bài tập pt tư duy 05

Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T 3.Bài tập III. (B i 30 sgk Toán 9, tập 1-trang 116) Cho nửa đờng tròn tâm O có đờng kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến (Ax, By và nử đờng tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn(M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng: a) ã = 0 COD 90 b) = + CD AC BD c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn. *** Chúng ta quy ớc ký hiệu giả thiết của bài toán là (1) Hớng dẫn y x M O D C B A a) Theo tính chất tiếp tuyến của đờng tròn, ta có: ã ã ã ã ã = + = + = = 0 0 1 1 1 COD COM DOM AOM BOM 180 90 2 2 2 b) Ta có = + = + CD CM DM CA BD c) áp dụng hệ thức lợng trong VCOD vuông tại O với đờng cao OM , ta có: = 2 MC.MD MO Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Suy ra = 2 AC.BD OM , không đổi. Với giả thiết (1) của bài toán. Gọi E và F là giao điểm của AM, BM tơng ứng với Ax, By ta nhận thấy CF = CM, DE = DM và các tứ giác CDEF và ABDC là hình thang. Câu hỏi đặt ra là diện tích của các hình thang đó thay đổi nh thế nào khi M di động trên nửa đờng tròn? Từ đó ta có thêm kết luận cho bài toán là: d.Tìm giá trị nhỏ nhất của CDEF S khi M di động trên nửa đờng tròn E F y x M O D C B A H ớng dẫn Vì = VCM CA CAM cân tại C ã ã ã ã = = VCAM CMA CFM CMF CFM cân tại C =CF CM chứng minh tơng tự =DE DM . Do tứ giác CDEF là hình thang nên ( ) ( ) = + = + = 2 CDEF 1 1 1 1 S CF DE AB CM DM AB CD.AB AB 2 2 2 2 GTNN của CDEF S là 2 1 AB 2 , đạt đợc khi và chỉ khi M là điểm chính giữa của ằ AB Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Bây giờ ta quay trở lại kết luận c) của bài toán, ta đã chứng minh đợc = = 2 2 AC.BD OM R ( R là bán kính của đờng tròn), vấn đề đặt ra ở đây là nếu ta có = 2 AC.BD R thì CD có còn là tiếp tuyến của đờng tròn (O) không? Ta có bài toán ngợc: Bài toán 2. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R có các tiếp tuyến Ax, By nằm cùng phía với AB. Gọi C, D lần lợt là các điểm trên Ax, By sao cho = 2 AC.BD R Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (O). Nhận xét thấy VAMB VCOD , do đó nếu biết diện tích VCOD thì ta tính đợc diện tích VAMB . Ta có bài toán mở rộng Bài toán 3. Với giả thiết (1) của bài toán. Biết = =MC 4cm,MD 9cm . Tính diện tích VAMB y x M O D C B A H ớng dẫn Ta có = + = = = = 2 CD MC MD 13cm;MO MC.MD 36 OM 6cm Vì ã ã = = 0 OMC OAC 90 nên tứ giác OMCA nội tiếp ã ã =OCM OMA Tơng tự ã ã =ODM OBM Suy ra VAMB VCOD (g-g) Do đó = = = = ữ 2 2 3 2 AMB COD 2 AB 1 4.OM 2.OM 432 S S . .CD.OM. 33,23(cm ) CD 2 CD CD 13 S S Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Ta còn có thể tính đợc bán kính r của đờng tròn nội tiếp VCOD nhờ công thức =S p.r trong đó S, p, r thứ tự là diện tích, nửa chu vi, và bán kính đờng tròn nội tiếp của tam giác. H ớng dẫn áp dụng địng lí Pi-ta-go, ta có = + = + = 2 2 2 2 OC OM MC 6 4 2 13 = + = + = 2 2 2 2 OD OM MD 6 9 3 13 Vận dụng công thức =S p.r ta có = 5 13 13 r cm 2 . Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T 3 .Bài tập III. (B i 30 sgk Toán 9, tập 1-trang 116) Cho nửa đờng tròn tâm O có đờng kính. diện tích VCOD thì ta tính đợc diện tích VAMB . Ta có bài toán mở rộng Bài toán 3. Với giả thiết (1) của bài toán. Biết = =MC 4cm,MD 9cm . Tính diện tích VAMB