 2y) Điểm tới hạn điểm có toạ dộ (x, y) thoả mãniiệ phương trình xy (8 - 3x - 2y = x^(4 - X - 2y) = Giải hộ dó, ta X = 0, y tuỳ ý, y = 0, X = 4, X = 2, y = Ị Các điểm (0,‘y), (4, 0) nằm biện miẻn D, điểm (2, 1) nằm miến D Vậy tã cần so sánh giá trị z điểm (2, i) với giá trị z bièn miẻn D Ta cố z(2, 1) = z(0 ,y ) = / z(x, ) = Trơn đưòng X + y = , ta có z = 2x^ - 12x^ Khi , hàm số đạt giá trị lớn bẳng -6 X X = X biến thiên từ đến X = «dạt giá trị nhỏ = Vậy z đạt giá trị lớn điểm (2, 1), đạt gỉá trị nhò - 64 điểm (4, 2) d) Hàm số z = ^ + 2xy - 4x + 8y liên tục V(x, y) e R^ Ta CÓ p = 2x + y - q = 2x + 82 BTTCCT3-B Cho p q đồhg thời triệt tiêu, la điểm tới hạn (-4 , ) Nhưng điểm không thuộc miền D Vậy ta cần xéỉ giá trị z biên miền D ' Khi X = 0, ta có z = 8y với < y < 2, z đạt giá trị nhỏ y = , đạt giá trị lón 16 y = Khi X nhấtbằng = 1, ta c ó z = lOy - với < y < 2, z đạt giá trị n h ỏ - y = , đạt giá trị n h ỏ - X = Khi y = 0, ta có z = - 4x với X < X < 1, z’ = 2x - < khoảng đó, z giảm đoạn [0, ], đạt giá trị Ịớn -x = 0, đạt giá trị nhỏ - X = l Khi y = 1, z = X + 16, ln tăng đoạn [0, 1], đạt giá trị nhỏ 16 X = 0, đạt giá trị lófn 17 X = Tóm lại miền đóng D, hàm sơ' z đạt giá trị lớn 17 điểm (1 ,2 ), đạt giá trị nhỏ - điểm (1,0) J i) Hàm số z = e~^’^ ■'■y ^(2x^ + 3y^) liên tục V(x, y) € R^ Ta có ,„2 ^ p = e- = q= ,-(x=+y^) = \ Giải hệ haLphưcmg trình e-Ỉ2 < ^ < V nên cos-^ > 2 3x ^ 3x 71 2 suy ^ 71 COS— - = = > - : ^ = - ¿ ^ = > x = ^ • ^4 Vạy có điểm tói hạn _ kĨ ĩ , điểm nẳm ' Ĩ ) miền D Vậy chl cần so sánh giá trị z điểm với giá trị cùa z biển miền D Ta có ^71 71^ l ĩ ’ 3> Trên cạnh X = 0, z = 2siny, < y < y , đạt giá trị nhỏ y = 0, giá trị lớn y = Trên cạnh X = ta có z = I + siny + sin = ỉ +y/2sìn < y < f z đạt giá trị lớn \ + y l ĩ y = J ĩ + >/2 - ^ - y = y = -j Vì lí đối xứng X cạnh y = cạnh y = cạnh X đạt giá trị nhỏ y biểu thức , ta thấy z đạt giá trị nhỏ lón = vàjc = Tóm lại hàní số z đạt giá trị nhỏ điểm (0 ,0 ), đạt giá trị lớn ^ ^ tai điểm í " ■ \33 ’ 33 ) g) z = (a^ - c^)x^ + (b^ - c^)y^ + - [(a - c)x^ + (b - c)y^ + c]^ liên tục V(x, y) €E R Ta cổ 85 p = {a^ - c^)x - [(a - c)x^ + (b - c)y^ + c] (a - c)x = = (a - c)x [a - c - (a - c)x^ - (b - c)y^] q = (b - c)y [b - c - (b - c)y^ - (a - c)x^] Để tìm điểm tới hạn, ta giải hệ hai phưcmg trình p = 0, q = Ta nghiêm X = 0, y = >/2 x = 0, I - 2y = o x = 0, y = ± x = , - y = y = ,x = ± V ĩ Còn hộ a - c - (a - c)x^ - (b - c)y^ = * b - c - (b - c)y^ - (a - c)x^ - vơ nghiêm a > b > c Vậy ta có điểm tới hạn ‘ r T ĨI Æ ín V I M2 » M4 l “’ 2¿ J “• / “ ’°J \ J V chúng đẻu nằm bên miền D Ta cẩn so sánh gỉá trị cùa z điểm với giá trị cùa z biên cùa mién D Ta có Mo(0, 0), M , Z(MJ = z (0 ,0) = z(M ị) = z(M ) = + c - / z( M 3) = z(M a- c _ , 2 ,2 86 b- c \2 ,.2 + y^, ,,, 2 +( b - c ) ( l - x ) + c - - [(a - c)x^ + (b - c)(l - x^) + c]^ = (a -1 < X < I +c 4> = Trên biên miển D, ta có z = (a - c ) x r b —c (1 - \ \ Nó đạl giá trị nhỏ ("a-bY X = ± X= X = ± , đạt giá trị lóti -ã So sánh giá trị đâ tìm được, ta thấy z đạt giá trị lón a - C điểm í ^ / „ ì ± - đạt giá trị nhỏ điểm ; ( 0, 0) 25 a) Ta có = xy, X, y thoả mãn điều kiện g(x, y) = x + y - = Điểu kiện cần cùa cực trị z với điều kiộn g(x, y) = h hay u , _ » — = — X = y g'x gy _ Thế đẳng thức vào điều kiện g(x, y) = 0, ta x = y = ị Ta có điểm tới