Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 9: Estimation and confidence intervals

In this chapter you will learn: Define a point estimator, a point estimate, and desirable properties of a point estimator such as unbiasedness, efficiency, and consistency; define an interval estimator and an interval estimate; define a confidence interval, confidence level, margin of error, and a confidence interval estimate;...

9 ­ 1 Estimation and Confidence Intervals Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  9 ­ 2 When you have completed this chapter, you will be able to: Define a point estimator, a point estimate, and desirable properties of a point estimator such as unbiasedness, efficiency, and consistency.  Define an interval estimator and an interval estimate Define a confidence interval, confidence level, margin of  error, and a confidence interval estimate Construct a confidence interval for the population mean  when the population standard deviation is known Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  9 ­ 3 Construct a confidence interval for the population variance  when the population is normally distributed Construct a confidence interval for the population mean  when the population is normally distributed and  the  population standard deviation is unknown Construct a confidence interval for a population proportion Determine the sample size for attribute and                                    variable sampling Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Terminology 9 ­ 4 Point Estimate …is a single value (statistic) used to  estimate a population value (parameter) Interval Estimate  …states the range within which a  population parameter probably lies Confidence Interval …is a range of values  within which                the population parameter                 isexpectedtooccur Copyrightâ2004byTheMcGrawưHillCompanies,Inc.Allrightsreserved. Desirablepropertiesofapointestimator 9ư5 efficient efficient possiblevaluesareconcentrated closetothevalueoftheparameter consistent consistent valuesaredistributedevenlyon bothsidesofthevalueofthe parameter unbiased unbiased unbiasedwhentheexpectedvalueequalsthevalue ofthepopulationparameterbeingestimated. Otherwise,itisbiased! Copyrightâ2004byTheMcGrawưHillCompanies,Inc.Allrightsreserved. Terminology Standard error of the sample mean  Standard error of the sample mean  9 ­ 6 …is the standard deviation                                                                              of the sampling distribution of the  sample means x It is computed by n …is the symbol for the standard error of the  sample mean x …is the standard deviation of the population n …is the size of the sample Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Standard Error           Standard Error           of the Means of the Means  is not known and n > 30,                       IfIf    is not known and n > 30,                               the standard deviation of the          the standard deviation of the  sample(ss)                                       is used  )                                       is used  sample( to approximate the population standard  to approximate the population standard  deviation deviation Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  x Computed by… s s n 9 ­ 7 9 ­ 8 …that determine the width of a confidence interval  are: 1 2 The sample size, n The sample size, n The variability in the population,  The variability in the population,  usually estimated by ss usually estimated by  The desired level of confidence The desired level of confidence Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Constructing  Constructing  Confidence Intervals Confidence Intervals 9 ­ 9 IN GENERAL,  A confidence interval for a mean is computed  by: zα/2 s n x Interpreting… Interpreting… Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Interpreting  Interpreting  Confidence Intervals Confidence Intervals 9 ­ 10 The Globe Suppose that you read that “…the average selling price  “…the average selling price  of a family home in               of a family home in               York Region is                York Region is                $200 000 +/­ $15000                $200 000 +/­ $15000                  at  95% confidence!”   at  95% confidence!” This means…what? This means…what? Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Student’s t­distribution Student’s t­distribution 9 ­ 31 $4.45    $4.05    $4.95    $3.25    $4.68 $5.75    $6.01    $3.99    $5.25    $2.95 Step 1 Step 1 Determine the sample mean and standard deviation Determine the sample mean and standard deviation       = $4.53        s = $1.00 X Step 2 Step 2 Enter the key data into the appropriate formula Enter the key data into the appropriate formula n =  10 x Formula Formula df = 10 – 1 = 9  =  1­99% = .01 1.00  = 4.53   3.25   10 α/2 n = $4.53 +/­ $1.03 t s We are 99% confident that the mean amount spent  We are 99% confident that the mean amount spent                     per customer is between $3.50 and                     per customer is between $3.50 and  Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  $5.56 Constructing Confidence Intervals                         for Population Proportions A confidence interval for a population  proportion is estimated by: Formula Formula p z p (1 p ) n p …is the symbol for the sample proportion Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  9 ­ 32 Constructing Confidence Intervals                         for Population Proportions A sample of 500 executives who own their  own home revealed 175 planned to sell their                       homes and retire to Victoria.                           Develop a 98% confidence  interval for the proportion of executives that  plan to sell and move to Victoria Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  9 ­ 33 Constructing Confidence Intervals                         for Population Proportions A sample of 500       A sample of 500       executives who own  executives who own  their own home  their own home  revealed 175  revealed 175  planned to sell their  planned to sell their  homes and retire to  homes and retire to  Victoria.                     Victoria.                     Develop a 98%  Develop a 98%  confidence interval  confidence interval  for the proportion  for the proportion  of executives… of executives… Formula Formula ˆp 9 ­ 34 p(1 − p) n zα /2 n =           p =                          z = 500 2.33 175/500 = .35  n =           p =                          z =      35 33 98% CL = Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  35 ( 35 ) 500   35 0497 Finite­Population  Finite­Population  Correction Factor Correction Factor 9 ­ 35 Used when n/N is 0.05 or more Used when n/N is 0.05 or more Formula Formula x n N  ­ n N  ­  Correction  Correction  Factor Factor The attendance at the college hockey game last night  The attendance at the college hockey game last night  was 2700 2700.  