Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 4: Other descriptive measures

When you have completed this chapter, you will be able to: Compute and interpret the range, the mean deviation, the variance, the standard deviation, and the coefficient of variation of ungrouped data;

4 ­ 1 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 2 When you have completed this chapter, you will be able to: Compute and interpret the range, the mean  deviation, the variance, the standard deviation,                  and the coefficient of variation of ungrouped  data Compute and interpret the range, the variance,                  and the standard deviation from grouped data Explain the characteristics, uses, advantages,                         and disadvantages of each measure Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 3 Understand Chebyshev’s theorem and the normal                  or empirical rule, as it relates to a set of  observations Compute and interpret  percentiles, quartiles and the  interquartile range Construct and interpret box plots Compute and describe the coefficient of skewness and  kurtosis of a data distribution Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Terminology Range …is the difference between the    …is the difference between the largest and the   and the smallest smallest value.   value.  largest Only two values are used in its calculation Only two values are used in its calculation  It is influenced by an extreme value It is influenced by an extreme value  It is easy to compute and understand It is easy to compute and understand  Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 4 Terminology 4 ­ 5 Mean Deviation …is the arithmetic mean of the  absolute values of  …is the arithmetic mean of the  absolute values of  the deviations from the arithmetic mean.  the deviations from the arithmetic mean.  MD = Σ  x − µ N All values are used in the calculation All values are used in the calculation  It is not unduly influenced by large or small values It is not unduly influenced by large or small values  The absolute values are difficult to manipulate The absolute values are difficult to manipulate  Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 6 The weights of a sample of crates  containing books for the bookstore              (in kg) are:    103     97    101     106      103 Findtherangeandthemeandeviation Copyrightâ2004byTheMcGrawưHillCompanies,Inc.Allrightsreserved. 4ư7 10397101106103 10397101106103 x à= N Findthemeanweight Findthemeandeviation 103 102 103 102 Find the range Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  MD = 510 Σ  x − µ 5 106 – 97  =   9 102 N = 2.4 Terminology 4 ­ 8 Variance …is the arithmetic mean of the   …is the arithmetic mean of the   squared deviations                                    squared deviations                                    from the arithmetic mean.  from the arithmetic mean.    All values are used in the calculation   All values are used in the calculation    It is not influenced by extreme values   It is not influenced by extreme values    The units are awkward…the square          The units are awkward…the square                                                                               units.   units Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  of the original  of the original  Computation Computing the V Variance ariance   Computing the  Formula  … for a Population  Formula  σ Σ( x − µ ) = N Formula  … for a Sample  Formula  s Σ( x − x ) = n −1 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 9 4 ­ 10 The ages of the Dunn family are:      2,  18,  34,  42   What is the population mean and variance? x µ = N σ Σ( x − µ ) = N Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  96 24 24 944 236 42 24 Example 4 ­ 34 For a set of observations the                                            third quartile is 24 and the first  quartile is 10.                                                             What is the interquartile range?   The interquartile range is 24 ­ 10 = 14.                        Fifty percent of the observations                                     will occur between 10 and 24 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 35 Box Plots …is a graphical display, based on quartiles,  that helps to picture a set of data Five pieces of data are needed to construct a box plot:  … the Minimum Value, … the First Quartile, … the Median, … the Third Quartile, and … the Maximum Value Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Example Example 4 ­ 36 Based on a sample of 20 deliveries, Buddy’s  Pizza determined the following information   The…minimum delivery time was 13minutes  …the maximum 30 minutes The…first quartile was 15 minutes …the median 18 minutes, and  … the third quartile 22 minutes Develop a box plot for the delivery times Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Solution Solution Min. Q1  Median        Q3                       Max 12      14       16      18       20      22       24       