Mục tiêu đề thi: Đề thi xét các bài toán tìm điểm thỏa mãn một số tính chất đặc biệt Bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, tìm giao đ
Trang 1ĐỀ THI ONLINE – TÌM ĐIỂM THỎA MÃN TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
I Mục tiêu đề thi:
Đề thi xét các bài toán tìm điểm thỏa mãn một số tính chất đặc biệt
Bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
Bài toán tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P), tìm điểm đối xứng với M
qua mặt phẳng (P)
Bài toán tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng (d), tìm điểm đối xứng với M
qua đường thẳng (d)
II Nội dung đề thi
Câu 1(nhận biết): Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 1 3 2 6
:
:
d
là:
A. (3; 7;18)A B. ( 3;7;18)B C. (3; 7;1)C D.D(3;7; 1)
Câu 2(nhận biết): Tọa độ giao điểm (nếu có) của 1
3 2
6 4
z t
x y z
d
; ;
7 7 7
B
C
Câu 3(nhận biết): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ( ) :P x4y9z 9 0 và
: 1
y z
d x
Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là:
A. (2; 4; 1)I B. (1; 2;0)I C.I(1;0;0) D. (0;0;1)I
Câu 4(thông hiểu): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
( ) :S x1 y2 z 3 9 và
y z
d x
(d) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A và B Tọa độ trung điểm I của AB là:
A. (2; 4; 1)I B. (0;0;1)I C. 3 3 23; ;
14 7 14
I
3 6 16
; ;
7 7 7
I
Câu 5: (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; 4; 2) trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là:
A.(3; 4; 0) B.( 3; 4; 0) C.(3;0; 2) D. ( 3; 0; 2)
Trang 2Câu 6: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm đối xứng của điểm M(3; 4; 2) qua trục Oy có tọa độ là:
A. ( 3; 4; 2) B. (3; 4; 2) C.( 3; 0; 2) D. ( 3; 4; 2)
Câu 7: (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(0;1; 2) Khẳng định nào sau đây là đúng:
A A(0;0;0)là hình chiếu của M trên trục Ox
B B(0; 1; 2) là điểm đối xứng với M qua Oy
C C(0; 1; 2) là hình chiếu của M trên (Oxz)
D D(0; 1; 0) là điểm đối xứng của M qua (Oxy)
Câu 8: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng
( ) :P x2y3z0 Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) có tọa độ:
Câu 9: (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M( 1;1; 0) , mặt phẳng
( ) :P x y z 3 0 Gọi H là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho độ dài MH nhỏ nhất Vậy H có tọa độ là:
A.H(0; 2;1) B.H(1;1;1) C.H(1; 2;0) D.H(2;0;1)
Câu 10: (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1; 2), mặt phẳng
( ) :P x y z 2 0 Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (P) Tọa độ của M’ là:
A. ' 1 1 10; ;
3 3 3
M
1 1 10
3 3 3
M
1 1 10
1 1 10 ' ; ;
3 3 3
M
Câu 11 (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình
x y z Tọa độ điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P) là:
A. 1; 2; 1 B. 1; 2;1 C. 2 4; ; 2
3 3 3
2 4 2
; ;
3 3 3
Câu 12 (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 6P x2y z 350 và điểm ( 1;3;6)A Gọi A là điểm đối xứng với A qua ( ) P Tính OA
A. OA 3 26 B. OA 5 3 C. OA 46 D. OA 186
Câu 13 (vận dụng cao) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm:
(1; 2; 2), ( 1; 2; 1), (1; 6; 1), ( 1; 6; 2)
A B C D Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng
(BCD)
A. 83 194 26; ;
61 61 61
83 194 26
61 61 61
H
83 194 26
H
83 194 26
61 61 61
H
