Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 12: Analysis of variance

When you finish this chapter, you should be able to: Discuss the general idea of analysis of variance, discuss the general idea of analysis of variance, conduct a test of hypothesis to determine whether the variances of two populations are equal, organize data into a one-way and a two-way ANOVA table.

12 ­ 1 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  12 ­ 2 When you have completed this chapter, you will be able to: Discuss the general idea of analysis of variance List the characteristics of the F distribution Conduct a test of hypothesis to determine whether the  variances of two populations are equal.  Organize data into a one­way and a                                        two­way ANOVA table Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  12 ­ 3 Define the terms treatments and blocks Conduct a test of hypothesis to determine whether  three or more treatment means are equal Develop multiple tests for difference between each pair  of treatment means Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.   Characteristics of the                  Characteristics of the                                F­Distribution                 F­Distribution  12 ­ 4 There is a “family of F­Distributions: There is a “family of F­Distributions: Each member of the family is determined by                    two parameters:  …the numerator degrees of freedom, and the  … denominator degrees of freedom F cannot be negative, and it is a continuous distribution The F distribution is positively skewed Its values range from 0 to   as F    , the  curve approaches the X­axis Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.   Test for Equal Variances  Test for Equal Variances 12 ­ 5 For the two tailed test, the test statistic                                      is given by: F s1 s 22 for the two samples s 12 and       are the sample variances  s 22 The null hypothesis is rejected                                                      if the computed value of the test statistic                               is greater than the critical value Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  12 ­ 6 Colin, a stockbroker at Critical Securities,  reported that the mean rate of return on                a sample of 10 internet stocks was 12.6 percent  with a standard deviation of 3.9 percent.   The mean rate of return on a sample of 8 utility stocks  was 10.9 percent with a                                                             standard deviation of 3.5 percent.   At the .05 significance level,                                  can Colin conclude that there is                               more variation in the internet stocks? Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.   Hypothesis Testing   Hypothesis Testing  12 ­ 7 Step 1 Step 1 State the null and alternate hypotheses State the null and alternate hypotheses Step 2 Step 2 Select the level of significance Select the level of significance Step 3 Step 3 Identify the test statistic Identify the test statistic Step 4 Step 4 State the decision rule State the decision rule Step 5 Step 5 Compute the value of the test statistic  Compute the value of the test statistic  and make a decision and make a decision Do not reject H00 Do not reject H Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Reject H0 0 and accept and accept H Reject H  H11  Hypothesis Test   Hypothesis Test  Step 1 Step 1 Step 2 Step 2 Step 3 Step 3 12 ­ 8 H :  I2 U H : I2 U Select the level of significance Select the level of significance  = 0.05 The test statistic is the          Identify the test statistic Identify the test statistic            F distribution State the null and alternate  State the null and alternate  hypotheses hypotheses Reject H0 if F > 3.68 The df  are 9 in the numerator and  7 in the denominator.  s 12 ( ) F  = 1.2416  2 s2 (3 ) Step 4 Step 4 State the decision rule State the decision rule Step 5 Step 5 Compute the test  Compute the test  statistic and make  statistic and make  a decision a decision                       Do not reject the null hypothesis; there is insufficient              evidence to show more variation in the internet stocks.   Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  ANOVA The F distribution is also used for testing  The F distribution is also used for testing  whether                                                            whether                                                                     two or more two or more sample means                  sample means                                           came from                                                       came from                                                                   the same or equal the same or equal                                populations populations This this technique is called   analysis of variance or ANOVA Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  12 ­ 9 ANOVA                                ANOVA                                requires the following      requires the following  12 ­ 10 conditions… conditions… …the sampled populations follow the  normal distribution …the populations have equal standard deviations …the samples are randomly selected                      and are independent Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Confidence Interval for the  Confidence Interval for the  Difference Between Two Means Difference Between Two Means X1 X2 t MSE 1 n1 n2 (17­12.75)    2.228 975 MSE MSE 25 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  48 12 ­ 35 1 ( 2.77, 5.73) Confidence Interval for the  Confidence Interval for the  Difference Between Two Means Difference Between Two Means 12 ­ 36 …continued Because zero is not in the interval, we  conclude that this pair of means differs The mean number of meals sold in Aynor             is different from Lander Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  12 ­ 37 ANOVA ANOVA For the two­factor ANOVA we test whether there is a  significant difference between the treatment effect  and whether                                                                                      there is a difference in the blocking effect! SSB B r2 k ( X) n …Let Br be the block totals (r for rows) …Let SSB represent the sum of squares for the  blocks  Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  ANOVA ANOVA 12 ­ 38 The Bieber Manufacturing Co. operates 24 hours a  day, five days a week.                                                                  The workers rotate shifts each week.   Todd Bieber, the owner, is interested in whether  there is a difference in the number of units  produced when the employees                                               work on various shifts.   A sample of five workers is selected and their output  recorded on each shift.  At the .05 significance  level, can we conclude there is a difference in the  mean production by shift and in the mean  production by employee? Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  12 ­ 39 ANOVA ANOVA …continued Employee Day Evening Output Output Night Output McCartney 31 25 35 Neary 33 26 33 Schoen 28 24 30 Thompson 30 29 28 Wagner 28 26 27 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  12 ­ 40  Hypothesis Test   Hypothesis Test  Difference between various shifts? Difference between various shifts? Step 1 Step 1 State the null and alternate  State the null and alternate  hypotheses hypotheses Step 2 Step 2 Select the level of significance Select the level of significance Step 3 Step 3 Identify the test statistic Identify the test statistic The test statistic is the                     F distribution Step 4 Step 4 State the decision rule State the decision rule Step 5 Step 5 Compute the test  Compute the test  statistic and make  statistic and make  a decision a decision Reject H0 if F > 4.46.                    The df are 2  and 8  F Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  H 0: 1= 2= H : Not all means are equal  = 0.05 SST k SSE ( k )( b 1) ANOVA ANOVA 12 ­ 41 …continued Compute the various sum of squares:   SS(total) = 139.73 Using           Using             SST        =    62.53      to get       to get  SSB        =    33.73 these    these    SSE        =    43.47        results      results df(block) = 4, df(treatment) = 2  df(error)=8 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  12 ­ 42 ANOVA ANOVA …continued Step 5 Step 5 F SST k SSE ( k )( b 62 53 43.47 3 1) =  5.754       Since 5.754 > 4.46, H0 is rejected.                           There is a difference in the mean number of units             produced on the different shifts Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  12 ­ 43  Hypothesis Test   Hypothesis Test  Difference between various shifts? Difference between various shifts? Step 1 Step 1 State the null and alternate  State the null and alternate  hypotheses hypotheses Step 2 Step 2 Select the level of significance Select the level of significance Step 3 Step 3 Identify the test statistic Identify the test statistic The test statistic is the                     F distribution Step 4 Step 4 State the decision rule State the decision rule Reject H0 if F > 3.84      The df are 4 and 8  Step 5 Step 5 Compute the test  Compute the test  statistic and make  statistic and make  a decision a decision F Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  H 0: 1= 2= H : Not all means are equal  = 0.05 SST k SSE ( k )( b 1) ANOVA ANOVA …continued Step 5 Step 5 F SST k SSE ( k )( b 33.73 43.47 1)  =   1.55       Since 1.55