A random    A random sample of 250 sample of 250 of those in   of those in  was  attendance revealed that the average average number of   number of  attendance revealed that the  drinks consumed per person was 1.8  1.8                                                           drinks consumed per person was              with a standard deviation of 0.40 standard deviation of 0.40             with a  Develop a 90% confidence interval estimate for the mean  number of drinks consumed per person Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Finite­Population  Finite­Population  Correction Factor Correction Factor X Formula Formula Zα/2 9 ­ 36 s N  ­ n N  ­  n The attendance at the  The attendance at the  college hockey game  college hockey game  last night was 2700.   last night was 2700.   N =                 n =             x = 2700 250  1.8 N =                 n =             x = A sample of 250 of  A sample of 250 of   0.40 s =                  /2 = 0.05 those in attendance  s =                  /2 = those in attendance  revealed that the  revealed that the  average number of  average number of  drinks consumed per  Since 250/2700 >.05, use the correction factor drinks consumed per  person was 1.8 with a  person was 1.8 with a  standard deviation of  2700 250 standard deviation of  0.40.                          1.8  1.645 ( )( ) 0.40.                          Develop a 90%  2700 Develop a 90%  250 confidence interval  confidence interval  estimate.… estimate.… 90% CL = Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  04 9 ­ 37 Selecting the                 Sample  Size Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Factors …that determine the sample size  are: 1 2 3 The degree of confidence selected The degree of confidence selected The maximum allowable error The maximum allowable error The variation in the population The variation in the population Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  9 ­ 38 Selecting the                  Sample Size Formula Formula n  = zα/2 s E 9 ­ 39 E … is the allowable error Z …is the z­score for the chosen level of confidence S …is the sample deviation of the pilot survey Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Selecting the                  Sample Size  A consumer group would like to estimate the   A consumer group would like to estimate the  mean monthly electricity charge for a single  mean monthly electricity charge for a single  family house in July (within $5) $5) using a              using a             family house in July (within               99 percent level of confidence.                             99 percent level of confidence.                                         Based on similar studies the                                 Based on similar studies the                                   sstandard  tandard ddeviation is  eviation is                              estimated to be $20.00.                                  estimated to be $20.00.                                  How large a sample is required? How large a sample is required? Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  9 ­ 40 Selecting the                  Sample Size  A consumer group   A consumer group  would like to estimate the  would like to estimate the  mean monthly electricity  mean monthly electricity  charge for a single family  charge for a single family  house in July (within $5)  house in July (within $5)  using a  99 percent level  using a  99 percent level  of confidence.                      of confidence.                                         Based on                     Based on  similar studies the  similar studies the  standard deviation is  standard deviation is  estimated to be $20.00.       estimated to be $20.00.                                                               Formula Formula zα/2 s E 9 ­ 41 2.58 20 5.00 =       (10.32)2 =       106.5                        A minimum of    90% CL =                        A minimum of                                    107 homes                                  107 homes  must be sampled must be sampled Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Selecting the                  Sample Size 9 ­ 42 The Kennel Club wants to estimate the proportion of  children that have a dog as a pet.                                                      Assume a 95% level of confidence and that the club  estimates that 30% of the children have a dog as a pet.  If the club wants the estimate to be                            within 3% of the population proportion,                                    how many children would  they                              need to contact?   Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Selecting the                  Sample Size New The Kennel Club  The Kennel Club  wants to estimate the  wants to estimate the  proportion of children  proportion of children  that have a dog as a  that have a dog as a  pet.                                   pet.                                                      Assume a                     Assume a  95% level of  95% level of  confidence and that   and that  confidence Formula Formula n (1 9 ­ 43 p (1 Z p) E 96 3) 03 ( 21 ) 65 33 n = 896.4 the club estimates that   A minimum of  897 children  the club estimates that   A minimum of  897 children  30% of the children   of the children  must be sampled 30% must be sampled have                     a dog  have                     a dog  Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  2   Test your learning… … Test your learning … … n o n   o   k ilcick CCl      www.mcgrawhill.ca/college/lind Online Learning Centre for quizzes extra content data sets searchable glossary access to Statistics Canada’s E­Stat data …and much more! Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  9 ­ 44 9 ­ 45 This completes Chapter 9 Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  ... Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Interpreting  Interpreting  Confidence Intervals Confidence Intervals 9 ­ 14 90% Confidence Interval 90% Confidence Interval … 10% chance of falling outside this interval... Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Constructing  Constructing  Confidence Intervals Confidence Intervals 9 ­ 9 IN GENERAL,  A confidence interval for a mean is computed  by: zα/2 s n x Interpreting…... Copyright © 2004 by The McGraw­Hill Companies, Inc.  All rights reserved.  Interpreting  Interpreting  Confidence Intervals Confidence Intervals You select a  You select a  random sample          random sample