26      28       30       32 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 37 4 ­ 38 The following are the average rates of  return for Stocks A and B over a six year  period, In which of the following Stocks would you  prefer to invest? Why? Stock A: Stock B:7 153 -10 18 10 -5 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 39 Find the Mean rate of return for          each of the two stocks: Stock A: Mean =  36/6 = 6 Stock B: 15 -10 18 10 -5 Mean =  36/6 = 6 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 40 Find the Range of Values of each stock: Stock A: 8 – 3 = 5 Stock B: 15 -10 18 10 -5 18 – ( ­10) = 28 Therefore, Stock B is riskier Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Relative Dispersion 4 ­ 41 The coefficient of variation                                                        is the ratio of the standard deviation  to the arithmetic mean, expressed as a  percentage: s x CV (100%) A standard deviation of 10 may be perceived as  large when the mean value is 100,                                              but only  moderately large                                                                              when the mean value is 500! Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 42                                Example  Rates of return over the past 6 years for   two mutual funds are shown below.                                  Fund A:   8.3,   ­6.0,   18.9,   ­5.7,   23.6,   20    Fund B:    12,   ­4.8,     6.4,   10.2,   25.3,  1.4       Which one has a higher level of risk? Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Solution 4 ­ 43 Solution Let us use  the Excel  printout  that is run  from the  “Descriptive  Statistics”  sub­menu Fund A Fund B Mean 9.85 Mean Standard Error 5.38 Standard Error Median 13.60 Median Mode #N/A Mode Standard Deviation 13.19 Standard Deviation Sample Variance 173.88 Sample Variance Kurtosis -2.21 Kurtosis Skewness -0.44 Skewness Range 29.60 Range Minimum -6 Minimum Maximum 23.6 Maximum Sum 59.1 Sum Count Count Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  8.42 4.20 8.30 #N/A 10.29 105.81 0.90 0.61 30.1 -4.8 25.3 50.5 4 ­ 44 Solution Is                      Fund A riskier  because  its  standard  deviation  is  larger? Fund A Fund B Mean 9.85 Mean Standard Error 5.38 Standard Error Median 13.60 Median Mode #N/A Mode Standard Deviation 13.19 Standard Deviation Sample Variance 173.88 Sample Variance Kurtosis -2.21 Kurtosis Skewness -0.44 Skewness Range 29.60 Range Minimum -6 Minimum Maximum 23.6 Maximum Sum 59.1 Sum Count Count Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  8.42 4.20 8.30 #N/A 10.29 105.81 0.90 0.61 30.1 -4.8 25.3 50.5 4 ­ 45 Solution But the  means of  the two  funds are  different Fund A Fund B Mean 9.85 Mean 8.42 Standard Error 5.38 Standard Error 4.20 Median 13.60 Median 8.30 Mode #N/A Mode #N/A Standard Deviation 13.19 Standard Deviation 10.29 Sample Variance 173.88 Sample Variance 105.81 Kurtosis -2.21 Kurtosis 0.90 Fund A has a higher rate of return,  Fund A has a higher rate of return,  Skewness but it also has a larger sd -0.44 Skewness 0.61 but it also has a larger sd Range 29.60 Range 30.1 Therefore we need to compare the  Therefore we need to compare the  Minimum -6 Minimum -4.8 relative variability                                Maximum 23.6 Maximum 25.3 relative variability                                Sum 59.1 Sum 50.5            using the coefficient of             using the coefficient of  Count Count variation variation Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 46 CV s x Solution (100%) Fund A:   CV   = 13.19 / 9.85 = 1.34 Fund A:   CV   = 13.19 / 9.85 = 1.34 Fund B:   CV  CV  = 10.29 / 8.42 = 1.22  = 10.29 / 8.42 = 1.22 Fund B:    So now we say that there is So now we say that there is  more variability in Fund A   more variability in Fund A  as compared to Fund B as compared to Fund B Therefore, Fund A is riskier Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Test your learning… … Test your learning … … n o n   o   k ilcick CCl      www.mcgrawhill.ca/college/lind Online Learning Centre for quizzes extra content data sets searchable glossary access to Statistics Canada’s E­Stat data …and much more! Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  4 ­ 47 4 ­ 48 This completes Chapter 4 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  ... Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  The standard  The standard  deviation is deviation is 8.04 = 2.8 Interpretation and Uses      Interpretation and Uses                   of the Standard               of the Standard ... Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  S Solution (continued) 4 ­ 21 Using Step 1 Step 1 Step 2 Step 2 Determine the  mean and               Determine the  mean and               standard deviation of the sample... Find the mean, variance, and Standard Deviation Find the mean, variance, and Standard Deviation x µ = N 37 2 7 Σ ( x − x ) s2 = = n −1 s = Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.