Ung dung BDT de tim cuc tri

áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị

I - Phép biến đổi tơng đơng

1) Phơng pháp chung

- Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tơng đơng về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngợc lại)

- Một số ví dụ;

VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a3 + b3 + abc ≥ ab (a + b + c)

Lời giải:

Ta có a3 + b3 + abc ≥ ab (a + b + c)

⇔ a3 + b3 + abc ≥ a2b + ab2 + abc

⇔ (a+b)(a2_ab+b2) ≥ ab (a+b)

⇔ (a+b) (a-b)2 ≥ 0

Ta có: a; b; > 0 ⇒ a + b > 0

(a - b)2 ≥ 0 ∀ a, b

⇒ (a + b).(a - b)2 ≥ 0 (Luôn đúng) ∀ a, b > 0

⇒ a3 + b3 + abc ≥ ab (a+b+c) (ĐpCM)

VD2: Cho a, b, c > 0 CM:

ab bc ca

a b c

c + a + b ≥ + +

Lời giải:

Ta có ab bc ca a b c

c + a + b ≥ + +

⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc (a + b + c)

⇔ 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ≥ 2 abc(a + b + c)

⇔ (a2b2 + b2c2 - 2ab2c)+ (a2b2 + a2c2- 2a2bc) + (b2c2 + c2a2 - 2abc2) ≥ 0

⇔b2(a - c) + a2(b - c)2 + c2(a - b)2 ≥ 0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 ) Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh

VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của ∆ Cm:

a b c a c b

1

b+ + − − −c a c b a <

Bµi lµm

§Æt M = a b c a c b

b+ + − − −c a c b a

cã M = a b b c c a

b− + − + −a c b a c

a b b c c a M

1

M ca cb ab ac bc ba

abc

⇔ = − + − + − (V× a; b; c > 0)

1

M a c b2 ac ab bc

abc

1

M a c c b b a

abc

cã c> a b−

a > b c−

b> c a−

a b b c c a a.b.c

a b b c c a abc 2

⇔ <

VËy a b c c b 1

b + + − −c a a a <

VD4 :Cho ab ≥ 1 CM:

(1) a2 1 b2 1 ab 1+ ≥

Bµi gi¶i

Ta cã (1) 2 a2 2 b2 22 2 2

ab 1

a b 1 a b

+ +

+ + + +

⇔(a2 +b2 +2 ab 1 ) ( + ) ≥2(a2 +b2 +a b2 2 +1) (Vì ab 1≥ )

⇔ a b ab3 + 3 −2a b2 2 −a2 −b2 +2ab ≥ 0

⇔ ab a( 2 −2ab b+ 2) (− a2 −2ab b+ 2) ≥ 0

( ) ( )2

ab 1 a b 0

⇔ − − ≥ ( Luôn đúng ∀ an ≥ 1)

21 1 2

b2 1 ab 1

a 1

+

Dấu “=” xảy ra a b

ab 1

=



⇔  =

VD5:Cho a 1 ; b 1 ; c 1≥ ≥ ≥

CM: 31 31 31 3

1 abc

a 1 b+ 1 c+ 1 ≥

+

Bài làm

áp dụng kết quả ở ví dụ 4 ta có:

( )

3

1 a +1 b =1 a ≥ 1 a b

Tơng tự: 31 1 abc1 24

c 1+ ≥ abc 1

+

1 abc

+

mà :

2

2

1 abc

1 a b c

+ +

1 abc 1 abc

1 a 1 b 1 c

1 abc

1 a 1 b 1 c

+

C

ha B

a

b c

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = d

VD6: Cho ∆ abc Với: A ≥ B ≥ C

h + h + h ≥ h + h + h (ha ; hb ; hc lần lợt là các đờng cao hạ từ A; B; C xuống 3 cạnh của ∆)

Bài làm:

Gọi S là diện tích ∆ ABC

S a.h h

tơng tự: hb 2S ; hc 2S

(1)

