Bài tập pt tư duy 04

Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T 2. Bài tập II. (Bài số 9 sgk Toán 9 tập 1 trang 70): Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đơng thẳng qua D, vuông góc với DI. Đờng thẳng này cắt đờng thẳng BC tại L. Chứng minh: a. DILV cân. b. Tổng 2 2 1 1 DI DK + không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. H ớng dẫn: K Q L A D C B I P a.Ta có ADI CDL=V V (g.c.g) DI DL DIL=ị ị V cân tại D b.Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 DI DK DL DK DC + = + = (hệ thức lợng trong tam giác vuông,do DI = DL, DKLV vuông ở D và DC KL^ ) Nhận xét: Với mọi điểm P thuộc đờng thẳng AD, Q thuộc đờng thẳng BC mà PQ//DL thì PQ DI^ và PQ = DI (do PQ = DL tính chất đoạn chắn). Từ đó ta chứng minh đợc các tính chất sau: Tính chất 1: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình vuông và vuông góc với nhau thì bằng nhau. S Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Tính chất 2: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình vuông và nhau thì bằng nhau thì vuông góc với nhau. Tính chất 3: Hai đoạn thẳng PQ và DI bị chắn bởi các đờng thẳng chứa các cặp cạnh đối của một hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với nhau thì hình chữ nhật đó là hình vuông. Với những tính chất đó có thể giúp ta giải đợc nhiều bài tập hay về hình vuông. Sau đây, tôi xin giới thiệu một số bài toán có vận dụng khai thác các tính chất trên Bài toán 1. Hãy dựng hình vuông ABCD diết dỉnh D và điểm I thuộc cạnh AB sao cho IA k IB = ( k là hằng số cho trớc). Lời giải Q P A D C B I d Phân tích: Giả sử đã dựng đợc hình vuông thoả man yêu cầu. Qua I kẻ đờng thẳng vuông góc với DI, cắt đờng thẳng AD, BC lần lợt tại P, Q. Theo tính chất 1, ta có ID = PQ Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T Mặt khác ta có AIPV BIQV (g.g) IP IA IP IQ k k 1 IQ IB IQ + = = = +ị ị PQ ID ID k.ID k 1 k 1 IQ ;IP (*) IQ IQ k 1 k 1 = + = + = =ị ị ị + + Dựng hình: Qua I dựng đờng thẳng d vuông góc với DI. Trên d xác định P, Q thoả mãn (*) và I thuộc đoạn PQ. Nối DP, qua I dựng đờng thẳng vuông góc với DP, cắt DP tại A; qua Q dựng đờng thẳng vuông góc với IA, cắt IA tại B; qua D dựng đờng thẳng vuông góc với BQ, cắt BQ tại C. Tứ giác ABCD chính là hình vuông cần dựng. Chứng minh: Theo cách dựng ta có IA k IB = và tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Do đó theo tính chất 3 thì ABCD là hình vuông Chú ý bài toán có hai nghiệm hình Bài toán 2. Cho hình vuông ABCD, điểmb E bất kì trên đờng chéo AC. Dựng EF, EG lần lợt vuông góc với AD, DC (F thuộc AD, G thuộc DC). Chứng minh rằng AG, BE, CF đồng quy. H ớng dẫn S Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T H F G A D B C E Từ giả thiết ta có EFDG là hình chữ nhật; AEFV vuông cân tại F. Suy ra AF DG BAF ADG BF AG= = =ị ịV V ; Do BF cắt AG, theo tính chất 2 ta có BF AG^ Hoàn toàn tơng tự, ta chứng minh đợc BG CF^ Gọi H là giao điểm của EF và BC, ta chứng minh đợc ã ã FDG EHB DGE HBE= =ịV V mà DG BH^ nên BE CF^ Vậy AG, BE, CF lần lợt chứa ba đờng cao của GBFV nên suy ra ba đờng thẳng này đồng quy. Bài toán 3. Cho hình vuông ABCD, trên AB, BC lấy các điểm I, K sao cho ã 0 IDM 45= quay quanh D. Chứng minh rằng IBMV có chu vi không đổi H ớng dẫn Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T H L M A D C B I H ớng dẫn Dựng DL DI^ (L thuộc đơng thẳng BC) Theo tính chất 1 ta có DI DL ADI CDL= =ị V V do đó AI CL= (1) DL DI^ mà ã 0 IDM 45= suy ra ã ã 0 LDM IDM 45 IDM LDM= = =ị V V (c.g.c) MI ML=ị (2) Từ (1) và (2) suy ra chu vi của BIMV bằng: BI BM IM BI BM ML BI BM MC CL BI IA BC AB BC 2AB + + = + + = + + + = + + = + = Vậy chu vi của BIMV bằng hai lần cạnh hình vuông ABCD, không đổi. Đặt câu hỏi ngợc lại với kết quả bài toán 3, nếu chu vi BIMV bằng hai lần cạnh hình vuông không đổi thì số đo của ã 0 IDM 45= có đúng không? Khi đó ta lại có bài toán mới Bài toán 4. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB, BC lần lợt lấy các điểm I và M sao cho chu vi BIMV bằng 2a. Chứng minh rằng ã 0 IDM 45= Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T H L M A D C B I H ớng dẫn Dựng DL DI^ và DH MI^ tơng tự nh bài toán 3 ta có: DI DL CDL ADI CL AI= = =ị ịV V Mặt khác, chu vi BIMV bằng 2a hay BM MI IB BA BC BI AI BM MC+ + = + = + + + Suy ra IM IA MC CL MC ML= + = + = IDM LDM=ị V V (c.c.c) ã ã 0 0 90 LDM IDM 45 2 = = =ị Nhận xét, với ã 0 IDM 45= ta cũng thấy DH = CD không đổi ( IDM LDM=V V ) Từ đó tìm đợc quĩ tích của điểm H và ta lại có thêm bài toán mới Bài toán 5. Cho hình vuông ABCD, trên AB, BC lấy các điểm I, K sao cho ã 0 IDM 45= quay quanh D. Tìm quĩ tích chân đờng cao DIMV . H ớng dẫn Quĩ tích điểm H là phần t đờng tròn tâm D bán kính AD, giới hạn bởi hình vuông. Với bài toán 4 ta cũng có thêm nhận xét Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T DIM 1 1 S DH.MI a.MI 2 2 = = nh vậy diện tích DIMV có độ lớn tỉ lệ thuận với độ dài MI, nhận thấy giá trị lớn nhất của MI bằng a khi đó ta xác định đợc giá trị lớn nhất của diện tích DIMV . Ta có bài toán mới Bài toán 6. Cho hình vuông ABCD, trên AB, BC lấy các điểm I, K sao cho ã 0 IDM 45= quay quanh D. Tìm vị trí của M để diện tích DIMV lớn nhất. H ớng dẫn Trớc hết tìm giá trị lớn nhất của MI. Xét BIMV ta có: BI BM MI+ và MI BM BI 2a+ + = suy ra MI a MIÊ ị đạt giá trị lớn nhất bằng a khi I A;M B hoặc I B;M C . Khi đó DH = IM = a và giá trị lớn nhất của 2 DIM 1 S a 2 = . Bi tp phỏt trin t duy Trn Quc T 2. Bài tập II. (Bài số 9 sgk Toán 9 tập 1 trang 70): Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một. giúp ta giải đợc nhiều bài tập hay về hình vuông. Sau đây, tôi xin giới thiệu một số bài toán có vận dụng khai thác các tính chất trên Bài toán 1. Hãy dựng