đại số tuyến tính lê xuân đại 9 dạng toan phuong sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m DẠNG TOÀN PHƯƠNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 / 43 C o e Định nghĩa dạng toàn phương Phương pháp biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi Lagrange đưa dạng tồn phương dạng tắc Dạng tồn phương xác định dấu: Luật quán tính, tiêu chuẩn Sylvester Nhận dạng đường mặt bậc hai hV ie nZ on in m Nội dung TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 / 43 C o Định nghĩa ie nZ on e Định nghĩa Dạng toàn phương Rn hàm thực f : Rn → R, ∀x = (x1, x2, , xn )T ∈ Rn : f (x) = x T M.x, M ma trận đối xứng thực gọi ma trận dạng tồn phương (trong sở tắc) hV Ví dụ f (x) = f (x1, x2) = 2x12 + 3x22 − 6x1x2 dạng toàn −3 phương Ma trận M có dạng M = −3 in m Những khái niệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 / 43 C o Định nghĩa hV ie nZ on e Dạng toàn phương R3 thường ghi dạng f (x) = f (x1, x2, x3) = Ax12 + Bx22 + Cx32 + 2Dx1x2 + 2Ex1x3 + 2Fx2x3 Ma trận dạng toàn phương lúc ma trận đối xứng   A D E M =D B F  E F C   x1 f (x1, x2, x3) = x T M.x = (x1 x2 x3).M  x2  x3 https://fb.com/sinhvienzonevn in m Những khái niệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 / 43 C o Ví dụ hV ie nZ on e Ví dụ f (x) = f (x1, x2, x3) = x12 − 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 − x32 dạng toàn phương Ma trận dạng toàn phương   −1 M =  −1  −1 in m Những khái niệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 / 43 C o Đưa dạng tồn phương dạng tắc biến đổi trực giao hV ie nZ on e Cho dạng toàn phương f (x) = x T M.x, với x = (x1, x2, x3)T Vì M ma trận đối xứng thực nên M chéo hóa ma trận trực giao P ma trận chéo D : D = P T MP ⇒ M = PDP T Khi f (x) = x T P.D.P T x = (P T x)T D.(P T x) Đặt y = P T x = P −1x ⇔  x = Py Tacóg (y )= λ1 0 y1 y T Dy = (y1, y2, y3)  λ2   y2  Vậy 0 λ3 y3 f (x) = g (y ) = https://fb.com/sinhvienzonevn λ1y12 + λ2y22 + λ3y32 in m Những khái niệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 / 43 C o Đưa dạng tồn phương dạng tắc biến đổi trực giao on e Định nghĩa Dạng toàn phương g (y ) = y T Dy gọi dạng tắc dạng tồn phương f (x) = x T Mx hV ie nZ Định lý Dạng tồn phương f (x) = x T Mx ln ln đưa dạng tắc g (y ) = y T Dy cách chéo hóa trực giao ma trận M dạng toàn phương in m Những khái niệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 / 43 C o Đưa dạng toàn phương dạng tắc biến đổi trực giao on e Đưa dạng tồn phương dạng tắc phép biến đổi trực giao hV ie nZ Bước Viết ma trận M dạng tồn phương (trong sở tắc) Bước Chéo hóa M ma trận trực giao P ma trận chéo D Bước Kết luận: dạng tắc cần tìm g (y ) = y T Dy Phép biến đổi cần tìm x = Py in m Những khái niệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 / 43 C o Ví dụ dạng tồnphương −2 −2 −1  −1 hV ie Ma trận  M =  −2 −2 nZ on e Ví dụ Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao f (x1, x2, x3) = −4x1x2 − 4x1x3 + 3x22 − 2x2x3 + 3x32 in m Những khái niệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 / 43 Ví dụ on e C o −λ −2 −2 det(M − λI ) = −2 − λ −1 = −2 −1 − λ ⇔ −λ3 + 6λ2 − 32 = ⇔ λ1 = −2, λ2 = λ3 = Xác định trận trực giao Với λ1 = −2, ta có  ma  nZ hV  √2 √  Với λ2 = λ3 = 4,  √1   − √230 − √15   √2  , P∗3 =  − √1 30 5 https://fb.com/sinhvienzonevn √ 30 ie  P∗1 =   P∗2 =  in m Những khái niệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TỒN PHƯƠNG ta có    TP HCM — 2013 10 / 43 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Cho dạng tồn phương f (x1, x2, x3) = −5x12 − x22 − mx32 − 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 Với giá trị m dạng tồn phương f xác định âm hV ie Ta cóma trận dạng  tồn phương f −5 −2 A =  −2 −1  1 −m in m Dạng toàn phương xác định dấu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 30 / 43 C o Ví dụ hV ie nZ on e Vì (−1)1∆1 = −(−5) > 0, −5 −2 (−1)2∆2 = (−1)2 = > 0, −2 −1 −5 −2 (−1)3∆3 = (−1)3 −2 −1 = −2 + m Để 1 −m dạng toàn phương cho xác định âm m − > hay m > in m Dạng toàn phương xác định