Từ đó ta chứng minh đợc các tính chất sau: Tính chất 1: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình vuông và vuông góc với nhau thì bằng nhau...
Trang 12
Bài tập II. (Bài số 9 sgk Toán 9 tập 1 trang 70):
Cho hình vuông ABCD Gọi I là một điểm nằm giữa A và B Tia DI và tia
CB cắt nhau ở K Kẻ đơng thẳng qua D, vuông góc với DI Đờng thẳng này cắt
đờng thẳng BC tại L Chứng minh:
a DILV cân
b Tổng 12 1 2
DI + DK không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB
H ớng dẫn:
K Q
L
A D
I P
a.Ta có ADIV =VCDL (g.c.g) ị DI=DLị VDILcân tại D b.Ta có 12 1 2 12 1 2 1 2
DI + DK =DL + DK =DC (hệ thức lợng trong tam giác vuông,do DI = DL, DKLV vuông ở D và DC^ KL)
Nhận xét: Với mọi điểm P thuộc đờng thẳng AD, Q thuộc đờng thẳng BC
mà PQ//DL thì PQ^ DI và PQ = DI (do PQ = DL tính chất đoạn chắn)
Từ đó ta chứng minh đợc các tính chất sau:
Tính chất 1: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình vuông và vuông góc với nhau thì bằng nhau.
Trang 2Tính chất 2: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình vuông và nhau thì bằng nhau thì vuông góc với nhau.
Tính chất 3: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình chữ nhật bằng nhau
và vuông góc với nhau thì hình chữ nhật đó là hình vuông.
Với những tính chất đó có thể giúp ta giải đợc nhiều bài tập hay về hình vuông.
Sau đây, tôi xin giới thiệu một số bài toán có vận dụng khai thác các tính chất trên
Bài toán 1
Hãy dựng hình vuông ABCD diết dỉnh D và điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA
k
IB = ( k là hằng số cho trớc).
Lời giải
Q
P A D
I
d
Phân tích:
Giả sử đã dựng đợc hình vuông thoả man yêu cầu Qua I kẻ đờng thẳng vuông góc với DI, cắt đờng thẳng AD, BC lần lợt tại P, Q
Theo tính chất 1, ta có ID = PQ
Trang 3Mặt khác ta có VAIP BIQV (g.g) IP IA k IP IQ k 1
+
IQ = + IQ = + = k 1 = k 1
Dựng hình:
Qua I dựng đờng thẳng d vuông góc với DI Trên d xác định P, Q thoả mãn (*) và I thuộc đoạn PQ
Nối DP, qua I dựng đờng thẳng vuông góc với DP, cắt DP tại A; qua Q dựng
đờng thẳng vuông góc với IA, cắt IA tại B; qua D dựng đờng thẳng vuông góc với BQ, cắt BQ tại C
Tứ giác ABCD chính là hình vuông cần dựng
Chứng minh:
Theo cách dựng ta có IA k
IB = và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Do đó theo tính chất 3 thì ABCD là hình vuông
Chú ý bài toán có hai nghiệm hình
Bài toán 2.
Cho hình vuông ABCD, điểmb E bất kì trên đờng chéo AC Dựng EF, EG lần lợt vuông góc với AD, DC (F thuộc AD, G thuộc DC) Chứng minh rằng AG,
BE, CF đồng quy
H ớng dẫn
Trang 4H
F
G
A D
B C
E
Từ giả thiết ta có EFDG là hình chữ nhật; VAEF vuông cân tại F
Suy ra AF=DGị VBAF=VADGị BF=AG; Do BF cắt AG, theo tính chất 2
ta có BF^ AG
Hoàn toàn tơng tự, ta chứng minh đợc BG^ CF
Gọi H là giao điểm của EF và BC, ta chứng minh đợc
FDG= EHBị DGE=HBE
V V mà DG^ BH nên BE^ CF
Vậy AG, BE, CF lần lợt chứa ba đờng cao của VGBF nên suy ra ba đờng thẳng này đồng quy
Bài toán 3
Cho hình vuông ABCD, trên AB, BC lấy các điểm I, K sao cho ãIDM=450
quay quanh D Chứng minh rằng IBMV có chu vi không đổi
H
ớng dẫn
Trang 5
H
L
M
A D
I
H
ớng dẫn
Dựng DL^ DI (L thuộc đơng thẳng BC)
Theo tính chất 1 ta có DI=DLị VADI=VCDLdo đó AI=CL (1)
DL^ DI mà ãIDM=450 suy ra ãLDM=IDMã =450 ị VIDM=VLDM (c.g.c) ị MI=ML(2)
Từ (1) và (2) suy ra chu vi của BIMV bằng:
BI BM IM BI BM ML BI BM MC CL BI IA BC
AB BC 2AB
Vậy chu vi của BIMV bằng hai lần cạnh hình vuông ABCD, không đổi
Đặt câu hỏi ngợc lại với kết quả bài toán 3, nếu chu vi VBIMbằng hai lần cạnh hình vuông không đổi thì số đo của ãIDM=450có đúng không?
Khi đó ta lại có bài toán mới
Bài toán 4
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a Trên các cạnh AB, BC lần lợt lấy các điểm I và M sao cho chu vi BIMV bằng 2a
Chứng minh rằng ãIDM=450
Trang 6
H
L
M
A D
I
H
ớng dẫn
Dựng DL^ DI và DH^ MI tơng tự nh bài toán 3 ta có:
DI=DLị VCDL=VADIị CL=AI
Mặt khác, chu vi BIMV bằng 2a hay
BM+ MI+ IB=BA+ BC=BI+ AI+ BM+ MC
Suy ra IM=IA+ MC=CL+ MC=ML
IDM= LDM
ị V V (c.c.c) ã ã 900 0
2
ị
Nhận xét, với ãIDM=450ta cũng thấy DH = CD không đổi (
Từ đó tìm đợc quĩ tích của điểm H và ta lại có thêm bài toán mới
Bài toán 5
Cho hình vuông ABCD, trên AB, BC lấy các điểm I, K sao cho ãIDM=450
quay quanh D Tìm quĩ tích chân đờng cao VDIM
H
ớng dẫn
Quĩ tích điểm H là phần t đờng tròn tâm D bán kính AD, giới hạn bởi hình vuông
Với bài toán 4 ta cũng có thêm nhận xét
Trang 7S DH.MI a.MI
= = nh vậy diện tích VDIMcó độ lớn tỉ lệ thuận với
độ dài MI, nhận thấy giá trị lớn nhất của MI bằng a khi đó ta xác định đợc giá trị lớn nhất của diện tích DIMV Ta có bài toán mới
Bài toán 6
Cho hình vuông ABCD, trên AB, BC lấy các điểm I, K sao cho ãIDM=450
quay quanh D Tìm vị trí của M để diện tích VDIM lớn nhất
H
ớng dẫn
Trớc hết tìm giá trị lớn nhất của MI
Xét BIMV ta có: BI+ BM³ MI và MI+ BM+ BI=2asuy ra
MI aÊ ị MI đạt giá trị lớn nhất bằng a khi Iº A;Mº Bhoặc Iº B;Mº C Khi đó DH = IM = a và giá trị lớn nhất của 2
DIM
1
2
=
