Bài tập pt tư duy 07

Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T 5 .Bài tập V : Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c ab bc ca a b c+ + = + + = = Thật vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca 2 a b c 2 ab bc ca 0 a b b c c a 0 a b b c c a 0 a b c + + = + + + + - + + = - + - + - = - = - = - = = = Nhận xét: Nếu thay 1 1 1 a ,b ,c x y z = = = với x,y,z 0ạ ta có ngay một hệ quả của bài tập V. Từ đó ta có bài toán mới Bài toán 1. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z 0 x y z xy yz zx + + = + + = = ạ Tiếp tục khai thác bài tập V ta lại có các bài toán sau: Bài toán 2. Tìm ba số a, b, c biết: 2 2 2 a b c 2abc 1 1 1 2 a b c ỡ + + = ù ù ù ớ ù + + = ù ù ợ H ớng dẫn : Ta có 1 1 1 a b c 2abc 2 ab bc ca + + = + + = mà 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Nên 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c ab bc ca + + = + + = = (theo bài toán 1) Từ đó ta tính đợc 6 a b c 2 = = = Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Bài toán 3 . Cho ba só a, b, c thoả mãn bc ca ab a b c a b c + + = + + Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b b c c a A a c b c b a c a c b a b + + + = + + + + + + + + H ớng dẫn: Ta có 2 2 2 2 2 2 bc ca ab a b c a b c 1 1 1 abc a b c a b c 1 1 1 1 1 1 a b c ab bc ca + + = + + ổ ử ữ ỗ + + = + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + = + + a b c= = (theo bài toán 1) Từ đó tính đợc 3 A 2 = Bài toán 4. Cho ba số a, b, c thoả mãn ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c 3 a b c+ + = + + Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 B a a 2 b c 2008= + + + + H ớng dẫn: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b c a b c ab bc ca + + = + + + + = + + a b c = = (theo bài tập V) Suy ra 2 B 3a 4a 2008= + + Từ đó tìm đợc giá trị nhỏ nhất của B là 6020 3 khi 2 a b c 3 = = =- Bài toán 5. Giải hệ phơng trình 1 1 1 3 x y z 1 1 1 3 xy yz zx ỡ ù ù + + = ù ù ù ớ ù ù + + = ù ù ù ợ Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T H ớng dẫn: Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 9 9 2 x y z x y z x y z xy yz zx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 x y z x y z xy yz zx ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ + + = + + = + + = - + +ị ị ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ + + = + + = + +ị ị x y z= =ị (theo bài toán 2) x y z 1= = =ị thử vào hệ ta thấy đây là nghiệm duy nhất của hệ . của bài tập V. Từ đó ta có bài toán mới Bài toán 1. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y z 0 x y z xy yz zx + + = + + = = ạ Tiếp tục khai thác bài tập. Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T 5 .Bài tập V : Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c ab bc ca a b c+ + = + + = =