hạn M( (]_ n ^ ’2> Để xét xem điểm có điểm cực trị không, ta xét dấu cùa sô' gia ■ A = z ~ + h» “ + k ~ z ' \2 U ’ 2> ( i , Mặt khác, toạ độ i + h, — + k phải thoả mãn điều kiện g(x, y) = 0, túc ỉà ■ị- + h + x + k = 2 l o h + k = 87 A = hk < 0, VI h, k trái dấu nhau: Vậy Mq điểm cực đại có điểu kiện ~ z(Mo) = C h ú ỉhích : Lời giải nhằm trình bày phưomg pháp chung để- giải •qu't tốn cực trị có điều kiện Riêng tốn giải đơn giản cách đưa tìm cực trị cùa hàm số biến số, Thực vây, y = Nếu X X, ta có z = xy = x( - x) = X- X > 0, y > 0, ta dùng bất đẳng thức Cauchy X+ y để giải b) Theo phưcmg pháp nhân từ Lagrange, để tìm cực trị hàm số z(x, y) - ^ X — vdri điều kiện y ■ X ■ y a = 0, ta chĩ việc tìm cực trị hàm số F(x, y, X) = z(x, y) + Xg(x, y) = - ỉ + - + X, X ’ y + ■ a X nhân fử Lagránge Ta có ■ F;(x,y,A,) = 2X 2X y2 y3 Cho F^, Fy đổrrg thời triệt tiêu, ta vào điều kiện g(x, y) = , ta 88 X = y = - k Thế giá trị _ _ =I - Ị - X = ± Ĩ2 X" aVậy ta điểm tới hạn : w í a a ì w 3^ \ ^ ' ĩ / S Để xét xem Mj có điểm cực trị khơng, ta xét dấu cùa sơ' gia F M | Ta có * A= F + h,— + k, ^ ' S Tại M ], = Fy - F / f a \ k a ầ "I ' \ = Do theo cơng thức Tayỉor, số gia h, k bé, dấu A xác định bời dấu cùa F"2 (M,.X)h + P;'y(M,,X)hk + F"2 (M,.X)k^ Nhưng • F'2 (x,y,X) = + F i 'y ( x ,y ,X ) = F “2 ( x ,y ,X ) = y + ^ y-* Tại M ], ta có X = —J = —J , f"2 (M |,x.) = = 0, F%(M,,X) = - ĩ ệ a ^ V2 Vậy số gia A dấu với biểu thức ■;— ^ ( h + k ), tức A < với h, k bé Do M| điểm cực đại, = z(M ị ) = Tưomg tự vậy, M điểm cực tiểu, = ZÍM ) =* 89 c) Dùng phương pháp nhân lử Lagrange, la tìm cực trị hàm số 7.2 F(x, y, , X) = _2 ^ + X Các toạ độ (x, y, z) điểm tới hạn nghiêm hệ / ^ Ã Fj^(x,y,zA) = x + =0 F;(x,y,z,X) = y F;(x,y,z,X) = z 2 X y z —T" H— — H— ::r = b2 -2 La b = r + = , c Giảihệ phưcmg trình này, ta điểm tới hạn M ị(-a, ,0 ), M2(a ,0 ), M 3 0, y > 0, z > Ta phải tìm cực đại hàm số f(x, y, z) = xyz với điéu kiện • ■ g (x,y ,z) = x^ + y^ + z ^ -R ^ = (» ) Đ iều kiện cần cực trị hàm số f(x, y, z) với điéu kiện g(x, y, z) = hay ếx ể'y ' ẽ'z yz zx y _ xy z ' X (**) Từ (**) suy z = y = Thế vào (*), ta R Để xét xem điểm có l im cc tr cú iu kin ô * [ S ’S ' y ß ) khơng, ta chĩ việc xét dấu số gia , j 'r í R \v r R u R v3 R ì ypĩ R R +h / s R X rí R R R ) VV3 v v ; "l R jï • ^ ( h + k + 1) + Ạ ( h k + kl + Ih) + khl V3 93 Vì điểm ( RR ,R VV3 L í R" + hJ V ) + ; V3 nằm mặt cầu, nên V3 f R ,^ ỵ—+ k + í ^ [ ^ = R2 > D o đ ó - ^ ( h + k + O + h ^ + k ^ + /^ = Suy h + k + / < với h, k, / đủ nhỏ, dấu cùa A đấu cùa hạng có 2R bâc thấp nhất, tức dấu cùa số hang (h + k + /) Vây A < 0, với h, s k, / đủ nhỏ, điểm điểm cực đại có điều kiện Do [ S ’y ß ' S j hình lập phương có cạnh thể tích Idfn 94 2R hình hộp chữ nhật nội tiếp có ‘ ... - NGUYỄN Hổ QUỲNH BÀI TẬP to An cao cấp TẬP BA PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN (Tái lẩn thứ mười bổn) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM số Chương I HÀM SỐ NHIỀU BIẾN s ố A - ĐỂ BÀI Tim miền xác định... ' y / y 2y^ ! + >■* c) - 2(y‘» - ) (i + y‘‘)y y(y'* + i) 3u2 z'u = 2-ỵ^ln(3u - 2v) + N v^(3u V - 2v) „2 z’v = -2 ^ n (3 u - 2v) v^(3u - 2v) V J d) Zu = e - ve u’ = Do u _v , Zy = ue Uy = 0,... 1,571), Ay = 0,015 Ta có 8e>' 2y/s'm^ X + 8e>' 2>W x+8eỹ Do /_ + n = 3+ ^ IBTTCCTB^ 2 .3 (Ỉ-» Ax + v o Ay= ^ / = 3, 02 33