dấu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 31 / 43 e C o Định nghĩa Nhận dạng đường mặt bậc hai nZ on Định nghĩa Đường bậc hai đường có phương trình dạng ax + 2bxy + cy + dx + ey + f = 0, a, b, c, d , e, f ∈ R hV ie Định nghĩa Mặt bậc hai mặt có phương trình dạng ax + by + cz + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + kz + m = 0, a, b, c, d , e, f , g , h, k, m ∈ R in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 32 / 43 C o Các đường mặt bậc hai hV ie nZ on e x2 y2 Ellipse + = a b y2 x Hyperbol − = a b Parabol y = 2px x2 y2 z2 Ellipsoid + + = a b c x2 y2 z2 Hyperboloid tầng + − = a b c 2 x y z2 Hyperboloid tầng + − = −1 a b c in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 33 / 43 C o Các đường mặt bậc hai hV ie nZ on e x2 y2 Paraboloid Elliptic z = + a b x y2 Paraboloid Hyperbolic z = − a b 2 x y z Mặt nón phía + = a b c 2 x y Mặt trụ ellipse + = 1, z ∈ R a b Mặt trụ parabol y = 2px, z ∈ R in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 34 / 43 on e C o Nhận dạng đường mặt bậc hai Nhận dạng đường mặt bậc hai hV ie nZ Bước Đưa đường mặt bậc hai dạng tắc phép biến đổi trực giao (phép quay) Bước Sử dụng phép tịnh tiến để đưa phương trình đường (mặt) bậc hai đường (mặt) bậc hai in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 35 / 43 C o Ví dụ on e Ví dụ Nhận dạng đường cong bậc hai sau: √ 3x + 2xy + 3y + 2y − = hV ie nZ Xét f = 3x + 2xy + 3y Ma trận f M= Phương trình đặc trưng M 3−λ χM (λ) = det(M − λI ) = =0 3−λ ⇔ λ1 = 2, λ2 = in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 36 / 43 C o Ví dụ e √1 − √12 √1 √ on Với λ1 = 2, ta có P∗1 = nZ Với λ2 = 4, ta có P∗2 = Ma trận phép biến đổi trực giao ie √1 √1 hV P= √1 √ − 12 in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 37 / 43 C o Ví dụ hV ie nZ on e Với phép biến đổi X = PY hay  1    x=√ x +√ y 2 Vậy thay vào phương 1    y = −√ x + √ y 2 trình ban đầu ta x + 2y − 4x + 4y − = Sử dụng phép tịnh tiến, ta viết phương trình dạng (x − 2)2 + 2(y + 1)2 = Đặt x y x =x −2 ta + = Ellipse y =y +1 in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 38 / 43 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Nhận dạng mặt bậc hai sau: 2x12 + 2x22 + 3x32 − 2x1x3 − 2x2x3 − 16 = hV ie Xét f = 2x12 + 2x22  + 3x32 − 2x1x3 −2x2x3 Ma −1 trận f M =  −1  −1 −1 in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 39 / 43 e C o Ví dụ hV ie nZ on Phương trình đặc trưng M 2−λ −1 χM (λ) = |M − λI | = − λ −1 = −1 −1 − λ ⇔ λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 40 / 43 √1 √1   √1  √1  − √12  e  on  Với λ1 = 1, ta có P∗1 =  C o Ví dụ   hV ie nZ  Với λ2 = 2, ta có P∗2 =    Với λ3 = 4, ta có P∗3 =  in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) √1 √ √ − 26    https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 41 / 43 e C o Ví dụ √ − √26   ie √ nZ √ − √12 hV  P = √ √ √ on Ma trận phép biến đổi   trực giao 1 in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 42 / 43 C o Ví dụ hV ie nZ on e Với phép biến đổi X = PY hay  1   √ √ √ x = x x x3 + + 1     1 x2 = √ x1 − √ x2 + √ x3 Vậy thay vào       x3 = √ x1 + 0.x2 − √2 x3 phương trình ban đầu ta x12 x22 x32 2 x1 + 2x2 + 4x3 = 16 hay + + = 16 Ellipsoid in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 43 / 43 on e C o Ví dụ hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Nhận dạng đường mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 44 / 43 ... nghĩa Số hệ số dương gọi số dương quán tính Số hệ số âm gọi số âm quán tính hV Có nhiều phương pháp khác để đưa dạng tồn phương dạng tắc Đặc điểm chung phương pháp là: số lượng hệ số âm số lượnghttps://fb .com/ sinhvienzonevn... Định lý Chỉ số dương quán tính, số âm quán tính dạng toàn phương đại lượng bất biến khơng phụ thuộc vào cách đưa dạng tồn phương dạng tắc in m Dạng tồn phương xác định dấu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM)... suy biến đưa dạng tồn phương dạng tắc in m Những khái niệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP HCM — 2013 12 / 43 C o Đưa dạng tồn phương dạng tắc biến