2S 2S 2S 2S 2S 2S

2S 2S 2S 2S 2S 2

a b

S

2 2

b c c a a b a c c b b a

c(b a)(a b) c (b a) ab(b a) 0

(b a)(ac bc c ab) 0

(b a)(c b)(a c) 0

Lại có A ≥ B ≥ C ⇒ a ≥ b ≥ c (Quan hệ cạnh – góc trong ∆)

b a 0

a c 0 b a c b a c 0

c b 0

− ≤





 − ≤



⇒ Đpcm

Dấu”=” xảy ra (=)

a c

a b

c a

=



 =



 =



VD7 : CM: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

Từ đó chứng minh: a8 3 b83 3c8 1 1 1

a b c

a b c

+ + ≥ + + Với a , b , c , > 0

Bài giải:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (*)

⇔ 2(a2 + b2 + c2 ) - 2.(ab + bc + ca) ≥ 0 (=) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 ( luôn đúng )

Dấu “=” xảy ra (=) a = b = c

Ta có : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

a4 + b4 + c4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2

a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + c4a4

áp dụng (*) ⇒ a8 + b8 + c8 ≥ a4b4 + b4c4 + c4a4 ≥ a2b3c3 + a3b2c3 + a3b3c2

a b c a b c

a b c

3 3 3

a b c

a b c

⇔

Dấu đẳng thức xảy ra (=) a = b = c

VD 8: Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 ∆ ; p là nửa chu vi

Cm: 1 1 1 2 1 1 1

p a p b p c a b c

Bài giải

Từ bất đẳng thức1 1 1

x + y ≥ x y

+ (x ; y không âm ; xy ≠ 0 )

(Dễ dàng CM đợc BĐT Côsi)

Ta có: 1 1 4 4

p a + p b ≥ 2p a b = c

p b p c a

p c p a b

Cộng từng vế của BĐT trên ta đợc:

2 1 1 1 4 1 1 1

p a p b p c a b c

1 1 1 2 1 1 1

p a p b p c a b c

*Chú ý : Biến đổi ngợc lại ta sẽ đợc một bài C/m BĐT bằng cách biến đổi tơng

đ-ơng thực sự

VD 9: Cho a> b > 0 ; m > n n N∈ ; m ∈ N

m m n n

CM :

− > −

Bài làm:

a a a b b a b b a a a b b a b b

2 a b a b 0 2.a b a − b − 0 (1)

Có a > b ⇔ am n− >bm 1−

⇒ (1) luôn đúng

⇒ (*) luôn đúng

⇒ Đpcm

*Một số bài tập áp dụng:

1) Cho z ≥ y ≥ x > 0 C/m:

 + + + ≤ +  + 

2) Cho a , b , c là các số thực dơng thoả mãn abc = 1

CMR:

2

a b c + b c a + c a b ≥

( Chú ý BĐT Nesôlsit )

x y z 3

y z + x z + x y ≥ 2

3) Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 ∆

CM: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 (*)

4) CM:

a +b + c +d ≥ a c+ + b d+

5) CM:

(a b d c) ( ) (a c b d) ( ) (a d b c) ( ) ab bc cd da

ac bd

(a, b, c, d ≥ 0)

6) CM:

2

a b c a b c

+ +  + + 

≥  ữ

7) CM:

a) a b c 1 (a, b, c 0)

a b +b c +a c > >

b)

(0 x y z)

+ +

< < < < <

+ +

8) Cho a, b, c ≥ 0 CMR:

a b c a+ − +b c a b+ − +c a b c+ − ≤3abc

II - áp dụng BĐT để tìm cực trị

- Một số BĐT thờng gặp để tìm cực trị

* BĐT Côsi: Cho n số không âm: a1, a2, an ta có:

(a1+ a2+ + an ) n

n a a a

≥

* BĐT Bunhiacôpxki: Cho 2 bộ số (a1, a2, an) và (b1, b2,, bn)

Ta có:

( )2 ( 2 2 2)( 2 2)

a b +a b + + a b ≤ a +a + + a b + + b

Dấu “ = ” xảy ra 1 2 n

* BĐT trị tuyệt đối

a + b ≥ +a b

* BĐT trong tam giác

Ta phải áp dụng linh hoạt các bất đẳng thức trên để có thể tìm đợc cực trị

Khi tìm cực trị của các biểu thức ta nên xem xét các biểu thức phụ nh -A; 1

A; A

2

để bài toán thêm ngắn gọn

* Sau đây ta xét một vài ví dụ cơ bản

VD1: Tìm max có biểu thức:

