Bài tập pt tư duy01

Để có thể phát triển khả năng tu duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán cho hoc sinh, thì việc tìm ra kết quả của một bài toán có cha thể coi là kết thúc đợc, mà cần phải tiến hành mổ xẻ, phân tích bài toán đó. Nhng khai thác, phát triển một bài toán nh thế nào? Ta biết rằng một số bài toán có thể phát biểu tóm tắt dới dạng nếu A thì B. Do đó để khai thác phát triển một bài toán ở dạng trên thì vấn đề đặt ra là: i/ Ngoài B ra thì còn có thể thu đợc kết quả nào khác na không? ii/ Đảo lại nếu có B thì có A không? iii/ Thay đổi một số dữ kiện của giả thiết A thì kếtquả thu đợc của bài toán có gì mới không? Đó là một số hớng để khai thác, phát triển, mở rộng một bài toán để thể phát triển khả năng t duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán cho hoc sinh I . bài toán mở đầu. 1. Bài toán mở đầu thứ nhất . Từ một điểm M thuộc đáy BC của tam giác cân ABC(AB = AC), vẽ ME, MF theo thứ tự vuông góc với AB, AC ( ) E AC,F AC . Chứng minh tổng + ME MF là không đổi khi M di động trên cạnh BC. Vài cách giải tóm tắt của bài toán trên Để chứng minh +ME MF là không đổi , ta có thể giải theo hai hớng sau. J H K I F E M C B A 1. Hớng thứ nhất (Đặc biệt hóa). Gọi BH, CK là các đờng cao của VABC cân thì = =BH CK h không đổi. Chọn M trùng với B thì = =ME 0;MF BH ta có + =ME MF BH Tơng tự, nếu M trùng với C thì = =MF 0;ME CK nên + = ME MF CK Ta có cách giải thứ nhất Vẽ đờng cao BH và vẽ MI BH Khi đó = =V VBME MBI ME BI Ta có + = + = =ME MF BI IH BH h Cách giải thứ hai Vẽ đờng cao BH và vẽ BJ FM Khi đó = =V VBME BMJ ME MJ + = + = = =ME MF MJ MF JF BH h Cách giải thứ 3 Vẽ đờng cao BH và nối A với M. kí hiệu S là diện tích tam giác Ta có + = + = + = = MAB MAC ABC S S S ME.AB MF.AC BH.AC ME MF BH h 2. Hớng giải thứ hai I' I F' E' M' A B C M E F Cách giải thứ t Gọi M,M là hai điểm bất kì thuộc cạnh BC, giả sử M nằm giữa C và M. Vẽ M'E' AB;M'F' AC , vẽ MI M'E';M'I' MF Khi đó = =V VMIM' M' I' M MI' M' I Ta có + = + + = + + = +ME MF E'I MI' I'F E' I M' I I'F M'E' M'F' Do M và M là hai điểm bất kì thuộc BC nên ta kết luận đợc + ME MF là không đổi. Khai thác và phát triển bài toán trên Trớc hết, ta viết lại giả thiết của bài toán nh sau: ( ) ( ) ( ) = V M BC 1 ABC;AB AC 2 ME AB;MF AC 3 1. Khai thác kết luận *Theo cách giải thứ nhất, khi chứng minh =V VBME MBI ta còn chứng minh đợc = = BE MI HF Do đó ( ) ( ) + = + + = +AE AF AB BE AH HF AB AH không đổi, từ đó và kết quả của bài toán 1 ta nhận thấy + + + = ME EA AF FM c không đổi. Vậy ta có thể chứng minh chu vi tứ giác AEMF không đổi. *Mặt khác cùng từ cách giải thứ nhất ta có: ( ) ( ) = = = =AE CF AB BE AC AF AF BE AF FH AH không đổi. Nh vậy từ giả thiết của bài toán trên ta có thể chứng minh thêm đợc: a) Chu vi tứ giác AEMF không đổi. b) AE CF không đổi. 2. Thay đổi giả thiết (1) Ta giữ nguyên giả thiết (2) và (3). Kiểm tra kết luận. Nếu ta bỏ dữ kiện M thuôc đoạn thẳng BC và thay bằng M thuộc đờng thẳng BC. Giả sử M thuộc tia đối của tia BC J M F H E C B A Theo cách giải thứ hai vẽ BJ MF ta đợc =MJ ME và =JF BH . Khi đó nhận xét thấy = = = MF ME MF MJ BH h không đổi. Nếu lấy M thuộc tia đối của tia CB ta cũng có kết quả = =ME MF CK h không đổi. Từ đó ta có bài toán mới Bài toán 2. Cho tam giác ABC cân AB = AC. Lấy điểm M nằm trên đờng thẳng BC nhng không thuộc đoạn BC. Gọi E và F là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống các đờng thẳng AB, AC. Chứng minh ME MF không đổi 3. Thay đổi giả thiết (2) Giữ nguyên giả thiết (1) và (3). Kiểm tra kết luận Nếu thay dữ kiện tam giác ABC cân tại đỉnh A, tổng quát hóa giả thiết tam giác ABC không cân. Giả sử AB > AC Lại theo cách giải thứ nhất, vẽ MI BH ta đợc MI // AC và = MF BH . Hãy so sánh ME và BI. Nhận thấy rằng: ã ã ã ã > < < > <AB AC ABC ACB ABC BMN BN NM ME MI Khi M trùng với B thì + = ME MF BH nh vậy ta có + ME MF BH Tơng tự ta cũng có + ME MF CK Ta có bất đẳng thức kép + CK ME MF BH . Ta có bài toán mới : Bài toán 3. Cho tam giác ABC có AB > AC và các đờng cao BH , CK. Lấy M trên cạnh BC. Gọi E, F là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống AB, AC. Chứng minh rằng + CK ME MF BH Bài toán 4. Cho tam giác ANC với AB>AC. Gọi E, F là chân đờng vuông góc hạ từ điểm M nằm trên cạnh BC xuống cạnh AB, AC. Tìm vị trí của điểm M thuộc cạnh BC sao cho: a) + ME MF đạt giá trị nhỏ nhất. b) +ME MF đạt giá trị lớn nhất. 4. Thay đổi giả thiết (3) Giữ nguyên giả thiết (1) và (2). Kiểm tr a kết luận M F E C B A NÕu ta bá d÷ kiÖn ⊥ ⊥ME AB,MF AC vµ thay b»ng d÷ kiÖn ME // AC,MF // AB th× tø gi¸c AEMF lµ h×nh b×nh hµnh, nªn = =AF ME BE , t¬ng tù = =AE MF FC Do ®ã + = + = ME MF AF FC AC kh«ng ®æi. H¬n n÷a + + + = +AE EM MF AF AB AC . Tõ ®ã ra cã ®îc bµi to¸n míi Bµi to¸n 5. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. KÎ ME // AC, MF // AB víi E thuéc AB, F thuéc AC. Chøng minh r»ng: a) +ME MF kh«ng ®æi. b) Chu vi tø gi¸c AEMF kh«ng ®æi. . kết quả của một bài toán có cha thể coi là kết thúc đợc, mà cần phải tiến hành mổ xẻ, phân tích bài toán đó. Nhng khai thác, phát triển một bài toán nh thế. nh thế nào? Ta biết rằng một số bài toán có thể phát biểu tóm tắt dới dạng nếu A thì B. Do đó để khai thác phát triển một bài toán ở dạng trên thì vấn đề