Phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi Fourier với biểu trưng tăng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG Ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ NGÂN THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Ngân Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày tháng 09 năm 2019 Tác giả Lăng Thị An Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân i Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, TS Nguyễn Thị Ngân Tôi muốn gửi lời cảm ơn mơn Giải tích, Khoa Tốn, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cơ, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng 09 năm 2019 Tác giả Lăng Thị An ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Biến đổi Fourier 1.1.1 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.1.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.1.3 Biến đổi Fourier tích chập Không gian Sobolev 1.2.1 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 1.2.1.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev 1.2.1.2 Không gian Sobolev H k (Q) 1.2.1.3 Vết hàm mặt 1.2.1.4 Không gian Hok (Q) 1.2.2 Không gian Sobolev cấp thực 1.2.2.1 Không gian H s (Rn ) 1.2.2.2 Không gian Hos (Ω) không gian H s (Ω) 12 1.2.2.3 Các không gian đối ngẫu 13 1.3 Toán tử giả vi phân 16 1.4 Các đa thức Chebyshev 20 iii 1.4.1 Đa thức Chebyshev loại 20 1.4.2 Đa thức Chebyshev loại hai 22 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng 2.1 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) 2.1.1 2.1.2 2.2 25 26 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) 26 Ví dụ 29 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) 30 2.2.1 2.2.2 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) 30 Ví dụ 35 Kết luận 38 iv Lời mở đầu Phương trình cặp tích phân xuất giải số tốn biên hỗn hợp phương trình vật lý toán Các toán liên quan đến lý thuyết đàn hồi, vết nứt, dị tật môi trường , đưa đến việc giải phương trình cặp khác Tính giải phương trình cặp tích phân nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu đến Nguyễn Văn Ngọc, G Ia Popov, Với mong muốn nghiên cứu vấn đề này, chúng tơi chọn đề tài "Phương trình cặp tích phân phép biến đổi Fourier với biểu trưng tăng" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức sở biến đổi Fourier,khơng gian Sobolev, tốn tử giả vi phân, đa thức Chebyshev loại 1, đa thức chebyshev loại Chương 2: Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng Trong chương trình bày tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) |ξ|2m+1 A(ξ) Trong trường hợp có nêu ví dụ minh họa Thái Nguyên, ngày tháng 09 năm 2019 Tác giả Lăng Thị An Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức biến đổi Fourier, không gian Sobolev, toán tử giả vi phân đa thức Chebysev Những kiến thức tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1 1.1.1 Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh Vì hàm S hàm khả tổng Rn , nên biến đổi Fourier xác định theo công thức ϕ(x)eix.