ứng dụng bdt để tìm cực trị

Phép biến đổi tơng đơng áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị I - Phép biến đổi tơng đơng 1) Phơng pháp chung - Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tơng đơng về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngợc lại) - Một số ví dụ; VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a 3 + b 3 + abc ab (a + b + c) Lời giải: Ta có a 3 + b 3 + abc ab (a + b + c) a 3 + b 3 + abc a 2 b + ab 2 + abc (a+b)(a 2 _ab+b 2 ) ab (a+b) (a+b) (a-b) 2 0 Ta có: a; b; > 0 a + b > 0 (a - b) 2 0 a, b (a + b).(a - b) 2 0 (Luôn đúng) a, b > 0 a3 + b3 + abc ab (a+b+c) (ĐpCM) VD2: Cho a, b, c > 0 CM: ab bc ca a b c c a b + + + + Lời giải: Ta có ab bc ca a b c c a b + + + + a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 abc (a + b + c) 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) 2 abc(a + b + c) (a 2 b 2 + b 2 c 2 - 2ab 2 c)+ (a 2 b 2 + a 2 c 2 - 2a 2 bc) + (b 2 c 2 + c 2 a 2 - 2abc 2 ) 0 b 2 (a - c) + a 2 (b - c) 2 + c 2 (a - b) 2 0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 ) Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh. VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của Cm: Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh a b c a c b 1 b c a c b a + + < Bài làm Đặt M = a b c a c b b c a c b a + + có M = a b b c c a b a c b a c + + 2 2 2 2 2 2 a b b c c a M ab bc ac = + + 2 2 2 2 2 2 1 M . ca cb ab ac bc ba abc = + + (Vì a; b; c > 0) ( ) ( ) 1 M . a c . b2 ac ab bc abc = + ( ) ( ) ( ) 1 M . a c . c b . b a abc = có c a b> a b c> b c a> a b . b c . c a a.b.c < ( ) ( ) ( ) 1 1 . a b b c c a .abc 2 abc abc M 1 < = < Vậy a b c c b 1 b c a a a + + < VD4 :Cho ab 1 CM: 1 1 2 (1) a2 1 b2 1 ab 1 + + + + Bài giải Ta có (1) 2 2 2 2 2 2 a b 2 2 ab 1 a b 1 a b + + + + + + 2 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b 2 . ab 1 . a b a b 12 + + + + + + (Vì ab 1 ) 3 3 2 2 2 2 a b ab 2a b a b 2ab 0 + + ( ) ( ) 2 2 2 2 ab. a 2ab b a 2ab b 0 + + ( ) ( ) 2 ab 1 . a b 0 ( Luôn đúng n a 1 ) 2 1 1 2 b2 1 ab 1 a 1 + + + + Dấu = xảy ra a b ab 1 = = VD5:Cho a 1; b 1 ; c 1 CM: 3 3 3 1 1 1 3 1 abc a 1 b 1 c 1 + + + + + + Bài làm áp dụng kết quả ở ví dụ 4 ta có: ( ) 3 3 2 3 3 3 1 1 1 2 1 a 1 b 1 a b 1 a + = + + + + Tơng tự: 3 4 1 1 2 1 abc c 1 abc 1 + + + + 3 3 3 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 abc 1 a 1 b 1 c 1 a b abc 1 + + + + ữ ữ + + + + + + mà : ( ) ( ) 2 2 3 3 4 4 4 3 3 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 1 a b abc 1 1 a b 1 abc 2 4 2. 1 abc 1 a b c ữ + = + ữ ữ ữ + + ữ + + ữ = + + 3 3 3 1 1 1 1 4 1 abc 1 abc 1 a 1 b 1 c + + + + + + + + 3 3 3 1 1 1 3 1 abc 1 a 1 b 1 c + + + + + + 3 A C h a B a b c Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh Dấu = xảy ra a = b = c = d VD6: Cho abc Với: A B C a b c b a c b c a a c b h h h h h h h h h h h h + + + + (ha ; hb ; hc lần lợt là các đờng cao hạ từ A; B; C xuống 3 cạnh của ) Bài làm: Gọi S là diện tích ABC a a 1 2S S a.h h 2 a = = tơng tự: b c 2S 2S h ; h b c = = (1) 2S 2S 2S 2S 2S 2S a b c b a c 2S 2S 2S 2S 2S 2 ab S b a c b + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c b a b c b a c b c c a a b a c c b b a c(b a)(a b) c (b a) ab(b a) 0 (b a)(ac bc c ab) 0 (b a)(c b)(a c) 0 + + + + + + + + + + Lại có A B C a b c (Quan hệ cạnh góc trong ) ( ) ( ) ( ) b a 0 a c 0 b a c b a c 0 c b 0 Đpcm Dấu= xảy ra (=) a c a b c a = = = VD7 : CM: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca 4 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh Từ đó chứng minh: 8 8 8 3 3 3 a b c 1 1 1 a b c a .b .c + + + + Với a , b , c , > 0 Bài giải: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca (*) 2(a 2 + b 2 + c 2 ) - 2.