Câu 14 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (0; 0; 0)O và mặt phẳng
( ) : 2P x2y z 4 0 Mặt cầu (S) tâm O tiếp xúc với ( )P tại H Tọa độ điểm H là:
Trang 3A.( 3;0; 2) B. (3; 0; 2) C. 8; 8; 4
H
8 8 4
; ;
9 9 9
H
Câu 15 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết rằng mặt phẳng ( ) : 2P x y z 3 0cắt mặt cầu (S) tâm (3;1; 2)I theo giao tuyến là một đường tròn Tâm H của đường tròn giao tuyến là điểm nào sau đây:
A.H(1;1;3) B. H1;0; 1 C. H( 1;1;3) D. H1;0;1
Câu 16 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;3) và đường thẳng
1 3
x t
d y t
z t
Tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên d là:
A.(1; 2; 0) B. 1 ; 9 5;
14 7 14
; ;
14 7 14
Câu 17 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d x: y z và điểm (1; 2;3)A Tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua d là:
A.A'(2;1;1) B. A'( 3; 2; 1) C. A'(3; 2;1) D. A'(3;1;5)
Câu 18 (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (5;3; 1)A , (2;3; 4)B và (1; 2; 0)
C Tọa độ điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB là:
A. (6; 5; 4) B. ( 5; 6; 4) C. (4; 6; 5) D. (6; 4; 5)
Câu 19 (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 3
d
Khoảng cách từ (1; 0;3)A đến d bằng:
A. 70
5
2 5
6 5
Câu 20 (vận dụng cao)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (0; 1; 2)A và (1; 0; 2)B lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm ( ; ; )I a b c trên 1 2
:
x y z
d
và ( ) : 2P x y 2z 6 0 Tính S a b c
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
Trang 4HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu 1
Phương pháp: Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 Ta có
1
( ) ( ') ( ); ( ); ( )
( ) ( ') (*) ( '); ( '); ( ')
( ) ( ')
x t x t
M x t y t z t
M d
y t y t
M d M x t y t z t
z t z t
Từ hệ (*) ta tìm được , 't t Từ đó tìm được M
Cách làm:
Phương trình tham số của d1 và d2 là:
3
6 2
x t
z t
5 '
2 8 '
x t
z t
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 Ta có
1
2
3
' 2
5 '; 1 4 '; 2 8 '
VậyM(3;7;18)
Chọn A
Câu 2
Phương pháp:
Tham số hóa phương trình đường thẳng d2
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 Ta có
Trang 5
1
( ) ( ') ( ); ( ); ( )
( ) ( ') (*) ( '); ( '); ( ')
( ) ( ')
x t x t
M x t y t z t
M d
y t y t
M d M x t y t z t
z t z t
Từ hệ (*) ta tìm được , 't t Từ đó tìm được M
Cách làm:
2 '
3 3 '
x t
x y z
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 Ta có
1
2
3 2 ; 2 3 ;6 4
2 '; 2 '; 3 3 '
t t t t
M d
Hệ phương trình (*) vô nghiệm
Chọn D
Câu 3
Phương pháp:
Từ phương trình tham số của đường thẳng d, ta có tọa độ của điểm Id Vì I( )P nên tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) Từ đó tìm được tham số, rồi tìm tọa độ điểm I
Cách giải:
Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được:
1
4 3
x t
d y t
z t
Giả sử I là giao điểm của (d) và (P)
Vì
1
4 3
x t
I d y t
z t
nên ta có:I t 1; 2 2 ; 4 3 t t
Mặt khác I( )P nên ta có t 1 4.(2 2 ) 9.(4 3 ) 9 t t 0 36t36 0 t 1
Suy ra (0; 0;1)I
Chọn D
Câu 4
Phương pháp:
Trang 6- Từ phương trình tham số của đường thẳng d, ta có tọa độ của điểm Ad
- Vì A( )S nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình mặt cầu (S)
- Từ đó tìm được 2 tham số thỏa mãn phương trình, tương ứng tìm được tọa độ hai điểm A, B
- Cuối cùng tìm trung điểm I của AB
Cách giải:
Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta được:
1
4 3
x t
d y t
z t
Giả sử A là giao điểm của (d) và (P) Vì
1
4 3
x t
A d y t
z t
nên ta có:A t 1; 2 2 ; 4 3 t t
Mặt khác A( )S nên ta có
2
2
0;0;1 1
3 3 23
; ;
14 7 14
; ;
t t
A t
I
Suy ra 3 3 23; ;
14 7 14
I
Chọn C
Câu 5
Phương pháp:
Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng tọa độ
Chiếu vuông góc lên mặt phẳng (Oxy) thì giữ nguyên hoành độ và tung độ của điểm M đồng thời cao độ bằng 0 ta được tọa độ của M’
Chiếu vuông góc lên mặt phẳng (Oxz) thì giữ nguyên hoành độ và cao độ của điểm M đồng thời tung độ bằng 0 ta được tọa độ của M’
Chiếu vuông góc lên mặt phẳng (Oyz) thì giữ nguyên tung độ và cao độ của điểm M đồng thời hoành độ bằng 0 ta được tọa độ của M’
Cách làm:
Chiếu vuông góc điểm M(3; 4; 2) trên mặt phẳng (Oxz) ta giữ nguyên x M;z M và cho tung độ bằng 0 ta được '(3;0; 2)
Trang 7Chọn C
Câu 6
Phương pháp:
Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua trục tọa độ
Đối xứng qua trục Ox thì giữ nguyên hoành độ, và đổi dấu đồng thời tung độ, cao độ của điểm M
ta được tọa độ của M’
Đối xứng qua trục Oy thì giữ nguyên tung độ, và đổi dấu đồng thời hoành độ, cao độ của điểm M
ta được tọa độ của M’
Đối xứng qua trục Oz thì giữ nguyên cao độ, và đổi dấu đồng thời hoành độ, tung độ của điểm
M ta được tọa độ của M’
Cách làm:
Lấy đối xứng của điểm M(3; 4; 2) qua trục Oy ta giữ nguyên y M, đổi dấu x M và z M ta được ( 3; 4; 2)
Chọn D
Câu 7
Phương pháp:
Áp dụng chú ý về hình chiếu và đối xứng để loại trừ đáp án
Cách làm:
A Hình chiếu của M(0;1; 2) trên trục Ox là (0;0;0)A (A đúng)
B Điểm đối xứng với M(0;1; 2) qua Oy là (0;1; 2)B (B sai)
C Hình chiếu của M(0;1; 2) trên (Oxz) là (0; 0; 2)C (C sai)
D Điểm đối xứng của M(0;1; 2) qua (Oxy) là D(0;1; 2) (D sai)
Chọn A
Câu 8
Phương pháp:
Lập phương trình đường thẳng d qua M và có vecto chỉ phương là n P
Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là giao điểm của d và (P)
Cách giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P)
1 (1; 2; 3)
(1; 2; 3)
3 3
P
x t
MH n
M
z t
Tọa độ điểm H thỏa mãn:
(0;0;0)
H
Trang 8Chọn B
Câu 9
Phương pháp:
Bài toán đưa về dạng tìm hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)
Cách làm:
( )
min
H P
MH
H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P)
Ta có:
1 (1;1;1)
( 1;1;0)
P
x t
MH n
M
z t
Tọa độ điểm H thỏa mãn: t 1 t 1 t 3 0 3t 3 0 t 1
0; 2;1
H
Chọn A
Câu 10
Phương pháp:
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P)
Khi đó, H là trung điểm của MM’ Từ đó, tìm được tọa độ M’
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu của M qua (P)
1 (1;1; 1)
(1;1; 2)
2
P
x t
MH n
M
z t
Tọa độ điểm H thỏa mãn:
2
3
3 3 3
H
Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua (P) Khi đó H là trung điểm của MM’ Suy ra
Trang 9' '
'
'
1 3 2
2
10 3
M
M
x
x x x
z z z
z
Chọn B
Câu 11
Phương pháp:
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (P)
Gọi O’ là điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P) Khi đó, H là trung điểm của OO’
Từ đó, tìm được tọa độ O’
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu của O qua (P)
(1; 2; 1)
(0;0;0)
P
x t
OH n
O
z t
Tọa độ điểm H thỏa mãn:
1 2.2 ( ) 2 0 6 2 0
3
3 3 3
H
Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua (P) Khi đó H là trung điểm của OO’ Suy ra
' '