ξ dx, F [ϕ](ξ) = ϕ ∈ S Rn Sau tính chất quan trọng biến đổi Fourier S 1) Có thể lấy đạo hàm số lần tùy ý dấu tích phân Fourier Dα F [ϕ](ξ) = F [(ix)α ϕ](ξ) 2) Biến đổi Fourier đạo hàm F [Dα ϕ](ξ) = (−iξ)α F [ϕ](ξ) 3) Đẳng thức Paserval Giả sử f ∈ L1 (Rn ) Khi F [f ] hàm liên tục bị chặn Rn nên hàm suy rộng quy S Khi ta có đẳng thức F [f ](ξ)ϕ(ξ)dξ = f (x)F [ϕ](x)dx Rn (1.1) Rn 4) Công thức biến đổi Fourier ngược ϕ = F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]], F −1 [ϕ(ξ)](x) = F [ϕ(ξ)](x) (2π)n Định lý 1.1.1 Biến đổi Fourier F từ S sang S tương ứng một-một liên tục vào nó, nghĩa đẳng cấu tuyến tính Chứng minh Theo tính chất 1) 2), ta có eix.ξ (i)|α| xα ϕ(x)dx Dα ϕ(ξ) = Rn (−i)|β| ξ β ψ(ξ) = eixξ Dβ ψ(x)dx (1.2) Rn Trong (1.2) thay ψ = Dα ϕ(ξ) vận dụng tính chất 1), ta (−i)|α|+|β| ξ β Dξα ϕ(ξ) = Rn eixξ Dxβ (xα ϕ(x))dx (1.3) Sử dụng công thức (1.1), ta m m |Dβ (xα ϕ(x))|dx ||ϕ||m |β|=0 α=0 Rn Rn Cm ||ϕ||m+n+1 dx = Cm ||ϕ||m+n+1 (1 + |x|)n+1 Như vậy, ϕ ∈ S , ϕ thuộc S , ngồi theo (1.1), ϕi → ϕ S , ϕi → ϕ S Làm tương tự tốn tử F −1 , ta có kết toán tử F ánh xạ đơn trị liên tục từ S vào S Định lý chứng minh Chương Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng Trong chương này, chúng tơi trình bày tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng Những kiến thức tham khảo từ tài liệu [5], [6], [7] Ta xét phương trình cặp tích phân có dạng sau    F −1 [|ξ|p A(ξ)u(ξ)](x) = f (x), x ∈ (a, b),   F −1 [u(ξ)](x) = 0, (2.1) x ∈ R\(a, b), u ∈ S (R) ∩ C ∞ (R) hàm chưa biết, f (x) hàm cho H −p/2 (a, b),p ≥ số nguyên Đối với hàm A(ξ)ta có giả thiết: i) A(ξ) ∈ C ∞ (R), ReA(ξ) ≥ 0, A(−ξ) = A(ξ), ii) L(ξ) = − A(ξ) = O(|ξ|−q ), |ξ| → ∞, ∀ξ ∈ (R), q > Định lý 2.0.1 Nếu f (x) ∈ H −p/2 (a, b) giả thiết i) ii) thỏa mãn phương trình cặp tích phân có nghiệm u = F −1 [u] ∈ p/2 Ho (a, b) 25 2.1 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2mA(ξ) 2.1.1 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) Trong phần xét phương trình cặp tích phân (2.1) cho trường hợp p = 2m, m số không âm Sử dụng công thức F −1 [(−iξ)k u](x) = Dxk F −1 [u](x) |ξ|2m = (−1)m (−iξ)2m , Ta biến đổi (2.1) dạng    Dm F −1 [(−iξ)m A(ξ)u(ξ)](x) = (−1)m f (x),   u(x) := F −1 [u](x) = 0, x ∈ (a, b), (2.2) x∈ / (a, b) Định lý 2.1.1 Phương trình cặp (2.2) Hom (a, b) với u = F −1 [u] tương đương với phương trình tích phân Fredholm ϕ(x) − b a K(x, t)ϕ(t)dt = h(x), x ∈ (a, b) với ϕ(x) ∈ L2 (a, b) Nếu DJ−m [(−1)m f ](x) ∈ L2 (a, b) phương trình cặp tích phân (2.2) Hom (a, b) có