(ab + bc + ca) 0 (=) (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 0 ( luôn đúng ) Dấu = xảy ra (=) a = b = c Ta có : a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca a 4 + b 4 + c 4 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 a 8 + b 8 + c 8 a 4 b 4 + b 4 c 4 + c 4 a 4 áp dụng (*) a 8 + b 8 + c 8 a 4 b 4 + b 4 c 4 + c 4 a 4 a 2 b 3 c 3 + a 3 b 2 c 3 + a 3 b 3 c 2 8 8 8 3 3 3 1 1 1 a b c a b c a b c + + + + ữ 8 8 8 3 3 3 a b c 1 1 1 a b c a b c + + + + Dấu đẳng thức xảy ra (=) a = b = c VD 8: Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 ; p là nửa chu vi Cm: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + + + ữ Bài giải Từ bất đẳng thức 1 1 1 x y x y + + (x ; y không âm ; xy 0 ) (Dễ dàng CM đợc BĐT Côsi) Ta có: 1 1 4 4 p a p b 2p a b c + = 1 1 4 p b p c a 1 1 4 p c p a b + + Cộng từng vế của BĐT trên ta đợc: 5 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh 1 1 1 1 1 1 2 4 p a p b p c a b c + + + + ữ ữ 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c + + + + ữ *Chú ý : Biến đổi ngợc lại ta sẽ đợc một bài C/m BĐT bằng cách biến đổi tơng đ- ơng thực sự. VD 9: Cho a> b > 0 ; m > n n N ; m N m m n n m m n n a b a b CM : a b a b > + + (*) Bài làm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m n n n n m m m n m n m n m n n m n m n m m n m n n m n n m n m n (*) a b a b a b a b a .a a .b b .a b .b a .a a .b b .a b .b 2 a .b a .b 0 2.a .b a b 0 (1) + > + + > + > > Có a > b m n m 1 a b > (1) luôn đúng (*) luôn đúng Đpcm *Một số bài tập áp dụng: 1) Cho z y x 0 > C/m: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 y x z x z (*) x z y x z + + + + + ữ ữ 2) Cho a , b , c là các số thực dơng thoả mãn abc = 1 CMR: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 3 2 a b c b c a c a b + + + + + ( Chú ý BĐT Nesôlsit ) 6 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh x y z 3 y z x z x y 2 + + + + + 3) Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 CM: a(b - c) 2 + b(c - a) 2 + c(a + b) 2 > a 3 + b 3 + c 3 (*) 4) CM: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d+ + + + + + 5) CM: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b d c a c b d a d b c ab bc cd da ac bd + + + + + + + + + + + + + (a, b, c, d 0) 6) CM: 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 + + + + ữ 7) CM: a) a b c 1 (a,b,c 0) a b b c a c + + > > + + + b) 2 2 2 2 2 x x z y z (0 x y z) z x y z x + + < < < < < + + 8) Cho a, b, c 0 CMR: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c a b c a b c 3abc+ + + + + II - áp dụng BĐT để tìm cực trị - Một số BĐT thờng gặp để tìm cực trị * BĐT Côsi: Cho n số không âm: a 1 , a 2 , a n ta có: (a 1 + a 2 + . + a n ) n 1 2 n n a a .a * BĐT Bunhiacôpxki: Cho 2 bộ số (a 1 , a 2 , .a n ) và (b 1 , b 2, , .b n ) Ta có: 7 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 n a b a b . a b a a . a b . b+ + + + + + + + Dấu = xảy ra 1 2 n 1 2 n a a a . b b b = = = * BĐT trị tuyệt đối a b a b + + * BĐT trong tam giác Ta phải áp dụng linh hoạt các bất đẳng thức trên để có thể tìm đợc cực trị Khi tìm cực trị của các biểu thức ta nên xem xét các biểu thức phụ nh -A; 1 A ; A 2 . để bài toán thêm ngắn gọn * Sau đây ta xét một vài ví dụ cơ bản VD1: Tìm max có biểu thức: A = xyz (x+y) (y+z) (z+x) với x, y, z không âm và x+y+z=1 + Có một bạn giải nh sau: áp dụng BĐT: ( ) 2 a b 4ab+ Ta có: ( ) ( ) 2 4 x y z x y z 1+ + + = ( ) ( ) 2 4 x y x x y z 1+ + + = ( ) ( ) 2 4 x y y x y z 1+ + + = ( ) ( ) ( ) 64xyz x y y z z x 1 1 max A 64 + + + = *Chú ý: Lời giải trên là hoàn toàn sai lầm do cha tìm ra dấu bằng khi áp dụng BĐT. + Ta có lời giải hoàn chỉnh nh sau: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: 3 x y z 1 xyz (1) 3 27 + + = ữ 8 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 x y z 8 x y y z z x (2) 3 27 + + + + + = ữ Nhân từng vế của (1) và (2) ta đợc ( ) ( ) ( ) 2 8 8 xy x y y z z x 729 27 + + + + = Dấu = xảy ra x = y = z = 1 3 ** Tơng tự ta dễ mắc phải sai lầm trong ví dụ sau - Tìm min của A = 2x +3y biết 2x 2 + 3y 2 5 Lời giải sai: Gọi B = 2x 2 + 3y 2 ta có B 5 Xét A + B = ( ) 2 2 1 5 5 2 x 1 3 y (1) 2 4 4 + + + ữ Mà B 5 B 5 Cộng từng vế của (1); (2) 25 A 4 *Chú ý : Sai lầm ở đây chính là ở chỗ ta cha xét dấu bằng ở cả hai BĐT * Một số bài tập cơ bản áp dụng BĐT Côsi: 1) Tìm min của ( ) x2 4x 4 A x 0 x + + = > ( ) ( ) 3 2 x 1 B x 0 x 1 5 C 0 x 1 1 x x + = > = + < < L ời giải: 2 x 4x 4 4 4 ) A x 4 4 2 x x x x A 8 A min 8 x 2 + + + = = + + + = = Tơng tự giải bài B,C +) 3 3 2 2 2 2 3 x 1 1 x x 1 x.x 3 B x 3 2 2 x x x 2.2x 3 4 + = = + = + + = 9 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh 3 3 3 B min B x 2 4 = = ( ) ( ) 5 1 x 5 1 x 1 5 x x ) C 5 5 2 2 2 5 1 x x 4 x x 1 x x 5 5 C min 5 2 5 x 4 + = + = + + + = + = + 2) Tìm max của A = (2x-1) (3-5x) ( ) 2 3 2 2 x B x 2 x C x 2 = + = + Bài giải ( ) ( ) ( ) 2 2 3 A 2x 1 3 5x 3x . 3 5x 5 2 2 1 5 2 1 1 1 . 5x 3 5x . . 5 4 2 5 4 4 40 1 11 A max A x 40 20 = = ữ + = = ữ = = Tơng tự chúng ta dễ dàng giả đợc phần B; C 3) Cho a, b, c > 1 Tìm min của 2 2 2 4a 5b 3c A a 1 b 1 c 1 = + + Xét: ( ) ( ) 2 2 4a 4a 4 4 4 4 a 1 a 1 a 1 a 1 4 4 a 1 8 a 1 + = = + + = + + áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 4 (a -1); 4 a 1 ta có: 10 [...]... Phơng Hạnh Cộng từng vế 3 BĐT trên 1 1 1 + + 1 2x = y + z x + 2y + z x + y + 2z Dấu = xảy ra (=) x= y = z = * Một bài toán tìm cực trị ta có thể áp dụng nhiều BĐT để giải Vídụ : Cho 3 số dơng a, b, c ; a +b +c = m là 1 hằng số Tìm min của A a2 b2 c2 + + b+c a+c a+b Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta có: 2 ( a + b + c) 33 ( a + b ) ( b + c) ( a + c) > 0 1 1 1 1 + + 33 a+b b+c a+c ( a + b) (... toán áp dụng BĐT trị tuyệt đối Ví dụ: Tìm min ; max của A = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 Hớng dẫn: Đổi: A = x 1 + 2 x + 3 x + x 4 =( x2 + 3x ) +( 2x + x4 ) x 1+ 3 x + 2 x + x 4 =4 *áp dụng BĐT về 3 điểm 14 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh * Một số bài tập Bài 1: Tìm min