Chương 2: Mô hình toán học hệ thống liên tục. Chương này cung cấp cho người học các kiến thức: Phương trình trạng thái, thành lập phương trình trạng thái từ phương trình vi phân, thành lập phương trình trạng thái từ sơ đồ khối, mối quan hệ giữa các mô tả toán học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
MƠN HỌC CƠ SỞ TỰ ĐỘNG Giảng viên: Nguyễn Đức Hồng Bộ mơn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện – Điện Tử Đại Học Bách Khoa Tp.HCM Email: ndhoang@hcmut.edu.vn CHƯƠNG 2 MƠ HÌNH TỐN HỌC HỆ THỐNG LIÊN TỤC Phương trình trạng thái Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (biến trạng thái) mà nếu biết giá trị các biến này tại t0 và các tín hiệu vào ở t > t0 , ta hồn tồn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t ≥ t0 Vector trạng thái : x = [ x1 x x n ] T Phương trình trạng thái Sử dụng biến trạng thái có thể chuyển PTVP bậc n mơ tả hệ thống thành hệ gồm n PTVP bậc nhất (hệ & = Ax(t) + Bu(t) x(t) PTTT) y(t) = Cx(t) + Du(t) Trong đó (hệ SISO) a11 a12 L a1n � b1 � � � � � a 21 a 22 L a 2n � b �C = [ c1 �B = � � A=� M O M� �M �M �D = d � � � � a n1 a n2 L a nn � bn � � � c2 L cn ] Phương trình trạng thái Ví dụ 1: Hệ thống giảm xóc K C &&y = − y − y& + P(t) m m m Đặt x1 = y x = y& x& = x K C x& = &&y = − x1 − x + P(t) m m m Phương trình trạng thái Ví dụ 1: Hệ thống giảm xóc (tt) � 0� � � x& � � x � � � � � �= K * � �+ �1 � * P(t) C� { � � � � & x x − − � � 2� u {2 � � m { m m � � � { 44 43 x x& B A x1 � � y = x = * [ ] � { { � x 2� � y { C x Phương trình trạng thái Ví dụ 2: Mạng RLC Đặt x1 = v (t) � PΤΤΤ? x = v& (t) x1 = v (t) x = i(t) PTTT2 ? Phương trình trạng thái Ví dụ 2: Mạng RLC (tt) � � � � x& � � x � � 1� � � � PTTT1 : � �= R * � �+ * v{ (t) x& � � x2 � � � u − − �� � { � LC { � L LC � � { 44 4 x x& A B � � 0 � � � � x& � x1 � � � � � C PTTT2 : � �= � �* � �+ * v{ (t) x& � � x2 � � � u R �� � { { � − − L � { � � x x& L L 14243 B A Phương trình trạng thái Ví dụ 3: m1&&y1 = K (y − y1 ) − K1y1 + P(t) − C1y& m 2&&y = −K (y − y1 ) Đặt x1 = y1 x = y& x3 = y2 x = y& PTTT ? Thành lập PTTT từ PTVP TH1: Vế phải PTVP khơng chứa đạo hàm tín hiệu vào Hệ thống mô tả bởi PTVP n n −1 d y(t) d y(t) dy(t) a n + a1 n −1 + L + a n −1 + a n y(t) = b0 u(t) dt dt dt x1 (t) = y(t) Biến đầu tiên bằng tín hiệu x (t) = x& (t) Đặt biến trạng thái theo quy tắc v v Biến tiếp theo bằng đạo hàm biến trước đó M x n (t) = x& n −1 (t) Thành lậpPTTT từ PTVP TH1: Vế phải PTVP khơng chứa đạo hàm tín hiệu vào (tt) & = Ax(t) + Bu(t) PTTT x(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) x(t) = [ x1 (t) x (t) L x n −1 (t) x