nghiệm xác định bởi: u(x) = 2Γ(m) b ϕ(t)(x − t)m−1 sign(x − t)dt, ϕ ∈ Om (a, b) a Chứng minh Ta có phương trình (2.2) với f ∈ H −m (a, b) có nghiệm u = F −1 [u] ∈ Hom (a, b) Từ Định lý nhúng, có u ∈ Com (a, b) Theo Định lý 1.3.4, hàm u(x) biểu diễn công thức (1.35): u(x) = 2Γ(m) b ϕ(t)(x − t)m−1 sign(x − t)dt, a 26 o ϕ ∈ Om (a, b) biến đổi Fourier có dạng u(ξ) = F [u](ξ) = (−iξ)m b eiξt ϕ(t)dt = a F [ϕ](ξ) (−iξ)m (2.3) Chúng ta tìm hàm ϕ(t) khơng gian Ho0 (a, b) Không gian Ho0 (a, b) bao gồm hàm thuộc không gian L2 (R), theo Định lý 1.2.1, thấy rằng, ϕ(t) ∈ Ho0 (a, b) ∩ Om (a, b), hàm u(x) xác định cơng thức (1.35) thuộc không gian Hom (a, b) Để thuận tiện, ta viết điều kiện (1.30) dạng b (k = 0, 1, 2, , m − 1), ϕ(x)Pk [ξ(x)]dx = 0, (2.4) a Pk (ξ) đa thức Legendre bậc k ξ(x) = 2x − (a + b) b−a (2.5) Ta có b b Pm2 [ξ(x)]dx = Pm [ξ(x)]Pn [ξ(x)]dx = (m = n), a a b−a (2.6) 2m + Vì f ∈ H −m (a, b) nên tồn DJ−m f Hàm F −1 [(−iξ)m A(ξ)u(ξ)](x) thuộc khơng gian L2 (a, b), thác triển thuộc khơng gian S (R) [a, +∞] Đặt J = (a, b) tốn tử Dm coi toán tử DJm Thay toán tử DJ−m vào hai vế phương trình đầu (2.2), sử dụng công thức (1.28) ta thu m−1 F −1 m m [(−iξ) A(ξ)u(ξ)](x) = (−1) DJ−m f (x) + aj Pj [ξ(x)], (2.7) j=0 aj số tùy ý, Pj (ξ) đa thức Legendre hàm ξ(x) xác định theo công thức (2.5) Trong (2.7) ta thay A(ξ) u(ξ) cách sử dụng công thức L(ξ) = − A(ξ) = O(|ξ|−q ), 27 |ξ| → ∞, q>1 công thức (2.3) Sau biến đổi, ta thu phương trình tích phân sau m−1 b ϕ(x) − l(x − t)ϕ(t)dt = g(x) + a aj Pj [ξ(x)], (2.8) j=0 l(x) = π ∞ L(ξ)cos(xξ)dξ, g(x) = DJ−m [(−1)m f ](x) Sử dụng (2.8) (2.5), điều kiện (2.4) có 2j + aj = − b−a b b g(y)Pj [ξ(y)]dy + a b l(y − t)Pj [ξ(y)]dy ϕ(t)dt a a (2.9) Từ (2.8) (2.9) có phương trình tích phân sau b ϕ(x) − K(x, t)ϕ(t)dt = h(x), x ∈ (a, b), (2.10) a m−1 h(x) = g(x) − j=0 m−1 K(x, t) = l(x − t) − j=0 2j + b−a b g(y)Pj [ξ(y)]dy Pj [ξ(x)], (2.11) a 2j + b−a b l(y − t)Pj [ξ(y)]dy Pj [ξ(x)] (2.12) a Bây kiểm tra lại nghiệm ϕ phương trình tích phân (2.10) thỏa mãn điều kiện (2.4) Thật từ (2.10)-(2.12) cho k = 0, 1, , m − 1, nhận 28 b b ϕ(x)Pk [ξ(x)]dx − b a m−1 b + ϕ(t)dt a j=0 = 2j + b−a m−1 b g(x)Pk [ξ(x)]dx− a l(x − t)Pk [ξ(x)]dx+ ϕ(t)dt a j−0 a b b l(y − t)Pj [ξ(y)]dy a 2j + b−a Pj [ξ(x)]Pk [ξ(x)]dx a b b g(y)Pj [ξ(y)]dy a Pj [ξ(x)]Pk [ξ(x)]dx a (2.13) Sử dụng (2.6) (2.13) có b ϕ(x)Pk [ξ(x)]dx = (k = 0, 1, 2, , m − 1), a tức điều kiện (2.4) thỏa mãn Khi định lý chứng minh 2.1.2 Ví dụ Trong ví dụ sau, ta chọn A(ξ) ≡ Ví dụ 2.1.2 Cho J = (−1, 1), |ξ|2m A(ξ) ≡ |ξ|4 , f (x) = QδJ (x), Q = const, δJ (x) giới hạn hàm δ J Trong trường hợp này, phương trình cặp tích phân (2.2) tương đương với toán biên d4 u(x) = QδJ (x), dx4 u(x) = u (x) = 0, (−1 < x < 1), (2.14) x∈ / (−1, 