của B = 2 x 1 + x 2 + x 3 Bài 2: Tìm min; max của p = x2+y2 với x, y là 2 số thoả mãn x2+ xy + y2 = 1 Bài 3: Tìm max... ; 2 Bài 4: Tìm max a.a p= x y z + + y x x với x, y, z [ 1 ; 2 ] Bài 5: Tìm min của a) A = x 4 + y 4 + z 4 với x, y, z TM: xy + yz + zx = 1 b) B = x 1 + y 1 + z 1 với x, y, z TM: x + y + z =5 Bài 6: Cho a, b >0 ; a + b =1 Tìm Max Q = a b + 1 + 2a 1 + 2b Bài 7: Cho a, b, c, d >0 Tìm min của a+c b+d c+a d+b + + + a+b b+c c+d d+a (ĐS = 4) Bài 8: Cho x, y, z, t > 0 TM x + y + z + t = 1 Tìm Min của... có a + b + c = m là một hằng số Tìm Max của a 2 + b 2 + b 2 + c2 + c2 + a 2 15 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh Bài 10: Cho x, y, z TM 2xyz + xy + yz + zx 1 Tìm Min của xyz ĐS = 1 1 x = y = z = 2 ữ 8 Bài11: Cho 3 số dơng x, y, z > 0 TM ( x + y + z) 3 + x 2 + y 2 + z 2 + 4 = 29xyz Tìm Min của xyz ĐS: 8 x=y=z=2 Bài12: a) Cho a, b, c >0 ; a + b + c = 1 Tìm Max của a+b + b+c + c+a b) Cho... ( b + 2c ) ( 2a + c ) a 2 + 2b 2 + b 2 + 2c2 + c2 + 2a 2 1 3 ( a + b + c) A3 Dấu = xảy ra (=) a = b = c = * áp dụng BĐT Bunhiacopxki 1) Tìm min; max của ( 1 x 5) A =3 x2 +4 5x ( B = 3x + 4 3 x 2 Bài làm A = 3 x 1 + 4 5 x 11 3x 3 ) 1 3 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh áp dụng BĐT Bunhia copxti có 2 bộ số (3; 4) và Có: ( A2 = 3 x 1 + 4 5 x ) (3 2 2 ( ) x 1 ; ( 5 x ) ta có ) + 4 2...Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh 4a 2 2 16 + 8 = 16 a 1 Tơng tự với 5b 2 3c2 ta tìm đợc min A = 48 ; b 1 c 1 4) Cho a, b, c không âm CMR a + b + c = Tìm min của A = 3 a 2 + 2ab + b 2 + 2c2 + c2 + 2a 2 Dễ dàng CM đợc 2 x+y+z x + y + z 3 ữ 3 2 2 2 áp dụng BĐT trên ta có: 2 a+b+b a + 2b = a + b + b 3 ữ 3 1 a 2 + 2b 2 ( a + 2b ) 3 2 2 2 2 2 Tơng tự: b 2 + 2c2... Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ta có: a2 b+c a2 b+c + 2 ì = a b+c 4 b+c 4 Tơng tự: b2 c+a + b c+a 4 c2 a+b + c a+b 4 13 3 4 Giáo án Đại số - Giáo viên: Nguyễn Phơng Hạnh Cộng từng vế A m 2 Cách 3: áp dụng BĐT Bunhia copxti ta có: a2 b2 c2 + + ữ ( b + c + c + a + b ) b+c c+a a+b 2 b c a b+c+ c+a + a+bữ c+a a+b b+c Cách 4: Giả sử a b c > 0 suy ra a 2 b 2 c2 1 1 1 b+c c+a a+b áp dụng BĐT... 2 5 ( x 1 + 5 x ) = 36 A 6 A min = 6 x = 5 Tơng tự giải cho B 1 1 4 + x y x+y * Chú ý thêm BĐT suy ra từ BĐT Côsi (2) Dựa vào BĐT trên ta giải bài tập sau: 1 1 1 + + =4 x y 2 Cho x; y > 0 TM: Tìm max; CM: A= 1 1 1 + + < 1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Theo BĐT ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + ữ + + + ữ 2x + y + z ( x + y ) + ( x + z ) 4 x + y x + z 16 x y x z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +... dơng x, y, z > 0 TM ( x + y + z) 3 + x 2 + y 2 + z 2 + 4 = 29xyz Tìm Min của xyz ĐS: 8 x=y=z=2 Bài12: a) Cho a, b, c >0 ; a + b + c = 1 Tìm Max của a+b + b+c + c+a b) Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác Tìm Max của biểu thức b+c a+c a+b A = 3 ữ 3 b ữ 3 c ữ a 16 ĐS: 6 a=b=c= 1 3 . c a b c a b c a b c 3abc+ + + + + II - áp dụng BĐT để tìm cực trị - Một số BĐT thờng gặp để tìm cực trị * BĐT Côsi: Cho n số không âm: a 1 , a 2 , a. = * BĐT trị tuyệt đối a b a b + + * BĐT trong tam giác Ta phải áp dụng linh hoạt các bất đẳng thức trên để có thể tìm đợc cực trị Khi tìm cực trị của