Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 6: Discrete probability distributions

When you have completed this chapter, you will be able to: Define the terms probability distribution and random variable; distinguish between discrete and continuous random variables; calculate the mean, variance, and standard deviation of a discrete probability distribution; describe the characteristics and compute probabilities using the Poisson probability distribution.

6 ­ 1 Discrete Probability Distributions Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 2 When you have completed this chapter, you will be able to: Define the terms probability distribution and  Distinguish between discrete and                           Calculate the mean, variance, and standard deviation of  Describe the characteristics and compute probabilities  random variable.   continuous random variables a discrete probability distribution using the Poisson probability distribution Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Terminology Random Variable …is a numerical value determined by  …is a numerical value determined by  the outcome of an experiment the outcome of an experiment Probability Distribution …is the listing of all possible outcomes   …is the listing of all possible outcomes   of an experiment                                    of an experiment                                    and the corresponding probability and the corresponding probability Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 3 Types of Probability Distributions  6 ­ 4 Discrete Discrete Under this distribution  Under this distribution  the random variable random variable   the  has a                                has a                                countable number                countable number     of possible outcomes     of possible outcomes Continuous ontinuous C Under this distribution  Under this distribution  the random variable random variable   the  has an                                  has an                                  infinite number                          infinite number     of possible outcomes     of possible outcomes Examples Examples Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Types of Probability Distributions  6 ­ 5 Discrete Discrete Students in a class Examples Examples Continuous ontinuous C Distance driven by an  executive to get to work Number of children  in a family Mortgage Loan Number of Mortgages  approved in a month Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  The length of time of a  particular phone call The length of  time of an  afternoon nap! Distinguishing featuress                    Distinguishing feature 6 ­ 6   of a                                              of a                                            Discrete Distribution:  Distribution: Discrete The sum of the probabilities of the various  outcomes is 1.00 The probability of a particular outcome                         is between 0 and 1.00 The outcomes are mutually exclusive Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 7  Consider a random experiment in which      Consider a random experiment in which            a coin is tossed three times        a coin is tossed three times Let x be the number of Heads Let H represent the outcome of a Let T represent the outcome of Head  Tails Determine the probability distribution Determine the probability distribution Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Listing the possibilities Listing the possibilities 6 ­ 8 Heads Heads Heads Heads Heads Tails Heads Tails Heads Tails Heads Heads Heads Tails Tails Tails Heads Tails Tails Tails Heads Tails Tails Tails … the possible values of x                           … the possible values of x                             (number of heads) are 0,1,2,3   (number of heads) are 0,1,2,3 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 9 Probability Distribution Probability Distribution  Consider a   Consider a  random  random  experiment in  experiment in  which a coin is  which a coin is  tossed three times.  tossed three times.  Determine the  Determine the  probability  probability  distribution distribution What is the  probability of   tossing 2 heads in  3 flips?  P(x) # of  Outcomes 1 3/8 3/8 1/8 8/8 = 1 x Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  1/8 Mean of a Discrete               Mean of a Discrete                                                                                                 Probability Distribution Probability Distribution 6 ­ 10 reports the central location of the data     is denoted by the Greek symbol  , mu is the long­run average value of  the random variable also referred to as its expected value, E(X),  in a probability distribution is a weighted average Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Binomial Probability  Binomial Probability  Distribution Distribution 6 ­ 25 n =  10 From text Appendix A Probability X   0.05     0.10     0.20     0.30    0.40    0.50     0.60     0.70     0.80     0.90     0.95  0.599   0.349   0.107   0.028  0.006 0.001   0.000   0.000   0.000   0.000  0.000 0.315   0.387   0.268   0.121 Where   represents the  0.040 0.010 0.002 0.000 0.000   0.000  0.000  0.075   0.194   0.302   0.233  0.121  0.044   0.011  0.000   0.000  0.000  0.000  Represents the  0.010   0.057   0.201   0.267  0.215  0.117   0.042  0.009   0.001  0.000  0.000  0.001   0.011   0.088   0.200  0.251  0.205   0.111  0.037  0.006  0.000  0.000                                                    0.000   0.001   0.026   0.103  0.201  0.246  0.201  0.103   0.026  0.001  0.000  0.000   0.000   0.006   0.037  0.111  0.205   0.251  0.200   0.088  0.011  0.001  0.000   0.000   0.001   0.009  0.042  0.117   0.215  0.267   0.201  0.057  0.010  0.000   0.001   0.000   0.001  0.011  0.044  0.121 0.233   0.302  0.194  0.075  Represents the ‘ PROBABILITY’  when  0.000   0.000   0.000   0.000  0.002  0.010   0.040  0.121   0.268  0.387  0.315  10 X ‘Number Unemployed’ ‘Probability’ Explanations Explanations n = 10 0.000   0.001   0.000   0.000  0.000  0.001   0.006  0.028   0.107  0.349  0.599 Using Appendix A Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Using Appendix A Alternate Solution… Alternate Solution… Using Appendix A  Using Appendix A  Binomial Probability Distribution Binomial Probability Distribution DATA: 20% Unemployed & Sample of 10  Exactly three are unemployed X   0.05     0.10      0.20    0.30       …0.80      0.90     0.95 0.599 0.349 0.107 0.028     …0.000   0.000   0.000 0.315 0.387 0.268 0.121     …0.000   0.000   0.000 0.075 0.194 0.302 0.233       …0.000   0.000   0.000 0.010 0.057 0.201 0.201 0.267       …0.001   0.000   0.000 0.001 0.011 0.088 0.200       …0.006   0.000   0.000 201  or   20.1% Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 26 Alternate Solution… Alternate Solution… Using Appendix A  Using Appendix A  Binomial Probability Distribution Binomial Probability Distribution DATA: 20% Unemployed & Sample of 10 At least three are unemployed Alternate Reasoning:  If ‘at least three are unemployed’                                   it follows that                                                                You can turn this into a problem of          ‘at most seven are employed!’ 