1) (2.15) Chúng ta giải toán (2.14)-(2.15) không gian Ho2 (−1, 1) Ta biết δ ∈ H −1/2−ε (R) ⊂ H −2 (R), ∀ε > 0, δJ ∈ H −2 (−1, 1) hàm δ(x) phần thác triển hàm δJ (x) Hơn nữa, DJ−2 [δJ ] ∈ L2 (−1, 1) 29 Theo (1.35) (2.10), có     x ϕ(t)(x − t)dt, −1 u(x) =   0, |x| ≥ 1, |x| < 1, (2.16)   −Q Qt   − , −2 ϕ(t) = QDJ [δJ (t)] + a0 + a1 t =  −Q Qt   + , −1 < t < 0, (2.17) t < Thay (2.17) vào (2.16), sau vài biến đổi, có   Q   (−2x3 − 3x2 + 1), −1 < x 0, u(x) = 24  Q   (2x3 − 3x2 + 1), x < 24 (2.18) Dễ kiểm tra hàm u(x) định nghĩa theo công thức (2.18) thỏa mãn phương trình vi phân (2.14) điều kiện biên (2.15) 2.2 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1A(ξ) 2.2.1 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) Với trường hợp p = 2m + phương trình cặp (2.1) viết dạng sau    Dm F −1 [(−iξ)m+1 isign(ξ)A(ξ)u(ξ)](x) = (−1)m f (x), x ∈ (a, b),   u(x) := F −1 [u](x) = 0, x ∈ / (a, b) (2.19) 30 Theo Định lý (2.1.1) phương trình cặp (2.19) với f ∈ H −(m+1/2) có m+1/2 nghiệm u = F −1 [u] ∈ Ho (a, b) Theo Định lý nhúng, có u(x) ∈ Com+1 (a, b) Theo Định lý 1.3.4, hàm biểu diễn dạng u(x) = 2Γ(m + 1) b ϕ(t)(x − t)m sign(x − t)dt, (2.20) a ϕ(t) ∈ Om+1 (a + b) Để thuận tiện thay điều kiện (1.29) dạng b ϕ(x)Tk [ξ(x)]dx = 0, (k = 0, 1, , m), (2.21) a Tk (ξ) đa thức Chebyshev bậc hàm ξ(x) định nghĩa theo công thức (2.5) Như biết, biến đổi Fourier u(ξ) hàm u(x) xác định theo công thức u(ξ) = (−iξ)m+1 b ϕ(t)eiξt dt = a F [ϕ](ξ) (−iξ)m+1 (2.22) Chúng ta tìm hàm ϕ(t) không gian L2ρ (a, b), ρ(x) = (x − a)(b − x) Sử dụng Bổ đề 1.3 cơng thức (2.22) có m+1/2 thể hàm u(x) thuộc không gian Ho (a, b) Với đối số phần trước, áp dụng tốn tử DJ−m , J = (a, b) cho đẳng thức (2.19) nhận được: m−1 F −1 m+1 [(−iξ) isign(ξ)A(ξ)u(ξ)](ξ) = g(x) + cj Uj [ξ(x)], x ∈ (a, b), j=0 (2.23) cj = const, g(x) = (−1)m DJ−m f (x), Uj (ξ) đa thức Chebyshev loại hai Bây (2.23) thay A(ξ) u(ξ) cách sử dụng điều kiện ii) phần công thức (2.22) tương ứng Sử dụng 31 công thức F −1 [sign(ξ)F [ϕ](ξ)](x) = πi b a ϕ(t)dt , x−t ϕ ∈ L2ρ±1 (a, b), Sau vài biến đổi có π b a m−1 b dt =− ϕ(t) t−x π ϕ(τ )k(x − τ )dτ − g(x) − a cj Uj [ξ(x)], (2.24) j=0 +∞ +∞ k(x) = [1 − A(ξ)]sin(xξ)dξ L(ξ)sin(xξ)dξ = 0 Áp dụng công thức (1.41) vào phương trình (2.24), có phương trình tích phân thứ hai sau ϕ(x) = π ρ(x) + b b ϕ(τ )dτ a m−1 πρ(x) a dt ρ(t)k(t − τ ) + t − x πρ(x) b ρ(t)Uj [ξ(t)] cj a j=0 dt C + , t − x ρ(x) b ρ(t)g(t) a dt t−x a < x < b, (2.25) C số tùy ý Sử dụng điều kiện b b ϕ(t)T0 [ξ(t)]dt = ϕ(t)dt = a a công thức b a dt =0 ρ(t) t − x từ (2.25) ta thu C =0 Để xác định hệ số cj , (j = 0.1, , m − 1) sử dụng công thức sau cách thay biến tương ứng π b ρ(t)Uj [ξ(t)] a π b a dt b−a =− Tj+1 [ξ(x)], t−x Tj [ξ(x)]dx =− Uj−1 [ξ(t)], ρ(x)(t − x) b−a 32 (2.26) (2.27) π b Tk [ξ)(x)]Tj [ξ(x)] a dx = σk δkj , ρ(x) (σ0 = 1, σk = , k = 1, 2, ), (2.28) δkj kí hiệu Kronecker Như từ (2.25) (2.26) có b ϕ(x) = π ρ(x) b ϕ(τ )dτ a − b−a 2πρ(x) a m b dt ρ(t)k(t − τ ) + t − x πρ(x) c∗j Tj [ξ(x)], c∗j = cj−1 , ρ(t)g(t) a dt t−x a < x < b (2.29) j=1 Để xác định hệ số c∗j (2.29) sử dụng điều kiện (2.21) cơng thức (2.22) có c∗j b =− (b − a)2 π − b ρ(t)k(t − τ )Uj−1 [ξ(t)]dt ϕ(τ )dτ a a (b − a)2 b ρ(t)g(t)Uj−1 [ξ(t)]dt, (j = 1, 2, , m) (2.30) a Từ (2.29) (2.30) ta có phương trình tích phân với ρ(x)ϕ(x) ∈ L2 (a, b) : b ρ(x)ϕ(x) − H(x, τ ) ρ(τ )ϕ(τ )dτ = h(x), a < x < b, (2.31) a H(x, τ ) = h(x) = b ρ(x) ρ(τ )π ρ(x)π a b ρ(t)g(t) a ρ(t)k(t−τ ) + t−x b−a + t−x b−a m Tj [ξ(x)]Uj−1 [ξ(t)] dt, j=1 (2.32) m Tj [ξ(x)]Uj−1 [ξ(t)] dt j−1 (2.33) Lưu ý L(ξ) = − A(ξ) = O(|ξ|−q ), |ξ| → ∞, q > cho hàm A(ξ), Theo Định lý 1.3 Từ (2.32) có H(x, τ ) ∈ L2 ((a, b) × (a, b)) Tương tự, g(x) = (−1)m Dj−m f (x) ∈ L2ρ (a, b) hàm h(x) cho cơng thức (2.33) L2 (a, b) 33 Định lý 2.2.1 Phương trình cặp (2.19) u(x) = F [u](x) ∈ Hom+1/2 (a, b) tương đương với phương trình tích phân (2.31) ρ(x)ϕ(x) ∈ L2 (a, b) Nếu (−1)m DJ−m f (x) ∈ L2ρ (a, b) phương trình (2.31) có nghiệm L2 (a, b) Trong trường hợp này, nghiệm u(x) = F [u](x) ∈ m+1/2 Ho (a, b) phương trình cặp (2.19) cho công thức u(x) = 2Γ(m + 1) b (x − t)m sign(x − t)ϕ(t)dt, x ∈ R (2.34) a Chứng minh Bây kiểm tra nghiệm ϕ phương trình tích phân (2.31) thỏa mãn điều kiện (2.21 ) Thật vậy, từ (2.31)-(2.33) cho k = 0, 1, , m, cho b b ϕ(x)Tk [ξ(x)]dx = a b a dx ρ(x) b dx h(x)Tk [ξ(x)] (2.35) = ρ(x) a H(x, τ ) ρ(τ )Tk [ξ(x)] ϕ(τ )dτ a Vì (2.28)-(2.29), có b H(x, τ ) ρ(τ )Tk [ξ(x)] a dx ρ(x) b b Tk [ξ(x)]dx k(t − τ )ρ(t)dt = π a a ρ(x)(t − x) m b dx + Uj−1 [ξ(t)] Tj [ξ(x)]Tk [ξ(x)] b − a j=1 ρ(x) a = π b k(t − τ )ρ(t)dt − a 2π π Uk−1 [ξ(t)] + Uk−1 [ξ(t)] ≡ b−a b−a (2.36) 34 Tương tự, có b a dx h(x)Tk [ξ(x)] = ρ(x) π + b−a b b ρ(t)g(t)dt a a m Tk [ξ(x)dx] ρ(x)(t − x) b Uj−1 [ξ(t)] j=1 Tj [ξ(x)]Tk [ξ(x)] a dx ρ(x) = (2.37) Từ (2.35)-(2.37), điều kiện (2.21) thỏa mãn Định lý chứng minh 2.2.2 Ví dụ Ví dụ 2.2.2 Ta xét phương trình cặp sau    F −1 [|ξ|3 u(ξ)](x) = f0 = const,   u(x) := F −1 [u(ξ)](x) = 0, x ∈ (−1, 1), x∈ / (−1, 1) Phương trình viết dạng     d F −1 [(−iξ)2 i.sign(ξ)u(ξ)](x) = −f0 , x ∈ (−1, 1), dx   u(x) = 0, x ∈ / (−1, 1) Trong trường hợp có     x (x − t)ϕ(t)dt, −1 u(x) =   0, |x| 1, ϕ(x) = √ − x2 1 − t2 [−f0 (t+1)] −1 (2.38) |x| < 1, +2T1 (x)Uo (t) dt, t−x (2.39) −1 < x < (2.40) Sử dụng công thức (2.26), (2.27) có tính đến To (x) = 1, T1 (x) = x, 35 T2 (x) = 2x2 − 1, Uo (x) = 1, U1 (x) = 2x, U2 (x) = 4x2 − Chúng ta đưa cơng thức (2.40) công thức sau f0 ϕ(x) = √ − f0 − x2 , |x| < 2 1−x Thay (2.41) vào (2.40), có     f0 (1 − x2 )3/2 , |x| < u(x) =   0, |x| Đặt ϕ(x) = |x| (2.41) (2.42) 1, có cơng thức sau cho biến đổi Fourier ϕ(x) u(x) [3]: ϕ(ξ) = F [ϕ](ξ) = − πf0 J2 (ξ), u(ξ) = F [u](ξ) = F [u](ξ) = πf0 J2 (ξ) , ξ2 (2.43) Jn (ξ) hàm Bessel thứ nhất: ξ Jn (ξ) = n ∞ k=0 ξ (−1)k k!