A = xyz (x+y) (y+z) (z+x) với x, y, z không âm và x+y+z=1 + Có một bạn giải nh sau:

áp dụng BĐT: ( )2

a b+ ≥4ab

Ta có: ( ) ( )2

4 x y z+ ≤ x y z+ + =1

4 x y x+ ≤ x y z+ + =1

4 x y y+ ≤ x y z+ + =1

64xyz x y y z z x 1

1 max A

64

*Chú ý: Lời giải trên là hoàn toàn sai lầm do cha tìm ra dấu bằng khi áp dụng BĐT

+ Ta có lời giải hoàn chỉnh nh sau:

áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:

3

x y z 1

+ +

(x y y z z x) ( ) ( ) 2 x y z( ) 3 8 (2)

 + + 

Nhân từng vế của (1) và (2) ta đợc

xy x y y z z x

729 27

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 1

3

** Tơng tự ta dễ mắc phải sai lầm trong ví dụ sau

- Tìm min của A = 2x +3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5

Lời giải sai: Gọi B = 2x2 + 3y2 ta có B ≤ 5

Xét A + B = ( )2 1 2 5 5

+ +  + ữ − ≥

Mà B ≤ 5 ⇒ −B ≥ −5 Cộng từng vế của (1); (2) A 25

4

⇒ ≥ −

*Chú ý : Sai lầm ở đây chính là ở chỗ ta cha xét dấu bằng ở cả hai BĐT

* Một số bài tập cơ bản áp dụng BĐT Côsi:

1) Tìm min của A x2 4x 4 (x 0)

x

+ +

( )

3 2

x 1

x

1 5

1 x x

+

−

L ời giải:

2

A 8 A min 8 x 2

+ +

Tơng tự giải bài B,C

+)

3

3

2 2

+

B min B 33 x 3 2

4

5 5

C min 5 2 5 x

4

−

2) Tìm max của

A = (2x-1) (3-5x)

2 3 2 2

x B

x 2 x C

x 2

=

+

= +

Bài giải

2

A 2x 1 3 5x 3x 3 5x

5x 3 5x

A max A x

Tơng tự chúng ta dễ dàng giả đợc phần B; C

3) Cho a, b, c > 1 Tìm min của

4a 5b 3c

A

a 1 b 1 c 1

Xét:

4 a 1

4

a 1

− +

−

áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 4 (a -1); 4

a 1− ta có:

4a

2 16 8 16

a 1≥ + =

−

Tơng tự với 5b2 ; 3c2

b 1− c 1− ta tìm đợc min A = 48

4) Cho a, b, c không âm CMR a + b + c = 3

Tìm min của A = a2 +2ab + b2 +2c2 + c2 +2a2

Dễ dàng CM đợc

2

2 2 2 x y z

x y z 3

3

+ +

+ + ≥  ữ

áp dụng BĐT trên ta có:

2

a b b

a 2b a b b 3

3 1

3

+ +

+ = + + ≥  ữ

Tơng tự:

1

3 1

3

1

3

A 3

⇒ ≥

Dấu “=” xảy ra (=) a b c 1

3

= = =

*

á p dụng BĐT Bunhiacopxki

1) Tìm min; max của

2

A 3 x 2 4 5 x 1 x 5

Bài làm

A 3 x 1 4 5 x= − + −

¸p dông B§T Bunhia copxti cã 2 bé sè (3; 4) vµ ( x 1 ;− ) (5 x− )ta cã

Cã:

A 3 x 1 4 5 x 3 4 x 1 5 x 100

A 10

⇒ ≤

( )

2

2

A 3 x 1 4 5 x 3 x 1 3 5 x

9 x 1 5 x

5 x 1 5 x 36

A 6 A min 6 x 5

−

≥ − + − =

T¬ng tù gi¶i cho B

* Chó ý thªm B§T suy ra tõ B§T C«si 1 1 4 (2)

x + ≥y x y

+

Dùa vµo B§T trªn ta gi¶i bµi tËp sau:

Cho x; y > 0 TM:

