Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 15: Chi-square applications

Chapter 15 - Chi-square applications, when you have completed this chapter, you will be able to: Understand the nature and role of chi-square distribution, identify a wide variety of uses of the chi-square distribution, conduct a test of hypothesis comparing an observed frequency distribution to an expected frequency distribution,...

15 ­ 1 Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 2 When you have completed this chapter, you will be able to: Understand the nature and role of                     chi­square distribution Identify a wide variety of uses of  the chi­square distribution Conduct a test of hypothesis comparing an  observed frequency distribution to an  expected frequency distribution Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 3 Conduct a test of hypothesis for normality  using the chi­square distribution Conduct a hypothesis test to determine                          whether two attributes are  independent Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Characteristics of the         15 ­ 4 Characteristics of the          Chi­Square Distribution Chi­Square Distribution    … it is positively skewed    … it is non­negative    … it is based on degrees of freedom     …when the degrees of freedom change                   a new distribution is created  Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved …e.g Characteristics of the         15 ­ 5 Characteristics of the          Chi­Square Distribution Chi­Square Distribution df = 3 df = 5 df = 10 Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Goodness­of­Fit Test:                  Goodness­of­Fit Test:                  15 ­ 6          Equal Expected           Equal Expected  Frequencies Frequencies    Let f0 and fe  be the observed and expected              frequencies respectively    H0: There is no difference between the           observed and expected frequencies   H1: There is a difference between the           observed and the expected frequencies Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Goodness­of­Fit Test:                  Goodness­of­Fit Test:                  15 ­ 7          Equal Expected           Equal Expected  Frequencies Frequencies   … the test statistic is: fo fe fe   …the critical value is a chi­square value with              (k­1) degrees of freedom,                                        where k is the number of categories  Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Goodness­of­Fit Test:                  Goodness­of­Fit Test:                  15 ­ 8          Equal Expected           Equal Expected  Frequencies Frequencies            The following information shows the number of  employees absent by day of the week                                                             at a large a manufacturing plant.     Day     Frequency    Day     Frequency Monday 120 Monday 120 Tuesday   45 Tuesday   45 Wednesday        60 Wednesday   60 Thursday               90 Thursday               90 Friday       130 Friday       130 Total 445 Total 445 At the .05 level of significance, is there a difference  in the absence rate by day of the week?  Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Goodness­of­Fit Test:                  Goodness­of­Fit Test:                  15 ­ 9          Equal Expected           Equal Expected  Frequencies Frequencies  Hypothesis Test   Hypothesis Test  Step 1 Step 1 Step 2 Step 2 Step 3 Step 3 Step 4 Step 4 H0:  There is no difference in absence rate by  day of the week… (120+45+60+90+130)/5 = 89 H1:  Absence rates by day  are not all equal   = 0.05 Use Chi­Square test Degrees of freedom (5­1) = 4 Reject H0 if  2 >  9.488. (see Appendix I) Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Chi­Square 15 ­ 10 Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 15 … continued Step 1 Step 1 H0: The distribution has not changed H1: The distribution has changed Step 2 Step 2  = 0.05 H0 is rejected if   >7.815, df = 3 Step 3 Step 3 Step 4 Step 4  = 2.3814                           Reject the null hypothesis The distribution regarding marital status in Philadelphia              is different from the rest of the United States.                                                      Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Goodness­of­Fit Test:                  15 ­ 16 Goodness­of­Fit Test:                           Normality          Normality                             … the test investigates                                                                        if the observed frequencies in a  frequency distribution                                                           match the theoretical normal distribution …to determine the mean and standard deviation  of the frequency distribution ­  Compute the z­value for the lower class limit  and the upper class limit for each class ­  Determine  fe for each category ­  Use the chi­square goodness­of­fit test to  determine if fo coincides with fe  Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Goodness­of­Fit Test:                  15 ­ 17 Goodness­of­Fit Test:                           Normality          Normality  A sample of 500 donations to the Arthritis   Foundation is reported in the                                   following frequency distribution  Is it reasonable to conclude that the distribution is  normally distributed with a mean of $10 and a  standard deviation of $2?     Use the .05 significance level Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 18 … continued Amount Spent    fo  $14 70 Total 500 Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Area                                                  (fo­ fe )    fe  2/fe      15 ­ 19 … continued To compute fe for the first class,                                          first  X determine the z ­ value 10 z 2 00 Now…  find the probability of a z ­ value less than –2.00 P( z 2.00) 0.5000 4772 Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved .0228 15 ­ 20 … continued Amount Spent    fo  Area $14 70 02 Total 500 Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved                                                  (fo­ fe )    fe  2/fe      15 ­ 21 … continued The expected frequency is the probability of a  z­value less than –2.00 times the sample size fe ( 0228 )( 500 ) 11 40 The other expected frequencies  are computed similarly Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 22 … continued                                                  (fo­ fe )    fe  2/fe      11.40 6.49 Amount Spent    fo  Area $14 70 02 11.40 301.22 Total 500 500 336.33 Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 23 … continued Step 1 Step 1 Step 2 Step 2 Step 3 Step 3 Step 4 Step 4 H0: The observations follow the normal distribution H0: The observations do NOT follow the normal  distribution  = 0.05 H0 is rejected if  2  >7.815, df = 6  = 336.33 H0: is rejected The observations do NOT follow the normal distribution                                                      Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 24 A contingency table  is used to investigate  A contingency table  is used to investigate  whether  two traits  or characteristics               whether  two traits  or characteristics                         are related           are related … each observation is classified according to two criteria …the usual hypothesis testing procedure is used … the degrees of freedom is equal to:  (number of rows ­1)(number of columns ­1) … the expected frequency is computed as:                                   Expected Frequency = (row total)(column total)/grand  total   Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 25 Is there a relationship between the  location of an accident and the gender  of the person involved in the accident?  A sample of 150 accidents reported to the  police were classified by type and gender.   At the .05 level of significance, can we  conclude that gender and the location of  the accident are related? Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 26 … continued Sex Work Location Home Other Total Male 60 20 10 90 Female 20 30 10 60 Total 80 50 20 150 The expected frequency for the work­male  intersection is computed as (90)(80)/150 =48 Similarly, you can compute the                                           expected frequencies for the other cells Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 27 … continued Step 1 Step 1 H0: The Gender and Location are NOT related H0: The Gender and Location are related Step 2 Step 2  = 0.05 Step 3 Step 3 H0 is rejected if    2 >5.991, df = 2 (…there are  (3­ 1)(2­1) = 2 degrees of freedom) Step 4 Step 4 Find the value of    2 60 48 48 16 667 10 8 H0: is rejected Gender and Location are related! Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved Test your learning… … Test your learning 15 ­ 28 … … n o n   o   k ilcick CCl      www.mcgrawhill.ca/college/lind Online Learning Centre for quizzes extra content data sets searchable glossary access to Statistics Canada’s E­Stat data …and much more! Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 29 This completes Chapter 15 This completes Chapter 15 Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved ...   match the theoretical normal distribution …to determine the mean and standard deviation  of the frequency distribution ­  Compute the z­value for the lower class limit  and the upper class limit for each class ­  Determine  fe for each category... Foundation is reported in the                                   following frequency distribution  Is it reasonable to conclude that the distribution is  normally distributed with a mean of $10 and a  standard deviation of $2?  ... Copyright © 2004 McGraw­Hill Ryerson Limited. All rights reserved 15 ­ 24 A contingency table  is used to investigate  A contingency table  is used to investigate  whether  two traits  or characteristics