n (t) ] �0 �0 � �M A=� �0 � an − � � a0 M M a − n −1 a0 a − n −2 a0 T �0 � � �0 � C = L 0 � [ ] � � � �M � � � B = �0 � L � � � D=0 � b0 � a1 � L − � � � a0 � a0 � � L L O 0 M Thành lậpPTTT từ PTVP TH1: Vế phải PTVP không chứa đạo hàm tín hiệu vào (tt)Viết PTTT mơ tả hệ thống có mơ tả bằng PTVP sau && + y(t) & + 4y(t) = 6u(t) 2y(t) x1 (t) = y(t) x (t) = x& (t) �0 A = � a2 � − � a0 PTTT & = Ax(t) + Bu(t) x(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) � �0 � C = [ 0] � �� �0 � � � B = b = �� a1 = � � � � �� − � � −2 −0.5� a0 � a0 � D=0 � Thành lậpPTTT từ PTVP TH2: Vế phải PTVP chứa đạo hàm tín hiệu vào Hệ thống mơ tả bởi PTVP n n −1 d y(t) d y(t) dy(t) a n + a1 n −1 + L + a n −1 + a n y(t) = dt dt dt d n −1u(t) d n −2 u(t) du(t) b0 n −1 + b1 n −2 + L + b n −2 + b n −1u(t) dt dt dt Đặt biến trạng thái theo quy tắc v Biến đầu tiên bằng tín hiệu v Biến tiếp theo bằng đạo hàm x1 (t) = y(t) x (t) = x& (t) − β1u(t) M x n (t) = x& n −1 (t) − βn −1u(t) Thành lậpPTTT từ PTVP TH2: Vế phải PTVP chứa đạo hàm tín hiệu vào (tt) & = Ax(t) + Bu(t) x(t) PTTT y(t) = Cx(t) + Du(t) x(t) = [ x1 (t) x (t) L x n −1 (t) x n (t) ] �0 �0 � �M A=� �0 � an − � � a0 M M a − n −1 a0 a − n −2 a0 0 M T � �β1 � � �β � � �2 � � � B = �M � L � � � βn −1 � � a1 � � L − � �βn � � a0 � L L O C = [ L 0] D=0 Thành lậpPTTT từ PTVP TH2: Vế phải PTVP chứa đạo hàm tín hiệu vào (tt) Các hệ số được xác định như sau b0 β1 = a0 b1 − a1β1 β2 = a0 M b n −1 − a1βn −1 − a 2βn −2 − L − a n −1β1 βn = a0 Thành lậpPTTT từ PTVP TH2: Vế phải PTVP chứa đạo hàm tín hiệu vào (tt) Viết PTTT mơ tả hệ thống có mơ tả bằng PTVP sau 2y(t) && + y(t) & + 4y(t) = 6u(t) & + 3u(t) x1 (t) = y(t) x (t) = x& (t) − β1u(t) PTTT �0 A = � a2 � − � a0 � � �0 � a1 = � − � � −2 −0.5� � a0 � C = [ 0] D=0 & = Ax(t) + Bu(t) x(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) � b0 � � a � �� �= �� B=� b1 − a1β1 � �� � � a � � � Thành lậpPTTT từ PTVP dùng phương pháp tọa độ pha (Xem sách) Thành lậpPTTT từ sơ đồ khối X1 (s) 10 = � sX1 (s) = −5X1 (s) + 10X (s) X (s) s + � x& = −5x1 + 10x Thành lậpPTTT từ sơ đồ khối x& � � −5 10 � � x1 � �� � � � � � � � �� x& = 0 −1 * x + * u � � � � � � �� � x& � x3 � �1 −1� �� �� � � � � � �� x1 � � � � y = [ 0] * x � � � x3 � � � Tính hàm truyền từ PTTT Cho PTTT & = Ax(t) + Bu(t) x(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Suy ra hàm truyền của hệ thống là −1 G(s) = D + C *(sI − A) * B Mối quan hệ giữa các mơ tả tốn học PTVP Hàm truyền PTTT ...CHƯƠNG 2 MƠ HÌNH TỐN HỌC HỆ THỐNG LIÊN TỤC Phương trình trạng thái Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các