1 1 1

4

x + + =y 2

T×m max; CM: A 1 1 1 1

2x y z x 2y z x y 2z

Theo B§T ta cã

2x y z x y x z 4 x y x z 16 x y x z

2x y z 4 x y x z 16 x y x z

DÊu “=”x¶y ra ⇔ x = y = z T¬ng tù:

x 2y z 16 x y y z

≤  + + + ÷

≤  + + + ÷ + +

Cộng từng vế 3 BĐT trên

1 2x y z x 2y z x y 2z

Dấu “=” xảy ra (=) x= y = z = 3

4

* Một bài toán tìm cực trị ta có thể áp dụng nhiều BĐT để giải

Vídụ : Cho 3 số dơng a, b, c ; a +b +c = m là 1 hằng số

Tìm min của A a2 b2 c2

b c a c+ +a b

Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta có:

3

3

2 a b c 3 a b b c a c 0

a b b c a c a b b c c a

a b b c c a

a b c a b c a b c 9

a b b c a c 2

a b c a b c

min

+ +

⇒

Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ta có:

Tơng tự:

2 2

b c a

b

c a 4

c a b

c

a b 4

+

+

+

+

Cộng từng vế A m

2

Cách 3: áp dụng BĐT Bunhia copxti ta có:

2

b c c a b

b c c a a b

⇒

Cách 4: Giả sử a b c 0 suy ra a≥ ≥ > 2 ≥b2 ≥c2

1 1 1

b c ≥ c a ≥ a b

áp dụng BĐT Trêbsép cho 6 số trên

a b c

2 1

a b c

b c a c a b 9 b c c a a b

* Một số bài toán áp dụng BĐT trị tuyệt đối

Ví dụ: Tìm min ; max của

A= − + − + − + −x 1 x 2 x 3 x 4 H

ớng dẫn :

Đổi:

A x 1 2 x 3 x x 4

x 2 3 x 2 x x 4

x 1 3 x 2 x x 4 4

= − + − + − + −

= − + − + − + −

≥ − + − + − + −

=

* Mét sè bµi tËp

Bµi 1: T×m min cña

B =2 x 1− + − + −x 2 x 3

Bµi 2: T×m min; max cña p = x2+y2 víi x, y lµ 2 sè tho¶ m·n x2+ xy + y2 = 1

Bµi 3: T×m max p

a) A = 4x3 - x4

b) B =x y

y + x víi x, y ∈ [ ]1 ; 2 c) C = xy 2xy x 4y z( − − + ) víi x ∈ [0 ; 2] vµ y 0 ; 1

2

∈  

Bµi 4: T×m max a.a’

p x y z

y x x

= + + víi x, y, z∈ [ ]1 ; 2

Bµi 5: T×m min cña

a) A x= 4 +y4 +z4 víi x, y, z TM: xy + yz + zx = 1

b) B = − + − + −x 1 y 1 z 1 víi x, y, z TM: x + + =y z 5

Bµi 6: Cho a, b >0 ; a + b =1

T×m Max Q a b

1 2a 1 2b

Bµi 7: Cho a, b, c, d >0

T×m min cña a c b d c a d b

a b b c c d d a

+ + + + + + +

Bµi 8: Cho x, y, z, t > 0 TM x + y + z + t = 1

T×m Min cña 1 1 1 1

x + + +y z t (§S = 16)

Bµi 9: Cho a, b, c lµ 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c cã a + b + c = m lµ mét h»ng sè

T×m Max cña a2 +b2 + b2 +c2 + c2 +a2

Bµi 10: Cho x, y, z TM 2xyz + xy + yz + zx 1≤

T×m Min cña xyz §S = 1 x y z 1

 = = = 

Bµi11: Cho 3 sè d¬ng x, y, z > 0 TM

x y z+ + +x +y +z + =4 29xyz T×m Min cña xyz §S: 8 x=y=z=2

Bµi12: a) Cho a, b, c >0 ; a + b + c = 1

T×m Max cña a b+ + b c+ + c a+ §S: 6 a b c 1

3

⇔ = = =

b) Cho a, b, c lµ 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c

T×m Max cña biÓu thøc

= − ÷  − ÷  − ÷