80% employment if you wish Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 27 Alternate Solution… Alternate Solution… Using Appendix A  Using Appendix A  Binomial Probability Distribution Binomial Probability Distribution DATA: 20% Unemployed & Sample of 10 X 6 ­ 28 At least three are unemployed 0.05     0.10     0.20 To account for the ‘at least 3 unemployed’,   0.599   0.349   0.107            we must TOTAL the percentages               from 3 to 10, inclusively 10 0.315   0.387   0.268   0.201     0.088 0.075   0.194   0.302   0.026     0.006 0.010   0.057   0.201   0.001      0.000   0.001   0.011   0.088     0.000      0.000 0.000   0.001   0.026   Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  0.322  or    32.2% Alternate Solution… Alternate Solution… Using Appendix A  Using Appendix A  Binomial Probability Distribution Binomial Probability Distribution DATA: 20% Unemployed & Sample of 10  None are unemployed X   0.05     0.10      0.20    0.30       …0.80      0.90     0.95 0.599 0.349 0.107 0.028     …0.000   0.000   0.000 0.315 0.387 0.268 0.121     …0.000   0.000   0.000 0.075 0.194 0.302 0.233       …0.000   0.000   0.000 0.010 0.057 0.201 0.267       …0.001   0.000   0.000 0.001 0.011 0.088 0.200       …0.006   0.000   0.000 107 or    10.7% Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 29 Alternate Solution… Alternate Solution… 6 ­ 30 Using Appendix A  Using Appendix A  Binomial Probability Distribution Binomial Probability Distribution DATA: 20% Unemployed & Sample of 10 X   0.05     0.10     0.20 10 0.599   0.349   0.107     0.315   0.387   0.268     0.075   0.194   0.302       0.010   0.057   0.201     0.001   0.011   0.088     0.000   0.001   0.026       0.000   0.000   0.006       0.000   0.000   0.001     0.268  At least one is unemployed 0.302 …at  most nine  …at  most nine  0.201 are employed! are employed! 0.088 0.026 = .892 or 89.2% 89.2% 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.    2 Mean    and Variance Mean    and Variance of a  of a  Binomial  Probability Distribution Binomial  Probability Distribution Formula  Formula  6 ­ 31 np The Ontario  The Ontario  Department of   10(.20) Department of  == 10(.20) Labour reports that  Labour reports that  = 2.0  2.0 = 20% of the workforce  20% of the workforce  aged between              aged between              Formula        15 and 19 years  Formula        15 and 19 years  is unemployed.  is unemployed.   10(.20)(.80) == 10(.20)(.80) From a sample of 10   1.60 == 1.60 workers in this age  Therefore, the                                      group, calculate:           Therefore, the                                      standard deviation is    1.6 = 1.3 standard deviation is    1.6 = 1.3      and np(1 p) Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 32 Poisson Probability  Poisson Probability  Distribution Distribution Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Poisson Probability  Poisson Probability  Distribution Distribution 6 ­ 33 e Sk The Binomial Distribution becomes                                                    more  skewed to the right d we ig  R Positive Positive ht as the Probability of success become smaller The limiting form of the Binomial Distribution              where the probability of success                                             p is small and n is  large is called the                                               Poisson Probability Distribution  Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Poisson Probability  Poisson Probability  Distribution Distribution 6 ­ 34 Poisson Probability Distribution can be described mathematically using the formula: P( x) Where… µµ ee xx  x e x! u is the mean number of successes                in a particular interval of time is the constant 2.71828 is the number of successes Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Poisson Probability  Poisson Probability  Distribution Distribution 6 ­ 35 The mean number of successes… can be determined in binomial  situations by… np where  n is the number of trials and p  the probability of a success The variance        of the Poisson distribution      The variance        of the Poisson distribution                       is also equal to np np                  is also equal to  Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Poisson Probability  Poisson Probability  Distribution Distribution 6 ­ 36        The Daily (Statistics Canada) reports that         The Daily (Statistics Canada) reports that  5% of college and bachelor degree students  5% of college and bachelor degree students  default on their student loan                                   default on their student loan                                          within 2 years of graduation.         within 2 years of graduation.  From a sample of 10 students,                                       find the probability that                                              exactly 1 will default on their loan Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Poisson Probability  Poisson Probability  Distribution Distribution Formula  Formula  P( x)        The Daily         The Daily  (Statistics Canada)  (Statistics Canada)  reports that               reports that                       5% of college          5% of college  and bachelor  and bachelor  degree students  degree students  default on their  default on their  student loan within  student loan within  2 years of  2 years of  Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  P ( 1) = 6 ­ 37  x e x!  1 05 e 1 ! u 05  .0476 or 4.76% or 4.76%  .0476 Test your learning… … Test your learning … … n o n   o   k ilcick CCl      www.mcgrawhill.ca/college/lind Online Learning Centre for quizzes extra content data sets searchable glossary access to Statistics Canada’s E­Stat data …and much more! Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 38 6 ­ 39 This completes Chapter 6 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  ... and the corresponding probability and the corresponding probability Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 3 Types of Probability Distributions 6 ­ 4 Discrete Discrete... of houses painted  20 of houses painted  20/20 = 1.0 per week: per week: Determine the Probability distribution and its mean and variance Determine the Probability distribution and its mean and variance... Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  6 ­ 9 Probability Distribution Probability Distribution  Consider a   Consider a  random  random  experiment in experiment in which a coin is  which a coin is