'
'
2 3 2
2
2 3
O
O
x
x x x
z z z
z
Chọn C
Câu 12
Phương pháp:
Tìm tọa độ A là điểm đối xứng với A qua ( ) P
Tính OA
Cách giải:
Gọi H hình chiếu của A lên mặt phẳng (P)
Trang 10Ta có:
6 1 (6; 2;1)
( 1;3;6)
6
P
x t
AH n
A
z t
Tọa độ điểm H thỏa mãn:
6.(6t 1) 2.( 2 t 3) (t 6) 35 0 41t41 0 t 1 H 5;1;7
Ta có H là trung điểm của AA’ Suy ra:
OA OA
Chọn D
Câu 13
Phương pháp:
Tìm phương trình mặt phẳng (BCD)
Tìm hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD)
Cách giải:
2; 4;0
0; 4;3
BC
BC BD BD
Chọn n6; 3; 4 Ta có
6; 3; 4
1; 2; 1
n
B
H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD)
Ta có:
6 1 (6; 3; 4)
(1; 2; 2)
4 2
x t
AH n
A
z t
Tọa độ điểm H thỏa mãn:
Trang 11Chọn D
Câu 14
Phương pháp:
H là tiếp điểm OH ( )P H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P)
Cách giải:
H là tiếp điểm OH ( )P H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P)
Ta có:
2 (2; 2; 1)
(0;0;0)
P
x t
OH n
O
z t
Tọa độ điểm H thỏa mãn:
Chọn đáp án: C
Câu 15
Phương pháp:
I: tâm mặt cầu
H: tâm đường tròn giao tuyến
( )
IH P
Bài toán được đưa về dạng tìm hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) đã biết
Cách giải:
H là tâm đường tròn giao tuyến IH ( )P H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)
(3;1; 2)
2
P
x t
IH n
I
z t
Tọa độ điểm H thỏa mãn:
2.(2t 3) (t 1) ( t 2) 3 0 6t 6 0 t 1 H 1;0; 1
Chọn đáp án: B
Câu 16
Phương pháp:
Trang 12H là hình chiếu vuông góc của M lên d MH u d 0
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d
(1 3 ; 2 2 ; )
H d H t t t Ta có:
3 ; 4 2 ; 3
3; 2;1
d
MH t t t
u
d
MH u
Chọn đáp án: D
Câu 17
Phương pháp:
Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của A lên d
Khi đó, H là trung điểm của AA’ Từ đó, tìm được tọa độ điểm A’
Cách giải:
Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta có: :
x t
d x y z y t
z t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d
( ; ; )
H d H t t t Ta có:
1; 2; 3
1;1;1
d
AH t t t
u
d
AH u
Ta có H là trung điểm của AA’ Suy ra:
Chọn đáp án: C
Câu 18
Trang 13Phương pháp:
Lập phương trình đường thẳng AB
Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của C lên AB
Khi đó, H là trung điểm của CD Từ đó, tìm được tọa độ điểm D
Cách giải:
5 3;0; 3
5;3; 1
1
x t AB
A
z t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB
(5 ;3; 1 )
HABH t t Ta có:
4 ;1; 1
1;0;1
AB
u
AB
CH u
Ta có H là trung điểm của CD suy ra:
5 2
D
x x x x
z
z z z
Chọn D
Câu 19
Phương pháp:
Tìm hình chiếu H của A lên đường thẳng d
Khoảng cách từ A đến d bằng: AH
Cách làm:
Tham số hóa phương trình đường thẳng d ta có:
1 2
3
x t
z t
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên D
(1 2 ; 2 3 ;3 )
H d H t t t Ta có:
Trang 14
2 ; 2 3 ;
2;3;1
d
AH t t t
u
d
AH u
Khoảng cách từ A đến d bằng AH
Có 6 5; ; 3
7 7 7
AH
Suy ra
AH
Chọn A
Câu 20
Phương pháp:
A là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng dAI u d 0
B là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) BI/ /n P
Giải hệ phương trình
Cách giải:
A là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng dAI u d 0
; 1; 2 4;1; 1
d
AI a b c
u
Suy ra: AI u d 0 4a b 1 (c 2) 0 4a b c 3 0(1)
B là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) BI/ /n P
1; ; 2 2; 1; 2
P
BI a b c
n
1
P
a b
a b c
BI n
a c
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Chọn C