095 đề HSG toán 7 tỉnh bắc giang 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN Câu (4,0 điểm) 3  3  1) Rút gọn : A      :      10   12  2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  2012  x  2013 với x số tự nhiên Câu (5,0 điểm) 1) Tìm x biết: 2x2.3x1.5x  10800 2) Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi 74 Biết số viên bi An Bình tỉ lệ với 6; số viên bi Bình Cường tỉ lệ với Tính số viên bi bạn Câu (4,0 điểm) 1) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  2012 hợp số 2) Cho n số tự nhiên có chữ số Tìm n biết n  2n só phương Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có ba góc góc nhọn 1) Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân B Gọi H trung điểm BC, tia đối tia AH lấy điểm I cho AI  BC Chứng minh hai tam giác ABI BEC BI  CE 2) Phân giác góc ABC, BDC cắt AC, BC D, M Phân giác góc BDA cắt BC N Chứng minh BD  MN Câu (1,0 điểm) 1 1 1       2011 2012 2013 1 1 2013 P     Tính  S  P  1007 1008 2012 2013 Cho S   ĐÁP ÁN Câu 1)  15   18  A     :     10 10 10   12 12 12  12 11 12 72  :   10 12 11 55 72 Vậy A  55 2) P  x  2012  x  2013 Nếu x  2012 x  2013 P  Nếu x  2013 P  x  2012  x  2013   x  2013  Nếu x  2012 P  x  2012  x  2013  x  2012   Do giá trị nhỏ P 1, đạt x  2012 x  2013 Câu 1) Ta có: x2.3x1.5x  x.22.3x.3.5 x  10800   2.3.5  900  30 x  302  x  x Vậy x  kết cần tìm 2) Gọi số viên bi An, Bình, Cường a, b, c Vì tổng số viên bi ba bạn 74 nên a  b  c  74 a b a b Vì số viên bi An Bình tỉ lệ với nên    10 12 b c b c Vì số viên bi Bình Cường tỉ lệ với nên    12 15 a b c abc 74     2 Từ ta có: 10 12 15 10  12  15 37 Suy a  20; b  24; c  30 Câu 1) Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng p  3k  1 k  , k  1 Với p  3k  Suy p  2012   3k  1  2012  9k  6k  2013   p  2012  Với p  3k  Suy p  2012   3k  1  2012  9k  6k  2013   p  2012  Vậy p  2012 hợp số 2) Vì n số có hai chữ số nên  n  100  18  2n  200 Mặt khác 2n số phương chẵn nên 2n nhận giá trị: 36;64;100 ; 144;196 Với 2n  36  n  18  n   22 khơng số phương Với 2n  64  n  32  n   36 số phương Với 2n  100  n  50  n   54 không số phương Với 2n  144  n  72  n   76 khơng số phương Với 2n  196  n  98  n   102 khơng số phương Vậy số cần tìm n  32 Câu I A D E B H M C F 1) Xét hai tam giác AIB BCE có: AI  BC ; BE  BA Góc IAB góc ngồi ABH nên: IAB  ABH  AHB  ABH  900 Ta có: EBC  EBA  ABC  ABC  900  IAB  EBC Do đó: ABI  BEC (c.g.c) Do ABI  BEC  AIB  BCE Trong tam giác vng IHB vng H có: AIB  IBH  900 Do đó: BCE  IBH  900 Vậy CE vng góc với BI 2) Do tính chất đường phân giác, ta có: DM  DN Gọi F trung điểm MN Ta có: FM  FD  FN N Tam giác FDM cân F nên FMD  MDF FMD  MBD  BDM (góc ngồi tam giác)  MBD  CDM  MBD  CDF Ta có: MCD  CDF  CFD (1) (2) Do tam giác ABC cân A nên MCD  2MBD (3) Từ (1), (2), (3)  MBD  DFC hay tam giác DBF cân D Do đó: BD  DF  MN Câu Ta có: 1 1     1007 1008 2012 2013 1 1    1          1006 1007 1008 2012 2013   P    1     1006   1 1    1          1006 1007 1008 2012 2013    1 1 2.      2012  2 1 1        S 2012 2013 Do  S  P  2013 0