(n + k)! 2k Từ (2.43), rõ ràng u(ξ) = ϕ(ξ) (−iξ)2 (2.44) Sử dụng tiệm cận hàm Bessel Jn (ξ) = O , |ξ| ξ→∞ 3/2 Chúng ta u(x) ∈ Ho (−1, 1) Bây ta kiểm tra việc thực phương trình cặp (2.38) Thay (2.43) vào (2.38) có tính đến (2.44), có d −1 d −1 F [(−iξ)2 u(ξ)isign(ξ)](x) = F [ϕ(ξ)i.sign(ξ)](x) dx dx ∞ f0 d =− J2 (ξ)sin(xξ)dξ dx ∞ f0 d 2J1 (ξ) =− − J0 (ξ) sin(xξ)dξ dx ξ 36 Sử dụng đồng thức ∞ J0 (ξ)sin(xξ)dξ = ∞    0, ±1   , √ x2 −    0, J1 (ξ) sin(xξ)dξ =  ξ   |x| 1, ±x > 1, |x| < 1, ±1 √ , |x| + x2 − ±x 1, Khi |x| < có d −1 F [(−iξ)2 u(ξ)isign(ξ)](x) = F −1 [|ξ|3 u(ξ)](x) = −f0 , dx Vì phương trình cặp cho có nghiệm 37 |x| < Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày tổng quan số kết sau: Hệ thống khái niệm biến đổi Fourier, khơng gian Sobolev, tốn tử giả vi phân đa thức Chebysev loại 1, đa thức Chebysev loại 2 Trình bày tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) Đã ví dụ minh họa cho trường hợp 38 Tài liệu tham khảo [1] V A Alecsandrov and E V Kovalenko, Stamp motion on the surface of a thin covering on a hydraulic foundation, J Appl Math Mech 45 (1981) (4), 734-744(in Rusian) [2] B I A vilkin and E.V Kovalenko, On a dynamic contact problem for a compound foun-dation, (Russian) J Appl Math Mech 46 (1983) (5), 847-856 [3] R Duduchava, Integral Equations with Fixed singularities, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979 [4] N V Ngoc and G Ia Popov, On the dual integral equations connected with Fourier transforms, Ukrain Math Zh 38 (2) (1986), 188-195 (in Russian) [5] N V Ngoc, On the solvability of dual integral equations involving Fourier transform, Acta Math Vietnam 13 (2) (1988), 21-30 [6] N V Ngoc, Dual integral equations involving Fourier transform, Methods of complex and Clifford Analysis, SAS Int Publ Deli (2004), 153160 [7] N V Ngoc, Dual integral equations involving Fourier transforms with increasing symbols, Acta Math.Vietnam 34 (3) (2009), 305-318 39 ... giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng 2.1 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) 2.1.1 2.1.2 2.2 25 26 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng. .. vi phân, đa thức Chebyshev loại 1, đa thức chebyshev loại Chương 2: Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng Trong chương trình bày tính giải phương trình cặp tích phân với biểu. .. Ví dụ 29 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) 30 2.2.1 2.2.2 Tính giải phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ)